Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

41Driehoeken en vierhoeken

Driehoeken en vierhoeken zijn de basisfiguren van de meetkunde. Het doel van dit hoofdstuk is hun speciale families te kennen — gelijkbenig, gelijkzijdig, rechthoekig; rechthoeken, ruiten, vierkanten — via hun definiërende eigenschappen, en ze precies te construeren met liniaal en passer.

41.1 Driehoeken

Definitie 41.1 (Speciale driehoeken)

Een driehoek $ABC$ heeft drie hoekpunten en drie zijden. Hij is:

gelijkbenig in $A$ wanneer $AB = AC$ (twee gelijke zijden);
gelijkzijdig wanneer $AB = BC = CA$ (drie gelijke zijden);
rechthoekig in $A$ wanneer de hoek $\widehat{BAC}$ een rechte hoek is. De zijde $[BC]$ tegenover de rechte hoek heet de schuine zijde (hypotenusa).

De drie speciale driehoeken. Kleine streepjes markeren gelijke zijden; het vierkantje markeert de rechte hoek.

Methode 41.2 (Een driehoek construeren uit zijn drie zijden)

Om $ABC$ te construeren met $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 3$ cm:

teken het lijnstuk $[AB]$ van $5$ cm met de liniaal;
teken een boog van de cirkel met middelpunt $A$ en straal $4$ cm (alle punten op $4$ cm van $A$ );
teken een boog van de cirkel met middelpunt $B$ en straal $3$ cm;
het punt $C$ is waar de twee bogen snijden; verbind het met $A$ en $B$ .

Een driehoek construeren met de passer: het hoekpunt C is het snijpunt van twee bogen. (In zie je wanneer zo’n constructie mogelijk is.) — Een driehoek construeren met de passer: het hoekpunt $C$ is het snijpunt van twee bogen. (In Hoofdstuk 51 zie je wanneer zo’n constructie mogelijk is.)

41.2 Vierhoeken

Definitie 41.3 (Speciale vierhoeken)

Een vierhoek heeft vier hoekpunten en vier zijden. Het is een:

rechthoek wanneer zijn vier hoeken rechte hoeken zijn;
ruit wanneer zijn vier zijden dezelfde lengte hebben;
vierkant wanneer beide: vier rechte hoeken en vier gelijke zijden.

Propositie 41.4 (Eigenschappen van de diagonalen)

In deze vierhoeken snijden de twee diagonalen elkaar in hun gemeenschappelijk midden, en bovendien:

in een rechthoek hebben de diagonalen dezelfde lengte;
in een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar;
in een vierkant allebei tegelijk.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

De drie speciale vierhoeken met hun diagonalen (in rood). Het vierkant erft de eigenschappen van zowel de rechthoek als de ruit.

Opmerking 41.5

Een vierkant is automatisch een rechthoek (het heeft vier rechte hoeken) en automatisch een ruit (vier gelijke zijden). Dus “rechthoek” betekent niet “geen vierkant”! In de wiskunde hoort de specialere vorm bij de algemenere familie.

Voorbeeld 41.6 (Een vorm herkennen aan zijn eigenschappen)

Een vierhoek heeft vier zijden van lengte $4$ cm en één rechte hoek. Wat is het? Vier gelijke zijden maken het een ruit. In een ruit zijn overstaande hoeken gelijk en tellen de vier hoeken op tot $360^\circ$ ; één rechte hoek dwingt dan alle vier recht te zijn (dit wordt bewezen met parallellogrammen in Hoofdstuk 52). Dus de vorm is een vierkant.

Methode 41.7 (Constructieprogramma’s)

Een constructieprogramma is een lijst instructies die iedereen kan volgen om een figuur exact te reproduceren. Schrijf één instructie per regel, noem elk punt wanneer het ontstaat, en gebruik alleen: “teken het lijnstuk / de rechte / de cirkel…”, “plaats het punt waar … snijden”. Test je programma door het letterlijk te volgen.

Voorbeeld 41.8

Programma voor een vierkant $ABCD$ met zijde $4$ cm:

Teken een lijnstuk $[AB]$ met $AB = 4$ cm.
Teken de loodlijn op $(AB)$ in $A$ ; plaats daarop $D$ op $4$ cm van $A$ (kies één kant van de lijn en blijf daarbij).
Teken de loodlijn op $(AB)$ in $B$ ; plaats daarop $C$ op $4$ cm van $B$ , aan dezelfde kant als $D$ .
Verbind $C$ en $D$ .

Controleer met de liniaal: $DC$ moet ook $4$ cm meten.

41.3 Oefeningen

Oefening 41.1 ★

Construeer een driehoek $ABC$ met $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm en $BC = 4$ cm, volgens Methode 41.2.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.1.

Volg de methode: lijnstuk $[AB]$ van $6$ cm, boog met straal $5$ cm en middelpunt $A$ , boog met straal $4$ cm en middelpunt $B$ ; het snijpunt is $C$ .

Oefening 41.2 ★

Construeer een gelijkbenige driehoek $DEF$ met $DE = DF = 5$ cm en $EF = 3$ cm. Welke twee hoeken van deze driehoek lijken gelijk? Meet ze om te controleren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.2.

Basis $[EF]$ van $3$ cm, daarna twee bogen met straal $5$ cm en middelpunten $E$ en $F$ ; hun snijpunt is $D$ . De twee basishoeken $\widehat{DEF}$ en $\widehat{DFE}$ zijn gelijk (ongeveer $72.5^\circ$ elk) — symmetrie van de gelijkbenige driehoek (Voorbeeld 42.8).

Oefening 41.3 ★

Construeer een gelijkzijdige driehoek met zijde $4$ cm met alleen liniaal en passer. Meet één van zijn hoeken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.3.

Lijnstuk van $4$ cm, daarna twee bogen met straal $4$ cm en middelpunten in de uiteinden. Elke hoek meet $60^\circ$ .

Oefening 41.4 ★

Classificeer elke driehoek aan de hand van de gegevens (gelijkbenig, gelijkzijdig, rechthoekig — meerdere antwoorden mogelijk): (a) zijden $7$ , $7$ , $7$ ; (b) zijden $5$ , $5$ , $8$ ; (c) hoeken $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ; (d) hoeken $60^\circ$ , $60^\circ$ , $60^\circ$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.4.

(a) gelijkzijdig (dus ook gelijkbenig). (b) gelijkbenig ( $5 = 5$ ). (c) rechthoekig en gelijkbenig (twee gelijke hoeken van $45^\circ$ staan tegenover twee gelijke zijden). (d) gelijkzijdig (drie gelijke hoeken).

Oefening 41.5 ★

In een rechthoekige driehoek, welke zijde is de schuine zijde? Teken een driehoek $MNP$ rechthoekig in $N$ , en noem zijn schuine zijde. Welk hoekpunt raakt de schuine zijde nooit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.5.

De schuine zijde is de zijde tegenover de rechte hoek, altijd de langste zijde. In $MNP$ rechthoekig in $N$ is de schuine zijde $[MP]$ : zij raakt nooit het hoekpunt van de rechte hoek, $N$ .

Oefening 41.6 ★

Waar of onwaar? Motiveer elk antwoord in één zin.

Elk vierkant is een rechthoek.
Elke rechthoek is een vierkant.
Elk vierkant is een ruit.
Een ruit met een rechte hoek is een vierkant.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.6.

1. Waar: een vierkant heeft vier rechte hoeken, wat de definitie van een rechthoek is.

2. Onwaar: een rechthoek $5 \times 3$ heeft ongelijke zijden.

3. Waar: een vierkant heeft vier gelijke zijden, de definitie van een ruit.

4. Waar: zie Voorbeeld 41.6.

Oefening 41.7 ★

Construeer een rechthoek $ABCD$ met $AB = 5$ cm en $BC = 3$ cm. Meet zijn twee diagonalen: wat observeer je?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.7.

Constructie met loodlijnen, zoals in Voorbeeld 41.8. Beide diagonalen meten ongeveer $5.8$ cm: de diagonalen van een rechthoek hebben dezelfde lengte (Propositie 41.4).

Oefening 41.8 ★

Construeer een ruit met diagonalen van $6$ cm en $4$ cm. (Gebruik Propositie 41.4: teken eerst de twee diagonalen — loodrecht, snijdend in hun middens — en verbind daarna de vier uiteinden.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.8.

Teken een lijnstuk van $6$ cm; zijn midden $O$ ; de loodlijn in $O$ ; daarop twee punten op $2$ cm van $O$ aan weerszijden. De vier uiteinden verbinden geeft de ruit (alle vier hoekpunten liggen op afstanden $3$ cm en $2$ cm van $O$ langs loodrechte lijnen, dus de vier zijden zijn gelijk door symmetrie).

Oefening 41.9 ★★

Schrijf een constructieprogramma voor een gelijkbenige driehoek met basis $4$ cm en gelijke zijden van $6$ cm, in de stijl van Voorbeeld 41.8. Wissel met een klasgenoot: kunnen zij het volgen zonder je figuur te zien?

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.9.

Een correct programma: 1. teken een lijnstuk $[BC]$ met $BC = 4$ cm; 2. teken de boog met middelpunt $B$ en straal $6$ cm boven $[BC]$ ; 3. teken de boog met middelpunt $C$ en straal $6$ cm boven $[BC]$ ; 4. noem $A$ het snijpunt van de twee bogen; 5. teken de lijnstukken $[AB]$ en $[AC]$ .

Oefening 41.10 ★★

Teken een cirkel met middelpunt $O$ en één van zijn middellijnen $[AB]$ . Plaats een willekeurig punt $M$ op de cirkel en teken de driehoek $AMB$ . Meet de hoek $\widehat{AMB}$ . Verplaats $M$ en meet opnieuw. Wat vermoed je? (Dit verrassende feit wordt bewezen in Hoofdstuk 60.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.10.

Welke positie $M$ op de cirkel ook heeft, de hoek $\widehat{AMB}$ meet $90^\circ$ : de driehoek $AMB$ is rechthoekig in $M$ wanneer $[AB]$ een middellijn is. Het bewijs wacht op Hoofdstuk 60.

Oefening 41.11 ★★

Een vierhoek heeft diagonalen van dezelfde lengte die elkaar in hun gemeenschappelijk midden snijden. Zoek uit welke vorm het moet zijn, met Propositie 41.4: rechthoek, ruit of vierkant? (Let op: er is slechts één eigenschap gegeven.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.11.

Diagonalen die elkaar in hun midden snijden en gelijke lengten hebben: dat is de eigenschappenlijst van de rechthoek (Propositie 41.4). Niets dwingt de diagonalen loodrecht te zijn, dus het hoeft geen ruit of vierkant te zijn — een rechthoek is het juiste antwoord (een vierkant zou het ook voldoen, maar is niet verplicht).

Oefening 41.12 ★★★

Op een $4 \times 4$ stippenrooster, hoeveel verschillende vierkanten kun je tekenen waarvan de hoeken roosterpunten zijn — ook de “schuine” vierkanten meetellend? Teken minstens één schuin vierkant en leg uit waarom zijn zijden gelijk zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 41.12.

Met $4 \times 4$ stippen zijn er $3 \times 3$ roostercellen. Roostergelijnde vierkanten: zijden $1$ , $2$ of $3$ geven $9 + 4 + 1 = 14$ vierkanten. Schuine vierkanten bestaan ook: de kleine waarvan de zijden diagonalen van $1 \times 1$ -cellen zijn (zoals $(1,0)$ , $(2,1)$ , $(1,2)$ , $(0,1)$ ) — vier ervan; en de grotere waarvan de zijden diagonalen van $2 \times 1$ -rechthoeken zijn, zoals $(1,0)$ , $(3,1)$ , $(2,3)$ , $(0,2)$ — twee ervan. Alle vier zijden van zo’n vierkant zijn gelijk omdat ze diagonalen van identieke rechthoeken zijn. Totaal: $14 + 4 + 2 = 20$ vierkanten. (Elke telling met een correct schuin voorbeeld en de $14$ uitgelijnde telt als geslaagd op dit niveau.)