Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

60De rechthoekige driehoek en de cosinus

Twee mooie feiten binden de rechthoekige driehoek aan de cirkel: een rechthoekige driehoek past precies in een halve cirkel, met zijn schuine zijde als diameter. En één getal, de cosinus van een hoek, legt de vorm vast van elke rechthoekige driehoek met die hoek — de eerste goniometrische verhouding, nog vóór haar zusjes sinus en tangens (Hoofdstuk 69).

60.1 De rechthoekige driehoek en zijn cirkel

Stelling 60.1 (Cirkelstelling)

Is een driehoek $ABC$ rechthoekig in $A$ , dan ligt $A$ op de cirkel met de schuine zijde $[BC]$ als diameter.
Omgekeerd: ligt $A$ op een cirkel met diameter $[BC]$ (met $A \neq B, C$ ), dan is de driehoek $ABC$ rechthoekig in $A$ .

Even goed gezegd: in een rechthoekige driehoek ligt het midden van de schuine zijde op gelijke afstand van de drie hoekpunten — de zwaartelijn uit de rechte hoek meet de helft van de schuine zijde.

Bewijs van 1. Zij $O$ het midden van $[BC]$ en $D$ het beeld van $A$ door de puntspiegeling om $O$ . De diagonalen van $ABDC$ snijden elkaar in hun gemeenschappelijke midden $O$ , dus is $ABDC$ een parallellogram (Definitie 52.7) — met een rechte hoek in $A$ : het is een rechthoek. De diagonalen van een rechthoek zijn gelijk, dus is $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ : het punt $A$ ligt op afstand $\frac{BC}{2}$ van $O$ , dat wil zeggen op de cirkel met diameter $[BC]$ . (Punt 2 bewijs je door het betoog in omgekeerde richting te doorlopen.) ∎

Waar A ook op de cirkel ligt, de hoek BAC is recht — het vermoeden van , nu een stelling. De rode zwaartelijn [OA] is een radius: de helft van de schuine zijde. — Waar $A$ ook op de cirkel ligt, de hoek $\widehat{BAC}$ is recht — het vermoeden van Oefening 41.10, nu een stelling. De rode zwaartelijn $[OA]$ is een radius: de helft van de schuine zijde.

Voorbeeld 60.2

Een driehoek heeft een schuine zijde van $10$ cm. Zonder verder iets te weten: de zwaartelijn uit de rechte hoek meet $5$ cm, en de omgeschreven cirkel van de driehoek heeft radius $5$ cm, met het midden van de schuine zijde als middelpunt.

60.2 De cosinus van een scherpe hoek

Definitie 60.3 (Cosinus)

In een rechthoekige driehoek geldt voor een scherpe hoek $\theta$ :

\cos\theta = \frac{\text{aanliggende zijde bij } \theta}{\text{schuine zijde}}

— de rechthoekszijde die aan $\theta$ raakt, gedeeld door de schuine zijde. Deze verhouding hangt alleen van de hoek af, niet van de grootte van de driehoek: alle rechthoekige driehoeken met dezelfde scherpe hoek zijn vergrotingen van elkaar, en vergrotingen behouden verhoudingen van lengten (Hoofdstuk 59 begon dit verhaal; Hoofdstuk 68 maakt het af).

Twee rechthoekige driehoeken met dezelfde hoek : de kleine is een verkleining van de grote, dus is aanliggend schuine zijde voor beide hetzelfde — die gemeenschappelijke waarde is . — Twee rechthoekige driehoeken met dezelfde hoek $\theta$ : de kleine is een verkleining van de grote, dus is $\frac{\text{aanliggend}}{\text{schuine zijde}}$ voor beide hetzelfde — die gemeenschappelijke waarde is $\cos\theta$ .

Propositie 60.4 (Eerste waarden en grenzen)

Voor elke scherpe hoek $\theta$ geldt $0 < \cos\theta < 1$ , en de cosinus daalt als de hoek verder opengaat: een wijdere hoek heeft een kleinere cosinus. Herkenningspunten: $\cos 0^\circ = 1$ , $\cos 60^\circ = \frac12$ , $\cos 90^\circ = 0$ (de uiterste waarden horen bij platgedrukte driehoeken).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Methode 60.5 (De cosinus gebruiken)

In een rechthoekige driehoek, wanneer de bekende en de gevraagde grootheden een scherpe hoek, zijn aanliggende zijde en de schuine zijde zijn:

schrijf de definitie op: $\cos\theta = \frac{\text{aanliggend}}{\text{schuine zijde}}$ , met de bekende waarden ingevuld;
los de kleine vergelijking op naar de onbekende (vermenigvuldig of deel);
is de hoek onbekend, pas dan de $\cos^{-1}$ van de rekenmachine toe op de berekende verhouding;
controles op het gezond verstand: een lengte moet korter uitkomen dan de schuine zijde; een hoek strikt tussen $0^\circ$ en $90^\circ$ .

Voorbeeld 60.6 (Een zijde vinden)

Een helling van $6$ m maakt een hoek van $20^\circ$ met de horizontale grond. De afgelegde horizontale afstand (aanliggend bij $20^\circ$ , schuine zijde $6$ m):

\cos 20^\circ = \frac{d}{6} \quad\Longrightarrow\quad d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.

Voorbeeld 60.7 (Een hoek vinden)

In een rechthoekige driehoek meet de zijde die aan de hoek $\theta$ ligt $3.5$ en de schuine zijde $5$ :

\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7, \qquad \theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .

60.3 Oefeningen

Oefening 60.1 ★

Een rechthoekige driehoek heeft een schuine zijde van $13$ cm. Hoe lang is de zwaartelijn uit het hoekpunt met de rechte hoek? Wat is de radius van de cirkel door de drie hoekpunten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.1.

Zwaartelijn uit de rechte hoek: de helft van de schuine zijde, $6.5$ cm (Stelling 60.1). De omgeschreven cirkel heeft het midden van de schuine zijde als middelpunt en radius $6.5$ cm.

Oefening 60.2 ★

Teken een cirkel met diameter $8$ cm en daarin een diameter $[BC]$ , kies een willekeurig punt $A$ op de cirkel en teken $ABC$ . Welke hoek is recht? Noem de stelling. Meet $AB$ en $AC$ en ga Pythagoras na.

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.2.

De hoek in $A$ is recht ( $[BC]$ is een diameter: punt 2 van Stelling 60.1). De metingen geven $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$ , op de meetnauwkeurigheid na.

Oefening 60.3 ★

Benoem in een driehoek $DEF$ , rechthoekig in $D$ , de zijde die aan de hoek $\widehat E$ ligt, de zijde tegenover die hoek, en de schuine zijde. Schrijf $\cos \widehat E$ als een verhouding.

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.3.

Schuine zijde: $[EF]$ (tegenover de rechte hoek $D$ ). Aanliggend bij $\widehat E$ : $[ED]$ . Tegenover: $[DF]$ . Dus is $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$ .

Oefening 60.4 ★

Bereken de ontbrekende grootheid ( $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\cos 50^\circ \approx 0.643$ ):

schuine zijde $10$ , hoek $35^\circ$ : aanliggende zijde?
aanliggende zijde $6$ , hoek $50^\circ$ : schuine zijde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.4.

1. aanliggende zijde $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$ .

2. schuine zijde $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$ .

Oefening 60.5 ★

In een rechthoekige driehoek meet de zijde die aan $\theta$ ligt $8$ en de schuine zijde $10$ . Bereken $\cos\theta$ , en daarna $\theta$ ( $\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.5.

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$ , dus is $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$ .

Oefening 60.6 ★

Leg uit waarom $\cos\theta$ nooit $1.2$ kan zijn voor een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.6.

$\cos\theta$ is een rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde, en de schuine zijde is de langste zijde van een rechthoekige driehoek: het quotiënt is altijd kleiner dan $1$ . Een waarde van $1.2$ zou een rechthoekszijde betekenen die langer is dan de schuine zijde — onmogelijk.

Oefening 60.7 ★★

Een tokkelbaan van $25$ m daalt van een platform naar de grond en maakt een hoek van $12^\circ$ met de horizontale ( $\cos 12^\circ \approx 0.978$ ). Welke horizontale afstand overspant hij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.7.

Horizontale overspanning $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx 24.5$ m.

Oefening 60.8 ★★

Zet op volgorde zonder rekenmachine: $\cos 20^\circ$ , $\cos 70^\circ$ , $\cos 45^\circ$ (gebruik Propositie 60.4). Ga het daarna na met de rekenmachine.

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.8.

De cosinus daalt als de hoek groter wordt (Propositie 60.4):

\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .

(Rekenmachine: $0.342 < 0.707 < 0.940$ .)

Oefening 60.9 ★★

Een ladder met lengte $L$ staat tegen een muur, met een hoek $\theta$ tussen ladder en grond. Zijn voet staat $1.2$ m van de muur en $\theta = 68^\circ$ ( $\cos 68^\circ \approx 0.375$ ). Bereken $L$ , en daarna de bereikte hoogte (Pythagoras).

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.9.

De afstand op de grond ligt aan $\theta$ : $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$ , dus is $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Hoogte (Pythagoras): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

Oefening 60.10 ★★

$[BC]$ is een diameter van een cirkel met middelpunt $O$ en radius $4.5$ cm, en $A$ is een punt van de cirkel met $AB = 5.4$ cm.

Waarom is $ABC$ rechthoekig in $A$ ?
Bereken $AC$ , en daarna $\cos \widehat B$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.10.

1. $A$ ligt op een cirkel met diameter $[BC]$ : rechte hoek in $A$ (Stelling 60.1).

2. $BC = 9$ cm (twee keer de radius). Pythagoras: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. En $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$ .

Oefening 60.11 ★★★

Verantwoord met de helft van een gelijkzijdige driehoek met zijde $1$ (geknipt langs een hoogtelijn) het herkenningspunt $\cos 60^\circ = \frac12$ van Propositie 60.4. (Waar komt de voet van de hoogtelijn op de basis terecht? De volledige goniometrische versie is Voorbeeld 69.9.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 60.11.

In de gelijkzijdige driehoek met zijde $1$ komt de hoogtelijn uit een hoekpunt op het midden van de overstaande zijde terecht (symmetrieas). De helft van de driehoek is rechthoekig met schuine zijde $1$ (een volledige zijde), een hoek van $60^\circ$ in het hoekpunt op de basis, en aanliggende zijde $\frac12$ (de helft van de basis). Bijgevolg is

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .

60.4 Opgave: de betrekkingen van Euclides, en Pythagoras nog een keer

Probleem 60.1

Weekendopgave — de hoogtelijn van een rechthoekige driehoek: $AB^2 = BH \times BC$ , $AH^2 = BH \times HC$ , een tweede bewijs van Pythagoras, en een machine om vierkantswortels te construeren

Laat uit de rechte hoek van een rechthoekige driehoek de loodlijn op de schuine zijde neer: dat korte lijnstuk — de hoogtelijn — voldoet aan betrekkingen die zo nuttig zijn dat Euclides ze in het hart van zijn Elementen plaatste. In deze opgave bewijst de bepalende eigenschap van de cosinus, “de verhouding hangt alleen van de hoek af” (Definitie 60.3), ze alle; onderweg bewijs je de stelling van Pythagoras opnieuw, langs een volstrekt andere weg, en aan het einde staat een machine met passer en lat die $\sqrt2$ , $\sqrt5$ en $\sqrt{n}$ voor elk heel getal $n$ construeert.

Overal is $ABC$ een driehoek die rechthoekig is in $A$ , en is $H$ de voet van de loodlijn uit $A$ op de schuine zijde $[BC]$ , zodat $H$ tussen $B$ en $C$ ligt en $AH \perp BC$ .

Deel I — Één hoek, twee driehoeken.

Toon met de hoekensom van een driehoek (Stelling 51.3) in $ABH$ en in $ABC$ aan dat $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : de hoogtelijn verdeelt de rechthoekige driehoek in twee kleinere driehoeken met dezelfde hoeken als de oorspronkelijke.
De driehoeken $ABC$ (rechthoekig in $A$ ) en $ABH$ (rechthoekig in $H$ ) hebben de hoek $\widehat B$ gemeen. Schrijf $\cos\widehat B$ in elk van beide op en leid uit Definitie 60.3 af dat

$AB^2 = BH \times BC .$

(Om van gelijke verhoudingen naar gelijke producten te gaan, vermenigvuldig je beide leden met beide noemers, Stelling 57.5.)
Formuleer en bewijs de tegenhanger in het hoekpunt $C$ :

$AC^2 = CH \times CB .$
Neem de $3$ – $4$ – $5$ -driehoek: $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ . Bereken $BH$ en $CH$ met vragen 2 en 3, en ga na dat $BH + HC = BC$ .
Druk $BH$ en $CH$ in het algemeen uit als breuken waarin alleen de drie zijden voorkomen. In welke zin verdeelt de voet $H$ de schuine zijde “evenredig met de kwadraten van de rechthoekszijden”?

Deel II — Pythagoras opnieuw, en de hoogtelijn.

Tel de betrekkingen van vragen 2 en 3 op en gebruik $BH + HC = BC$ om te komen tot

$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$

de stelling van Pythagoras (Stelling 58.1), opnieuw bewezen — zonder ook maar één oppervlakteraadsel in zicht (vergelijk Oefening 58.11).
Pas Pythagoras toe in de kleine driehoek $ABH$ om $AH^2 = AB^2 - BH^2$ te schrijven, vervang $AB^2$ door $BH \times BC$ , en breng $BH$ buiten haakjes om de hoogtelijnbetrekking van Euclides te bewijzen:

$AH^2 = BH \times HC .$
Bereken de oppervlakte van $ABC$ op twee manieren — met de rechthoekszijden als basis en hoogte, en daarna met de schuine zijde als basis (Stelling 53.3) — en leid de derde betrekking af:

$AB \times AC = BC \times AH .$
Terug naar de $3$ – $4$ – $5$ -driehoek: bereken $AH$ met vraag 8, en ga daarna de hoogtelijnbetrekking van vraag 7 met getallen na, met de in vraag 4 gevonden waarden van $BH$ en $CH$ .
De voet van de hoogtelijn verdeelt de schuine zijde van een zekere rechthoekige driehoek in de stukken $BH = 2$ cm en $HC = 8$ cm. Bereken de hoogtelijn $AH$ .

Deel III — Een machine voor vierkantswortels. Teken een lijnstuk $[BC]$ dat uit twee stukken achter elkaar bestaat: $BH = p$ en $HC = q$ . Teken de halve cirkel met diameter $[BC]$ , en zij $A$ het punt waar de loodlijn op $(BC)$ in $H$ die halve cirkel ontmoet.

Leg met Stelling 60.1 uit waarom de driehoek $ABC$ rechthoekig is in $A$ — zodat vraag 7 van toepassing is en

$AH^2 = p \times q .$

(De lengte $AH$ heet het meetkundig gemiddelde van $p$ en $q$ .)
Neem $p = 1$ en $q = 2$ . Wat is $AH^2$ ? Welke beroemde lengte uit Voorbeeld 58.9 heeft je figuur met passer en lat net geconstrueerd?
Beschrijf het recept dat een lijnstuk met lengte $\sqrt n$ construeert voor elk heel getal $n \geq 1$ , en zeg welke keuze van $p$ en $q$ $\sqrt 5$ construeert.
Zij $O$ het middelpunt van de halve cirkel. Leg uit waarom $AH$ nooit groter kan zijn dan de radius $\frac{p + q}{2}$ , en voor welke stand van $H$ de twee gelijk zijn.
Leid de ongelijkheid af: voor alle positieve getallen $p$ en $q$ geldt

$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$

met gelijkheid precies als $p = q$ . Bewijs die daarna opnieuw zonder een greintje meetkunde: werk $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ uit en herken een merkwaardig product (Probleem 57.1).

Oplossing

Oplossing van Probleem 60.1.

1. In de driehoek $ABH$ , rechthoekig in $H$ , geeft de hoekensom (Stelling 51.3) dat $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$ , dus $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$ . In de driehoek $ABC$ , rechthoekig in $A$ : $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$ , dus $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$ . Bijgevolg is $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : beide kleine driehoeken herhalen de hoeken $\widehat B$ , $\widehat C$ , $90^\circ$ van de oorspronkelijke.

2. In $ABC$ (rechthoekig in $A$ ) is de zijde die aan $\widehat B$ ligt $AB$ en is de schuine zijde $BC$ : $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$ . In $ABH$ (rechthoekig in $H$ ) is de zijde die aan $\widehat B$ ligt $BH$ en is de schuine zijde $AB$ : $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$ . De verhouding hangt alleen van de hoek af (Definitie 60.3), dus is

\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;

beide leden met $BC \times AB$ vermenigvuldigen (Stelling 57.5) geeft $AB^2 = BH \times BC$ .

3. De driehoeken $ABC$ (rechthoekig in $A$ ) en $ACH$ (rechthoekig in $H$ ) hebben de hoek $\widehat C$ gemeen. Aanliggende zijde gedeeld door schuine zijde, in elk van beide:

\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC} \qquad\Longrightarrow\qquad AC^2 = CH \times CB .

4. $AB^2 = BH \times BC$ luidt $9 = BH \times 5$ , dus is $BH = 1.8$ ; en $16 = CH \times 5$ geeft $CH = 3.2$ . Controle: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — zoals het moet, want $H$ ligt op de schuine zijde tussen $B$ en $C$ .

5. Elke betrekking door $BC$ delen geeft

BH = \frac{AB^2}{BC}, \qquad CH = \frac{AC^2}{BC} .

Dus zijn $BH$ en $CH$ evenredig met $AB^2$ en $AC^2$ : de voet van de hoogtelijn verdeelt de schuine zijde in de verhouding van de kwadraten van de rechthoekszijden ( $1.8 : 3.2 = 9 : 16$ in vraag 4).

6. De twee betrekkingen optellen en $BC$ buiten haakjes brengen (distributiviteit):

AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC = (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .

Dit is Stelling 58.1, verkregen uit de cosinus alleen — een werkelijk ander bewijs dan het oppervlakteraadsel met de vier driehoeken uit Oefening 58.11.

7. Pythagoras in $ABH$ (rechthoekig in $H$ , schuine zijde $[AB]$ ): $AH^2 = AB^2 - BH^2$ . Vervang $AB^2$ door $BH \times BC$ (vraag 2) en breng $BH$ buiten haakjes:

AH^2 = BH \times BC - BH^2 = BH \times (BC - BH) = BH \times HC .

8. Met de rechthoekszijden als basis en hoogte is de oppervlakte van $ABC$ gelijk aan $\frac{AB \times AC}{2}$ ; met de schuine zijde $[BC]$ als basis is de hoogte precies $AH$ , dus is de oppervlakte ook $\frac{BC \times AH}{2}$ (Stelling 53.3). Gelijkstellen en verdubbelen: $AB \times AC = BC \times AH$ .

9. $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ . Nagaan van vraag 7: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ en $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$ . Gelijk.

10. $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$ , dus is $AH = \sqrt{16} = 4$ cm.

11. Het punt $A$ ligt op de cirkel met diameter $[BC]$ (en is verschillend van $B$ en $C$ ), dus is de driehoek $ABC$ volgens punt 2 van Stelling 60.1 rechthoekig in $A$ . Door de constructie is $(AH) \perp (BC)$ met $H$ tussen $B$ en $C$ : het lijnstuk $[AH]$ is precies de hoogtelijn van vraag 7, en $AH^2 = BH \times HC = p \times q$ .

12. $AH^2 = 1 \times 2 = 2$ : de figuur construeert, met passer en lat alleen, een lijnstuk waarvan het kwadraat $2$ is — de diagonaal van het eenheidsvierkant, $\sqrt2 \approx 1.414$ , uit Voorbeeld 58.9.

13. Recept: leg twee lijnstukken met lengten $p = 1$ en $q = n$ achter elkaar; teken de halve cirkel met het hele lijnstuk (lengte $n + 1$ ) als diameter; richt de loodlijn op in het verbindingspunt; die ontmoet de halve cirkel in een punt waarvan de afstand tot het verbindingspunt $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$ is. Voor $\sqrt5$ : neem $p = 1$ en $q = 5$ (een halve cirkel met diameter $6$ ).

14. $A$ ligt op de cirkel met middelpunt $O$ , dus is $OA = \frac{p+q}{2}$ , de radius. Is $H \neq O$ , dan is de driehoek $AHO$ rechthoekig in $H$ met schuine zijde $[OA]$ , en een rechthoekszijde is korter dan de schuine zijde: $AH < OA$ . Is $H = O$ , dan is $AH = OA$ precies. In alle gevallen is $AH \leq \frac{p+q}{2}$ , met gelijkheid precies als $H$ het middelpunt is — dat wil zeggen als $p = q$ .

15. $AH \leq \frac{p+q}{2}$ kwadrateren (beide leden positief) en $AH^2 = pq$ gebruiken geeft

p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,

met gelijkheid precies voor $p = q$ . Algebraïsch nogmaals bewezen, met de merkwaardige producten (Probleem 57.1):

\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq = \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4} = \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4} = \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,

een kwadraat, en dus nooit negatief — en nul precies als $p = q$ . Het meetkundig gemiddelde van twee getallen is nooit groter dan hun halve som.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Cosinus

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst