Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

71Statistiek en kansrekening

Gegevens en toeval zijn overal: sportresultaten, weersvoorspellingen, spellen. Dit hoofdstuk leert hoe je een reeks getallen samenvat met gemiddelde, mediaan en spreidingsbreedte, en hoe je de kans van eenvoudige toevalsexperimenten berekent — inclusief tweestapsexperimenten, behandeld met boomschema’s. Beide onderwerpen worden veel verder uitgewerkt in het High School-volume van deze reeks.

71.1 Gegevens samenvatten

Definitie 71.1 (Gemiddelde, mediaan, spreidingsbreedte)

Voor een reeks van $N$ getallen:

het gemiddelde is de som van alle waarden gedeeld door $N$ ;
de mediaan is een waarde die de gesorteerde reeks in twee helften van gelijke grootte splitst: voor $N$ oneven, de middelste waarde; voor $N$ even, het midden van de twee middelste waarden;
de spreidingsbreedte is de grootste waarde min de kleinste.

Voorbeeld 71.2

Cijfers van een leerling: $8,\ 12,\ 9,\ 15,\ 11$ .

Gemiddelde: $\dfrac{8 + 12 + 9 + 15 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$ .
Mediaan: sorteer de reeks: $8, 9, 11, 12, 15$ ; de middelste (3e) waarde is $11$ .
Spreidingsbreedte: $15 - 8 = 7$ .

Met een zesde cijfer van $17$ : gesorteerd $8, 9, 11, 12, 15, 17$ , wordt de mediaan het midden van $11$ en $12$ , dat is $11.5$ , en het gemiddelde wordt $\frac{72}{6} = 12$ .

Voorbeeld 71.3 (Gewogen gemiddelde)

De schoenmaten verkocht op één dag:

maat	$38$	$39$	$40$	$41$	$42$
aantal	$3$	$7$	$6$	$3$	$1$

De gemiddelde maat is

\frac{3 \times 38 + 7 \times 39 + 6 \times 40 + 3 \times 41 + 1 \times 42} {3 + 7 + 6 + 3 + 1} = \frac{114 + 273 + 240 + 123 + 42}{20} = \frac{792}{20} = 39.6 .

Opmerking 71.4

Het gemiddelde en de mediaan kunnen sterk verschillen. In de reeks $10, 10, 10, 10, 60$ is het gemiddelde $20$ (omhooggetrokken door de waarde $60$ ) terwijl de mediaan $10$ is. Vraag altijd welk indicator de situatie beter weergeeft.

71.2 Kansrekening

Definitie 71.5 (Kans)

Een toevalsexperiment heeft verschillende mogelijke uitkomsten; een gebeurtenis is een verzameling uitkomsten. Elke uitkomst krijgt een kans: een getal tussen $0$ en $1$ , waarbij alle kansen van de uitkomsten optellen tot $1$ ; de kans $\P(A)$ van een gebeurtenis $A$ is de som van de kansen van haar uitkomsten. Wanneer alle $n$ uitkomsten even waarschijnlijk zijn,

\P(A) = \frac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{n}.

Voorbeeld 71.6

Een wiel is verdeeld in $8$ gelijke sectoren: $3$ rood, $3$ blauw, $2$ groen. Elke sector heeft kans $\frac18$ , dus

\P(\text{rood}) = \frac38, \qquad \P(\text{groen}) = \frac28 = \frac14, \qquad \P(\text{niet groen}) = 1 - \frac14 = \frac34 .

Propositie 71.7 (Complement)

Voor elke gebeurtenis $A$ voldoet de tegengestelde gebeurtenis $\bar A$ (“ $A$ treedt niet op”) aan

\P(\bar A) = 1 - \P(A).

Bewijs. Elke uitkomst zit in precies één van $A$ en $\bar A$ , dus $\P(A) + \P(\bar A)$ sommeert de kansen van alle uitkomsten, wat $1$ is. ∎

71.3 Tweestapsexperimenten

Methode 71.8 (Boomschema’s)

Voor een experiment in twee stappen:

teken één tak per uitkomst van de eerste stap, en zet daarna elke tak voort met de uitkomsten van de tweede stap, met elke kans op haar tak;
vermenigvuldig de kansen langs een pad om de kans van dat pad te krijgen;
tel de kansen van alle paden die een gebeurtenis vormen op.

Voorbeeld 71.9

Een zak houdt $2$ rode en $3$ zwarte fiches. Trek één fiche, noteer zijn kleur, leg hem terug, trek opnieuw. Elke trekking geeft rood met kans $\frac25$ , zwart met kans $\frac35$ .

De boom van de twee trekkingen met teruglegging: vermenigvuldig langs de takken, en controleer dat de vier paden optellen tot 1. — De boom van de twee trekkingen met teruglegging: vermenigvuldig langs de takken, en controleer dat de vier paden optellen tot $1$ .

Kans op twee fiches van dezelfde kleur: $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$ . Kans op minstens één rood: $1 - \P(\text{BB}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .

Opmerking 71.10 (Frequenties naderen kansen)

Een eerlijke dobbelsteen $6000$ keer gooien geeft ongeveer $1000$ zessen — niet exact. Als het aantal herhalingen groeit, komen waargenomen frequenties dichter en dichter bij de kansen: dat maakt kansrekening het juiste gereedschap om herhaalde experimenten te modelleren (een verhaal uitgewerkt in het High School-volume van deze reeks).

71.4 Oefeningen

Oefening 71.1 ★

Bereken het gemiddelde, de mediaan en de spreidingsbreedte van de reeks $14,\ 9,\ 17,\ 9,\ 12,\ 11,\ 12$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 71.1.

Gemiddelde: $\dfrac{14 + 9 + 17 + 9 + 12 + 11 + 12}{7} = \dfrac{84}{7} = 12$ .

Mediaan: gesorteerd, $9, 9, 11, 12, 12, 14, 17$ ; de middelste ( $4$ e) waarde is $12$ .

Spreidingsbreedte: $17 - 9 = 8$ .

Oefening 71.2 ★

De temperaturen om twaalf uur over een week waren $19,\ 21,\ 24,\ 18,\ 22,\ 25,\ 19$ (graden). Bereken het gemiddelde (op een tiende) en de mediaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 71.2.

Gemiddelde: $\dfrac{19 + 21 + 24 + 18 + 22 + 25 + 19}{7} = \dfrac{148}{7} \approx 21.1$ graden.

Mediaan: gesorteerd, $18, 19, 19, 21, 22, 24, 25$ ; de $4$ e waarde is $21$ graden.

Oefening 71.3 ★

Het aantal doelpunten gescoord door een team in $10$ wedstrijden:

doelpunten	$0$	$1$	$2$	$3$
wedstrijden	$2$	$4$	$3$	$1$

Bereken het gemiddeld aantal doelpunten per wedstrijd, en de mediaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 71.3.

Gemiddelde:

\frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3}{10} = \frac{0 + 4 + 6 + 3}{10} = \frac{13}{10} = 1.3 \text{ doelpunten per wedstrijd.}

Mediaan: de gesorteerde reeks is $0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$ ; de $5$ e en $6$ e waarden zijn beide $1$ : mediaan $1$ .

Oefening 71.4 ★

Een eerlijke dobbelsteen wordt één keer gegooid. Bereken de kans op: “een $3$ gooien”; “een even getal gooien”; “minstens een $3$ gooien”; “geen $6$ gooien”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 71.4.

$\P(3) = \frac16$ . $\P(\text{even}) = \frac36 = \frac12$ . $\P(\text{minstens } 3) = \P(\{3,4,5,6\}) = \frac46 = \frac23$ . $\P(\text{geen } 6) = 1 - \frac16 = \frac56$ .

Oefening 71.5 ★

Een doos bevat $12$ ballen: $5$ wit, $4$ rood en $3$ groen; één bal wordt willekeurig getrokken. Bereken $\P(\text{wit})$ , $\P(\text{rood of groen})$ , en $\P(\text{niet wit})$ . Wat merk je op over de laatste twee?

Oplossing

Oplossing van Oefening 71.5.

$\P(\text{wit}) = \frac{5}{12}$ .

$\P(\text{rood of groen}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$ .

$\P(\text{niet wit}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ .

De laatste twee zijn gelijk: “niet wit” is de gebeurtenis “rood of groen”.

Oefening 71.6 ★★

Een munt wordt opgegooid, daarna een eerlijke dobbelsteen gegooid. Teken de boom (of tel de uitkomsten) en bereken de kans op munt en een $6$ ; daarna op munt of een $6$ (of beide).

Oplossing

Oplossing van Oefening 71.6.

De $12$ uitkomsten (zijde van de munt, waarde van de dobbelsteen) zijn even waarschijnlijk.

Munt en een $6$ : één uitkomst van de $12$ : $\frac{1}{12}$ .

Munt of een $6$ : de uitkomsten met munt ( $6$ ervan) plus de uitkomst (kruis, $6$ ): $7$ uitkomsten, dus $\frac{7}{12}$ . Elke gebeurtenis tellen en de overlap aftrekken geeft hetzelfde: $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$ .

Oefening 71.7 ★★

In de zak van Voorbeeld 71.9 ( $2$ rood, $3$ zwart) worden de twee trekkingen nu zonder teruglegging gedaan. Teken de nieuwe boom (let op: de kansen op het tweede niveau veranderen) en bereken de kans op twee zwarte fiches, daarna twee fiches van verschillende kleuren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 71.7.

Eerste trekking: rood $\frac25$ , zwart $\frac35$ . Tweede trekking zonder teruglegging: na een rood blijven $1$ rood en $3$ zwart van de $4$ ; na een zwart $2$ rood en $2$ zwart van de $4$ .

Twee zwart: $\frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ .

Verschillende kleuren (RZ of ZR): $\frac25 \times \frac34 + \frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac35$ .

Oefening 71.8 ★★

Na $9$ wedstrijden scoort een basketbalspeler gemiddeld $14$ punten per wedstrijd.

Hoeveel punten heeft ze in totaal gescoord?
Hoeveel punten moet ze scoren in de $10$ e wedstrijd om gemiddeld $15$ te scoren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 71.8.

1. $9 \times 14 = 126$ punten.

2. Een gemiddelde van $15$ over $10$ wedstrijden betekent $150$ punten in totaal: ze moet $150 - 126 = 24$ punten scoren.

Oefening 71.9 ★★★

Een spel: gooi twee eerlijke dobbelstenen; je wint als de twee resultaten gelijk zijn (“een double”).

Bereken de kans op winnen.
Je speelt twee keer (onafhankelijke spellen). Bereken met een boom de kans om minstens één keer te winnen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 71.9.

1. Onder de $36$ even waarschijnlijke paren zijn de doubles $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$ : zes ervan, dus $\P(\text{double}) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

2. Twee onafhankelijke spellen: boom met winst ( $\frac16$ ) / verlies ( $\frac56$ ) op elk niveau. Kans om nooit te winnen: $\frac56 \times \frac56 = \frac{25}{36}$ . Dus

\P(\text{minstens één winst}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31 .