54Negatieve getallen vermenigvuldigen

Probleem 54.1

Weekendopgave — de tekenregels afgeleid uit de distributiviteit, en de alternerende som $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

Het bewijs van Stelling 54.1 zette een patroon voort en beweerde dat “elke andere keuze de distributiviteit zou breken”. In deze opgave maak je die bewering precies: vanuit de distributiviteit alleen (Stelling 45.6) ga je de tekenregels bewijzen — geen plaatje, geen patroon, zoals de algebra het doet — en zet je ze daarna aan het werk op machten van $-1$ en op een beroemde som met wisselende tekens. Overal zijn $a$ en $b$ getallen met een teken; we nemen de optelregels van Hoofdstuk 46 aan, dat $1 \times a = a$, en dat je een product in elke volgorde mag uitrekenen (zodat de distributiviteit aan beide kanten van een product geldt).

Deel I — De tekenregels zijn stellingen.

1. Bewijs dat $0 \times a = 0$ voor elk getal $a$ met een teken. (Schrijf $0 = 0 + 0$, werk $(0 + 0) \times a$ uit, en vraag je af welk getal, opgeteld bij $0 \times a$, weer $0 \times a$ teruggeeft.)

2. Werk $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ uit om te laten zien dat $(-1) \times a + a = 0$, en besluit dat

   $$(-1) \times a = -a :$$

   met $-1$ vermenigvuldigen geeft het tegengestelde. Vergelijk met Oefening 54.11, het geval $a = -1$.

3. Leid af dat $(-a) \times b = -(a \times b)$: één minteken komt onveranderd uit een product.
4. Leid af dat $(-a) \times (-b) = a \times b$: twee mintekens heffen elkaar op.
5. Elk getal met een teken is zijn afstand tot nul met een teken ervoor: $a = +d$ of $a = -d$. Leg uit hoe de vragen 3 en 4 alle vier de gevallen van de tekentabel van Stelling 54.1 bewijzen, afstanden inbegrepen.

Deel II — Machten van $-1$.

6. Reken $(-1)^2$, $(-1)^3$, $(-1)^4$ en $(-1)^5$ uit, en geef daarna, met een verantwoording vanuit Propositie 54.3, de waarde van $(-1)^n$ voor elk heel getal $n \geq 1$.

7. Geef (zonder één afstand uit te rekenen) het teken van

   $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$

   en schrijf de afstand van dit product als een product van hele getallen, zonder het uit te werken.

8. Laat zien dat $(-a)^2 = a^2$ en dat $(-a)^3 = -a^3$. Bij welke exponenten overleeft het minteken?
9. Laat met de tekenregels zien dat het kwadraat van een getal met een teken nooit negatief is, en leid af dat geen enkel getal $x$ met een teken aan $x^2 = -4$ voldoet.
10. Zoë beweert: “$(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$, en algemener heffen twee opeenvolgende machten van $-1$ elkaar altijd op.” Heeft ze gelijk? Verantwoord het.

Deel III — De alternerende som. Met de tekenregels in de hand kunnen we sommen uitrekenen waarin beide tekens door elkaar staan. Zij voor een heel getal $n \geq 1$

de som van de hele getallen van $1$ tot $n$ met wisselende tekens: de laatste term is $+n$ als $n$ oneven is, en $-n$ als $n$ even is. Dus $A_1 = 1$ en $A_2 = 1 - 2 = -1$.

11. Reken $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$ en $A_7$ uit. Wat vermoed je?
12. Neem aan dat $n$ even is. Groepeer de termen twee aan twee, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$, tel de paren, en bewijs dat $A_n = -\frac{n}{2}$.
13. Neem aan dat $n$ oneven is. Leg uit waarom $A_n = A_{n-1} + n$, en leid met de vorige vraag af dat $A_n = \frac{n + 1}{2}$.
14. Reken $A_{100}$, $A_{101}$ en $A_{2026}$ uit.
15. Alma rekende $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ uit en was verrast dat er precies $101$ uitkwam. Had ze verrast moeten zijn? Leg het in één zin uit, en geef de waarde van $A_{2027} - A_{2026}$ zonder verder te rekenen.