Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

67Lineaire en affiene functies

“Drie kilogram kost drie keer zoveel als één”: dat is evenredigheid, de eenvoudigste manier waarop twee grootheden met elkaar kunnen samenhangen. Lineaire functies zijn evenredigheid in de taal van de functies; affiene functies voegen er een vast startbedrag aan toe. Hun grafieken zijn rechte lijnen, en die lijnen lezen is de vaardigheid die dit hoofdstuk opbouwt.

67.1 Evenredigheid en lineaire functies

Definitie 67.1 (Lineaire functie)

Een lineaire functie vermenigvuldigt elk getal met een vast getal $a$ :

f(x) = a x .

Het getal $a$ is de coëfficiënt van $f$ . Twee grootheden zijn evenredig precies wanneer de ene een lineaire functie van de andere is.

Voorbeeld 67.2

Kosten appels $3$ per kilogram, dan is de prijs van $x$ kilogram $f(x) = 3x$ : twee keer zoveel kopen kost twee keer zoveel, en de prijs van $2.5$ kg is $f(2.5) = 7.5$ .

Omgekeerd: voldoet een lineaire functie aan $f(4) = 10$ , dan is $a = \frac{10}{4} = 2.5$ en $f(x) = 2.5x$ : één waarde bepaalt een lineaire functie volledig.

Propositie 67.3 (Grafiek van een lineaire functie)

De grafiek van $f(x) = ax$ is een rechte lijn door de oorsprong. Omgekeerd is elke niet-verticale lijn door de oorsprong de grafiek van een lineaire functie.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Twee lineaire functies: beide grafieken gaan door de oorsprong; de coëfficiënt a is de hoogte die bij x = 1 bereikt wordt. — Twee lineaire functies: beide grafieken gaan door de oorsprong; de coëfficiënt $a$ is de hoogte die bij $x = 1$ bereikt wordt.

67.2 Affiene functies

Definitie 67.4 (Affiene functie)

Een affiene functie heeft de vorm

f(x) = a x + b ,

waar $a$ en $b$ vaste getallen zijn. Lineaire functies zijn het bijzondere geval $b = 0$ ; constante functies het geval $a = 0$ .

Voorbeeld 67.5

Een sportclub rekent $20$ inschrijvingsgeld en daarna $5$ per bezoek: de totale kosten van $x$ bezoeken zijn $f(x) = 5x + 20$ . De kosten zijn niet evenredig met het aantal bezoeken (10 bezoeken kosten niet twee keer zoveel als 5), maar elk bezoek extra voegt hetzelfde bedrag toe, $5$ .

Propositie 67.6 (Grafiek van een affiene functie)

De grafiek van $f(x) = ax + b$ is een rechte lijn:

$b = f(0)$ is het snijpunt met de $y$ -as: de lijn snijdt de verticale as in $(0, b)$ ;
$a$ is de richtingscoëfficiënt: één eenheid naar rechts gaan betekent $a$ eenheden omhoog (omlaag als $a < 0$ ); de functie is stijgend wanneer $a > 0$ en dalend wanneer $a < 0$ ;
voor twee willekeurige inputs $u \neq v$ geldt $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

Bewijs van het laatste punt. $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$ ; deel door $v - u$ . De rest wordt op dit niveau aangenomen (het bovenbouwvolume behandelt lijnen en hun vergelijkingen volledig). ∎

y = ax + b lezen op zijn grafiek: de lijn snijdt de y-as op hoogte b, en klimt a bij elke stap van één eenheid naar rechts (hier a = 1, b = 1). — $y = ax + b$ lezen op zijn grafiek: de lijn snijdt de $y$ -as op hoogte $b$ , en klimt $a$ bij elke stap van één eenheid naar rechts (hier $a = 1$ , $b = 1$ ).

Methode 67.7 (Een affiene functie uit twee waarden vinden)

Gegeven $f(u)$ en $f(v)$ met $u \neq v$ :

bereken de richtingscoëfficiënt $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ;
vul een van de twee bekende waarden in $f(x) = ax + b$ in om $b$ te vinden;
ga het na met de andere waarde.

Voorbeeld 67.8

Zoek de affiene functie met $f(2) = 7$ en $f(5) = 16$ .

a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,

en dan geeft $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ dat $b = 1$ : $f(x) = 3x + 1$ . Controle: $f(5) = 15 + 1 = 16$ .

67.3 Percenten

Propositie 67.9 (Verandering in percent)

Een grootheid met $t\,\%$ verhogen vermenigvuldigt ze met $1 + \dfrac{t}{100}$ ; ze met $t\,\%$ verlagen vermenigvuldigt ze met $1 - \dfrac{t}{100}$ . Veranderingen in percent zijn lineaire functies.

Bewijs. $x$ met $t\,\%$ verhogen betekent $\frac{t}{100}\,x$ optellen:

x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .

Dezelfde berekening met een minteken voor een verlaging. ∎

Voorbeeld 67.10

Een prijs van $80$ stijgt met $15\%$ : nieuwe prijs $80 \times 1.15 = 92$ . Een prijs van $60$ daalt met $30\%$ : $60 \times 0.7 = 42$ .

Veranderingen achter elkaar zetten vermenigvuldigt de factoren. Een stijging van $20\%$ gevolgd door een daling van $20\%$ geeft $1.2 \times 0.8 = 0.96$ : een daling van $4\%$ in totaal, en geen terugkeer naar het begin!

67.4 Oefeningen

Oefening 67.1 ★

Welke van deze functies zijn lineair? Welke affien? Welke geen van beide?

f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.1.

Lineair: $f$ en $k$ (vorm $ax$ ). Affien maar niet lineair: $g$ (richtingscoëfficiënt $3$ , snijpunt $-5$ ) en $m$ (constant, richtingscoëfficiënt $0$ ). Geen van beide: $h$ , door het kwadraat.

Oefening 67.2 ★

Zij $f(x) = 2x - 3$ . Bereken $f(0)$ , $f(4)$ en $f(-1)$ , en zoek het getal $x$ waarvoor $f(x) = 9$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.2.

$f(0) = -3$ ; $f(4) = 5$ ; $f(-1) = -5$ . En $f(x) = 9$ betekent $2x - 3 = 9$ , dus $2x = 12$ en $x = 6$ .

Oefening 67.3 ★

Een lineaire functie voldoet aan $f(6) = 15$ . Zoek haar coëfficiënt, en bereken daarna $f(10)$ en $f(-2)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.3.

$a = \frac{15}{6} = 2.5$ , dus is $f(x) = 2.5x$ . Dan is $f(10) = 25$ en $f(-2) = -5$ .

Oefening 67.4 ★

Teken in hetzelfde assenstelsel de grafieken van $f(x) = 2x$ , $g(x) = 2x + 3$ en $h(x) = -x + 4$ . Wat kun je zeggen over de grafieken van $f$ en $g$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.4.

$f$ gaat door de oorsprong met richtingscoëfficiënt $2$ ; $g$ heeft dezelfde richtingscoëfficiënt maar snijdt de $y$ -as in $3$ ; $h$ daalt vanaf $(0, 4)$ met richtingscoëfficiënt $-1$ . De grafieken van $f$ en $g$ zijn parallelle lijnen (dezelfde richtingscoëfficiënt, verschillende snijpunten).

Oefening 67.5 ★

Zoek de affiene functie waarvoor $f(1) = 5$ en $f(3) = 11$ ; en daarna die waarvoor $g(0) = 4$ en $g(2) = 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.5.

Voor $f$ : richtingscoëfficiënt $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ , en dan geeft $5 = 3 \times 1 + b$ dat $b = 2$ : $f(x) = 3x + 2$ .

Voor $g$ : richtingscoëfficiënt $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ , en $g(0) = 4$ is al het snijpunt: $g(x) = -2x + 4$ .

Oefening 67.6 ★★

Bereken: de prijs na een stijging van $25\%$ op $120$ ; de prijs na een korting van $40\%$ op $65$ ; de oorspronkelijke prijs als een artikel na een korting van $25\%$ $69$ kost.

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.6.

Stijging van $25\%$ : $120 \times 1.25 = 150$ .

Korting van $40\%$ : $65 \times 0.6 = 39$ .

Oorspronkelijke prijs $p$ met $p \times 0.75 = 69$ : $p = \frac{69}{0.75} = 92$ .

Oefening 67.7 ★★

Telefoonabonnement A kost $10$ per maand plus $0.05$ per minuut bellen; abonnement B kost $25$ per maand met onbeperkt bellen.

Druk de maandkosten van abonnement A uit als functie van het aantal minuten $x$ .
Vanaf hoeveel minuten per maand is abonnement B goedkoper?

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.7.

1. $f(x) = 0.05x + 10$ .

2. Abonnement B is goedkoper wanneer $25 < 0.05x + 10$ , dat wil zeggen $15 < 0.05x$ , dus $x > 300$ . Vanaf $301$ minuten ( $5$ uur) per maand wint abonnement B.

Oefening 67.8 ★★

Een populatie van $2000$ bacteriën groeit elk uur met $10\%$ .

Hoeveel bacteriën zijn er na één uur? En na twee uur?
Leg uit waarom het antwoord na twee uur niet $2400$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.8.

1. Na één uur: $2000 \times 1.1 = 2200$ . Na twee uur: $2200 \times 1.1 = 2420$ .

2. De tweede stijging werkt op $2200$ , niet op $2000$ : twee keer met $10\%$ groeien vermenigvuldigt met $1.1^2 = 1.21$ , een stijging van $21\%$ en niet van $20\%$ .

Oefening 67.9 ★★

De grafiek van een affiene functie gaat door de punten $(2, 3)$ en $(6, 1)$ .

Bereken haar richtingscoëfficiënt. Is de functie stijgend of dalend?
Geef haar uitdrukking, en bereken de input waarvoor de output $0$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.9.

1. Richtingscoëfficiënt: $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ : de functie is dalend.

2. $f(x) = -0.5x + b$ met $f(2) = 3$ : $-1 + b = 3$ , dus $b = 4$ en $f(x) = -0.5x + 4$ . Output $0$ : $-0.5x + 4 = 0$ geeft $x = 8$ .

Oefening 67.10 ★★★

Een winkel verhoogt een prijs eerst met $t\,\%$ en verlaagt daarna de nieuwe prijs met $t\,\%$ .

Toon aan dat de eindprijs gelijk is aan de oorspronkelijke, vermenigvuldigd met $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ .
Leid af dat de eindprijs altijd lager is dan de oorspronkelijke (voor $0 < t \leq 100$ ), en zoek de totale verandering in percent voor $t = 10$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 67.10.

1. De twee veranderingen vermenigvuldigen de prijs met

\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000}

(het derde merkwaardige product met $a = 1$ , $b = \frac{t}{100}$ ).

2. Voor $0 < t \leq 100$ is $\frac{t^2}{10000} > 0$ , dus is de factor kleiner dan $1$ : de eindprijs is lager dan de oorspronkelijke. Voor $t = 10$ : factor $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$ , dat wil zeggen een totale daling van $1\%$ .

67.5 Opgave: de twee thermometers

Probleem 67.1

Weekendopgave — Celsius, Fahrenheit en de affiene functies van het dagelijks leven: één temperatuur leest hetzelfde op beide schalen, en een constante richtingscoëfficiënt is het handschrift van rechtheid

Amerikanen horen “ $68$ graden” en kleden zich licht; Europeanen horen het en grijpen naar een jas. De twee thermometers van de wereld hangen samen via een affiene functie — en die uit twee feiten opbouwen is precies de vaardigheid van Methode 67.7. Deze opgave construeert de omzetting, vindt de onheilspellende temperatuur waarop de twee schalen het eens zijn, leest daarna taxi’s, krekels en kaarsen met dezelfde bril, en eindigt met de toets die rechtheid zelf herkent.

Deel I — De omzetting opbouwen. Twee feiten leggen de fahrenheitschaal vast: water bevriest bij $32\,^\circ$ F en kookt bij $212\,^\circ$ F (bij $0\,^\circ$ C en $100\,^\circ$ C).

Zoek de affiene functie $F = f(C)$ die graden Celsius omzet in graden Fahrenheit (Methode 67.7 met de waarden $f(0) = 32$ en $f(100) = 212$ ).
Zet om in graden Fahrenheit: een milde dag van $20\,^\circ$ C; de $37\,^\circ$ C van het lichaam; een ijzige $-10\,^\circ$ C.
Los op naar $C$ om de omgekeerde omzetting op te bouwen, en gebruik die op $50\,^\circ$ F en op $98.6\,^\circ$ F.
Is $f$ een lineaire functie (Definitie 67.1)? Toets de verklikkers: wat is $f(0)$ , en verdubbelt de waarde in Fahrenheit als je de waarde in Celsius verdubbelt? Besluit met het juiste woord (Definitie 67.4).
Het klassieke raadsel: bestaat er een temperatuur die hetzelfde getal aanwijst op beide schalen? Los $f(x) = x$ op, en beschrijf wat je oplossing op de grafiek van $f$ betekent (welke lijn snijdt de grafiek daar?).

Deel II — Affiene functies in het wild.

Taxi A rekent $3$ euro plus $1.50$ per km; taxi B rekent een vast bedrag van $2$ euro per km. Schrijf de twee prijsfuncties op en vergelijk ze voor een rit van $4$ km en een rit van $8$ km.
Zoek de afstand waarbij de twee taxi’s evenveel kosten, en beschrijf de situatie op een grafiek (twee lijnen — wat gebeurt er in het snijpunt, ervoor en erna?).
Vuistregel van natuurkenners: een krekel tjirpt bij een temperatuur van $T\,^\circ$ C ongeveer $N = 7T - 30$ keer per minuut. Hoeveel tjirpen op een avond van $20\,^\circ$ C? Je telt $82$ tjirpen in een minuut: welke temperatuur kondigt de krekel aan?
Een telefoon die $600$ euro kostte, verliest $15$ euro waarde per maand: schrijf de waardefunctie $v(t)$ op, zoek wanneer de telefoon $240$ euro waard is, en wanneer het model zegt dat hij niets meer waard is. Betekent de formule na die datum nog iets?
Veranderingen in percent zijn lineaire functies: $+25\,\%$ is vermenigvuldigen met $1.25$ , en $-20\,\%$ met $0.8$ (Propositie 67.9). Zet ze achter elkaar: wat doet een stijging van $+25\,\%$ gevolgd door een daling van $-20\,\%$ met een prijs? Leg het kleine wonder uit, en vergelijk met Oefening 67.10.

Deel III — De richtingscoëfficiënt is alles.

Een kaars meet $20$ cm wanneer ze wordt aangestoken en $17$ cm een half uur later. Neem aan dat het smelten affien verloopt, zoek $h(t)$ (hoogte in cm, $t$ in minuten), en voorspel wanneer de kaars opgebrand is.
Twee wielrenners rijden dezelfde weg: de afstand van de eerste is $d_1(t) = 24t$ (km na $t$ uur), die van de tweede $d_2(t) = 10 + 18t$ . Wie begon met een voorsprong, wie rijdt sneller, en op welk tijdstip en op welke kilometer haalt de eerste de tweede in?
Zij $f(x) = 2x + 3$ en $g(x) = -0.5x + 7$ . Bereken $f(x) + g(x)$ en ga na dat het weer affien is. Wat zijn in het algemeen de richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de $y$ -as van een som?
Bespreek de vergelijking $mx + p = 0$ volledig: hoeveel oplossingen zijn er als $m \neq 0$ (en welke)? Als $m = 0$ en $p \neq 0$ ? Als $m = 0$ en $p = 0$ ? (Elk geval heeft zijn verhaal op de grafiek: waar snijdt een lijn met richtingscoëfficiënt $m$ de horizontale as?)
De toets op één lijn liggen: liggen de punten $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(7, 17)$ op één rechte lijn? En $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(6, 16)$ ? Bereken de veranderingssnelheden tussen paren en beslis. Formuleer de les: een constante veranderingssnelheid is het handschrift van affiene functies — gekromde grafieken veranderen dat tempo van punt tot punt, en dat meten is een verhaal voor het bovenbouwvolume.

Oplossing

Oplossing van Probleem 67.1.

1. Richtingscoëfficiënt: $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} = \frac{212 - 32}{100} = 1.8$ ; snijpunt $f(0) = 32$ . Bijgevolg is

f(C) = 1.8\,C + 32 .

2. $f(20) = 68\,^\circ$ F (de beroemde milde dag); $f(37) = 98.6\,^\circ$ F; $f(-10) = 14\,^\circ$ F.

3. Uit $F = 1.8C + 32$ volgt $C = \frac{F - 32}{1.8}$ . Dan wordt $50\,^\circ$ F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$ C, en $98.6\,^\circ$ F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$ C.

4. $f(0) = 32 \neq 0$ , en $f(20) = 68$ is niet het dubbel van $f(10) = 50$ : niet lineair. De grafiek is een rechte lijn die de oorsprong mist: $f$ is affien, niet lineair.

5. $1.8x + 32 = x$ geeft $0.8x = -32$ , dus $x = -40$ : bij veertig onder nul wijzen beide thermometers $-40$ aan. Op de grafiek snijdt de lijn van $f$ de diagonale lijn $y = x$ precies daar.

6. $p_A(k) = 1.5k + 3$ en $p_B(k) = 2k$ . Voor $4$ km: $9$ euro tegenover $8$ : B goedkoper. Voor $8$ km: $15$ tegenover $16$ : A goedkoper.

7. $1.5k + 3 = 2k$ geeft $k = 6$ : bij zes kilometer kosten beide $12$ euro. Op de grafiek begint de lijn van B (door de oorsprong, steiler) onder die van A en snijdt haar in $(6, 12)$ : B wint de korte ritten, A de lange.

8. $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ tjirpen per minuut. Uit $82 = 7T - 30$ : $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$ C.

9. $v(t) = 600 - 15t$ . Waard $240$ : $600 - 15t = 240$ , dus $t = 24$ maanden. Waard $0$ : $t = 40$ maanden. Voorbij $40$ maanden wordt de formule negatief — maar de waarde van een telefoon stopt bij nul: elk affien model heeft een gebied waarin het zin heeft.

10. Achter elkaar zetten: $\times 1.25$ en daarna $\times 0.8$ vermenigvuldigt met $1.25 \times 0.8 = 1$ : de prijs komt precies op zijn begin terug. Geen wonder: de percenten werken op verschillende referenties (de daling werkt op de verhoogde prijs), en hier vallen de vermenigvuldigers toevallig tegen elkaar weg — het algemene verhaal, met zijn ingebouwde verlies $1 - \frac{t^2}{10\,000}$ , is Oefening 67.10.

11. Richtingscoëfficiënt: $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ cm per minuut; $h(t) = 20 - 0.1t$ . Ze is opgebrand bij $h(t) = 0$ : $t = 200$ minuten — drie uur en twintig minuten licht.

12. De tweede begon $10$ km voorop (het snijpunt met de as); de eerste is sneller ( $24 > 18$ km/h). Inhalen: $24t = 10 + 18t$ geeft $6t = 10$ , dus $t = \frac53$ h $= 1$ h $40$ min, op kilometer $24 \times \frac53 = 40$ .

13. $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$ : weer affien, met als richtingscoëfficiënt de som van de richtingscoëfficiënten en als snijpunt de som van de snijpunten — wat duidelijk wordt door in $(mx + p) + (m'x + p')$ de gelijksoortige termen samen te nemen.

14. Is $m \neq 0$ : precies één oplossing, $x = -\frac pm$ — een niet-horizontale lijn snijdt de as één keer. Is $m = 0$ en $p \neq 0$ : geen oplossing — een horizontale lijn boven of onder de as raakt haar nooit. Is $m = 0$ en $p = 0$ : elke $x$ is een oplossing — de lijn is de as.

15. Eerste drietal: de snelheden $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ en $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$ zijn gelijk, dus liggen de punten op één lijn (op $y = 2x + 3$ ). Tweede drietal: $\frac{9-5}{2} = 2$ , maar $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$ : niet op één lijn. De affiene functies zijn precies die met een constante veranderingssnelheid — één getal, de richtingscoëfficiënt, vertelt het hele verhaal; bij krommen verandert dat tempo zelf van punt tot punt, en haar opjagen leidt tot de afgeleide, in het bovenbouwvolume.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst