Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

67Lineaire en affiene functies

“Drie kilogram kost driemaal zoveel als één”: dat is evenredigheid, de eenvoudigste manier waarop twee grootheden gerelateerd kunnen zijn. Lineaire functies zijn evenredigheid in de taal van functies; affiene functies voegen een vast startbedrag toe. Hun grafieken zijn rechte lijnen, en die lijnen lezen is de vaardigheid die dit hoofdstuk bouwt.

67.1 Evenredigheid en lineaire functies

Definitie 67.1 (Lineaire functie)

Een lineaire functie vermenigvuldigt elk getal met een vast getal $a$ :

f(x) = a x .

Het getal $a$ is de coëfficiënt van $f$ . Twee grootheden zijn evenredig precies wanneer de ene een lineaire functie van de andere is.

Voorbeeld 67.2

Als appels $3$ per kilogram kosten, is de prijs van $x$ kilogram $f(x) = 3x$ : tweemaal zoveel kopen kost tweemaal zoveel, en de prijs van $2.5$ kg is $f(2.5) = 7.5$ .

Omgekeerd, als een lineaire functie voldoet aan $f(4) = 10$ , dan $a = \frac{10}{4} = 2.5$ en $f(x) = 2.5x$ : één waarde bepaalt een lineaire functie volledig.

Propositie 67.3 (Grafiek van een lineaire functie)

De grafiek van $f(x) = ax$ is een rechte lijn door de oorsprong. Omgekeerd is elke niet-verticale lijn door de oorsprong de grafiek van een lineaire functie.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Twee lineaire functies: beide grafieken gaan door de oorsprong; de coëfficiënt a is de hoogte bereikt bij x = 1. — Twee lineaire functies: beide grafieken gaan door de oorsprong; de coëfficiënt $a$ is de hoogte bereikt bij $x = 1$ .

67.2 Affiene functies

Definitie 67.4 (Affiene functie)

Een affiene functie heeft de vorm

f(x) = a x + b ,

waarbij $a$ en $b$ vaste getallen zijn. Lineaire functies zijn het speciale geval $b = 0$ ; constante functies het geval $a = 0$ .

Voorbeeld 67.5

Een sportschool rekent een inschrijfgeld van $20$ , daarna $5$ per bezoek: de totale kost van $x$ bezoeken is $f(x) = 5x + 20$ . De kost is niet evenredig met het aantal bezoeken (10 bezoeken kosten niet tweemaal zoveel als 5), maar elk extra bezoek voegt hetzelfde bedrag toe, $5$ .

Propositie 67.6 (Grafiek van een affiene functie)

De grafiek van $f(x) = ax + b$ is een rechte lijn:

$b = f(0)$ is het $y$ -snijpunt: de lijn snijdt de verticale as in $(0, b)$ ;
$a$ is de richtingscoëfficiënt: één eenheid naar rechts bewegen verplaatst $a$ eenheden omhoog (omlaag als $a < 0$ ); de functie is stijgend wanneer $a > 0$ , dalend wanneer $a < 0$ ;
voor elke twee inputs $u \neq v$ , $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

Bewijs van het laatste punt. $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$ ; deel door $v - u$ . De rest is toegegeven op dit niveau (het High School-volume geeft een volledige behandeling van lijnen en hun vergelijkingen). ∎

y = ax + b lezen op haar grafiek: de lijn snijdt de y-as op hoogte b, en klimt a voor elke eenheidsstap naar rechts (hier a = 1, b = 1). — $y = ax + b$ lezen op haar grafiek: de lijn snijdt de $y$ -as op hoogte $b$ , en klimt $a$ voor elke eenheidsstap naar rechts (hier $a = 1$ , $b = 1$ ).

Methode 67.7 (Een affiene functie vinden uit twee waarden)

Gegeven $f(u)$ en $f(v)$ met $u \neq v$ :

bereken de richtingscoëfficiënt $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ;
vul één van de twee bekende waarden in in $f(x) = ax + b$ om $b$ te vinden;
controleer met de andere waarde.

Voorbeeld 67.8

Vind de affiene functie met $f(2) = 7$ en $f(5) = 16$ .

a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,

dan geeft $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ dat $b = 1$ : $f(x) = 3x + 1$ . Controle: $f(5) = 15 + 1 = 16$ .

67.3 Percentages

Propositie 67.9 (Procentuele verandering)

Een hoeveelheid met $t\,\%$ verhogen vermenigvuldigt haar met $1 + \dfrac{t}{100}$ ; met $t\,\%$ verlagen vermenigvuldigt haar met $1 - \dfrac{t}{100}$ . Procentuele veranderingen zijn lineaire functies.

Bewijs. $x$ met $t\,\%$ verhogen betekent $\frac{t}{100}\,x$ optellen:

x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .

Zelfde berekening met een minteken voor een verlaging. ∎

Voorbeeld 67.10

Een prijs van $80$ stijgt met $15\%$ : nieuwe prijs $80 \times 1.15 = 92$ . Een prijs van $60$ daalt met $30\%$ : $60 \times 0.7 = 42$ .

Veranderingen aaneenschakelen vermenigvuldigt de factoren. Een stijging van $20\%$ gevolgd door een daling van $20\%$ geeft $1.2 \times 0.8 = 0.96$ : overall een daling van $4\%$ , geen terugkeer naar het begin!

67.4 Oefeningen

Oefening 67.1 ★

Welke van deze functies zijn lineair? affien? geen van beide?

f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.1.

Lineair: $f$ en $k$ (vorm $ax$ ). Affien maar niet lineair: $g$ (richtingscoëfficiënt $3$ , snijpunt $-5$ ) en $m$ (constant, richtingscoëfficiënt $0$ ). Geen van beide: $h$ , vanwege het kwadraat.

Oefening 67.2 ★

Laat $f(x) = 2x - 3$ . Bereken $f(0)$ , $f(4)$ , $f(-1)$ , en vind het getal $x$ zodat $f(x) = 9$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.2.

$f(0) = -3$ ; $f(4) = 5$ ; $f(-1) = -5$ . En $f(x) = 9$ betekent $2x - 3 = 9$ , dus $2x = 12$ en $x = 6$ .

Oefening 67.3 ★

Een lineaire functie voldoet aan $f(6) = 15$ . Vind haar coëfficiënt, en bereken daarna $f(10)$ en $f(-2)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.3.

$a = \frac{15}{6} = 2.5$ , dus $f(x) = 2.5x$ . Dan $f(10) = 25$ en $f(-2) = -5$ .

Oefening 67.4 ★

Teken in hetzelfde assenstelsel de grafieken van $f(x) = 2x$ , $g(x) = 2x + 3$ en $h(x) = -x + 4$ . Wat kan gezegd worden over de grafieken van $f$ en $g$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.4.

$f$ gaat door de oorsprong met richtingscoëfficiënt $2$ ; $g$ heeft dezelfde richtingscoëfficiënt maar snijdt de $y$ -as in $3$ ; $h$ daalt vanuit $(0, 4)$ met richtingscoëfficiënt $-1$ . De grafieken van $f$ en $g$ zijn evenwijdige lijnen (zelfde richtingscoëfficiënt, verschillende snijpunten).

Oefening 67.5 ★

Vind de affiene functie zodat $f(1) = 5$ en $f(3) = 11$ ; daarna die zodat $g(0) = 4$ en $g(2) = 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.5.

Voor $f$ : richtingscoëfficiënt $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ , daarna $5 = 3 \times 1 + b$ geeft $b = 2$ : $f(x) = 3x + 2$ .

Voor $g$ : richtingscoëfficiënt $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ , en $g(0) = 4$ is al het snijpunt: $g(x) = -2x + 4$ .

Oefening 67.6 ★★

Bereken: de prijs na een stijging van $25\%$ op $120$ ; de prijs na een korting van $40\%$ op $65$ ; de oorspronkelijke prijs als een artikel $69$ kost na een korting van $25\%$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.6.

Stijging van $25\%$ : $120 \times 1.25 = 150$ .

Korting van $40\%$ : $65 \times 0.6 = 39$ .

Oorspronkelijke prijs $p$ met $p \times 0.75 = 69$ : $p = \frac{69}{0.75} = 92$ .

Oefening 67.7 ★★

Telefoonplan A kost $10$ per maand plus $0.05$ per belminuut; plan B kost $25$ per maand met onbeperkt bellen.

Druk de maandelijkse kost van plan A uit als functie van het aantal $x$ minuten.
Vanaf hoeveel minuten per maand is plan B goedkoper?

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.7.

1. $f(x) = 0.05x + 10$ .

2. Plan B is goedkoper wanneer $25 < 0.05x + 10$ , d.w.z. $15 < 0.05x$ , d.w.z. $x > 300$ . Vanaf $301$ minuten ( $5$ uur) per maand wint plan B.

Oefening 67.8 ★★

Een populatie van $2000$ bacteriën groeit elk uur met $10\%$ .

Hoeveel bacteriën zijn er na één uur? Na twee uur?
Leg uit waarom het antwoord na twee uur niet $2400$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.8.

1. Na één uur: $2000 \times 1.1 = 2200$ . Na twee uur: $2200 \times 1.1 = 2420$ .

2. De tweede stijging geldt voor $2200$ , niet voor $2000$ : tweemaal met $10\%$ groeien vermenigvuldigt met $1.1^2 = 1.21$ , een stijging van $21\%$ , niet $20\%$ .

Oefening 67.9 ★★

De grafiek van een affiene functie gaat door de punten $(2, 3)$ en $(6, 1)$ .

Bereken haar richtingscoëfficiënt. Is de functie stijgend of dalend?
Geef haar uitdrukking, en bereken de input waarvoor de output $0$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.9.

1. Richtingscoëfficiënt: $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ : de functie is dalend.

2. $f(x) = -0.5x + b$ met $f(2) = 3$ : $-1 + b = 3$ , dus $b = 4$ en $f(x) = -0.5x + 4$ . Output $0$ : $-0.5x + 4 = 0$ geeft $x = 8$ .

Oefening 67.10 ★★★

Een winkel verhoogt eerst een prijs met $t\,\%$ , en verlaagt daarna de nieuwe prijs met $t\,\%$ .

Toon dat de eindprijs gelijk is aan de oorspronkelijke vermenigvuldigd met $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ .
Leid af dat de eindprijs altijd lager is dan de oorspronkelijke (voor $0 < t \leq 100$ ), en vind de overall procentuele verandering voor $t = 10$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.10.

1. De twee veranderingen vermenigvuldigen de prijs met

\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000}

(derde identiteit met $a = 1$ , $b = \frac{t}{100}$ ).

2. Voor $0 < t \leq 100$ is $\frac{t^2}{10000} > 0$ , dus de factor is kleiner dan $1$ : de eindprijs is lager dan de oorspronkelijke. Voor $t = 10$ : factor $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$ , d.w.z. een overall daling van $1\%$ .