Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

54Negatieve getallen vermenigvuldigen

Jaar 7 telde en trok relatieve getallen op/af (Hoofdstuk 46); het rest om ze te vermenigvuldigen en te delen. Eén vraag domineert het hoofdstuk: waarom zou “min maal min” plus moeten zijn? We geven een reden, niet alleen een regel.

54.1 De tekenregels

Stelling 54.1 (Teken van een product)

Het product van twee relatieve getallen heeft afstand tot nul gelijk aan het product van de afstanden, en zijn teken wordt gegeven door:

$\times$	$+$	$-$
$+$	$+$	$-$
$-$	$-$	$+$

Zelfde tekens: positief product. Tegengestelde tekens: negatief product. Dezelfde tabel geldt voor quotiënten.

Waarom $(-1) \times (-1) = +1$ . Eerst betekent $3 \times (-4)$ : $(-4) + (-4) + (-4) = -12$ : een positief maal een negatief is negatief. Kijk nu naar het patroon:

3 \times (-4) = -12, \quad 2 \times (-4) = -8, \quad 1 \times (-4) = -4, \quad 0 \times (-4) = 0 .

Bij elke stap daalt de eerste factor met $1$ en stijgt het resultaat met $4$ . Het patroon één stap verder zetten:

(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .

Elke andere keuze zou de regelmaat van de rekenkunde breken (distributiviteit). Dus min maal min moet plus zijn. ∎

Het patroonargument in een plaatje: de punten (k,\ k × (-4)) liggen op een lijn, en die lijn voorbij k = 0 voortzetten dwingt (-1)×(-4) = +4 en (-2)×(-4) = +8. — Het patroonargument in een plaatje: de punten $(k,\ k \times (-4))$ liggen op een lijn, en die lijn voorbij $k = 0$ voortzetten dwingt $(-1)\times(-4) = +4$ en $(-2)\times(-4) = +8$ .

Voorbeeld 54.2

\begin{align*} (-7) \times (+6) &= -42 && \text{(tegengestelde tekens)} \\ (-5) \times (-8) &= +40 && \text{(zelfde tekens)} \\ (+2.5) \times (-4) &= -10 \\ (-36) \div (-9) &= +4 \\ (+15) \div (-2) &= -7.5 . \end{align*}

54.2 Producten van meerdere factoren

Propositie 54.3 (Teken van een lang product)

Het teken van een product van meerdere factoren ongelijk aan nul hangt alleen af van het aantal negatieve factoren:

een even aantal negatieve factoren geeft een positief product;
een oneven aantal geeft een negatief product.

Bewijs. Negatieve factoren paren op, en elk paar draagt een positief teken bij (Stelling 54.1); een oneven telling laat één ongepaarde negatieve factor over, die het hele product negatief maakt. ∎

Voorbeeld 54.4

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$ : drie negatieve factoren (oneven), dus het product is negatief; afstanden: $2 \times 3 \times 5 \times 1 = 30$ . Resultaat: $-30$ . Bepaal het teken eerst, vermenigvuldig daarna de afstanden — twee makkelijke taken in plaats van één foutgevoelige.

Voorbeeld 54.5 (Machten van negatieven)

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$ , en $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$ : even exponenten geven positieve waarden, oneven exponenten behouden het teken. Let op de notatie: $(-3)^2 = 9$ maar $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ .

54.3 Rekenen met alle vier de bewerkingen

Methode 54.6 (Veilig rekenen met relatieve getallen)

Respecteer de rekenvolgorde van Hoofdstuk 45: haakjes, daarna $\times$ en $\div$ , daarna $+$ en $-$ ;
bij elke vermenigvuldiging of deling, vind het teken eerst, daarna de afstand;
herschrijf één stap per regel.

Voorbeeld 54.7

\begin{align*} 5 - 3 \times (-4) &= 5 - (-12) && \text{(eerst product: tegengestelde tekens)}\\ &= 5 + 12 = 17 . \end{align*}

\begin{align*} \frac{(-6) \times (-10)}{-4} &= \frac{+60}{-4} && \text{(teller: zelfde tekens)}\\ &= -15 && \text{(quotiënt: tegengestelde tekens).} \end{align*}

Voorbeeld 54.8 (Negatieve waarden invullen)

Bereken $E = 3x^2 - 2x$ voor $x = -5$ , met haakjes om de waarde:

E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5) = 3 \times 25 - (-10) = 75 + 10 = 85 .

De haakjes in $(-5)^2$ zijn essentieel: zonder zouden ze alleen op $5$ slaan.

54.4 Oefeningen

Oefening 54.1 ★

Bereken:

(-8) \times (+7), \qquad (-9) \times (-6), \qquad (+12) \times (-0.5), \qquad (-1) \times (-1) \times (-1).

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.1.

$(-8) \times (+7) = -56$ ; $(-9) \times (-6) = +54$ ; $(+12) \times (-0.5) = -6$ ; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (drie negatieve factoren: oneven).

Oefening 54.2 ★

Bereken:

(-63) \div (+9), \qquad (-8) \div (-16), \qquad \frac{45}{-5}, \qquad \frac{-7.2}{-8} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.2.

$(-63) \div (+9) = -7$ ; $(-8) \div (-16) = +0.5$ ; $\dfrac{45}{-5} = -9$ ; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$ .

Oefening 54.3 ★

Geef alleen het teken van elk product, zonder het te berekenen:

(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad (-1)^{10}; \qquad (-2)^{7}; \qquad (-4) \times 0 \times (-6).

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.3.

Drie negatieve factoren: negatief. $(-1)^{10}$ : tien negatieve factoren, even: positief (het is $1$ ). $(-2)^7$ : zeven factoren, oneven: negatief. $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$ : noch positief noch negatief.

Oefening 54.4 ★

Bereken:

(-2)^4, \qquad -2^4, \qquad (-3)^3, \qquad (-1)^{2026} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.4.

$(-2)^4 = +16$ ; $-2^4 = -16$ (de min wordt niet gekwadrateerd); $(-3)^3 = -27$ ; $(-1)^{2026} = +1$ (even exponent).

Oefening 54.5 ★

Bereken stap voor stap, met respect voor de rekenvolgorde:

7 + 2 \times (-6), \qquad (-4) \times (5 - 9), \qquad 18 \div (-3) - (-2) .

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.5.

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$ .

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$ .

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$ .

Oefening 54.6 ★

Bereken:

\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad \frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.6.

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$ .

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$ .

Oefening 54.7 ★

Bereken voor $x = -3$ :

5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.7.

Voor $x = -3$ : $5x = -15$ ; $x^2 = (-3)^2 = 9$ ; $-x^2 = -9$ ; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$ ; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$ .

Oefening 54.8 ★★

Vul elke gelijkheid in:

(-6) \times \;?\; = 42, \qquad \;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad (-5) \times \;?\; = -1 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.8.

$(-6) \times (-7) = 42$ ; $10 \div (-4) = -2.5$ ; $(-5) \times \frac15 = -1$ , dus het ontbrekende getal is $+\frac15 = 0.2$ .

Oefening 54.9 ★★

Waar of onwaar? Motiveer of geef een tegenvoorbeeld.

Het product van twee relatieve getallen is altijd minstens zo groot als hun som.
Het kwadraat van een relatief getal is nooit negatief.
Als een product van drie factoren positief is, zijn alle drie de factoren positief.

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.9.

1. Onwaar: $0.5 \times 0.5 = 0.25$ is kleiner dan $0.5 + 0.5 = 1$ (of: $2 \times 3 = 6 > 5$ , maar de bewering moet altijd gelden).

2. Waar: een kwadraat is een product van twee getallen met hetzelfde teken, dus positief of nul.

3. Onwaar: $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ is positief met twee negatieve factoren.

Oefening 54.10 ★★

Elk fout antwoord bij een quiz telt $-3$ punten, elk goed antwoord $+5$ . Zoe beantwoordde $20$ vragen en scoorde $36$ punten. Hoeveel antwoorden waren goed? (Probeer waarden, of stel de berekening $5r - 3(20 - r) = 36$ op.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.10.

Laat $r$ het aantal goede antwoorden zijn; dan zijn $20 - r$ fout, en

5r - 3(20 - r) = 36 \ \Longrightarrow\ 5r - 60 + 3r = 36 \ \Longrightarrow\ 8r = 96 \ \Longrightarrow\ r = 12 .

Twaalf goede antwoorden (en acht foute: controle, $60 - 24 = 36$ ).

Oefening 54.11 ★★★

Gebruik distributiviteit (zoals in het bewijs van Stelling 54.1), werk uit en motiveer elke stap van

0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),

en concludeer dat $(-1) \times (-1)$ gelijk moet zijn aan $+1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 54.11.

Nul maal wat dan ook is nul, dus $(-1) \times 0 = 0$ . Schrijf $0 = 1 + (-1)$ en distribueer:

0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \times 1 + (-1) \times (-1) = -1 + (-1) \times (-1).

Het getal $(-1) \times (-1)$ opgeteld bij $-1$ geeft $0$ : het moet het tegengestelde van $-1$ zijn, dat is $+1$ . Distributiviteit laat geen andere keuze.