Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

46Negatieve getallen

Temperaturen onder nul, verdiepingen onder de grond, geld dat je schuldig bent: heel wat grootheden gaan onder $0$ . Negatieve getallen breiden de getallenlijn uit naar links van nul. Dit hoofdstuk leert je ze vergelijken en ze optellen en aftrekken — hun vermenigvuldiging wacht tot Hoofdstuk 54.

46.1 Positieve en negatieve getallen

Definitie 46.1 (Getallen met een teken)

Een getal met een teken bestaat uit een teken ( $+$ of $-$ ) en een afstand tot nul: $+3$ en $-3$ liggen beide op afstand $3$ van $0$ , aan weerszijden. Positieve getallen schrijf je meestal zonder hun teken: $+3 = 3$ . De getallen $+3$ en $-3$ zijn elkaars tegengestelde.

De getallenlijn, naar links uitgebreid: -3 en +3 zijn tegengestelde getallen, op dezelfde afstand van 0. — De getallenlijn, naar links uitgebreid: $-3$ en $+3$ zijn tegengestelde getallen, op dezelfde afstand van $0$ .

Methode 46.2 (Getallen met een teken vergelijken)

Op de getallenlijn betekent kleiner: verder naar links. In de praktijk:

een negatief getal is altijd kleiner dan een positief: $-7 < 2$ ;
tussen twee positieve getallen geldt de gewone orde;
tussen twee negatieve getallen is dat met de grotere afstand tot nul het kleinste: $-7 < -2$ .

Voorbeeld 46.3

Zet op volgorde, van klein naar groot: $3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-1.5$ ; $2.8$ . Eerst de negatieve, met de meest negatieve vooraan:

-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .

46.2 Getallen met een teken optellen

Zie een getal met een teken als een beweging langs de lijn: $+5$ betekent “loop $5$ stappen naar rechts”, $-3$ betekent “loop $3$ stappen naar links”. Optellen is de wandelingen aan elkaar rijgen.

Methode 46.4 (Twee getallen met een teken optellen)

Hetzelfde teken: tel de afstanden op en houd het gemeenschappelijke teken: $(-3) + (-4) = -7$ .
Tegengestelde tekens: trek de kleinste afstand van de grootste af en neem het teken van de grootste: $(-7) + (+2) = -5$ en $(+7) + (-2) = +5$ .
Tegengestelden heffen elkaar op: $(+4) + (-4) = 0$ .

Optellen als lopen: vanaf 0 brengen de wandeling -3.5 en daarna de wandeling +2 je op (-3.5) + 2 = -1.5. — Optellen als lopen: vanaf $0$ brengen de wandeling $-3.5$ en daarna de wandeling $+2$ je op $(-3.5) + 2 = -1.5$ .

Voorbeeld 46.5

Stap voor stap, handig gegroepeerd:

\begin{align*} (-8) + (+3) &= -5 && \text{(tegengestelde tekens: } 8 - 3 = 5, \text{ teken van } 8)\\ (-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(zelfde teken: afstanden optellen)}\\ (+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 . \end{align*}

46.3 Getallen met een teken aftrekken

Stelling 46.6 (Regel voor het aftrekken)

Een getal met een teken aftrekken is hetzelfde als zijn tegengestelde optellen:

a - b = a + (-b) .

Waarom het werkt. $a - b$ is het getal dat, opgeteld bij $b$ , $a$ geeft. Ga na dat $a + (-b)$ dat doet: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$ . ∎

Voorbeeld 46.7

Elke aftrekking wordt een optelling, en dan geldt Methode 46.4:

\begin{align*} 5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\ (-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\ (-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 . \end{align*}

De laatste regel is de beroemde: een negatief getal aftrekken is optellen. Een schuld die verdwijnt, maakt je rijker!

Voorbeeld 46.8 (Temperatuurverschillen)

Op één dag ging de temperatuur van $-6$ graden naar $+9$ graden. De stijging is het verschil

9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ graden}.

Op de getallenlijn: van $-6$ tot $0$ is $6$ graden, en van $0$ tot $9$ nog $9$ erbij.

46.4 Coördinaten in het hele vlak

Definitie 46.9 (Coördinaten met tekens)

Met twee loodrechte assen met streepjes, die elkaar in de oorsprong $O$ snijden, krijgt elk punt van het vlak twee coördinaten $(x, y)$ met een teken: een negatieve $x$ betekent links van de verticale as, een negatieve $y$ betekent onder de horizontale as.

Eén punt in elk kwart van het vlak. Lees altijd eerst de horizontale coördinaat.

46.5 Oefeningen

Oefening 46.1 ★

Geef het tegengestelde van: $7$ ; $-3.5$ ; $0$ ; $+12$ . Vul daarna aan: “twee getallen zijn tegengesteld als hun som gelijk is aan ?”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.1.

Tegengestelden: $-7$ ; $+3.5$ ; $0$ (zijn eigen tegengestelde); $-12$ . Twee getallen zijn tegengesteld als hun som $0$ is.

Oefening 46.2 ★

Neem over en vul in met $<$ of $>$ :

-4 \;?\; 1, \qquad -4 \;?\; -7, \qquad -2.5 \;?\; -2.4, \qquad 0 \;?\; -0.1 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.2.

$-4 < 1$ ; $-4 > -7$ ; $-2.5 < -2.4$ ; $0 > -0.1$ .

Oefening 46.3 ★

Zet op volgorde, van klein naar groot: $-3$ ; $2.5$ ; $-0.5$ ; $-3.1$ ; $0$ ; $1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.3.

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$ .

Oefening 46.4 ★

Reken uit:

(-5) + (-9), \qquad (-12) + (+7), \qquad (+3.5) + (-1.5), \qquad (-6) + (+6).

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.4.

$(-5) + (-9) = -14$ ; $(-12) + (+7) = -5$ ; $(+3.5) + (-1.5) = +2$ ; $(-6) + (+6) = 0$ .

Oefening 46.5 ★

Maak er optellingen van en reken daarna uit:

4 - 11, \qquad (-5) - (+3), \qquad (-7) - (-10), \qquad 0 - (-8).

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.5.

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$ .

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$ .

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$ .

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$ .

Oefening 46.6 ★

Reken uit door slim te groeperen (eerst de tegengestelden):

(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad (-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.6.

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (de positieve samen, de negatieve samen).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$ .

Oefening 46.7 ★

Vanmorgen was het $-3$ graden; in de loop van de dag steeg de temperatuur $8$ graden, en ’s nachts daalde ze $12$ graden. Schrijf één berekening op die de eindtemperatuur geeft, en reken die uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.7.

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$ : ’s nachts is het $-7$ graden.

Oefening 46.8 ★

Zet in een assenstelsel: $A(2, 3)$ ; $B(-3, 1)$ ; $C(-2, -2)$ ; $D(3, -1)$ ; $E(0, -3)$ . Welk punt ligt op een as?

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.8.

Vrije tekening; $E(0, -3)$ ligt op de verticale as (zijn eerste coördinaat is $0$ ).

Oefening 46.9 ★★

Reken het verschil tussen de hoogste en de laagste temperatuur uit: Moskou in januari, maximaal $-4$ graden, minimaal $-13$ graden; Helsinki, maximaal $2$ , minimaal $-9$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.9.

Moskou: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ graden verschil. Helsinki: $2 - (-9) = 11$ graden.

Oefening 46.10 ★★

Een duikster bevindt zich op hoogte $-12$ m (twaalf meter onder het oppervlak). Ze stijgt $7$ m en daalt daarna $4$ m. Op welke hoogte is ze dan? Hoeveel moet ze nog stijgen om het oppervlak te bereiken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.10.

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$ : ze is op $-9$ m. Om het oppervlak (hoogte $0$ ) te bereiken, moet ze nog $0 - (-9) = 9$ m stijgen.

Oefening 46.11 ★★

Zet $A(-2, 1)$ , $B(2, 1)$ en $C(2, -2)$ in een assenstelsel. Zoek de coördinaten van het punt $D$ waarvoor $ABCD$ een rechthoek is, en reken zijn omtrek uit (tel de rastervakjes voor de lengtes van de zijden).

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.11.

$D(-2, -2)$ : dezelfde eerste coördinaat als $A$ , dezelfde tweede coördinaat als $C$ . Zijden: $AB = 4$ (van $-2$ tot $2$ ) en $BC = 3$ (van $1$ naar $-2$ ), dus is de omtrek $2 \times (4 + 3) = 14$ .

Oefening 46.12 ★★★

In het magische vierkant hieronder moeten elke rij, elke kolom en elke diagonaal dezelfde som hebben. Neem het over en vul het aan:

$?$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$?$
$-4$	$?$	$?$

(Zoek eerst de magische som met de diagonaal die bijna volledig is.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.12.

De volledige diagonaal $0, -2, -4$ geeft de magische som $0 + (-2) + (-4) = -6$ . Dan, vakje na vakje: linksboven $= -6 - (-7) - 0 = 1$ ; midden rechts $= -6 - (-3) - (-2) = -1$ ; rechtsonder $= -6 - 0 - (-1) = -5$ ; midden onder $= -6 - (-7) - (-2) = 3$ .

$1$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$-1$
$-4$	$3$	$-5$

Elke rij, kolom en diagonaal heeft som $-6$ .

46.6 Opgave: het jaar nul dat nooit bestond

Probleem 46.1

Weekendopgave — getallen met een teken op de tijdlijn van de geschiedenis: tijdsduren over de grens van de jaartelling, de truc van de astronomen, en het beginsel van de nettoverandering

De getallenlijn van dit hoofdstuk heeft een beroemde tweeling in de echte wereld: de tijdlijn van de geschiedenis, met de jaren v.Chr. naar links en de jaren n.Chr. naar rechts. Maar de lijn van de historici bergt een valstrik die al veel berekeningen heeft verpest: er is geen jaar nul — op het jaar $1$ v.Chr. volgt onmiddellijk het jaar $1$ n.Chr. In deze opgave reken je met temperaturen, liften en bankrekeningen, en repareer je daarna de kapotte nul van de geschiedenis zoals astronomen dat doen: met getallen met een teken.

Deel I — Opwarmers, en een eerste valstrik.

De top van de Mont Blanc ligt op hoogte $+4\,808$ m; de oever van de Dode Zee op $-430$ m. Reken het hoogteverschil tussen die twee uit.
Op een bankrekening staat $-45$ euro (roodstand). De eigenaar stort $120$ euro, betaalt een rekening van $60$ euro en stort daarna $15$ euro. Schrijf het saldo als één rij optellingen en reken het uit. Welke eenmalige storting zou de oorspronkelijke $-45$ precies op $0$ hebben gebracht?
Julius Caesar werd geboren in $100$ v.Chr. en stierf in $44$ v.Chr. Reken met de jaren v.Chr. als negatieve getallen ( $100$ v.Chr. als $-100$ , $44$ v.Chr. als $-44$ ) het verschil $(-44) - (-100)$ uit: hoeveel jaar heeft Caesar geleefd?
Keizer Augustus werd geboren in $63$ v.Chr. en stierf in $14$ n.Chr. Hetzelfde recept geeft $14 - (-63) = 77$ jaar — maar historici houden vol dat hij op zijn $76$ ste stierf. Hun bezwaar: de telling $77$ loopt door een jaar dat nooit heeft bestaan. Welk jaar?
Astronomen repareren de tijdlijn door te herbenoemen: de jaren n.Chr. houden hun nummer ( $+14$ blijft $+14$ ), maar $1$ v.Chr. wordt $0$ , $2$ v.Chr. wordt $-1$ , en in het algemeen wordt het jaar $n$ v.Chr. $-(n - 1)$ . Zet $63$ v.Chr. om en maak de berekening van vraag 4 opnieuw met de getallen van de astronomen. Voldoet het antwoord nu aan de historici?

Deel II — Rekenen over de grens van de jaartelling. Gebruik van nu af aan bij elke berekening de herbenoeming van de astronomen, en zet aan het einde terug om naar v.Chr./n.Chr. (een jaar met label $0$ of met een negatief label $-m$ is het jaar $m + 1$ v.Chr. van de historici).

Zet om naar de getallen van de astronomen: $1$ v.Chr.; $10$ v.Chr.; $476$ n.Chr.; en $753$ v.Chr., de legendarische stichting van Rome.
Hoeveel jaar liggen er tussen de stichting van Rome ( $753$ v.Chr.) en de val van het West-Romeinse Rijk ( $476$ n.Chr.)?
Een komeet komt elke $76$ jaar terug en verscheen in $12$ v.Chr. Geef de jaren van de historici voor haar volgende drie verschijningen, en voor de verschijning net vóór $12$ v.Chr.
Hoeveel jaar liggen er tussen $5$ v.Chr. en $5$ n.Chr.? (Het verleidelijke antwoord is $10$ ; de tijdlijn zegt iets anders.)
Een kind dat in $3$ v.Chr. werd geboren, werd tien jaar in welk jaar (v.Chr. of n.Chr.)?

Deel III — Het beginsel van de nettoverandering.

De afstand tussen twee getallen op de lijn is het grootste min het kleinste — altijd positief. Reken de afstand tussen $-7$ en $-2$ uit, en daarna die tussen $-3.5$ en $4.5$ .
Een lift begint op verdieping $0$ en maakt de bewegingen $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ . Reken de eindverdieping uit door slim te groeperen (Methode 46.4, eerst de tegengestelden waar dat kan). Zou de lift op een andere verdieping uitkomen als je de bewegingen in een andere volgorde uitvoert? Waarom?
Dag na dag verandert de temperatuur in een week met $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ , $-2$ graden. Reken de nettoverandering uit. Begon de week op $-2$ graden, waar eindigde ze dan? Formuleer het beginsel: eindwaarde $=$ beginwaarde $+$ (som van alle veranderingen).
Een wandelaarster komt precies op haar starthoogte terug. Wat moet de som van al haar hoogteveranderingen zijn, en waarom? Van haar zes opgetekende veranderingen zijn er vijf $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ , $-5$ (in honderden meters): zoek de zesde.
De finale, terug in Rome. Een historicus rekent: “de Republiek liep van $509$ v.Chr. tot $27$ v.Chr., en daarna het Keizerrijk tot $476$ n.Chr.; alles samen, van $509$ v.Chr. tot $476$ n.Chr., dus $509 + 476 = 985$ jaar Romeinse staat.” Maak de berekening opnieuw met de getallen van de astronomen. Wat is het juiste totaal — en welk jaar heeft, opnieuw, de fout veroorzaakt?

Oplossing

Oplossing van Probleem 46.1.

1. $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m (Stelling 46.6: een negatief getal aftrekken is optellen).

2. Saldo:

(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30 \text{ euro}.

Om de beginstand $-45$ op $0$ te brengen, stort je het tegengestelde: $45$ euro.

3. $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$ : Caesar heeft $56$ jaar geleefd. (Hier geen valstrik: beide jaren liggen aan dezelfde kant van de grens van de jaartelling.)

4. Het jaar $0$ : van $-63$ naar $+14$ tellen gaat door $0$ , maar de kalender van de historici springt rechtstreeks van $1$ v.Chr. naar $1$ n.Chr. — het jaar $0$ heeft nooit bestaan, dus is de naïeve telling een jaar te lang.

5. $63$ v.Chr. wordt $-(63 - 1) = -62$ . Dan is $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ jaar: precies het cijfer van de historici. Op de herbenoemde lijn van de astronomen zitten geen gaten, dus geeft gewoon aftrekken echte tijdsduren.

6. $1$ v.Chr. $\to 0$ ; $10$ v.Chr. $\to -9$ ; $476$ n.Chr. $\to +476$ ; $753$ v.Chr. $\to -752$ .

7. $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ jaar.

8. $12$ v.Chr. is $-11$ . Volgende verschijningen: $-11 + 76 = 65$ , dan $141$ , dan $217$ : de jaren $65$ , $141$ en $217$ n.Chr. Daarvoor: $-11 - 76 = -87$ , en dat is het jaar $87 + 1 = 88$ v.Chr. van de historici.

9. $5$ v.Chr. is $-4$ , dus $5 - (-4) = 9$ jaar — geen $10$ . Het ontbrekende jaar nul slaat toe zodra een tijdsduur de grens van de jaartelling oversteekt.

10. $3$ v.Chr. is $-2$ ; tien jaar later is $-2 + 10 = +8$ : het kind werd tien in het jaar $8$ n.Chr.

11. Tussen $-7$ en $-2$ : $(-2) - (-7) = 5$ . Tussen $-3.5$ en $4.5$ : $4.5 - (-3.5) = 8$ .

12. Door tegengestelden en handige paren te groeperen:

3 + (-5) + 2 + (-1) + 4 = \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4 = 0 + (-1) + 4 = +3 :

de lift eindigt op verdieping $3$ . De volgorde maakt niets uit: een som van getallen met een teken mag je vrij herschikken (elke beweging wordt langs dezelfde lijn gelopen, en de hele wandeling blijft dezelfde).

13. Nettoverandering: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ graad. Beginnend op $-2$ : de eindtemperatuur is $-2 + (-1) = -3$ graden. In het algemeen is de eindwaarde de beginwaarde plus de som van alle veranderingen — de op- en neergangen hoef je niet één voor één te volgen.

14. Terug bij het begin betekent nettoverandering $0$ : de stijgingen en dalingen moeten elkaar precies opheffen. De vijf bekende veranderingen geven samen $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$ , dus is de zesde het tegengestelde: $+3$ (driehonderd meter omhoog).

15. Met de astronomen: $509$ v.Chr. $\to -508$ , en $476 - (-508) = 984$ jaar. De $509 + 476 = 985$ van de historicus telt één jaar te veel — opnieuw het spookjaar nul, dat stilzwijgend in de optelling meegaat maar in de geschiedenis ontbreekt. (Als controle de twee tijdvakken: Republiek $-508$ tot $-26$ , $482$ jaar; Keizerrijk $-26$ tot $+476$ , $502$ jaar; $482 + 502 = 984$ .)

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst