Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

58De stelling van Pythagoras

De beroemdste stelling van de hele wiskunde verbindt de drie zijden van een rechthoekige driehoek. Daarmee worden lengten berekenbaar die geen liniaal rechtstreeks kan meten: diagonalen, afstanden, hoogten. Het is ook onze eerste grote ontmoeting met het verschil tussen een stelling en haar omgekeerde.

58.1 De stelling

Stelling 58.1 (Pythagoras)

Als een driehoek $ABC$ rechthoekig is in $A$ , dan

BC^2 = AB^2 + AC^2 :

het kwadraat van de schuine zijde (de zijde tegenover de rechte hoek) is gelijk aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden.

Bewijs-idee. Vier kopieën van de driehoek, gerangschikt in een groot vierkant met zijde $AB + AC$ , laten een scheef vierkant op de schuine zijde onbedekt: oppervlakten vergelijken geeft de gelijkheid. De gedetailleerde berekening wordt voorgesteld als Oefening 58.11; de stelling volgt ook uit het scalair product, bestudeerd in het High School-volume. ∎

De stelling als een oppervlakte-uitspraak: het vierkant op de schuine zijde (25) heeft exact dezelfde oppervlakte als de twee andere vierkanten samen (16 + 9). Hier zijn de zijden 3, 4, 5. — De stelling als een oppervlakte-uitspraak: het vierkant op de schuine zijde ( $25$ ) heeft exact dezelfde oppervlakte als de twee andere vierkanten samen ( $16 + 9$ ). Hier zijn de zijden $3$ , $4$ , $5$ .

Methode 58.2 (Een lengte berekenen)

In een rechthoekige driehoek waarvan twee zijden bekend zijn:

noem de schuine zijde (tegenover de rechte hoek — altijd de langste zijde);
schrijf de gelijkheid van Stelling 58.1 met de bekende waarden;
los op voor het ontbrekende kwadraat: tel de kwadraten op als de schuine zijde onbekend is, trek af als een been onbekend is;
neem de vierkantswortel, exact of met een rekenmachine, en controleer dat de schuine zijde het langst uitkomt.

Voorbeeld 58.3 (De schuine zijde vinden)

Een rechthoekige driehoek heeft benen $6$ en $8$ . Schuine zijde $c$ :

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \qquad c = \sqrt{100} = 10 .

(Het getal $\sqrt{100}$ , de vierkantswortel van $100$ , is het positieve getal waarvan het kwadraat $100$ is; wortels krijgen een vol hoofdstuk in Hoofdstuk 65.)

Voorbeeld 58.4 (Een been vinden)

Een ladder van $5$ m leunt tegen een muur, met de voet $1.4$ m van de muur. Bereikte hoogte $h$ : de ladder is de schuine zijde, dus

h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04, \qquad h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.

Aftrekken, niet optellen: de onbekende is hier een been.

58.2 Het omgekeerde

Stelling 58.5 (Omgekeerde van Pythagoras)

Als in een driehoek $ABC$ de zijden voldoen aan $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , dan is de driehoek rechthoekig in $A$ .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Methode 58.6 (Een rechte hoek testen)

Gegeven de drie zijden van een driehoek:

bereken apart het kwadraat van de langste zijde, en de som van de kwadraten van de twee andere;
als de twee resultaten gelijk zijn, is de driehoek rechthoekig (omgekeerde), in het hoekpunt tegenover de langste zijde;
als ze verschillen, is hij niet rechthoekig — want de stelling van Pythagoras zou gelijkheid forceren.

Voorbeeld 58.7

Zijden $5$ , $12$ , $13$ : langste zijde gekwadrateerd, $13^2 = 169$ ; som van de andere kwadraten, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ . Gelijk: rechthoekig (tegenover de zijde $13$ ).

Zijden $6$ , $7$ , $9$ : $9^2 = 81$ maar $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$ : geen rechthoekige driehoek (hij is “bijna” één — de getallen beslissen, niet het oog).

Opmerking 58.8 (Stelling vs omgekeerde)

De stelling en haar omgekeerde zeggen verschillende dingen: de stelling gebruikt een rechte hoek om lengten te berekenen; het omgekeerde gebruikt lengten om een rechte hoek te bewijzen. Bouwers gebruiken het omgekeerde al millennia: een touw met knopen op $3$ , $4$ , $5$ eenheden strak getrokken geeft een perfecte rechte hoek.

Voorbeeld 58.9 (Diagonaal van een vierkant)

De diagonaal van een vierkant met zijde $1$ is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met benen $1$ en $1$ :

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,

dus $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — een getal dat geen breuk is, zoals het High School-volume zal bewijzen. Voor een vierkant met zijde $c$ is de diagonaal $c\sqrt2$ .

58.3 Oefeningen

Oefening 58.1 ★

Bereken in elke rechthoekige driehoek de schuine zijde: benen $9$ en $12$ ; benen $5$ en $12$ ; benen $8$ en $15$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.1.

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .

Oefening 58.2 ★

Een rechthoekige driehoek heeft schuine zijde $25$ en één been $7$ . Bereken het andere been.

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.2.

Been $^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ , dus het been is $\sqrt{576} = 24$ .

Oefening 58.3 ★

Bereken de diagonaal van een rechthoek met zijden $12$ cm en $9$ cm; de diagonaal van een vierkant met zijde $5$ cm (exacte waarde met een wortel, daarna afgerond op de mm).

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.3.

Rechthoek: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Vierkant: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm (Voorbeeld 58.9).

Oefening 58.4 ★

Welke driehoeken zijn rechthoekig? Motiveer met Methode 58.6:

(20,\ 21,\ 29); \qquad (7,\ 8,\ 11); \qquad (1.5,\ 2,\ 2.5).

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.4.

$(20, 21, 29)$ : $29^2 = 841$ en $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ : rechthoekig.

$(7, 8, 11)$ : $121 \neq 49 + 64 = 113$ : niet rechthoekig.

$(1.5, 2, 2.5)$ : $6.25 = 2.25 + 4$ : rechthoekig (het is $(3,4,5)$ gehalveerd).

Oefening 58.5 ★

Een poort is verstevigd met een diagonale plank. De poort is $3$ m breed en $1.6$ m hoog: hoe lang is de plank?

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.5.

Plank $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

Oefening 58.6 ★

Een gelijkbenige driehoek heeft twee zijden van $10$ cm en een basis van $12$ cm. Zijn hoogte splitst hem in twee rechthoekige driehoeken: bereken die hoogte, daarna de oppervlakte van de driehoek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.6.

De hoogte valt op het midden van de basis (gelijkbenige driehoek), dus elke halfdriehoek heeft schuine zijde $10$ en één been $6$ : $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. Oppervlakte: $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm $^2$ .

Oefening 58.7 ★★

Een televisiescherm is een $16{:}9$ -rechthoek van $88.5$ cm bij $49.8$ cm. Schermen worden verkocht op de diagonaal, in inches ( $1$ inch $= 2.54$ cm). Bereken de diagonaal in cm, daarna in inches (rond af op de dichtstbijzijnde inch).

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.7.

Diagonaal: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04} = \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. In inches: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ inches.

Oefening 58.8 ★★

Een boot vaart $24$ km oost, daarna $10$ km noord. Hoe ver is hij van zijn startpunt (hemelsbreed)? Teken eerst de situatie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.8.

De twee benen zijn $24$ km en $10$ km: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

Oefening 58.9 ★★

Een ladder van $2.5$ m moet een vensterbank op $2.4$ m boven de grond bereiken. Hoe ver van de muur moet de voet geplaatst worden? Is het antwoord verenigbaar met veiligheidsadvies (voet op ongeveer een kwart van de ladderlengte van de muur)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.9.

Voetafstand: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7$ m. Een kwart van de ladder is $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m: de gevonden $0.7$ m ligt dicht bij de geadviseiseerde plaatsing — aanvaardbaar.

Oefening 58.10 ★★

Teken op een coördinatenrooster $A(1, 2)$ en $B(5, 5)$ , en teken de rechthoekige driehoek met benen evenwijdig aan de assen waarvan de schuine zijde $[AB]$ is. Bereken $AB$ . (Deze constructie, voor willekeurige twee punten, wordt de afstandsformule van de coördinatenmeetkunde, in het High School-volume.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.10.

De benen meten $5 - 1 = 4$ (horizontaal) en $5 - 2 = 3$ (verticaal), dus

AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .

Oefening 58.11 ★★★

Vier kopieën van een rechthoekige driehoek met benen $a$ , $b$ en schuine zijde $c$ worden in de hoeken van een vierkant met zijde $a + b$ geplaatst, waarbij een scheef vierkant met zijde $c$ in het midden onbedekt blijft.

Druk de oppervlakte van het grote vierkant op twee manieren uit: rechtstreeks, en als (vier driehoeken) $+$ (scheef vierkant).
Werk $(a + b)^2$ uit (zie Stelling 57.1) en leid $c^2 = a^2 + b^2$ af: je hebt de stelling van Pythagoras bewezen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 58.11.

1. Rechtstreeks: $(a + b)^2$ . Als stukken: vier driehoeken van oppervlakte $\frac{ab}{2}$ elk, plus het scheve vierkant $c^2$ :

(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .

2. Linkerkant uitwerken: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Dus

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 = c^2 . \qed