Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

46Negatieve getallen

Temperaturen onder nul, verdiepingen onder de grond, schulden: veel grootheden gaan onder $0$ . Negatieve getallen breiden de getallenlijn uit naar links van nul. Dit hoofdstuk leert ze vergelijken en optellen en aftrekken — hun vermenigvuldiging wacht op Hoofdstuk 54.

46.1 Relatieve getallen

Definitie 46.1 (Relatieve getallen)

Een relatief getal bestaat uit een teken ( $+$ of $-$ ) en een afstand tot nul: $+3$ en $-3$ liggen beide op afstand $3$ van $0$ , aan tegenovergestelde kanten. Positieve getallen worden meestal zonder teken geschreven: $+3 = 3$ . De getallen $+3$ en $-3$ zijn tegengestelden van elkaar.

De getallenlijn uitgebreid naar links: -3 en +3 zijn tegengestelde getallen, op dezelfde afstand van 0. — De getallenlijn uitgebreid naar links: $-3$ en $+3$ zijn tegengestelde getallen, op dezelfde afstand van $0$ .

Methode 46.2 (Relatieve getallen vergelijken)

Op de getallenlijn betekent kleiner verder naar links. In de praktijk:

een negatief getal is altijd kleiner dan een positief: $-7 < 2$ ;
tussen twee positieven, de gewone volgorde;
tussen twee negatieven is die met de grotere afstand tot nul de kleinere: $-7 < -2$ .

Voorbeeld 46.3

Orden van klein naar groot: $3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-1.5$ ; $2.8$ . Eerst de negatieven, de meest negatieve voorop:

-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .

46.2 Relatieve getallen optellen

Denk aan een relatief getal als een beweging langs de lijn: $+5$ betekent “ $5$ stappen naar rechts”, $-3$ betekent “ $3$ stappen naar links”. Getallen optellen is de wandelingen aaneenschakelen.

Methode 46.4 (Twee relatieve getallen optellen)

Zelfde teken: tel de afstanden op, houd het gemeenschappelijke teken: $(-3) + (-4) = -7$ .
Tegengestelde tekens: trek de kleinere afstand af van de grotere, neem het teken van de grotere: $(-7) + (+2) = -5$ en $(+7) + (-2) = +5$ .
Tegengestelden heffen elkaar op: $(+4) + (-4) = 0$ .

Optellen als wandelen: startend in 0, de wandeling -3.5 en daarna de wandeling +2 landt op (-3.5) + 2 = -1.5. — Optellen als wandelen: startend in $0$ , de wandeling $-3.5$ en daarna de wandeling $+2$ landt op $(-3.5) + 2 = -1.5$ .

Voorbeeld 46.5

Stap voor stap, groeperend waar handig:

\begin{align*} (-8) + (+3) &= -5 && \text{(tegengestelde tekens: } 8 - 3 = 5, \text{ teken van } 8)\\ (-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(zelfde teken: afstanden optellen)}\\ (+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 . \end{align*}

46.3 Relatieve getallen aftrekken

Stelling 46.6 (Aftrekregel)

Een relatief getal aftrekken is hetzelfde als zijn tegengestelde optellen:

a - b = a + (-b) .

Waarom het werkt. $a - b$ is het getal dat, opgeteld bij $b$ , $a$ geeft. Controleer dat $a + (-b)$ dat doet: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$ . ∎

Voorbeeld 46.7

Elke aftrekking wordt een optelling, daarna past Methode 46.4:

\begin{align*} 5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\ (-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\ (-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 . \end{align*}

De laatste regel is de beroemde: een negatief aftrekken betekent optellen. Een schuld wegnemen maakt je rijker!

Voorbeeld 46.8 (Temperatuurverschillen)

Op één dag ging de temperatuur van $-6$ graden naar $+9$ graden. De stijging is het verschil

9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ graden}.

Op de getallenlijn: van $-6$ tot $0$ is $6$ graden, van $0$ tot $9$ nog $9$ meer.

46.4 Coördinaten in het hele vlak

Definitie 46.9 (Coördinaten met tekens)

Met twee loodrechte gegradueerde assen die snijden in de oorsprong $O$ krijgt elk punt van het vlak twee relatieve coördinaten $(x, y)$ : negatieve $x$ betekent links van de verticale as, negatieve $y$ betekent onder de horizontale as.

Eén punt in elk kwart van het vlak. Lees altijd eerst de horizontale coördinaat.

46.5 Oefeningen

Oefening 46.1 ★

Geef het tegengestelde van: $7$ ; $-3.5$ ; $0$ ; $+12$ . Vul daarna aan: “twee getallen zijn tegengesteld wanneer hun som ? is”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.1.

Tegengestelden: $-7$ ; $+3.5$ ; $0$ (zijn eigen tegengestelde); $-12$ . Twee getallen zijn tegengesteld wanneer hun som $0$ is.

Oefening 46.2 ★

Kopieer en vul in met $<$ of $>$ :

-4 \;?\; 1, \qquad -4 \;?\; -7, \qquad -2.5 \;?\; -2.4, \qquad 0 \;?\; -0.1 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.2.

$-4 < 1$ ; $-4 > -7$ ; $-2.5 < -2.4$ ; $0 > -0.1$ .

Oefening 46.3 ★

Orden van klein naar groot: $-3$ ; $2.5$ ; $-0.5$ ; $-3.1$ ; $0$ ; $1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.3.

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$ .

Oefening 46.4 ★

Bereken:

(-5) + (-9), \qquad (-12) + (+7), \qquad (+3.5) + (-1.5), \qquad (-6) + (+6).

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.4.

$(-5) + (-9) = -14$ ; $(-12) + (+7) = -5$ ; $(+3.5) + (-1.5) = +2$ ; $(-6) + (+6) = 0$ .

Oefening 46.5 ★

Zet om in optellingen, en bereken daarna:

4 - 11, \qquad (-5) - (+3), \qquad (-7) - (-10), \qquad 0 - (-8).

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.5.

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$ .

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$ .

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$ .

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$ .

Oefening 46.6 ★

Bereken door slim te groeperen (eerst tegengestelden):

(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad (-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.6.

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (positieven samen, negatieven samen).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$ .

Oefening 46.7 ★

De temperatuur was vanochtend $-3$ graden; ze steeg overdag met $8$ graden, en daalde ’s nachts met $12$ graden. Schrijf één berekening die de eindtemperatuur geeft, en reken die uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.7.

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$ : het is $-7$ graden ’s nachts.

Oefening 46.8 ★

Teken in een assenstelsel: $A(2, 3)$ ; $B(-3, 1)$ ; $C(-2, -2)$ ; $D(3, -1)$ ; $E(0, -3)$ . Welk punt ligt op een as?

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.8.

Vrije tekening; $E(0, -3)$ ligt op de verticale as (zijn eerste coördinaat is $0$ ).

Oefening 46.9 ★★

Bereken het verschil tussen de hoogste en laagste temperatuur: Moskou in januari, max $-4$ graden, min $-13$ graden; Helsinki, max $2$ , min $-9$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.9.

Moskou: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ graden verschil. Helsinki: $2 - (-9) = 11$ graden.

Oefening 46.10 ★★

Een duiker bevindt zich op hoogte $-12$ m (twaalf meter onder het oppervlak). Ze stijgt $7$ m, en daalt daarna $4$ m. Op welke hoogte is ze? Hoe ver moet ze nog stijgen om het oppervlak te bereiken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.10.

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$ : ze is op $-9$ m. Om het oppervlak (hoogte $0$ ) te bereiken moet ze $0 - (-9) = 9$ m stijgen.

Oefening 46.11 ★★

Teken $A(-2, 1)$ , $B(2, 1)$ , $C(2, -2)$ . Vind de coördinaten van het punt $D$ zodat $ABCD$ een rechthoek is, en bereken zijn omtrek (tel de roostervierkanten voor de zijdelengten).

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.11.

$D(-2, -2)$ : zelfde eerste coördinaat als $A$ , zelfde tweede coördinaat als $C$ . Zijden: $AB = 4$ (van $-2$ tot $2$ ) en $BC = 3$ (van $1$ omlaag tot $-2$ ), dus de omtrek is $2 \times (4 + 3) = 14$ .

Oefening 46.12 ★★★

In het magische vierkant hieronder moet elke rij, kolom en diagonaal dezelfde som hebben. Kopieer en vul in:

$?$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$?$
$-4$	$?$	$?$

(Begin met het vinden van de magische som via de diagonaal die bijna compleet is.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.12.

De complete diagonaal $0, -2, -4$ geeft de magische som $0 + (-2) + (-4) = -6$ . Dan, cel voor cel: linksboven $= -6 - (-7) - 0 = 1$ ; midden-rechts $= -6 - (-3) - (-2) = -1$ ; rechtsonder $= -6 - 0 - (-1) = -5$ ; midden-onder $= -6 - (-7) - (-2) = 3$ .

$1$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$-1$
$-4$	$3$	$-5$

Elke rij, kolom en diagonaal somt tot $-6$ .