Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

47Breuken: vergelijken en optellen

In jaar 6 kwamen breuken aan de orde als delen en als precieze quotiënten (Hoofdstuk 39). In dit hoofdstuk leer je ermee rekenen: gelijke breuken herkennen, vergelijken, optellen en aftrekken — voorlopig met vriendelijke noemers; het algemene geval komt in Hoofdstuk 63.

47.1 Gelijke breuken

Stelling 47.1 (Gelijke breuken)

Een breuk verandert niet als je haar teller en haar noemer met hetzelfde getal (niet nul) vermenigvuldigt of erdoor deelt:

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 47.2

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$ , en in de andere richting $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{7}{5}$ (vereenvoudigd door $6$ ).

Om te testen of $\dfrac{8}{12}$ en $\dfrac{10}{15}$ gelijk zijn, vereenvoudig je beide: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ en $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — ja, gelijk.

47.2 Breuken vergelijken

Methode 47.3 (Twee breuken vergelijken)

Dezelfde noemer: vergelijk de tellers: $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .
De ene noemer is een veelvoud van de andere: herschrijf de grovere breuk en vergelijk daarna: $\frac{5}{6}$ tegen $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} > \frac{7}{12}$ .
Vergelijk met $1$ of met $\frac12$ als dat kan: $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ beslist $\frac98$ tegen $\frac79$ onmiddellijk.

5/6 en 7/12 vergelijken op twee gelijke stroken: de zesden halveren laat zien dat 5/6 = 10/12, en dat is meer dan 7/12. — $\frac56$ en $\frac{7}{12}$ vergelijken op twee gelijke stroken: de zesden halveren laat zien dat $\frac56 = \frac{10}{12}$ , en dat is meer dan $\frac{7}{12}$ .

47.3 Optellen en aftrekken

Stelling 47.4 (Dezelfde noemer)

Breuken met dezelfde noemer tel je op (of trek je af) door de tellers op te tellen (of af te trekken):

\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}, \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .

Waarom. $a$ delen van grootte $\frac1d$ plus $b$ delen van dezelfde grootte maken $a + b$ delen van die grootte. ∎

Methode 47.5 (Verschillende noemers)

Als de ene noemer een veelvoud van de andere is:

herschrijf de breuk met de kleinste noemer, zodat beide de grootste noemer hebben (Stelling 47.1);
tel de tellers op, of trek ze af;
vereenvoudig de uitkomst als dat kan.

Voorbeeld 47.6

Reken $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$ uit, stap voor stap:

$8$ is een veelvoud van $4$ : herschrijf $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ;
tel op: $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ;
er valt niets te vereenvoudigen: de uitkomst is $\dfrac{11}{8}$ , dus $1 + \dfrac38$ .

Nog een: $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}$ (schrijf het hele getal eerst op noemer $5$ ).

Voorbeeld 47.7 (Een klassieke valstrik)

$\dfrac12 + \dfrac13$ is niet $\dfrac{2}{5}$ ! Tellers en noemers apart optellen is fout — de uitkomst $\frac25$ zou kleiner zijn dan $\frac12$ , en dat is onzin als je iets positiefs bij $\frac12$ optelt. (De juiste som, $\frac56$ , heeft de gemeenschappelijke noemer $6$ nodig; de algemene methode staat in Hoofdstuk 63.)

47.4 Een breuk met een getal vermenigvuldigen

Propositie 47.8 (Breuk keer een getal)

Voor een getal $k$ geldt:

k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .

$\frac ab$ van een hoeveelheid nemen betekent met $\frac ab$ vermenigvuldigen.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 47.9

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ : zes keer twee derde is vier gehelen. En “ $\frac34$ van $60$ euro” is $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ euro — hetzelfde antwoord als door $4$ delen en dan met $3$ vermenigvuldigen (Methode 39.8).

47.5 Oefeningen

Oefening 47.1 ★

Vul aan: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$ ; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.1.

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$ ; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Oefening 47.2 ★

Vereenvoudig zo veel mogelijk: $\dfrac{12}{16}$ ; $\dfrac{30}{45}$ ; $\dfrac{27}{36}$ ; $\dfrac{48}{12}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.2.

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$ ; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$ ; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$ ; $\dfrac{48}{12} = 4$ .

Oefening 47.3 ★

Zijn $\dfrac{15}{35}$ en $\dfrac{21}{49}$ gelijk? En $\dfrac{16}{28}$ en $\dfrac{20}{36}$ ? Verantwoord het door te vereenvoudigen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.3.

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ en $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$ : gelijk.

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ en $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$ : om te vergelijken, $\frac47 = \frac{36}{63}$ en $\frac59 = \frac{35}{63}$ — niet gelijk.

Oefening 47.4 ★

Vergelijk (schrijf de redenering op, niet alleen het antwoord):

\frac{7}{11} \text{ en } \frac{9}{11}; \qquad \frac{5}{6} \text{ en } \frac{11}{18}; \qquad \frac{13}{12} \text{ en } \frac{19}{20}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.4.

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (dezelfde noemer).

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$ .

$\dfrac{13}{12} > 1$ terwijl $\dfrac{19}{20} < 1$ , dus $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$ .

Oefening 47.5 ★

Reken uit en vereenvoudig als dat kan:

\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad \frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad \frac{5}{8} + \frac{7}{8} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.5.

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$ ; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$ ; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$ .

Oefening 47.6 ★

Reken uit met Methode 47.5:

\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad \frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} + \frac{5}{12} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.6.

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$ .

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{10}$ .

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac76$ .

Oefening 47.7 ★

Reken uit:

3 - \frac{5}{4}, \qquad 1 + \frac{3}{8}, \qquad 2 - \frac{7}{6} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.7.

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$ ; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$ ; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$ .

Oefening 47.8 ★

Reken uit:

5 \times \frac{3}{10}, \qquad \frac{7}{8} \times 4, \qquad \frac{2}{3} \text{ van } 45 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.8.

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$ ; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$ ; $\dfrac23$ van $45$ is $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$ .

Oefening 47.9 ★★

Marc heeft $\frac14$ van een pizza opgegeten en Julie $\frac38$ van dezelfde pizza. Welke breuk van de pizza hebben ze samen opgegeten? Welke breuk blijft over?

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.9.

Samen: $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ van de pizza. Over: $1 - \dfrac58 = \dfrac38$ .

Oefening 47.10 ★★

In een fles zit $\frac34$ L sap. Lea schenkt twee keer $\frac16$ L uit. Hoeveel sap blijft er over? (Gemeenschappelijke noemer: $12$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.10.

Uitgeschonken: $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L. Over:

\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \text{ L}.

Oefening 47.11 ★★

Leg met het argument van Voorbeeld 47.7 uit waarom $\frac35 + \frac12$ niet $\frac{4}{7}$ kan zijn, zonder de juiste som uit te rekenen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.11.

De positieve hoeveelheid $\frac12$ bij $\frac35$ optellen moet een uitkomst geven die groter is dan $\frac35$ . Maar $\frac47 < \frac35$ (immers $\frac47 = \frac{20}{35}$ en $\frac35 = \frac{21}{35}$ ): de beweerde som is kleiner dan een van haar termen — onmogelijk.

Oefening 47.12 ★★★

Reken de som

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}

stap voor stap uit (van links naar rechts). Bekijk het patroon van de tussensommen: welk getal naderen ze als je meer en meer termen $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ toevoegt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.12.

Stap voor stap:

\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad \frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad \frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.

De tussensommen $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ liggen elke keer half zo ver van $1$ : bij elke stap wordt het ontbrekende deel gehalveerd. De sommen naderen $1$ zonder het ooit te bereiken.

47.6 Opgave: de breuken die in een muziekmaat verstopt zitten

Probleem 47.1

Weekendopgave — notenwaarden zijn breuken die precies moeten uitkomen, het tellen van ritmes bergt een beroemde rij, en pariteit regeert de Balkanmaat

Muziek wordt in breuken geschreven. Een hele noot duurt $1$ maat (in de gewone vierkwartsmaat); een halve noot duurt $\frac12$ ; dan volgen de kwartnoot $\frac14$ , de achtste noot $\frac18$ en de zestiende noot $\frac{1}{16}$ . Eén onwrikbare wet: de duren binnen één maat moeten precies het totaal van die maat opleveren — $1$ in de vierkwartsmaat. Elke vraag hieronder is de rekenkunde van dit hoofdstuk (Stelling 47.4, Methode 47.5) op muziek gezet; en onderweg ontmoet je een telrij die Indiase geleerden duizend jaar geleden hebben ontdekt.

Deel I — Noten die moeten uitkomen.

Ga na dat elk van deze maten in de vierkwartsmaat geldig is: (a) halve $+$ kwart $+$ kwart; (b) kwart $+$ achtste $+$ achtste $+$ halve.
Een kopiist schreef: halve $+$ kwart $+$ achtste. Welke breuk van de maat staat er, en welke enkele noot maakt haar vol?
Hoeveel zestiende noten vullen één hele maat? En hoeveel zestienden maken één achtste noot?
Een punt achter een noot voegt de helft van de notenwaarde toe: een gepunteerde halve is $\frac12 + \frac14$ , een gepunteerde kwart is $\frac14 + \frac18$ . Reken beide waarden uit.
Een wals wordt in de driekwartsmaat geschreven: elke maat moet samen $\frac34$ zijn. Ga na dat één gepunteerde halve een walsmaat vult, en schrijf twee andere geldige walsmaten op met alleen kwarten en achtsten.

Deel II — Het atelier van de kopiist.

Een vierkwartsmaat bevat: gepunteerde kwart $+$ achtste $+$ kwart. Wat ontbreekt er?
Wat duurt langer, een gepunteerde achtste of een kwartnoot? Vergelijk via zestienden.
Een bindboog plakt duren tot één lange klank aan elkaar: hoe lang duurt een halve noot die aan een achtste gebonden is? Hoeveel zestienden is dat?
De noten van een maat maken samen $\frac{11}{16}$ ; de rest is stilte (een rust). Hoe lang duurt die rust?
Een drummer vult één kwartnoot ( $\frac{4}{16}$ van de maat) met alleen achtsten ( $\frac{2}{16}$ ) en zestienden ( $\frac{1}{16}$ ), waarbij de volgorde meetelt: bijvoorbeeld achtste–zestiende–zestiende, of zestiende–achtste–zestiende. Ga na dat beide voorbeelden geldig zijn en noem daarna alle mogelijke ritmes. Hoeveel zijn er?

Deel III — Een duizend jaar oude rij, en een oneven maat.

Laten we de ritmes van de drummer voor langere noten tellen. Elk ritme eindigt op een zestiende of op een achtste; leg uit waarom dat de regel geeft: (ritmes die $n$ zestienden vullen) $=$ (ritmes die $n - 1$ vullen) $+$ (ritmes die $n - 2$ vullen). Bouw, vanaf $1$ ritme voor één zestiende en $2$ voor twee, de tabel op tot $n = 8$ : hoeveel ritmes vullen een halve noot?
De getallen die je vond — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — werden rond het jaar 1150 gepubliceerd door de Indiase geleerde Hemachandra, die precies zulke ritmes telde, twee generaties voordat Fibonacci ze in Italië opschreef. Formuleer hun patroon in één zin en controleer het op de laatste drie getallen van je tabel.
De “swing”-stijl vervangt twee gelijke achtsten door een lang–kort paar: $\frac16$ en dan $\frac{1}{12}$ . Ga na dat de ruil geldig is (dezelfde totale duur), met de gemeenschappelijke noemer $12$ .
Een triool perst drie gelijke noten in één kwartnoot. Hoe lang duurt elke noot (controleer je antwoord door het met $3$ te vermenigvuldigen, Propositie 47.8)? Dezelfde vraag voor drie gelijke noten die een halve noot vullen.
Balkandansmuziek gebruikt de zevenachtstemaat: elke maat is samen $\frac78$ . Ga na dat gepunteerde kwart $+$ kwart $+$ kwart haar vult. Leg daarna uit waarom geen enkele combinatie van alleen halve en kwartnoten, hoeveel je er ook neemt, ooit een zevenachtstemaat kan vullen. (Tel in achtsten en denk aan even en oneven.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 47.1.

1. (a) $\frac12 + \frac14 + \frac14 = \frac24 + \frac14 + \frac14 = \frac44 = 1$ : geldig. (b) $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac12 = \frac28 + \frac18 + \frac18 + \frac48 = \frac88 = 1$ : geldig.

2. $\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac48 + \frac28 + \frac18 = \frac78$ : er ontbreekt één achtste noot.

3. Een maat is $1 = \frac{16}{16}$ : zestien zestiende noten. Een achtste is $\frac18 = \frac{2}{16}$ : twee zestienden.

4. Gepunteerde halve: $\frac12 + \frac14 = \frac34$ . Gepunteerde kwart: $\frac14 + \frac18 = \frac28 + \frac18 = \frac38$ .

5. De gepunteerde halve is $\frac34$ waard (vraag 4): precies één walsmaat. Andere vullingen, bijvoorbeeld: kwart $+$ kwart $+$ kwart ( $\frac14 + \frac14 + \frac14 = \frac34$ ), of kwart $+$ achtste $+$ achtste $+$ kwart ( $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac{2 + 1 + 1 + 2}{8} = \frac68 = \frac34$ ).

6. $\frac38 + \frac18 + \frac14 = \frac38 + \frac18 + \frac28 = \frac68 = \frac34$ : er ontbreekt één kwartnoot ( $\frac14$ ).

7. Gepunteerde achtste: $\frac18 + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ . Kwart: $\frac{4}{16}$ . De kwart duurt langer.

8. $\frac12 + \frac18 = \frac48 + \frac18 = \frac58$ , dus $\frac{10}{16}$ : tien zestienden.

9. $1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$ van de maat is stilte.

10. Beide voorbeelden geven samen $\frac{2 + 1 + 1}{16} = \frac{4}{16}$ : geldig. Alle ritmes die vier zestienden vullen met stukken van $2$ en $1$ :

2{+}2, \quad 2{+}1{+}1, \quad 1{+}2{+}1, \quad 1{+}1{+}2, \quad 1{+}1{+}1{+}1 :

vijf ritmes.

11. Een ritme dat $n$ zestienden vult, eindigt op een zestiende — en wat ervoor komt vult $n - 1$ — of op een achtste — en wat ervoor komt vult $n - 2$ . Elk ritme wordt zo precies één keer geteld, dus $\text{aantal}(n) = \text{aantal}(n-1) + \text{aantal}(n-2)$ . De tabel:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
aantal	$1$	$2$	$3$	$5$	$8$	$13$	$21$	$34$

Een halve noot ( $8$ zestienden) kan op $34$ manieren getrommeld worden. ( $n = 4$ geeft de vijf ritmes van vraag 10 terug.)

12. Elk getal is de som van de twee ervoor: $3 + 5 = 8$ , $5 + 8 = 13$ , $8 + 13 = 21$ , $13 + 21 = 34$ — de regel die vraag 11 bewees, duizend jaar oud en nu bekend als de regel van Fibonacci.

13. $\frac16 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ : dezelfde duur als twee rechte achtsten ( $\frac18 + \frac18 = \frac14$ ). De swingruil is geldig.

14. Elke noot van de triool duurt $\frac{1}{12}$ : controle, $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ (Propositie 47.8). Voor een halve noot: elke noot duurt $\frac16$ , want $3 \times \frac16 = \frac36 = \frac12$ .

15. Gepunteerde kwart $+$ kwart $+$ kwart: in achtsten is dat $3 + 2 + 2 = 7$ achtsten $= \frac78$ : geldig. Halve en kwartnoten zijn $4$ en $2$ achtsten waard — beide even getallen. Elke som van even getallen is even, maar een zevenachtstemaat heeft $7$ achtsten nodig, een oneven getal: onmogelijk. Om een oneven maat te vullen, moet er iets oneven verschijnen — een achtste of een gepunteerde noot.