Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

51Driehoeken en hoeken

Kun je een driehoek tekenen met zijden $10$ , $3$ en $2$ ? Met hoeken $80^\circ$ , $70^\circ$ en $50^\circ$ ? Dit hoofdstuk beantwoordt beide vragen met twee van de nuttigste feiten van de vlakke meetkunde: de driehoeksongelijkheid en de hoekensom van $180^\circ$ — plus de hoekwoordenschat die bij snijdende en evenwijdige lijnen hoort.

51.1 Hoeken rond snijdende lijnen

Definitie 51.1 (Hoekparen)

Twee hoeken zijn complementair wanneer hun maten optellen tot $90^\circ$ , supplementair wanneer ze optellen tot $180^\circ$ .
Wanneer twee lijnen snijden, heten de hoeken die elkaar over het snijpunt aankijken overstaande hoeken.
Wanneer een lijn twee andere lijnen snijdt, heten hoeken in dezelfde positie bij elke snijding overeenkomstige hoeken; hoeken tussen de twee lijnen aan tegengestelde kanten van de snijdende lijn heten wisselhoeken.

Stelling 51.2 (Hoekgelijkheden)

Overstaande hoeken zijn gelijk.
Als twee lijnen evenwijdig zijn, zijn overeenkomstige hoeken gelijk, en wisselhoeken gelijk. Omgekeerd dwingen gelijke overeenkomstige (of wissel)hoeken de lijnen evenwijdig te zijn.

Bewijs van 1. De twee hoeken $\widehat{1}$ en $\widehat{2}$ aan één kant van een lijn vormen een gestrekte hoek: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$ . De overstaande hoek $\widehat 3$ van $\widehat 1$ voldoet ook aan $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (zelfde reden). Dus $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$ . Punt 2 is toegegeven op dit niveau. ∎

Links: overstaande hoeken 1 = 3 (elk is supplementair aan 2). Rechts: evenwijdige lijnen gesneden door een derde — de overeenkomstige hoeken a en b zijn gelijk. — Links: overstaande hoeken $\widehat 1 = \widehat 3$ (elk is supplementair aan $\widehat 2$ ). Rechts: evenwijdige lijnen gesneden door een derde — de overeenkomstige hoeken $\widehat a$ en $\widehat b$ zijn gelijk.

51.2 De som van de hoeken van een driehoek

Stelling 51.3 (Hoekensom)

In elke driehoek tellen de drie hoeken op tot $180^\circ$ .

Bewijs. Laat $ABC$ een driehoek zijn. Teken de rechte door $A$ evenwijdig aan $(BC)$ . In het hoekpunt $A$ liggen drie hoeken langs deze evenwijdige en vormen een gestrekte hoek, $180^\circ$ : de middelste is $\widehat{A}$ , en de twee buitenste zijn wisselhoeken met $\widehat B$ en $\widehat C$ (evenwijdige lijnen!), dus ze zijn gelijk aan $\widehat B$ en $\widehat C$ . Dus $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$ . ∎

Het bewijs in één plaatje: langs de evenwijdige aan (BC) door A vullen de hoeken B, A, C (wisselhoeken in overeenkomende kleuren) een gestrekte hoek. — Het bewijs in één plaatje: langs de evenwijdige aan $(BC)$ door $A$ vullen de hoeken $\widehat B$ , $\widehat A$ , $\widehat C$ (wisselhoeken in overeenkomende kleuren) een gestrekte hoek.

Voorbeeld 51.4

Twee hoeken van een driehoek meten $67^\circ$ en $58^\circ$ . De derde meet

180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .

Speciale gevallen om te onthouden: elke hoek van een gelijkzijdige driehoek is $180 \div 3 = 60^\circ$ ; in een rechthoekige driehoek zijn de twee scherpe hoeken complementair (ze tellen op tot $180 - 90 = 90^\circ$ ); de basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk, dus elk is $\frac{180 - \text{tophoek}}{2}$ .

Voorbeeld 51.5 (Geen driehoek met twee rechte hoeken)

Een driehoek met twee hoeken van $90^\circ$ zou al $180^\circ$ verbruiken, met $0^\circ$ over voor de derde — onmogelijk. De hoekensom verbiedt meteen veel driehoeken.

51.3 De driehoeksongelijkheid

Stelling 51.6 (Driehoeksongelijkheid)

In elke driehoek is elke zijde korter dan de som van de twee andere: voor een driehoek met zijden $a$ , $b$ , $c$ ,

a < b + c .

Omgekeerd kunnen drie lengten waarvan de grootste kleiner is dan de som van de twee andere altijd een driehoek vormen. Als de grootste gelijk is aan de som van de andere, is de “driehoek” plat: de drie hoekpunten zijn gealigneerd.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 51.7

Kunnen de zijden $10$ , $3$ en $2$ zijn? Test de grootste: is $10 < 3 + 2 = 5$ ? Nee — zo’n driehoek bestaat niet. De passer toont waarom: bogen met stralen $3$ en $2$ getekend vanuit de twee uiteinden van een lijnstuk van lengte $10$ ontmoeten elkaar nooit.

Zijden $7$ , $5$ en $4$ ? Grootste: $7 < 5 + 4 = 9$ : ja, de driehoek bestaat (de grootste zijde controleren volstaat).

Proberen een driehoek te bouwen met zijden 10, 3, 2: de twee passerbogen blijven hopeloos ver uit elkaar, omdat 3 + 2 < 10. — Proberen een driehoek te bouwen met zijden $10$ , $3$ , $2$ : de twee passerbogen blijven hopeloos ver uit elkaar, omdat $3 + 2 < 10$ .

Methode 51.8 (Bestaan en constructie van een driehoek)

Gegeven drie lengten:

vergelijk de grootste met de som van de twee andere; als die niet strikt kleiner is, stop: geen driehoek;
construeer anders zoals in Methode 41.2 (basislijnstuk, twee passerbogen);
na elke constructie uit hoeken, controleer mentaal dat de gegeven hoeken minder dan $180^\circ$ sommeren — met de derde hoek exact $180^\circ$ makend.

51.4 Oefeningen

Oefening 51.1 ★

Geef het complement (tot $90^\circ$ ) en het supplement (tot $180^\circ$ ) van: $30^\circ$ ; $45^\circ$ ; $72^\circ$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.1.

Complementen: $60^\circ$ ; $45^\circ$ ; $18^\circ$ . Supplementen: $150^\circ$ ; $135^\circ$ ; $108^\circ$ .

Oefening 51.2 ★

Twee lijnen snijden; één van de vier hoeken meet $35^\circ$ . Geef de maten van de drie andere, met een reden voor elk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.2.

De overstaande hoek meet ook $35^\circ$ (Stelling 51.2); de twee overige hoeken zijn supplementair eraan: $180 - 35 = 145^\circ$ elk.

Oefening 51.3 ★

Bereken de derde hoek van een driehoek waarvan de eerste twee hoeken meten: (a) $40^\circ$ en $60^\circ$ ; (b) $90^\circ$ en $28^\circ$ ; (c) $75^\circ$ en $75^\circ$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.3.

(a) $180 - 100 = 80^\circ$ . (b) $180 - 118 = 62^\circ$ . (c) $180 - 150 = 30^\circ$ .

Oefening 51.4 ★

Een gelijkbenige driehoek heeft tophoek $40^\circ$ . Bereken zijn twee basishoeken. Een andere gelijkbenige driehoek heeft een basishoek van $70^\circ$ : bereken zijn tophoek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.4.

Tophoek $40^\circ$ : de basishoeken delen $180 - 40 = 140^\circ$ gelijk: $70^\circ$ elk.

Basishoek $70^\circ$ : de twee basishoeken zijn gelijk, dus de tophoek is $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$ .

Oefening 51.5 ★

Welke van deze drietallen kunnen de zijden van een driehoek zijn? Motiveer met de driehoeksongelijkheid (grootste zijde!):

(6,\ 8,\ 12); \qquad (5,\ 5,\ 11); \qquad (4,\ 9,\ 13); \qquad (7,\ 7,\ 7).

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.5.

$(6, 8, 12)$ : $12 < 6 + 8 = 14$ : driehoek bestaat.

$(5, 5, 11)$ : $11 > 5 + 5 = 10$ : onmogelijk.

$(4, 9, 13)$ : $13 = 4 + 9$ : platte “driehoek” — de punten zijn gealigneerd, geen echte driehoek.

$(7, 7, 7)$ : $7 < 14$ : gelijkzijdige driehoek.

Oefening 51.6 ★

Een driehoek heeft hoeken $x$ , $2x$ en $3x$ . Vind $x$ en de drie hoeken. Wat voor driehoek is het?

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.6.

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$ , dus $x = 30^\circ$ : de hoeken zijn $30^\circ$ , $60^\circ$ en $90^\circ$ — een rechthoekige driehoek.

Oefening 51.7 ★

Construeer een driehoek $ABC$ met $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ en $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (gradenboog in $B$ en in $C$ ). Voorspel vóór de constructie de maat van $\widehat{BAC}$ , en controleer op je figuur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.7.

Voorspelling: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$ ; de gradenboog op de voltooide figuur bevestigt het.

Oefening 51.8 ★★

Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, die een hoek van $54^\circ$ maakt bij de eerste snijding (tussen de snijdende lijn en één evenwijdige). Teken de situatie en geef de maten van alle acht gevormde hoeken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.8.

Bij de eerste snijding zijn de vier hoeken $54^\circ$ , $126^\circ$ , $54^\circ$ , $126^\circ$ (overstaande paren en supplementen). De evenwijdige lijn reproduceert dezelfde vier maten bij de tweede snijding (overeenkomstige hoeken): acht hoeken in totaal, vier van $54^\circ$ en vier van $126^\circ$ .

Oefening 51.9 ★★

Twee zijden van een driehoek meten $8$ cm en $3$ cm. Tussen welke twee waarden moet de derde zijde liggen? Geef een gehele lengte die werkt en één die niet werkt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.9.

Laat $c$ de derde zijde zijn. De driehoeksongelijkheid eist $c < 8 + 3 = 11$ en ook $8 < c + 3$ , d.w.z. $c > 5$ . Dus $5 < c < 11$ : de lengte $7$ cm werkt; de lengte $12$ cm (of $4$ cm) niet.

Oefening 51.10 ★★

In een driehoek $ABC$ is $\widehat A = 2\widehat B$ en $\widehat C = 90^\circ$ . Bereken $\widehat A$ en $\widehat B$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.10.

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$ , en $\widehat A = 2\widehat B$ , dus $3\widehat B = 90^\circ$ : $\widehat B = 30^\circ$ en $\widehat A = 60^\circ$ .

Oefening 51.11 ★★★

De drie hoeken van elke vierhoek $ABCD$ kunnen bestudeerd worden door hem langs een diagonaal in twee driehoeken te snijden. Gebruik dit om te bewijzen dat de vier hoeken van elke vierhoek optellen tot $360^\circ$ , en leid de hoekensom van een vijfhoek af (vijf zijden).

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.11.

De diagonaal $[AC]$ splitst $ABCD$ in driehoeken $ABC$ en $ACD$ . De vier hoeken van de vierhoek zijn precies de zes hoeken van de twee driehoeken, hergroepeerd (de hoeken in $A$ en in $C$ worden elk in twee gedeeld). Totaal: $180 + 180 = 360^\circ$ . Een vijfhoek splitst vanuit één hoekpunt in drie driehoeken: $3 \times 180 = 540^\circ$ .