Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

47Breuken: vergelijken en optellen

Jaar 6 introduceerde breuken als delen en als exacte quotiënten (Hoofdstuk 39). Dit hoofdstuk leert ermee te rekenen: gelijke breuken herkennen, vergelijken, optellen en aftrekken — voorlopig met vriendelijke noemers; het algemene geval komt in Hoofdstuk 63.

47.1 Gelijke breuken

Stelling 47.1 (Gelijke breuken)

Een breuk verandert niet wanneer teller en noemer vermenigvuldigd, of gedeeld, worden met hetzelfde getal ongelijk aan nul:

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 47.2

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$ , en in de andere richting $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{7}{5}$ (vereenvoudigd met $6$ ).

Om te testen of $\dfrac{8}{12}$ en $\dfrac{10}{15}$ gelijk zijn, vereenvoudig beide: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ en $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — ja, gelijk.

47.2 Breuken vergelijken

Methode 47.3 (Twee breuken vergelijken)

Zelfde noemer: vergelijk de tellers: $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .
Eén noemer is een veelvoud van de andere: herschrijf de grovere breuk, en vergelijk daarna: $\frac{5}{6}$ vs $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} > \frac{7}{12}$ .
Vergelijk met $1$ of $\frac12$ wanneer mogelijk: $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ beslist $\frac98$ vs $\frac79$ meteen.

5/6 en 7/12 vergelijken op tweelingbalken: de zesten in twee snijden toont 5/6 = 10/12, meer dan 7/12. — $\frac56$ en $\frac{7}{12}$ vergelijken op tweelingbalken: de zesten in twee snijden toont $\frac56 = \frac{10}{12}$ , meer dan $\frac{7}{12}$ .

47.3 Optellen en aftrekken

Stelling 47.4 (Zelfde noemer)

Breuken met dezelfde noemer worden opgeteld (of afgetrokken) door de tellers op te tellen (of af te trekken):

\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}, \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .

Waarom. $a$ delen van grootte $\frac1d$ plus $b$ delen van dezelfde grootte maken $a + b$ delen van die grootte. ∎

Methode 47.5 (Verschillende noemers)

Wanneer één noemer een veelvoud is van de andere:

herschrijf de breuk met de kleinere noemer zodat beide de grotere hebben (Stelling 47.1);
tel of trek de tellers op/af;
vereenvoudig het resultaat indien mogelijk.

Voorbeeld 47.6

Bereken $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$ , stap voor stap:

$8$ is een veelvoud van $4$ : herschrijf $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ;
tel op: $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ;
niets te vereenvoudigen: het resultaat is $\dfrac{11}{8}$ , d.w.z. $1 + \dfrac38$ .

Nog een: $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}$ (schrijf eerst het gehele getal over de noemer $5$ ).

Voorbeeld 47.7 (Een klassieke valkuil)

$\dfrac12 + \dfrac13$ is niet $\dfrac{2}{5}$ ! Tellers en noemers apart optellen is fout — het antwoord $\frac25$ zou kleiner zijn dan $\frac12$ , absurd wanneer je iets positiefs bij $\frac12$ optelt. (De juiste som, $\frac56$ , heeft een gemeenschappelijke noemer $6$ nodig; de algemene methode staat in Hoofdstuk 63.)

47.4 Een breuk met een getal vermenigvuldigen

Propositie 47.8 (Breuk maal een getal)

Voor een getal $k$ :

k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .

$\frac ab$ van een hoeveelheid nemen betekent vermenigvuldigen met $\frac ab$ .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 47.9

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ : zes keer twee derden is vier helen. En “ $\frac34$ van $60$ euro” is $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ euro — hetzelfde antwoord als delen door $4$ en daarna vermenigvuldigen met $3$ (Methode 39.8).

47.5 Oefeningen

Oefening 47.1 ★

Vul in: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$ ; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.1.

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$ ; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Oefening 47.2 ★

Vereenvoudig zoveel mogelijk: $\dfrac{12}{16}$ ; $\dfrac{30}{45}$ ; $\dfrac{27}{36}$ ; $\dfrac{48}{12}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.2.

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$ ; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$ ; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$ ; $\dfrac{48}{12} = 4$ .

Oefening 47.3 ★

Zijn $\dfrac{15}{35}$ en $\dfrac{21}{49}$ gelijk? En $\dfrac{16}{28}$ en $\dfrac{20}{36}$ ? Motiveer door te vereenvoudigen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.3.

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ en $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$ : gelijk.

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ en $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$ : om te vergelijken, $\frac47 = \frac{36}{63}$ en $\frac59 = \frac{35}{63}$ — niet gelijk.

Oefening 47.4 ★

Vergelijk (schrijf de redenering, niet alleen het antwoord):

\frac{7}{11} \text{ en } \frac{9}{11}; \qquad \frac{5}{6} \text{ en } \frac{11}{18}; \qquad \frac{13}{12} \text{ en } \frac{19}{20}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.4.

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (zelfde noemer).

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$ .

$\dfrac{13}{12} > 1$ terwijl $\dfrac{19}{20} < 1$ , dus $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$ .

Oefening 47.5 ★

Bereken en vereenvoudig indien mogelijk:

\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad \frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad \frac{5}{8} + \frac{7}{8} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.5.

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$ ; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$ ; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$ .

Oefening 47.6 ★

Bereken met Methode 47.5:

\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad \frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} + \frac{5}{12} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.6.

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$ .

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{10}$ .

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac76$ .

Oefening 47.7 ★

Bereken:

3 - \frac{5}{4}, \qquad 1 + \frac{3}{8}, \qquad 2 - \frac{7}{6} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.7.

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$ ; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$ ; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$ .

Oefening 47.8 ★

Bereken:

5 \times \frac{3}{10}, \qquad \frac{7}{8} \times 4, \qquad \frac{2}{3} \text{ van } 45 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.8.

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$ ; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$ ; $\dfrac23$ van $45$ is $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$ .

Oefening 47.9 ★★

Marc at $\frac14$ van een pizza en Julie $\frac38$ van dezelfde pizza. Welk deel van de pizza aten ze samen? Welk deel blijft over?

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.9.

Samen: $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ van de pizza. Over: $1 - \dfrac58 = \dfrac38$ .

Oefening 47.10 ★★

Een fles bevat $\frac34$ L sap. Lea schenkt twee keer $\frac16$ L uit. Hoeveel sap blijft er over? (Gemeenschappelijke noemer: $12$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.10.

Uitgeschonken: $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L. Resterend:

\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \text{ L}.

Oefening 47.11 ★★

Leg uit, met het argument van Voorbeeld 47.7, waarom $\frac35 + \frac12$ niet $\frac{4}{7}$ kan zijn, zonder de juiste som te berekenen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.11.

Iets positiefs $\frac12$ bij $\frac35$ optellen moet een resultaat groter dan $\frac35$ geven. Maar $\frac47 < \frac35$ (inderdaad $\frac47 = \frac{20}{35}$ en $\frac35 = \frac{21}{35}$ ): de beweerde som is kleiner dan één van haar termen — onmogelijk.

Oefening 47.12 ★★★

Bereken de som

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}

stap voor stap (van links naar rechts). Observeer het patroon van de deelsommen: welk getal naderen ze wanneer steeds meer termen $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ worden toegevoegd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 47.12.

Stap voor stap:

\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad \frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad \frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.

De deelsommen $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ komen elke keer half zo dicht bij $1$ : bij elke stap wordt het ontbrekende deel gehalveerd. De sommen naderen $1$ zonder hem ooit te bereiken.