Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

60De rechthoekige driehoek en de cosinus

Twee mooie feiten verbinden de rechthoekige driehoek met de cirkel: een rechthoekige driehoek past exact in een halve cirkel, waarbij de schuine zijde een middellijn is. En één getal, de cosinus van een hoek, codeert de vorm van elke rechthoekige driehoek met die hoek — de eerste goniometrische verhouding, vooruitlopend op haar broers sinus en tangens (Hoofdstuk 69).

60.1 De rechthoekige driehoek en zijn cirkel

Stelling 60.1 (Cirkelstelling)

Als een driehoek $ABC$ rechthoekig is in $A$ , dan ligt $A$ op de cirkel waarvan de middellijn de schuine zijde $[BC]$ is.
Omgekeerd, als $A$ op een cirkel met middellijn $[BC]$ ligt (met $A \neq B, C$ ), dan is de driehoek $ABC$ rechthoekig in $A$ .

Equivalent: in een rechthoekige driehoek ligt het midden van de schuine zijde even ver van de drie hoekpunten — de mediaan vanuit de rechte hoek meet de helft van de schuine zijde.

Bewijs van 1. Laat $O$ het midden van $[BC]$ zijn en $D$ het spiegelbeeld van $A$ ten opzichte van $O$ . De diagonalen van $ABDC$ snijden in hun gemeenschappelijk midden $O$ , dus $ABDC$ is een parallellogram (Definitie 52.7) — met een rechte hoek in $A$ : het is een rechthoek. De diagonalen van een rechthoek zijn gelijk, dus $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ : het punt $A$ ligt op afstand $\frac{BC}{2}$ van $O$ , d.w.z. op de cirkel met middellijn $[BC]$ . (Punt 2 wordt bewezen door het argument achterstevoren te lopen.) ∎

Waar A ook op de cirkel zit, is de hoek BAC recht — het vermoeden van , nu een stelling. De rode mediaan [OA] is een straal: de helft van de schuine zijde. — Waar $A$ ook op de cirkel zit, is de hoek $\widehat{BAC}$ recht — het vermoeden van Oefening 41.10, nu een stelling. De rode mediaan $[OA]$ is een straal: de helft van de schuine zijde.

Voorbeeld 60.2

Een driehoek heeft een schuine zijde van $10$ cm. Zonder iets anders te weten meet de mediaan vanuit de rechte hoek $5$ cm, en de omgeschreven cirkel van de driehoek heeft straal $5$ cm, met middelpunt in het midden van de schuine zijde.

60.2 De cosinus van een scherpe hoek

Definitie 60.3 (Cosinus)

In een rechthoekige driehoek, voor een scherpe hoek $\theta$ :

\cos\theta = \frac{\text{aanliggende zijde bij } \theta}{\text{schuine zijde}}

— het been dat $\theta$ raakt, gedeeld door de schuine zijde. Deze verhouding hangt alleen van de hoek af, niet van de grootte van de driehoek: alle rechthoekige driehoeken met dezelfde scherpe hoek zijn vergrotingen van elkaar, en vergrotingen behouden lengteverhoudingen (Hoofdstuk 59 begon dit verhaal; Hoofdstuk 68 maakt het af).

Twee rechthoekige driehoeken die de hoek delen: de kleine is een verkleining van de grote, dus aanliggend schuine zijde is hetzelfde voor beide — die gemeenschappelijke waarde is . — Twee rechthoekige driehoeken die de hoek $\theta$ delen: de kleine is een verkleining van de grote, dus $\frac{\text{aanliggend}}{\text{schuine zijde}}$ is hetzelfde voor beide — die gemeenschappelijke waarde is $\cos\theta$ .

Propositie 60.4 (Eerste waarden en grenzen)

Voor elke scherpe hoek $\theta$ : $0 < \cos\theta < 1$ , en de cosinus daalt naarmate de hoek opent: een wijdere hoek heeft een kleinere cosinus. Ankerpunten: $\cos 0^\circ = 1$ , $\cos 60^\circ = \frac12$ , $\cos 90^\circ = 0$ (de extreme waarden die bij platte driehoeken horen).

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Methode 60.5 (De cosinus gebruiken)

In een rechthoekige driehoek, wanneer de bekende en gevraagde grootheden een scherpe hoek, haar aanliggende zijde en de schuine zijde zijn:

schrijf de definitie: $\cos\theta = \frac{\text{aanliggend}}{\text{schuine zijde}}$ met de bekende waarden ingevuld;
los de kleine vergelijking op voor de onbekende (vermenigvuldig of deel);
voor een onbekende hoek, pas de $\cos^{-1}$ van de rekenmachine toe op de berekende verhouding;
saneiteitscontroles: een lengte moet korter uitkomen dan de schuine zijde; een hoek strikt tussen $0^\circ$ en $90^\circ$ .

Voorbeeld 60.6 (Een zijde vinden)

Een helling van $6$ m maakt een hoek van $20^\circ$ met de horizontale grond. Overbrugde horizontale afstand (aanliggend aan $20^\circ$ , schuine zijde $6$ m):

\cos 20^\circ = \frac{d}{6} \quad\Longrightarrow\quad d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.

Voorbeeld 60.7 (Een hoek vinden)

In een rechthoekige driehoek meet de aanliggende zijde bij de hoek $\theta$ $3.5$ en de schuine zijde $5$ :

\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7, \qquad \theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .

60.3 Oefeningen

Oefening 60.1 ★

Een rechthoekige driehoek heeft een schuine zijde van $13$ cm. Wat is de lengte van de mediaan vanuit het hoekpunt van de rechte hoek? Wat is de straal van de cirkel door de drie hoekpunten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.1.

Mediaan vanuit de rechte hoek: de helft van de schuine zijde, $6.5$ cm (Stelling 60.1). De omgeschreven cirkel heeft middelpunt in het midden van de schuine zijde met straal $6.5$ cm.

Oefening 60.2 ★

Teken een cirkel met middellijn $8$ cm met een middellijn $[BC]$ , kies een willekeurig punt $A$ op de cirkel en teken $ABC$ . Welke hoek is recht? Citeer de stelling. Meet $AB$ en $AC$ en controleer Pythagoras.

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.2.

De hoek in $A$ is recht ( $[BC]$ is een middellijn: punt 2 van Stelling 60.1). De maten voldoen aan $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$ , op meetnauwkeurigheid na.

Oefening 60.3 ★

In een driehoek $DEF$ rechthoekig in $D$ , noem de zijde aanliggend aan de hoek $\widehat E$ , de zijde ertegenover, en de schuine zijde. Schrijf $\cos \widehat E$ als een verhouding.

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.3.

Schuine zijde: $[EF]$ (tegenover de rechte hoek $D$ ). Aanliggend aan $\widehat E$ : $[ED]$ . Tegenover: $[DF]$ . Dus $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$ .

Oefening 60.4 ★

Bereken de ontbrekende grootheid ( $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\cos 50^\circ \approx 0.643$ ):

schuine zijde $10$ , hoek $35^\circ$ : aanliggende zijde?
aanliggende zijde $6$ , hoek $50^\circ$ : schuine zijde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.4.

1. aanliggend $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$ .

2. schuine zijde $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$ .

Oefening 60.5 ★

In een rechthoekige driehoek meet de aanliggende zijde bij $\theta$ $8$ en de schuine zijde $10$ . Bereken $\cos\theta$ , daarna $\theta$ ( $\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.5.

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$ , dus $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$ .

Oefening 60.6 ★

Leg uit waarom $\cos\theta$ nooit gelijk kan zijn aan $1.2$ voor een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.6.

$\cos\theta$ is een been gedeeld door de schuine zijde, en de schuine zijde is de langste zijde van een rechthoekige driehoek: het quotiënt is altijd kleiner dan $1$ . Een waarde $1.2$ zou een been langer dan de schuine zijde betekenen — onmogelijk.

Oefening 60.7 ★★

Een zipline van $25$ m daalt van een platform naar de grond, met een hoek van $12^\circ$ met de horizontaal ( $\cos 12^\circ \approx 0.978$ ). Welke horizontale afstand overspant hij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.7.

Horizontale overspanning $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx 24.5$ m.

Oefening 60.8 ★★

Orden zonder rekenmachine: $\cos 20^\circ$ , $\cos 70^\circ$ , $\cos 45^\circ$ (gebruik Propositie 60.4). Controleer daarna met een rekenmachine.

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.8.

De cosinus daalt naarmate de hoek groeit (Propositie 60.4):

\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .

(Rekenmachine: $0.342 < 0.707 < 0.940$ .)

Oefening 60.9 ★★

Een ladder van lengte $L$ leunt tegen een muur met een hoek $\theta$ tussen ladder en grond. Zijn voet staat $1.2$ m van de muur en $\theta = 68^\circ$ ( $\cos 68^\circ \approx 0.375$ ). Bereken $L$ , daarna de bereikte hoogte (Pythagoras).

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.9.

De grondafstand is aanliggend aan $\theta$ : $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$ , dus $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Hoogte (Pythagoras): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

Oefening 60.10 ★★

$[BC]$ is een middellijn van een cirkel met middelpunt $O$ en straal $4.5$ cm, en $A$ is een punt van de cirkel met $AB = 5.4$ cm.

Waarom is $ABC$ rechthoekig in $A$ ?
Bereken $AC$ , daarna $\cos \widehat B$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.10.

1. $A$ ligt op een cirkel met middellijn $[BC]$ : rechte hoek in $A$ (Stelling 60.1).

2. $BC = 9$ cm (tweemaal de straal). Pythagoras: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. En $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$ .

Oefening 60.11 ★★★

Gebruik de helft van een gelijkzijdige driehoek met zijde $1$ (gesneden langs een hoogte) om het ankerpunt $\cos 60^\circ = \frac12$ van Propositie 60.4 te motiveren. (Waar valt de voet van de hoogte op de basis? De volledige goniometrische versie is Voorbeeld 69.9.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.11.

In de gelijkzijdige driehoek met zijde $1$ landt de hoogte vanuit één hoekpunt op het midden van de overstaande zijde (symmetrieas). De helft van de driehoek is rechthoekig met schuine zijde $1$ (een volle zijde), een hoek van $60^\circ$ in het basishoekpunt, en aanliggende zijde $\frac12$ (de helft van de basis). Dus

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .