Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

51Driehoeken en hoeken

Kun je een driehoek tekenen met zijden $10$ , $3$ en $2$ ? En met hoeken $80^\circ$ , $70^\circ$ en $50^\circ$ ? Dit hoofdstuk antwoordt op beide vragen met twee van de nuttigste feiten van de vlakke meetkunde: de driehoeksongelijkheid en de hoekensom van $180^\circ$ — plus de woorden voor hoeken die bij snijdende en parallelle lijnen horen.

51.1 Hoeken bij snijdende lijnen

Definitie 51.1 (Paren hoeken)

Twee hoeken zijn complementair als hun maten samen $90^\circ$ zijn, en supplementair als ze samen $180^\circ$ zijn.
Als twee lijnen elkaar snijden, heten de hoeken die dwars over het snijpunt tegenover elkaar liggen overstaande hoeken.
Als een lijn twee andere lijnen snijdt, heten hoeken die bij elk snijpunt op dezelfde plaats liggen overeenkomstige hoeken; hoeken tussen de twee lijnen aan weerszijden van de snijdende lijn heten verwisselende hoeken.

Stelling 51.2 (Gelijke hoeken)

Overstaande hoeken zijn gelijk.
Zijn twee lijnen parallel, dan zijn overeenkomstige hoeken gelijk, en verwisselende hoeken ook. Omgekeerd dwingen gelijke overeenkomstige (of verwisselende) hoeken de lijnen parallel te zijn.

Bewijs van 1. De twee hoeken $\widehat{1}$ en $\widehat{2}$ aan één kant van een lijn vormen een gestrekte hoek: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$ . De hoek $\widehat 3$ die tegenover $\widehat 1$ ligt, voldoet om dezelfde reden aan $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ . Dus is $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$ . Punt 2 nemen we op dit niveau zonder bewijs aan. ∎

Links: overstaande hoeken 1 = 3 (elk is supplementair met 2). Rechts: parallelle lijnen gesneden door een derde lijn — de overeenkomstige hoeken a en b zijn gelijk. — Links: overstaande hoeken $\widehat 1 = \widehat 3$ (elk is supplementair met $\widehat 2$ ). Rechts: parallelle lijnen gesneden door een derde lijn — de overeenkomstige hoeken $\widehat a$ en $\widehat b$ zijn gelijk.

51.2 De som van de hoeken van een driehoek

Stelling 51.3 (Hoekensom)

In elke driehoek zijn de drie hoeken samen $180^\circ$ .

Bewijs. Zij $ABC$ een driehoek. Teken door $A$ de lijn die parallel is aan $(BC)$ . In het hoekpunt $A$ liggen drie hoeken op een rij langs die parallel en vormen ze een gestrekte hoek, $180^\circ$ : de middelste is $\widehat{A}$ , en de twee buitenste zijn verwisselende hoeken met $\widehat B$ en $\widehat C$ (parallelle lijnen!) en dus daaraan gelijk. Bijgevolg is $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$ . ∎

Het bewijs in één plaatje: langs de parallel aan (BC) door A vullen de hoeken B, A en C (verwisselende hoeken in bijpassende kleuren) een gestrekte hoek. — Het bewijs in één plaatje: langs de parallel aan $(BC)$ door $A$ vullen de hoeken $\widehat B$ , $\widehat A$ en $\widehat C$ (verwisselende hoeken in bijpassende kleuren) een gestrekte hoek.

Voorbeeld 51.4

Twee hoeken van een driehoek meten $67^\circ$ en $58^\circ$ . De derde meet

180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .

Bijzondere gevallen die het onthouden waard zijn: elke hoek van een gelijkzijdige driehoek is $180 \div 3 = 60^\circ$ ; in een rechthoekige driehoek zijn de twee scherpe hoeken complementair (ze zijn samen $180 - 90 = 90^\circ$ ); de basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk, dus is elk $\frac{180 - \text{tophoek}}{2}$ .

Voorbeeld 51.5 (Geen driehoek met twee rechte hoeken)

Een driehoek met twee hoeken van $90^\circ$ zou al $180^\circ$ opgebruiken en $0^\circ$ voor de derde overlaten — onmogelijk. De hoekensom verbiedt in één keer heel veel driehoeken.

51.3 De driehoeksongelijkheid

Stelling 51.6 (Driehoeksongelijkheid)

In elke driehoek is elke zijde korter dan de som van de twee andere: voor een driehoek met zijden $a$ , $b$ en $c$ geldt

a < b + c .

Omgekeerd kun je van drie lengtes waarvan de grootste kleiner is dan de som van de twee andere, altijd een driehoek maken. Is de grootste gelijk aan de som van de andere, dan is de “driehoek” plat: de drie hoekpunten liggen op één lijn.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 51.7

Kunnen de zijden $10$ , $3$ en $2$ zijn? Test de grootste: is $10 < 3 + 2 = 5$ ? Nee — zo’n driehoek bestaat niet. De passer laat zien waarom: bogen met radius $3$ en $2$ , getekend vanuit de uiteinden van een lijnstuk van $10$ , ontmoeten elkaar nooit.

Zijden $7$ , $5$ en $4$ ? De grootste: $7 < 5 + 4 = 9$ : ja, de driehoek bestaat (de grootste zijde controleren is genoeg).

Een poging om een driehoek met zijden 10, 3 en 2 te bouwen: de twee passerbogen blijven hopeloos ver van elkaar, omdat 3 + 2 < 10. — Een poging om een driehoek met zijden $10$ , $3$ en $2$ te bouwen: de twee passerbogen blijven hopeloos ver van elkaar, omdat $3 + 2 < 10$ .

Methode 51.8 (Bestaan en constructie van een driehoek)

Bij drie gegeven lengtes:

vergelijk de grootste met de som van de twee andere; is ze niet strikt kleiner, stop dan: geen driehoek;
construeer anders zoals in Methode 41.2 (basislijnstuk, twee passerbogen);
ga na een constructie uit hoeken in gedachten na dat de gegeven hoeken samen minder dan $180^\circ$ zijn — en dat de derde hoek precies $180^\circ$ vol maakt.

51.4 Oefeningen

Oefening 51.1 ★

Geef het complement (tot $90^\circ$ ) en het supplement (tot $180^\circ$ ) van: $30^\circ$ ; $45^\circ$ ; $72^\circ$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.1.

Complementen: $60^\circ$ ; $45^\circ$ ; $18^\circ$ . Supplementen: $150^\circ$ ; $135^\circ$ ; $108^\circ$ .

Oefening 51.2 ★

Twee lijnen snijden elkaar; een van de vier hoeken meet $35^\circ$ . Geef de maten van de drie andere, met bij elk een reden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.2.

De overstaande hoek meet ook $35^\circ$ (Stelling 51.2); de twee overige hoeken zijn er supplementair mee: elk $180 - 35 = 145^\circ$ .

Oefening 51.3 ★

Reken de derde hoek uit van een driehoek waarvan de eerste twee hoeken meten: (a) $40^\circ$ en $60^\circ$ ; (b) $90^\circ$ en $28^\circ$ ; (c) $75^\circ$ en $75^\circ$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.3.

(a) $180 - 100 = 80^\circ$ . (b) $180 - 118 = 62^\circ$ . (c) $180 - 150 = 30^\circ$ .

Oefening 51.4 ★

Een gelijkbenige driehoek heeft een tophoek van $40^\circ$ . Reken zijn twee basishoeken uit. Een andere gelijkbenige driehoek heeft een basishoek van $70^\circ$ : reken zijn tophoek uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.4.

Tophoek $40^\circ$ : de basishoeken delen $180 - 40 = 140^\circ$ gelijk: elk $70^\circ$ .

Basishoek $70^\circ$ : de twee basishoeken zijn gelijk, dus is de tophoek $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$ .

Oefening 51.5 ★

Welke van deze drietallen kunnen de zijden van een driehoek zijn? Verantwoord het met de driehoeksongelijkheid (de grootste zijde!):

(6,\ 8,\ 12); \qquad (5,\ 5,\ 11); \qquad (4,\ 9,\ 13); \qquad (7,\ 7,\ 7).

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.5.

$(6, 8, 12)$ : $12 < 6 + 8 = 14$ : de driehoek bestaat.

$(5, 5, 11)$ : $11 > 5 + 5 = 10$ : onmogelijk.

$(4, 9, 13)$ : $13 = 4 + 9$ : een platte “driehoek” — de punten liggen op één lijn, dus geen echte driehoek.

$(7, 7, 7)$ : $7 < 14$ : een gelijkzijdige driehoek.

Oefening 51.6 ★

Een driehoek heeft hoeken $x$ , $2x$ en $3x$ . Zoek $x$ en de drie hoeken. Wat voor driehoek is het?

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.6.

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$ , dus $x = 30^\circ$ : de hoeken zijn $30^\circ$ , $60^\circ$ en $90^\circ$ — een rechthoekige driehoek.

Oefening 51.7 ★

Construeer een driehoek $ABC$ met $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ en $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (gradenboog in $B$ en in $C$ ). Voorspel voor het construeren de maat van $\widehat{BAC}$ , en controleer die daarna op je figuur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.7.

Voorspelling: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$ ; de gradenboog op de afgewerkte figuur bevestigt het.

Oefening 51.8 ★★

Twee parallelle lijnen worden door een derde lijn gesneden, met bij het eerste snijpunt een hoek van $54^\circ$ (tussen de snijdende lijn en een van de parallellen). Teken de situatie en geef de maten van alle acht hoeken die ontstaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.8.

Bij het eerste snijpunt zijn de vier hoeken $54^\circ$ , $126^\circ$ , $54^\circ$ en $126^\circ$ (paren overstaande hoeken en supplementen). De parallelle lijn herhaalt dezelfde vier maten bij het tweede snijpunt (overeenkomstige hoeken): acht hoeken in totaal, vier van $54^\circ$ en vier van $126^\circ$ .

Oefening 51.9 ★★

Twee zijden van een driehoek meten $8$ cm en $3$ cm. Tussen welke twee waarden moet de derde zijde liggen? Geef een hele lengte die werkt en een die niet werkt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.9.

Zij $c$ de derde zijde. De driehoeksongelijkheid eist $c < 8 + 3 = 11$ en ook $8 < c + 3$ , dus $c > 5$ . Bijgevolg $5 < c < 11$ : de lengte $7$ cm werkt; de lengte $12$ cm (of $4$ cm) niet.

Oefening 51.10 ★★

In een driehoek $ABC$ is $\widehat A = 2\widehat B$ en $\widehat C = 90^\circ$ . Reken $\widehat A$ en $\widehat B$ uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.10.

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$ , en $\widehat A = 2\widehat B$ , dus $3\widehat B = 90^\circ$ : $\widehat B = 30^\circ$ en $\widehat A = 60^\circ$ .

Oefening 51.11 ★★★

De hoeken van elke vierhoek $ABCD$ kun je onderzoeken door hem langs een diagonaal in twee driehoeken te knippen. Bewijs daarmee dat de vier hoeken van elke vierhoek samen $360^\circ$ zijn, en leid de hoekensom van een vijfhoek (vijf zijden) af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 51.11.

De diagonaal $[AC]$ verdeelt $ABCD$ in de driehoeken $ABC$ en $ACD$ . De vier hoeken van de vierhoek zijn precies de zes hoeken van de twee driehoeken, anders gegroepeerd (de hoeken in $A$ en in $C$ zijn elk in twee gesplitst). Totaal: $180 + 180 = 360^\circ$ . Een vijfhoek valt vanuit één hoekpunt in drie driehoeken uiteen: $3 \times 180 = 540^\circ$ .

51.5 Opgave: een rondje om het blok

Probleem 51.1

Weekendopgave — de hoeken van elke veelhoek: $(n-2) \times 180^\circ$ binnenin, altijd $360^\circ$ draaien buitenom, en waarom maar drie regelmatige figuren een vloer betegelen

Oefening 51.11 knipte een vierhoek in twee driehoeken en vond $360^\circ$ . Deze opgave duwt dat idee door naar veelhoeken met een willekeurig aantal zijden, ontdekt daarna een tweede, volstrekt ander bewijs — door om de figuur heen te lopen en de draaiingen op te tellen — en eindigt op de vloer van je badkamer: van alle regelmatige veelhoeken kunnen er precies drie een vlak betegelen zonder gaten of overlap, en de bijen hebben de hunne gekozen.

Deel I — De hoeken binnenin.

Teken vanuit één hoekpunt van een zeshoek (zes zijden) alle diagonalen die uit dat hoekpunt vertrekken. In hoeveel driehoeken is de zeshoek verdeeld, en wat is de som van al haar binnenhoeken (Stelling 51.3)?
Algemener: hoeveel driehoeken levert de bundel diagonalen uit één hoekpunt van een veelhoek met $n$ zijden op? Leid de formule voor de som van de binnenhoeken af, en controleer haar voor $n = 3$ , $4$ , $5$ en $6$ .
Reken de som van de binnenhoeken uit van een tienhoek ( $10$ zijden) en van een twaalfhoek ( $12$ zijden).
In een regelmatige veelhoek zijn alle binnenhoeken gelijk. Reken de binnenhoek uit van de gelijkzijdige driehoek, het vierkant, en de regelmatige vijfhoek, zeshoek en achthoek.
Leg zonder formule uit waarom de hoekensom precies $180^\circ$ groeit telkens als de veelhoek één hoekpunt krijgt.

Deel II — Het rondje om het blok. Loop langs de rand van een veelhoekig huizenblok, altijd vooruit. In elke hoek draai je over een zekere hoek — de buitenhoek van die hoek; het draaien gaat door tot je terug bent bij je startpunt, in je startrichting.

Over hoeveel draai je in een hoek waarvan de binnenhoek $\widehat A$ is? (Binnenhoek en buitenhoek zijn supplementair.) Reken de drie draaiingen uit voor een driehoek met hoeken $40^\circ$ , $60^\circ$ en $80^\circ$ .
Tel de drie draaiingen van vraag 6 op. Welk feit over de volle cirkel merk je op?
Leg uit waarom de draaiingen van een volledig rondje om elke veelhoek — drie zijden of dertig — altijd precies $360^\circ$ zijn. (Wat heeft je neus gedaan, alle draaiingen samen, als je terugkomt?)
Leid de formule voor de binnenhoeken een tweede keer af: in elk van de $n$ hoeken is binnenhoek $+$ draaiing $= 180^\circ$ ; tel over alle hoeken op en gebruik vraag 8.
In een regelmatige veelhoek zijn alle draaiingen gelijk, dus is elke buitenhoek $\frac{360^\circ}{n}$ . Antwoord daarmee onmiddellijk: welke regelmatige veelhoek heeft binnenhoeken van $150^\circ$ ? En waarom heeft geen regelmatige veelhoek binnenhoeken van $155^\circ$ ?

Deel III — De vloer betegelen. Om elk punt van een betegelde vloer moeten de hoeken van de tegels die daar samenkomen precies $360^\circ$ zijn — geen gat, geen overlap (Probleem 40.1).

Voor de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de regelmatige zeshoek: hoeveel exemplaren komen er in een hoekpunt van de betegeling samen? Controleer elke keer de $360^\circ$ .
Laat zien dat regelmatige vijfhoeken de vloer niet kunnen betegelen: hoeveel zijn drie hoeken samen, en hoeveel zouden vier hoeken zijn?
Laat zien dat geen regelmatige veelhoek met meer dan zes zijden kan betegelen: in elke hoek moeten minstens drie tegels samenkomen (elke hoek is kleiner dan $180^\circ$ ), en wat gebeurt er met drie hoeken van $135^\circ$ of meer? Besluit met de volledige lijst regelmatige betegelaars.
Badkamervloeren mengen vaak regelmatige achthoeken met kleine vierkanten. Ga na dat deze hoek werkt: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Een andere klassieker mengt in elke hoek een vierkant, een regelmatige zeshoek en een regelmatige twaalfhoek: ga die ook na (de binnenhoek van de twaalfhoek volgt uit de methode van vraag 10).
De keuze van de bijen: de cellen van een honingraat zijn regelmatige zeshoeken. Ga hun hoeken na ( $3$ hoeken), en leg in één zin uit — met hulp van de ontdekking van Dido (Probleem 43.1) — waarom van de drie mogelijke regelmatige tegels de zeshoek het goedkoopst is in was voor de honing die ze bevat.

Oplossing

Oplossing van Probleem 51.1.

1. De diagonalen uit één hoekpunt van een zeshoek verdelen hem in $4$ driehoeken, dus zijn de binnenhoeken samen $4 \times 180 = 720^\circ$ .

2. Uit één hoekpunt gaan diagonalen naar alle hoekpunten behalve zichzelf en zijn twee buren: $n - 3$ diagonalen, die de veelhoek in $n - 2$ driehoeken verdelen. Elke binnenhoek van de veelhoek wordt over de driehoeken verdeeld, dus is de som

(n - 2) \times 180^\circ .

Controle: $n = 3$ : $180^\circ$ ; $n = 4$ : $360^\circ$ (Oefening 51.11); $n = 5$ : $540^\circ$ ; $n = 6$ : $720^\circ$ .

3. Tienhoek: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$ . Twaalfhoek: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$ .

4. Door $n$ delen: driehoek $60^\circ$ ; vierkant $90^\circ$ ; vijfhoek $\frac{540}{5} = 108^\circ$ ; zeshoek $\frac{720}{6} = 120^\circ$ ; achthoek $\frac{1080}{8} = 135^\circ$ .

5. Een hoekpunt erbij voegt één driehoek aan de bundel toe: de nieuwe veelhoek heeft $n - 1$ driehoeken nodig waar de oude er $n - 2$ nodig had. Eén driehoek erbij, dus $180^\circ$ erbij.

6. De wandelaar draait over het supplement: $180^\circ - \widehat A$ . Voor de driehoek $40$ – $60$ – $80$ zijn de draaiingen $140^\circ$ , $120^\circ$ en $100^\circ$ .

7. $140 + 120 + 100 = 360^\circ$ : één volle draai.

8. Over de hele wandeling begint en eindigt je neus in dezelfde richting, nadat hij precies één keer is rondgegaan: al het draaien in de hoeken samen is één volledige omwenteling, $360^\circ$ — ongeacht het aantal hoeken en de vorm van het blok. (Het feit is prachtig onafhankelijk van $n$ .)

9. In elke hoek is binnenhoek $+$ draaiing $= 180^\circ$ . Optellen over de $n$ hoeken:

\text{(som van de binnenhoeken)} + 360^\circ = 180^\circ \times n, \qquad\text{dus}\qquad \text{som van de binnenhoeken} = (n - 2) \times 180^\circ

— de formule van vraag 2, opnieuw bewezen, al wandelend.

10. Een binnenhoek van $150^\circ$ betekent draaiingen van $30^\circ$ , en $n = \frac{360}{30} = 12$ : de regelmatige twaalfhoek. Een binnenhoek van $155^\circ$ zou draaiingen van $25^\circ$ betekenen, en $\frac{360}{25} = 14.4$ is geen heel aantal hoeken: zo’n regelmatige veelhoek bestaat niet.

11. Driehoek ( $60^\circ$ ): er komen $6$ samen, $6 \times 60 = 360$ . Vierkant ( $90^\circ$ ): $4$ . Zeshoek ( $120^\circ$ ): $3$ , met $3 \times 120 = 360$ . Alle drie sluiten perfect.

12. Drie hoeken van een vijfhoek: $3 \times 108 = 324^\circ$ — er blijft een gat van $36^\circ$ . Vier hoeken: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — overlap. Geen van beide werkt: regelmatige vijfhoeken kunnen het vlak niet betegelen.

13. In een betegelingshoek komen minstens $3$ tegels samen. Een regelmatige veelhoek met meer dan zes zijden heeft binnenhoeken groter dan $120^\circ$ (vraag 4 en het groeien van de hoek met $n$ ), dus zijn drie hoeken meer dan $3 \times 120 = 360^\circ$ : overlap, onmogelijk. Bij precies zes zijden werkt $3 \times 120 = 360$ ; onder de zes regelen de vragen 11 en 12 de gevallen. De volledige lijst regelmatige betegelaars: driehoek, vierkant, zeshoek.

14. Achthoeken en vierkanten: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$ : de hoek sluit — het klassieke straatpatroon. Vierkant, zeshoek, twaalfhoek: de draaiing van de twaalfhoek is $\frac{360}{12} = 30^\circ$ , dus is haar binnenhoek $150^\circ$ , en $90 + 120 + 150 = 360^\circ$ : dat werkt ook.

15. De hoeken van de honingraat: $3 \times 120 = 360^\circ$ , perfect. Van de tegels driehoek, vierkant en zeshoek met dezelfde oppervlakte heeft de zeshoek de kortste rand — ze ligt van de drie het dichtst bij de cirkel van Dido (Probleem 43.1) — dus omsluiten zeshoekige cellen dezelfde honing met de minste was: de bijen betegelen als meetkundigen.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Paren hoeken

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst