Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

41Driehoeken en vierhoeken

Driehoeken en vierhoeken zijn de basisfiguren van de meetkunde. Het doel van dit hoofdstuk is hun bijzondere families — gelijkbenige, gelijkzijdige en rechthoekige driehoeken; rechthoeken, ruiten, vierkanten — te kennen aan hun definiërende eigenschappen, en ze precies te construeren met lat en passer.

41.1 Driehoeken

Definitie 41.1 (Bijzondere driehoeken)

Een driehoek $ABC$ heeft drie hoekpunten en drie zijden. Hij is:

gelijkbenig in $A$ als $AB = AC$ (twee gelijke zijden);
gelijkzijdig als $AB = BC = CA$ (drie gelijke zijden);
rechthoekig in $A$ als de hoek $\widehat{BAC}$ een rechte hoek is. De zijde $[BC]$ tegenover de rechte hoek heet de schuine zijde.

De drie bijzondere driehoeken. Kleine streepjes geven gelijke zijden aan; het vierkantje markeert de rechte hoek.

Methode 41.2 (Een driehoek uit zijn drie zijden construeren)

Om $ABC$ te construeren met $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm en $BC = 3$ cm:

teken met de lat het lijnstuk $[AB]$ van $5$ cm;
teken een boog van de cirkel met middelpunt $A$ en radius $4$ cm (alle punten op $4$ cm van $A$ );
teken een boog van de cirkel met middelpunt $B$ en radius $3$ cm;
het punt $C$ is waar de twee bogen elkaar snijden; verbind het met $A$ en $B$ .

Een driehoek met de passer construeren: het hoekpunt C is het snijpunt van twee bogen. (In zie je wanneer zo’n constructie mogelijk is.) — Een driehoek met de passer construeren: het hoekpunt $C$ is het snijpunt van twee bogen. (In Hoofdstuk 51 zie je wanneer zo’n constructie mogelijk is.)

41.2 Vierhoeken

Definitie 41.3 (Bijzondere vierhoeken)

Een vierhoek heeft vier hoekpunten en vier zijden. Hij is een:

rechthoek als zijn vier hoeken rechte hoeken zijn;
ruit als zijn vier zijden dezelfde lengte hebben;
vierkant als hij beide is: vier rechte hoeken en vier gelijke zijden.

Propositie 41.4 (Eigenschappen van de diagonalen)

In deze vierhoeken snijden de twee diagonalen elkaar in hun gemeenschappelijke midden, en bovendien:

in een rechthoek zijn de diagonalen even lang;
in een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar;
in een vierkant beide tegelijk.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

De drie bijzondere vierhoeken met hun diagonalen (in rood). Het vierkant erft de eigenschappen van zowel de rechthoek als de ruit.

Opmerking 41.5

Een vierkant is automatisch een rechthoek (het heeft vier rechte hoeken) en automatisch een ruit (vier gelijke zijden). “Rechthoek” betekent dus niet “geen vierkant”! In de wiskunde hoort de bijzonderdere figuur bij de meer algemene familie.

Voorbeeld 41.6 (Een figuur herkennen aan haar eigenschappen)

Een vierhoek heeft vier zijden van $4$ cm en één rechte hoek. Wat is het? Vier gelijke zijden maken er een ruit van. In een ruit zijn de hoeken die tegenover elkaar liggen gelijk, en samen zijn de vier hoeken $360^\circ$ ; één rechte hoek dwingt dan alle vier recht te zijn (dat wordt met parallellogrammen bewezen in Hoofdstuk 52). De figuur is dus een vierkant.

Methode 41.7 (Tekenprogramma’s)

Een tekenprogramma is een lijst instructies die iedereen kan volgen om een figuur precies na te maken. Schrijf één instructie per regel, geef elk punt een naam op het moment dat het ontstaat, en gebruik alleen: “teken het lijnstuk / de lijn / de cirkel…”, “zet het punt waar … elkaar snijden”. Test je programma door het letterlijk, woord voor woord, te volgen.

Voorbeeld 41.8

Een programma voor een vierkant $ABCD$ met zijde $4$ cm:

Teken een lijnstuk $[AB]$ met $AB = 4$ cm.
Teken de loodlijn op $(AB)$ in $A$ ; zet daarop $D$ op $4$ cm van $A$ (kies één kant van de lijn en houd die aan).
Teken de loodlijn op $(AB)$ in $B$ ; zet daarop $C$ op $4$ cm van $B$ , aan dezelfde kant als $D$ .
Verbind $C$ en $D$ .

Controleer met de lat: $DC$ moet ook $4$ cm meten.

41.3 Oefeningen

Oefening 41.1 ★

Construeer een driehoek $ABC$ met $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm en $BC = 4$ cm, volgens Methode 41.2.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.1.

Volg de methode: lijnstuk $[AB]$ van $6$ cm, een boog met radius $5$ cm met $A$ als middelpunt, een boog met radius $4$ cm met $B$ als middelpunt; het snijpunt is $C$ .

Oefening 41.2 ★

Construeer een gelijkbenige driehoek $DEF$ met $DE = DF = 5$ cm en $EF = 3$ cm. Welke twee hoeken van deze driehoek lijken gelijk? Meet ze om het te controleren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.2.

Basis $[EF]$ van $3$ cm, en dan twee bogen met radius $5$ cm met $E$ en $F$ als middelpunt; hun snijpunt is $D$ . De twee basishoeken $\widehat{DEF}$ en $\widehat{DFE}$ zijn gelijk (elk ongeveer $72.5^\circ$ ) — de symmetrie van de gelijkbenige driehoek (Voorbeeld 42.8).

Oefening 41.3 ★

Construeer een gelijkzijdige driehoek met zijde $4$ cm met alleen lat en passer. Meet een van zijn hoeken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.3.

Een lijnstuk van $4$ cm, en dan twee bogen met radius $4$ cm met de uiteinden als middelpunt. Elke hoek meet $60^\circ$ .

Oefening 41.4 ★

Bepaal van elke driehoek het soort uit de gegevens (gelijkbenig, gelijkzijdig, rechthoekig — er kunnen meerdere antwoorden gelden): (a) zijden $7$ , $7$ , $7$ ; (b) zijden $5$ , $5$ , $8$ ; (c) hoeken $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ; (d) hoeken $60^\circ$ , $60^\circ$ , $60^\circ$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.4.

(a) gelijkzijdig (en dus ook gelijkbenig). (b) gelijkbenig ( $5 = 5$ ). (c) rechthoekig én gelijkbenig (twee gelijke hoeken van $45^\circ$ liggen tegenover twee gelijke zijden). (d) gelijkzijdig (drie gelijke hoeken).

Oefening 41.5 ★

Welke zijde van een rechthoekige driehoek is de schuine zijde? Teken een driehoek $MNP$ met de rechte hoek in $N$ en noem zijn schuine zijde. Welk hoekpunt raakt de schuine zijde nooit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.5.

De schuine zijde is de zijde tegenover de rechte hoek, en altijd de langste zijde. In $MNP$ met de rechte hoek in $N$ is de schuine zijde $[MP]$ : die raakt het hoekpunt van de rechte hoek, $N$ , nooit.

Oefening 41.6 ★

Waar of niet waar? Verantwoord elk antwoord in één zin.

Elk vierkant is een rechthoek.
Elke rechthoek is een vierkant.
Elk vierkant is een ruit.
Een ruit met een rechte hoek is een vierkant.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.6.

1. Waar: een vierkant heeft vier rechte hoeken, en dat is de definitie van een rechthoek.

2. Niet waar: een rechthoek van $5 \times 3$ heeft ongelijke zijden.

3. Waar: een vierkant heeft vier gelijke zijden, de definitie van een ruit.

4. Waar: zie Voorbeeld 41.6.

Oefening 41.7 ★

Construeer een rechthoek $ABCD$ met $AB = 5$ cm en $BC = 3$ cm. Meet zijn twee diagonalen: wat valt je op?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.7.

Constructie met loodlijnen, zoals in Voorbeeld 41.8. Beide diagonalen meten ongeveer $5.8$ cm: de diagonalen van een rechthoek zijn even lang (Propositie 41.4).

Oefening 41.8 ★

Construeer een ruit met diagonalen van $6$ cm en $4$ cm. (Gebruik Propositie 41.4: teken eerst de twee diagonalen — loodrecht op elkaar en elkaar snijdend in hun middens — en verbind daarna de vier uiteinden.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.8.

Teken een lijnstuk van $6$ cm met zijn midden $O$ ; de loodlijn in $O$ ; en daarop twee punten op $2$ cm van $O$ , aan elke kant één. De vier uiteinden verbinden geeft de ruit (alle vier de hoekpunten liggen op afstanden $3$ cm en $2$ cm van $O$ langs loodrechte lijnen, dus zijn de vier zijden door de symmetrie gelijk).

Oefening 41.9 ★★

Schrijf een tekenprogramma voor een gelijkbenige driehoek met basis $4$ cm en gelijke zijden van $6$ cm, in de stijl van Voorbeeld 41.8. Ruil met een klasgenoot: kan die het volgen zonder jouw figuur te zien?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.9.

Een goed programma: 1. teken een lijnstuk $[BC]$ met $BC = 4$ cm; 2. teken de boog met middelpunt $B$ en radius $6$ cm boven $[BC]$ ; 3. teken de boog met middelpunt $C$ en radius $6$ cm boven $[BC]$ ; 4. noem het snijpunt van de twee bogen $A$ ; 5. teken de lijnstukken $[AB]$ en $[AC]$ .

Oefening 41.10 ★★

Teken een cirkel met middelpunt $O$ en een van zijn diameters $[AB]$ . Zet een willekeurig punt $M$ op de cirkel en teken de driehoek $AMB$ . Meet de hoek $\widehat{AMB}$ . Verschuif $M$ en meet opnieuw. Wat vermoed je? (Dit verrassende feit wordt bewezen in Hoofdstuk 60.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.10.

Waar $M$ ook op de cirkel ligt, de hoek $\widehat{AMB}$ meet $90^\circ$ : de driehoek $AMB$ is rechthoekig in $M$ zodra $[AB]$ een diameter is. Het bewijs wacht tot Hoofdstuk 60.

Oefening 41.11 ★★

Een vierhoek heeft diagonalen van dezelfde lengte die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. Zoek met Propositie 41.4 uit welke figuur het moet zijn: rechthoek, ruit of vierkant? (Pas op: er is maar één eigenschap gegeven.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.11.

Diagonalen die elkaar in hun midden snijden en even lang zijn: dat is precies de lijst eigenschappen van de rechthoek (Propositie 41.4). Niets dwingt de diagonalen loodrecht te staan, dus hoeft het geen ruit of vierkant te zijn — rechthoek is het juiste antwoord (een vierkant zou er ook aan voldoen, maar wordt niet afgedwongen).

Oefening 41.12 ★★★

Hoeveel verschillende vierkanten kun je op een puntenraster van $4 \times 4$ tekenen met rasterpunten als hoekpunten — de “scheve” vierkanten meegerekend? Teken minstens één scheef vierkant en leg uit waarom zijn zijden gelijk zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.12.

Bij $4 \times 4$ punten zijn er $3 \times 3$ rastervakjes. Vierkanten langs het raster: zijden $1$ , $2$ of $3$ geven $9 + 4 + 1 = 14$ vierkanten. Er bestaan ook scheve vierkanten: de kleine, waarvan de zijden diagonalen van vakjes van $1 \times 1$ zijn (zoals $(1,0)$ , $(2,1)$ , $(1,2)$ , $(0,1)$ ) — vier daarvan; en de grotere, waarvan de zijden diagonalen van rechthoeken van $2 \times 1$ zijn, zoals $(1,0)$ , $(3,1)$ , $(2,3)$ , $(0,2)$ — twee daarvan. Alle vier de zijden van zo’n vierkant zijn gelijk, omdat ze diagonalen van identieke rechthoeken zijn. Totaal: $14 + 4 + 2 = 20$ vierkanten. (Elke telling met een juist scheef voorbeeld en de $14$ rechte vierkanten is op dit niveau een succes.)

41.4 Opgave: wat de diagonalen weten

Probleem 41.1

Weekendopgave — elke bijzondere vierhoek uit alleen zijn diagonalen herbouwen, en de diagonalen van elke veelhoek tellen

Propositie 41.4 leest een figuur en vertelt je over haar diagonalen. In deze opgave speel je het spel achterstevoren: gegeven alleen twee lijnstukken die elkaar snijden — de toekomstige diagonalen — welke figuur verschijnt er als je hun vier uiteinden verbindt? Je bouwt een compleet “diagonalenwoordenboek”, begrijpt waarom de ruitconstructie van Oefening 41.8 werkt, ontmoet een figuur die nog geen naam heeft, en eindigt met het tellen van de diagonalen van veelhoeken met veel meer dan vier zijden.

Deel I — Het diagonalenwoordenboek. Teken bij elke vraag de twee lijnstukken zoals beschreven, verbind hun vier uiteinden op volgorde, en zeg welke vierhoek je krijgt.

Twee lijnstukken van elk $6$ cm, loodrecht op elkaar, die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. Meet de vier zijden en de vier hoeken van de figuur die je krijgt: wat is het?
Twee lijnstukken van $8$ cm en $5$ cm, loodrecht op elkaar, die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. Welke figuur verschijnt er (Oefening 41.8)?
Twee lijnstukken van elk $7$ cm — gelijk, maar niet loodrecht — die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. Meet de zijden en de hoeken: welke figuur vermoed je?
Twee lijnstukken van $8$ cm en $5$ cm, niet loodrecht, die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. De figuur die je krijgt, is geen van de drie van Definitie 41.3 — beschrijf wat je ziet (welke zijden lijken gelijk? parallel?). Deze vierhoek krijgt zijn naam in Hoofdstuk 52.
Vat de vragen 1–4 samen in een woordenboek met vier ingangen: diagonalen gelijk / loodrecht / beide / geen van beide (steeds elkaar snijdend in hun middens) $\rightarrow$ naam (of beschrijving) van de figuur.

Deel II — Waarom de constructies werken.

In vraag 2 verdelen de twee diagonalen de figuur in vier rechthoekige driehoeken om het snijpunt. Wat zijn de twee rechthoekszijden van elk van die driehoeken? Leg uit waarom alle vier de driehoeken precies elkaars kopie zijn, en leid daaruit af waarom de vier zijden van de figuur gelijk zijn — het geheim van Oefening 41.8.
Leid daaruit een test met alleen de passer af: hoe kun je na het bouwen van een figuur uit haar diagonalen met de passer alleen (zonder met de lat te meten) nagaan dat de vier zijden gelijk zijn?
Schrijf een tekenprogramma (Methode 41.7) voor een vierkant waarvan de diagonalen $6$ cm meten — niet de zijden.
Is in het vierkant van vraag 8 de zijde langer of korter dan $3$ cm — de helft van de diagonaal? Meet het na. De ene helft van het antwoord kun je al bewijzen: van de ene hoek naar de volgende via het middelpunt is een omweg van $3 + 3$ cm, en een rechte weg is altijd korter dan een omweg — de zijde is dus korter dan $6$ cm. (Bewijzen dat hij ook groter is dan $3$ cm, en hem precies uitrekenen, is werk voor Hoofdstuk 58.)
Een nieuwe ingang voor het woordenboek: teken een lijnstuk $[AC]$ van $8$ cm; zet daarop het punt $H$ op $3$ cm van $A$ ; teken door $H$ het loodrechte lijnstuk $[BD]$ van $5$ cm, met $H$ als zijn midden. Verbind $ABCD$ . Deze figuur is een vlieger (de ene diagonaal deelt de andere middendoor, onder een rechte hoek). Zoek met de hoekdriehoeken als in vraag 6 welke zijden van een vlieger aan elkaar gelijk zijn.

Deel III — Diagonalen tellen. Een diagonaal van een veelhoek verbindt twee hoekpunten die geen buren zijn.

Teken een vierhoek, een vijfhoek (vijf hoekpunten) en een zeshoek (zes hoekpunten), en teken al hun diagonalen. Tel ze: hoeveel zijn het per geval?
Tellen zonder te tekenen, voor de zeshoek: hoeveel diagonalen vertrekken uit één hoekpunt? (Met hoeveel van de zes hoekpunten kan het niet door een diagonaal verbonden worden?) Met zes vermenigvuldigen telt elke diagonaal precies twee keer — waarom? Vind je telling van vraag 11 terug. (Datzelfde dubbeltellen kwam voor bij de handdrukken van Probleem 37.1.)
Tel met de methode van vraag 12 de diagonalen van een veelhoek met $10$ hoekpunten, en daarna met $20$ hoekpunten.
Een veelhoek heeft precies $44$ diagonalen. Hoeveel hoekpunten heeft hij? (Probeer de methode van vraag 13 op een paar kandidaten.)
Controleer je methode op de allerkleinste veelhoek: hoeveel diagonalen heeft een driehoek, en wat antwoordt de telmethode van vraag 12? Besluit met één zin over wat handdrukken en diagonalen met elkaar gemeen hebben.

Oplossing

Oplossing van Probleem 41.1.

1. De vier zijden meten allemaal hetzelfde (ongeveer $4.2$ cm) en de vier hoeken zijn recht: de figuur is een vierkant. (Gelijke diagonalen geven de rechte hoeken, zoals bij de rechthoek; loodrechte diagonalen geven de gelijke zijden, zoals bij de ruit; beide tegelijk geven het vierkant — Propositie 41.4, achterstevoren gelezen.)

2. Een ruit: vier gelijke zijden (ongeveer $4.7$ cm), maar geen rechte hoek — precies de constructie van Oefening 41.8.

3. De vier hoeken blijken recht, maar de zijden komen in twee verschillende lengtes: een rechthoek — de situatie van Oefening 41.11.

4. Geen enkele bewering over gelijke lengtes houdt stand bij het meten, en er verschijnt geen rechte hoek; maar de zijden die tegenover elkaar liggen zijn twee aan twee gelijk en lijken parallel. Het is de algemene “scheve rechthoek” waarvan de diagonalen elkaar alleen middendoor delen — het parallellogram, dat in Hoofdstuk 52 zijn naam krijgt en onderzocht wordt.

5. Diagonalen die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden:

diagonalen…	figuur
gelijk en loodrecht	vierkant
alleen loodrecht	ruit
alleen gelijk	rechthoek
geen van beide	de naamloze (zie Hoofdstuk 52)

6. Elke hoekdriehoek heeft één rechthoekszijde langs elke diagonaal: de helft van $8$ cm en de helft van $5$ cm, dus rechthoekszijden van $4$ cm en $2.5$ cm, met een rechte hoek ertussen — dezelfde gegevens voor alle vier. Driehoeken die uit dezelfde twee rechthoekszijden met de rechte hoek ertussen gebouwd zijn, zijn precies elkaars kopie (bouw ze: de passerstanden zijn identiek). Hun vier schuine zijden — de zijden van de figuur — zijn dus gelijk: de figuur is een ruit.

7. Zet de passer open op de lengte van één zijde en loop met hem de figuur rond: landen punt en potlood precies op elk paar buurhoekpunten, dan zijn alle vier de zijden gelijk aan die opening. Geen lat nodig.

8. Programma:

Teken een lijnstuk $[AC]$ met $AC = 6$ cm en zet zijn midden $O$ (meet $3$ cm vanaf $A$ ).
Teken de loodlijn op $(AC)$ in $O$ .
Zet daarop $B$ en $D$ op $3$ cm van $O$ , aan elke kant één.
Verbind $A$ , $B$ , $C$ en $D$ .

Diagonalen gelijk ( $6$ cm), loodrecht, en elkaar middendoor delend: volgens het woordenboek is $ABCD$ een vierkant.

9. Meten geeft ongeveer $4.2$ cm: langer dan $3$ cm — de gebruikelijke gok “de helft van de diagonaal” is fout. De bewijsbare helft: om van hoek $A$ naar de volgende hoek $B$ te komen, kun je de zijde $[AB]$ recht lopen, of de omweg $A \to O \to B$ door het middelpunt nemen, die $3 + 3 = 6$ cm kost; de rechte zijde is korter, dus meet de zijde minder dan $6$ cm. Dat hij ook meer is dan $3$ cm, laat de lat zien; Hoofdstuk 58 zal het bewijzen en de precieze waarde geven ( $3$ cm maal de vierkantswortel van $2$ , ongeveer $4.24$ cm).

10. De vier hoekdriehoeken bij $H$ komen nu in twee paren die bij elkaar horen: twee met rechthoekszijden $3$ cm en $2.5$ cm (schuine zijden $[AB]$ en $[AD]$ ), en twee met rechthoekszijden $5$ cm en $2.5$ cm (schuine zijden $[CB]$ en $[CD]$ ). Dus $AB = AD$ en $CB = CD$ : een vlieger heeft twee paren gelijke buurzijden (de ruit is de bijzondere vlieger waarbij alle vier gelijk zijn).

11. Vierhoek: $2$ diagonalen. Vijfhoek: $5$ . Zeshoek: $9$ .

12. Uit één hoekpunt van de zeshoek gaan diagonalen naar elk hoekpunt behalve zichzelf en zijn twee buren: $6 - 3 = 3$ diagonalen. Zes hoekpunten sturen $6 \times 3 = 18$ diagonaaluiteinden de wereld in — maar elke diagonaal is aan beide uiteinden geteld, één keer vanuit elk eindpunt, precies zoals een handdruk door beide handdrukkers geteld wordt (Probleem 37.1). De echte telling: $18 \div 2 = 9$ . Dat klopt met de tekening.

13. Tien hoekpunten: $10 - 3 = 7$ uit elk, dus $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonalen. Twintig hoekpunten: $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonalen.

14. Probeer kandidaten: $10$ hoekpunten geven $35$ (vraag 13); $11$ hoekpunten geven $11 \times 8 \div 2 = 44$ . Gevonden: de veelhoek heeft $11$ hoekpunten.

15. Een driehoek heeft helemaal geen diagonalen: de “niet-buren” van elk hoekpunt zijn … niemand, want de andere twee hoekpunten zijn beide zijn buren. De methode is het ermee eens: $3 - 3 = 0$ uit elk hoekpunt, totaal $0$ . Handdrukken en diagonalen zijn dezelfde telling in andere kleren: paren gekozen uit een groep, elk paar één keer geteld — de wiskunde hergebruikt haar goede ideeën.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst