Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

58De stelling van Pythagoras

De beroemdste stelling van de hele wiskunde legt een verband tussen de drie zijden van een rechthoekige driehoek. Ermee worden lengten berekenbaar die geen enkele meetlat rechtstreeks kan meten: diagonalen, afstanden, hoogten. Het is ook onze eerste grote ontmoeting met het verschil tussen een stelling en haar omgekeerde.

58.1 De stelling

Stelling 58.1 (Pythagoras)

Is een driehoek $ABC$ rechthoekig in $A$ , dan geldt

BC^2 = AB^2 + AC^2 :

het kwadraat van de schuine zijde (de zijde tegenover de rechte hoek) is de som van de kwadraten van de twee andere zijden.

Idee van het bewijs. Vier exemplaren van de driehoek, samengelegd binnen een groot vierkant met zijde $AB + AC$ , laten een gekanteld vierkant op de schuine zijde onbedekt: het vergelijken van de oppervlakten geeft de gelijkheid. De uitgewerkte berekening is Oefening 58.11; de stelling volgt ook uit het scalair product, dat in het bovenbouwvolume aan bod komt. ∎

De stelling als uitspraak over oppervlakte: het vierkant op de schuine zijde (25) heeft precies dezelfde oppervlakte als de twee andere vierkanten samen (16 + 9). Hier zijn de zijden 3, 4, 5. — De stelling als uitspraak over oppervlakte: het vierkant op de schuine zijde ( $25$ ) heeft precies dezelfde oppervlakte als de twee andere vierkanten samen ( $16 + 9$ ). Hier zijn de zijden $3$ , $4$ , $5$ .

Methode 58.2 (Een lengte berekenen)

In een rechthoekige driehoek waarvan twee zijden bekend zijn:

benoem de schuine zijde (tegenover de rechte hoek — altijd de langste zijde);
schrijf de gelijkheid van Stelling 58.1 op met de bekende waarden;
los op naar het ontbrekende kwadraat: tel de kwadraten op als de schuine zijde onbekend is, trek af als een rechthoekszijde onbekend is;
neem de vierkantswortel, exact of met de rekenmachine, en ga na dat de schuine zijde er als langste zijde uit komt.

Voorbeeld 58.3 (De schuine zijde vinden)

Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden $6$ en $8$ . Voor de schuine zijde $c$ geldt:

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \qquad c = \sqrt{100} = 10 .

(Het getal $\sqrt{100}$ , de vierkantswortel van $100$ , is het positieve getal met kwadraat $100$ ; vierkantswortels krijgen een volledig hoofdstuk in Hoofdstuk 65.)

Voorbeeld 58.4 (Een rechthoekszijde vinden)

Een ladder van $5$ m staat tegen een muur, met zijn voet $1.4$ m van de muur. Voor de bereikte hoogte $h$ geldt, met de ladder als schuine zijde,

h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04, \qquad h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.

Aftrekken, niet optellen: de onbekende is hier een rechthoekszijde.

58.2 De omgekeerde stelling

Stelling 58.5 (Omgekeerde stelling van Pythagoras)

Gelden in een driehoek $ABC$ voor de zijden $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , dan is de driehoek rechthoekig in $A$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Methode 58.6 (Een rechte hoek toetsen)

Gegeven de drie zijden van een driehoek:

bereken afzonderlijk het kwadraat van de langste zijde, en de som van de kwadraten van de twee andere;
zijn de twee uitkomsten gelijk, dan is de driehoek rechthoekig (omgekeerde stelling), en wel in het hoekpunt tegenover de langste zijde;
verschillen ze, dan is de driehoek niet rechthoekig — want de stelling van Pythagoras zou dan gelijkheid opleggen.

Voorbeeld 58.7

Zijden $5$ , $12$ , $13$ : het kwadraat van de langste zijde is $13^2 = 169$ ; de som van de andere kwadraten is $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ . Gelijk: rechthoekig (tegenover de zijde $13$ ).

Zijden $6$ , $7$ , $9$ : $9^2 = 81$ , maar $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$ : geen rechthoekige driehoek (hij is er “bijna” een — de getallen beslissen, niet het oog).

Opmerking 58.8 (Stelling tegenover omgekeerde stelling)

De stelling en haar omgekeerde zeggen verschillende dingen: de stelling gebruikt een rechte hoek om lengten te berekenen; de omgekeerde gebruikt lengten om een rechte hoek te bewijzen. Bouwers gebruiken de omgekeerde al duizenden jaren: een koord met knopen op $3$ , $4$ en $5$ eenheden, strak getrokken, geeft een volmaakt rechte hoek.

Voorbeeld 58.9 (Diagonaal van een vierkant)

De diagonaal van een vierkant met zijde $1$ is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $1$ en $1$ :

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,

dus is $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — een getal dat geen breuk is, zoals het bovenbouwvolume zal bewijzen. Voor een vierkant met zijde $c$ is de diagonaal $c\sqrt2$ .

58.3 Oefeningen

Oefening 58.1 ★

Bereken in elke rechthoekige driehoek de schuine zijde: rechthoekszijden $9$ en $12$ ; rechthoekszijden $5$ en $12$ ; rechthoekszijden $8$ en $15$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.1.

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .

Oefening 58.2 ★

Een rechthoekige driehoek heeft schuine zijde $25$ en één rechthoekszijde $7$ . Bereken de andere rechthoekszijde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.2.

Rechthoekszijde $^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ , dus is de rechthoekszijde $\sqrt{576} = 24$ .

Oefening 58.3 ★

Bereken de diagonaal van een rechthoek met zijden $12$ cm en $9$ cm; en de diagonaal van een vierkant met zijde $5$ cm (exacte waarde met een vierkantswortel, daarna afgerond op de mm).

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.3.

Rechthoek: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Vierkant: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm (Voorbeeld 58.9).

Oefening 58.4 ★

Welke driehoeken zijn rechthoekig? Verantwoord met Methode 58.6:

(20,\ 21,\ 29); \qquad (7,\ 8,\ 11); \qquad (1.5,\ 2,\ 2.5).

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.4.

$(20, 21, 29)$ : $29^2 = 841$ en $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ : rechthoekig.

$(7, 8, 11)$ : $121 \neq 49 + 64 = 113$ : niet rechthoekig.

$(1.5, 2, 2.5)$ : $6.25 = 2.25 + 4$ : rechthoekig (het is $(3,4,5)$ gehalveerd).

Oefening 58.5 ★

Een poort wordt verstevigd met een schuine plank. De poort is $3$ m breed en $1.6$ m hoog: hoe lang is de plank?

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.5.

Plank $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

Oefening 58.6 ★

Een gelijkbenige driehoek heeft twee zijden van $10$ cm en een basis van $12$ cm. Zijn hoogte verdeelt hem in twee rechthoekige driehoeken: bereken die hoogte, en daarna de oppervlakte van de driehoek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.6.

De hoogte komt neer op het midden van de basis (gelijkbenige driehoek), dus heeft elke halve driehoek schuine zijde $10$ en één rechthoekszijde $6$ : $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. Oppervlakte: $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm $^2$ .

Oefening 58.7 ★★

Een televisiescherm is een $16{:}9$ -rechthoek van $88.5$ cm bij $49.8$ cm. Schermen worden verkocht op hun diagonaal, in inch ( $1$ inch $= 2.54$ cm). Bereken de diagonaal in cm, en daarna in inch (afgerond op de dichtstbijzijnde inch).

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.7.

Diagonaal: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04} = \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. In inch: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ inch.

Oefening 58.8 ★★

Een boot vaart $24$ km naar het oosten en daarna $10$ km naar het noorden. Hoe ver ligt hij dan in vogelvlucht van zijn vertrekpunt? Maak eerst een tekening.

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.8.

De twee rechthoekszijden zijn $24$ km en $10$ km: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

Oefening 58.9 ★★

Een ladder van $2.5$ m moet een vensterbank op $2.4$ m boven de grond bereiken. Op welke afstand van de muur moet zijn voet staan? Past het antwoord bij het veiligheidsadvies (voet op ongeveer een kwart van de ladderlengte van de muur)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.9.

Afstand van de voet: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7$ m. Een kwart van de ladder is $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m: de gevonden $0.7$ m ligt dicht bij de aangeraden plaatsing — aanvaardbaar.

Oefening 58.10 ★★

Zet in een assenstelsel de punten $A(1, 2)$ en $B(5, 5)$ , en teken de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden parallel met de assen waarvan $[AB]$ de schuine zijde is. Bereken $AB$ . (Deze constructie, voor twee willekeurige punten, wordt de afstandsformule van de analytische meetkunde, in het bovenbouwvolume.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.10.

De rechthoekszijden meten $5 - 1 = 4$ (horizontaal) en $5 - 2 = 3$ (verticaal), dus is

AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .

Oefening 58.11 ★★★

Vier exemplaren van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $a$ en $b$ en schuine zijde $c$ worden in de hoeken van een vierkant met zijde $a + b$ gelegd; in het midden blijft een gekanteld vierkant met zijde $c$ onbedekt.

Druk de oppervlakte van het grote vierkant op twee manieren uit: rechtstreeks, en als (vier driehoeken) $+$ (gekanteld vierkant).
Werk $(a + b)^2$ uit (zie Stelling 57.1) en leid daaruit $c^2 = a^2 + b^2$ af: je hebt de stelling van Pythagoras bewezen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.11.

1. Rechtstreeks: $(a + b)^2$ . Als stukken: vier driehoeken met elk oppervlakte $\frac{ab}{2}$ , plus het gekantelde vierkant $c^2$ :

(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .

2. Het linkerlid uitwerken geeft $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Dus is

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 = c^2 . \qed

58.4 Opgave: pythagorese drietallen

Probleem 58.1

Weekendopgave — rechthoekige driehoeken met hele getallen, en het merkwaardige product $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ dat ze allemaal voortbrengt

Een pythagorees drietal is een drietal hele getallen $(a, b, c)$ met

a^2 + b^2 = c^2 ,

zoals de $(3, 4, 5)$ van de bouwers. Een Babylonisch kleitablet bracht er enorme in kaart — $(4601,\ 4800,\ 6649)$ is er één van — meer dan duizend jaar vóór Pythagoras. Deze opgave jaagt eerst op drietallen en bouwt daarna de machine die ze voortbrengt: een algebraïsche gelijkheid, rechtstreeks uit Hoofdstuk 57, in dienst van de meetkunde.

Deel I — Op jacht naar drietallen.

Ga na dat $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ en $(20, 21, 29)$ pythagorese drietallen zijn. Wat zegt Stelling 58.5 over driehoeken met deze zijden?
Leg uit waarom een strak koord met twaalf gelijke stukken, uitgelegd als een driehoek met zijden van $3$ , $4$ en $5$ stukken, bouwers een volmaakt rechte hoek geeft.
Toon aan: is $(a, b, c)$ een pythagorees drietal, dan is $(ka, kb, kc)$ dat ook, voor elk heel getal $k \geq 1$ . Leid uit $(3, 4, 5)$ drie nieuwe drietallen af.
De veelvouden van $(3, 4, 5)$ zijn de drietallen $(3k, 4k, 5k)$ . Toon aan dat $(5, 12, 13)$ daar niet bij hoort.
Leg uit waarom vragen 3 en 4 samen bewijzen dat het vermenigvuldigen van $(3, 4, 5)$ nooit elk pythagorees drietal kan opleveren: er is een andere machine nodig.

Deel II — De machine. Neem twee hele getallen $m > n \geq 1$ en vorm de drie getallen

a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2 .

Werk met de merkwaardige producten van Probleem 57.1 (schrijf $A = m^2$ en $B = n^2$ ) de kwadraten $a^2$ en $b^2$ uit, en bewijs dat

$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$

de machine levert altijd een pythagorees drietal.
Laat de machine lopen op $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ en $(4, 3)$ , en zet de vijf drietallen in een tabel.
Eén drietal in je tabel is een vermenigvuldigd exemplaar van een kleiner drietal. Welk, en van welk?
Zoek de $(m, n)$ waarvoor de machine het drietal $(20, 21, 29)$ van vraag 1 oplevert (rechthoekszijden in willekeurige volgorde).
Zoek $m$ en $n$ met $m^2 + n^2 = 100$ , en leid daaruit een pythagorees drietal af met schuine zijde $100$ .

Deel III — Families, en een slot over pariteit.

Laat de machine lopen met $m = n + 1$ . Toon aan dat de oneven rechthoekszijde $2n + 1$ is, de even rechthoekszijde $2n^2 + 2n$ , en de schuine zijde $2n^2 + 2n + 1$ — zodat de schuine zijde en de even rechthoekszijde precies $1$ verschillen. Schrijf de drietallen uit voor $n = 1, 2, 3, 4$ .
Leid af dat elk oneven getal $3, 5, 7, 9, \dots$ een zijde is van een rechthoekige driehoek met hele getallen, en geef een drietal waarin $11$ voorkomt.
Ook even getallen lukken: laat de machine lopen met $n = 1$ en breng een drietal voort waarin $14$ voorkomt. Verkrijg daarna hetzelfde drietal een tweede keer, door een drietal uit je tabel van vraag 7 te vermenigvuldigen.
Toon aan dat het kwadraat van een even getal even is en dat het kwadraat van een oneven getal oneven is. (Schrijf het getal als $2k$ of $2k + 1$ en gebruik een merkwaardig product.)
Besluit het slot over pariteit: er is geen pythagorees drietal waarvan alle drie de getallen oneven zijn — in elke rechthoekige driehoek met hele getallen is minstens één zijde even.

Oplossing

Oplossing van Probleem 58.1.

1. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ . Alle drie zijn drietallen, en volgens Stelling 58.5 is een driehoek met deze zijden rechthoekig, met de rechte hoek tegenover de langste zijde.

2. Het koord vormt een driehoek met zijden $3$ , $4$ , $5$ (in stukken), en $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ : volgens de omgekeerde stelling (Stelling 58.5) is de hoek tussen de zijden van $3$ en $4$ stukken precies recht — geen gradenboog nodig, alleen knopen.

3. Is $a^2 + b^2 = c^2$ , dan is

(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2 = k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .

Uit $(3, 4, 5)$ : bijvoorbeeld $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ en $(30, 40, 50)$ .

4. Een veelvoud $(3k, 4k, 5k)$ met $5$ als kleinste getal zou $3k = 5$ vragen, en geen enkel heel getal $k$ voldoet daaraan ( $k = 1$ geeft $3$ , $k = 2$ geeft $6$ ). Dus is $(5, 12, 13)$ geen veelvoud van $(3, 4, 5)$ .

5. Vraag 3 laat zien dat vermenigvuldigen alleen de drietallen $(3k, 4k, 5k)$ oplevert; vraag 4 toont een echt drietal dat niet van die vorm is. De familie van alle pythagorese drietallen is dus strikt groter dan de veelvouden van $(3, 4, 5)$ : om ze voort te brengen is iets nieuws nodig.

6. Schrijf $A = m^2$ en $B = n^2$ . Met de merkwaardige producten (Probleem 57.1):

a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2, \qquad b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .

Optellen:

a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB = A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .

$(m, n)$	$m^2 - n^2$	$2mn$	$m^2 + n^2$
$(2, 1)$	$3$	$4$	$5$
$(3, 1)$	$8$	$6$	$10$
$(3, 2)$	$5$	$12$	$13$
$(4, 1)$	$15$	$8$	$17$
$(4, 3)$	$7$	$24$	$25$

8. $(8, 6, 10)$ is het dubbel van $(4, 3, 5)$ — dat wil zeggen van de $(3, 4, 5)$ van de bouwers. De machine vindt soms een oud drietal in vermomming terug.

9. We hebben $m^2 - n^2 = 21$ en $2mn = 20$ nodig, dus $mn = 10$ : met $m = 5$ , $n = 2$ geeft dat $25 - 4 = 21$ en $2 \times 10 = 20$ , met schuine zijde $25 + 4 = 29$ . Voor $(m, n) = (5, 2)$ levert de machine $(21, 20, 29)$ .

10. $m = 8$ , $n = 6$ geeft $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$ . Het drietal is

\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),

en inderdaad is $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$ .

11. Met $m = n + 1$ :

m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1

(verschil van opeenvolgende kwadraten, Probleem 57.1); $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ ; en $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$ . De schuine zijde is precies $1$ groter dan de even rechthoekszijde. Voor $n = 1, 2, 3, 4$ :

(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad (9, 40, 41) .

12. Elk oneven getal vanaf $3$ is $2n + 1$ voor een zekere $n \geq 1$ , en vraag 11 geeft een drietal waarvan de oneven rechthoekszijde precies $2n + 1$ is. Voor $11 = 2 \times 5 + 1$ neem je $n = 5$ :

(11,\ 60,\ 61), \qquad 11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .

13. Met $n = 1$ geeft de machine $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$ , waarvan de even rechthoekszijde $2m$ elk even getal vanaf $4$ kan zijn. Voor $14 = 2 \times 7$ neem je $m = 7$ : het drietal $(48, 14, 50)$ . Hetzelfde drietal komt er ook uit door $(7, 24, 25)$ uit de tabel van vraag 7 te verdubbelen: $(14, 48, 50)$ — dezelfde drie getallen.

14. Een even getal is $2k$ , en $(2k)^2 = 4k^2$ is even (een veelvoud van $4$ , en dus even). Een oneven getal is $2k + 1$ , en het eerste merkwaardige product geeft

(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,

een even getal plus $1$ : oneven.

15. Stel dat $a$ , $b$ en $c$ alle drie oneven zouden zijn. Volgens vraag 14 zijn $a^2$ en $b^2$ dan oneven, dus is $a^2 + b^2$ een som van twee oneven getallen: even. Maar $c^2$ zou oneven zijn. De gelijkheid $a^2 + b^2 = c^2$ is dan onmogelijk. In elk pythagorees drietal is dus minstens één van de drie getallen even — zoals elke regel van de tabel van vraag 7 bevestigt.