Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

42Spiegeling in een as

Vouw een vel papier langs een lijn: elk punt landt op een ander punt, zijn spiegelbeeld. Dit vouwen is spiegeling in een as (of axiale symmetrie), de eerste meetkundige transformatie van het boek — de tweede, centrale spiegeling, komt in Hoofdstuk 52.

42.1 Spiegelbeelden

Definitie 42.1 (Spiegelbeeldpunt)

Laat $d$ een rechte zijn. Het spiegelbeeld van een punt $M$ ten opzichte van $d$ is het punt $M'$ zo dat $d$ de middelloodlijn is van $[MM']$ : het lijnstuk $[MM']$ staat loodrecht op $d$ , en $d$ snijdt het in zijn midden. Een punt op $d$ is zijn eigen spiegelbeeld.

Spiegelen ten opzichte van de rechte d: de as staat loodrecht op [MM'] en gaat door zijn midden (gelijke streepjes). Een punt P op de as beweegt niet. — Spiegelen ten opzichte van de rechte $d$ : de as staat loodrecht op $[MM']$ en gaat door zijn midden (gelijke streepjes). Een punt $P$ op de as beweegt niet.

Methode 42.2 (Een spiegelbeeldpunt construeren)

Om het spiegelbeeld $M'$ van $M$ ten opzichte van de rechte $d$ te construeren:

teken de loodlijn op $d$ door $M$ (geodriehoek); noem $H$ het punt waar die $d$ snijdt;
meet $MH$ met passer of liniaal;
plaats $M'$ op dezelfde loodlijn, aan de andere kant van $d$ , met $HM' = MH$ .

Op ruitjespapier gaat het sneller: tel de hokjes van $M$ tot de as, en tel hetzelfde aantal aan de andere kant.

Voorbeeld 42.3 (Op een rooster)

Als de as een verticale roosterlijn is en $M$ $3$ hokjes links ervan ligt, dan ligt $M'$ $3$ hokjes rechts, op dezelfde rij. Voor een diagonale as werkt het tellen langs diagonalen — altijd loodrecht op de as.

Een figuur en zijn spiegelbeeld ten opzichte van de verticale as: elk hoekpunt wordt hokje voor hokje gespiegeld, en links en rechts wisselen.

Propositie 42.4 (Wat een spiegeling behoudt)

Het spiegelbeeld van een figuur ten opzichte van een rechte is een figuur van dezelfde vorm en dezelfde grootte: lengten, hoeken, omtrekken en oppervlakten blijven allemaal behouden. Het spiegelbeeld van een lijnstuk is een lijnstuk, van een cirkel een cirkel met dezelfde straal, van een rechte een rechte.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Opmerking 42.5

Eén ding blijft niet behouden: de oriëntatie. Een gespiegelde “b” wordt een “d” — spiegelSchrift. Als het calqueren van je figuur en omdraaien van het calqueerpapier het beeld reproduceert, is de spiegeling correct.

42.2 Symmetrieassen van een figuur

Definitie 42.6 (Symmetrieas)

Een rechte $d$ is een symmetrieas van een figuur wanneer de spiegeling ten opzichte van $d$ de figuur exact op zichzelf stuurt — vouwen langs $d$ laat de twee helften samenvallen.

Symmetrieassen van bekende figuren. Let op bij de rechthoek: zijn diagonalen zijn geen symmetrieassen (vouw langs een diagonaal — de helften vallen niet samen, tenzij het een vierkant is). — Symmetrieassen van bekende figuren. Let op bij de rechthoek: zijn diagonalen zijn *geen* symmetrieassen (vouw langs een diagonaal — de helften vallen niet samen, tenzij het een vierkant is).

Voorbeeld 42.7

Symmetrieassen tellen:

gelijkbenige driehoek: $1$ (door het tophoekpunt en het midden van de basis); gelijkzijdige driehoek: $3$ ;
rechthoek: $2$ (de twee “middenlijnen”, niet de diagonalen); ruit: $2$ (zijn diagonalen!); vierkant: $4$ ;
cirkel: elke rechte door het middelpunt — oneindig veel.

Voorbeeld 42.8 (Symmetrie bewijst gelijkheden)

Waarom zijn de twee basishoeken van een gelijkbenige driehoek gelijk? Vouw de driehoek langs zijn symmetrieas: de linkerhelft landt exact op de rechterhelft, dus de linker basishoek landt op de rechter basishoek — ze moeten dezelfde maat hebben (Propositie 42.4: spiegelingen behouden hoeken).

42.3 Middelloodlijn

Definitie 42.9 (Middelloodlijn)

De middelloodlijn van een lijnstuk $[AB]$ is de rechte loodrecht op $[AB]$ door zijn midden — het is de symmetrieas die $A$ en $B$ verwisselt.

Propositie 42.10 (Gelijkheid van afstanden)

Een punt $M$ ligt op de middelloodlijn van $[AB]$ precies wanneer het op gelijke afstand van $A$ en van $B$ ligt: $MA = MB$ .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Methode 42.11 (Passerconstructie)

Om de middelloodlijn van $[AB]$ te tekenen zonder te meten:

open de passer tot meer dan de helft van $AB$ ;
teken twee bogen met middelpunt $A$ , boven en onder het lijnstuk;
met dezelfde opening, teken twee bogen met middelpunt $B$ ;
verbind de twee snijpunten: deze rechte is de middelloodlijn (elk snijpunt ligt even ver van $A$ als van $B$ ).

42.4 Oefeningen

Oefening 42.1 ★

Kopieer op ruitjespapier: een verticale as $d$ , een punt $A$ twee hokjes links ervan, een punt $B$ vijf hokjes links en één hokje hoger. Construeer hun spiegelbeelden $A'$ en $B'$ ten opzichte van $d$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.1.

$A'$ ligt twee hokjes rechts van $d$ , op dezelfde rij als $A$ ; $B'$ ligt vijf hokjes rechts, één hokje hoger — spiegelposities.

Oefening 42.2 ★

Teken een rechte $d$ en een punt $M$ op $3$ cm van $d$ (niet op ruitjespapier). Construeer het spiegelbeeld $M'$ van $M$ ten opzichte van $d$ met geodriehoek en liniaal, volgens Methode 42.2. Hoe ver liggen $M$ en $M'$ uit elkaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.2.

Loodlijn op $d$ door $M$ , voet $H$ ; daarna $M'$ aan de andere kant met $HM' = MH = 3$ cm. De afstand $MM'$ is $3 + 3 = 6$ cm.

Oefening 42.3 ★

Welke hoofdletters van het alfabet, in hun eenvoudigste vorm geschreven, hebben een verticale symmetrieas (zoals A)? Een horizontale (zoals B)? Beide?

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.3.

Verticale as (zoals A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Horizontale as (zoals B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. Beide: H, I, O, X. (Exacte antwoorden hangen licht af van hoe de letters getekend zijn.)

Oefening 42.4 ★

Hoeveel symmetrieassen heeft: een gelijkzijdige driehoek? een rechthoek (die geen vierkant is)? een ruit (geen vierkant)? een vierkant? een cirkel? Teken elke figuur met zijn assen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.4.

Gelijkzijdige driehoek: $3$ assen. Rechthoek: $2$ (de middelloodlijnen van zijn zijden). Ruit: $2$ (zijn diagonalen). Vierkant: $4$ . Cirkel: oneindig veel (elke rechte door het middelpunt).

Oefening 42.5 ★

Waar of onwaar? “De diagonalen van een rechthoek zijn symmetrieassen van de rechthoek.” Leg uit met een vouwargument of een tekening.

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.5.

Onwaar. Een (niet-vierkante) rechthoek langs een diagonaal vouwen laat de twee helften niet samenvallen: de twee driehoeken hebben dezelfde vorm maar liggen anders — probeer het met een vel papier. Alleen bij een vierkant werken de diagonalen als assen.

Oefening 42.6 ★

Een driehoek $ABC$ wordt gespiegeld ten opzichte van een rechte $d$ naar $A'B'C'$ . Gegeven $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ en de omtrek van $ABC$ is $12$ cm: geef, zonder enige constructie, $A'B'$ , $\widehat{B'A'C'}$ en de omtrek van $A'B'C'$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.6.

Spiegelingen behouden lengten, hoeken en omtrekken (Propositie 42.4): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$ , omtrek van $A'B'C' = 12$ cm.

Oefening 42.7 ★

Teken een lijnstuk $[AB]$ van $7$ cm en construeer zijn middelloodlijn met de passer (Methode 42.11). Kies een willekeurig punt $M$ erop en controleer met de liniaal dat $MA = MB$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.7.

Passerconstructie zoals in Methode 42.11. Voor elk punt $M$ op de lijn bevestigt de liniaal $MA = MB$ (Propositie 42.10).

Oefening 42.8 ★★

Twee bomen staan in de punten $A$ en $B$ van een (vlakke) tuin. Waar kan men een fontein planten zodat die op gelijke afstand van beide bomen staat? Beschrijf alle mogelijke plekken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.8.

Alle punten op gelijke afstand van $A$ en $B$ vormen de middelloodlijn van $[AB]$ (Propositie 42.10). De fontein kan overal op die lijn (binnen de tuin).

Oefening 42.9 ★★

Teken op ruitjespapier de as $d$ (een diagonaal van het rooster onder $45^\circ$ ) en een kleine L-vormige figuur aan één kant. Construeer zijn spiegelbeeld ten opzichte van $d$ . (Spiegel elk hoekpunt: voor een as van $45^\circ$ landt een punt $2$ hokjes rechts van de as $2$ hokjes erboven.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.9.

Elk hoekpunt wordt loodrecht op de as gespiegeld: voor de as van $45^\circ$ landt een punt $k$ hokjes rechts van de as $k$ hokjes erboven (en omgekeerd) — horizontale en verticale verplaatsingen worden verwisseld. Spiegel de hoekpunten één voor één, en verbind ze daarna in volgorde.

Oefening 42.10 ★★

Teken een cirkel met middelpunt $O$ , een rechte $d$ door $O$ , en een punt $M$ op de cirkel. Waar is het spiegelbeeld van $M$ ten opzichte van $d$ ? Leg uit waarom de spiegeling de cirkel op zichzelf stuurt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.10.

Het spiegelbeeld van $M$ is het tweede snijpunt van de cirkel met de loodlijn op $d$ door $M$ — het ligt op de cirkel. Reden: de spiegeling behoudt afstanden en houdt $O$ vast (dat op $d$ ligt), dus het beeld van elk punt op afstand $r$ van $O$ ligt weer op afstand $r$ van $O$ : de cirkel wordt op zichzelf gestuurd.

Oefening 42.11 ★★

Gebruik de eigenschap van gelijke afstanden (Propositie 42.10) om uit te leggen waarom de twee snijpunten van de bogen in Methode 42.11 echt op de middelloodlijn van $[AB]$ liggen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.11.

Elk snijpunt $P$ is getekend met dezelfde passeropening $\rho$ vanuit $A$ en vanuit $B$ : dus $PA = \rho = PB$ . Door Propositie 42.10 ligt een punt op gelijke afstand van $A$ en $B$ op de middelloodlijn van $[AB]$ ; twee zulke punten bepalen de rechte.

Oefening 42.12 ★★★

Een biljartbal in punt $A$ moet van een rechte muur $d$ stuiten en punt $B$ bereiken (beide aan dezelfde kant van de muur). Spiegel $B$ ten opzichte van $d$ naar $B'$ , en teken het lijnstuk $[AB']$ . Leg uit waarom het beste stuitpunt is waar $[AB']$ de muur snijdt. (Idee: het pad $A \to P \to B$ heeft dezelfde lengte als $A \to P \to B'$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.12.

Voor elk stuitpunt $P$ op de muur is $PB = PB'$ (spiegeling ten opzichte van $d$ behoudt afstanden), dus de padlengte $AP + PB = AP + PB'$ . De gebroken lijn $A \to P \to B'$ is het kortst wanneer ze recht is, d.w.z. wanneer $P$ op het lijnstuk $[AB']$ ligt. Dus het beste stuitpunt is het snijpunt van $[AB']$ met de muur.