Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

21Grote getallen

Duizendtallen waren het plafond van Hoofdstuk 14; nu gaat het plafond omhoog naar miljoenen. De truc die enorme getallen leesbaar maakt, is hun cijfers in groepen van drie knippen.

21.1 Groepen van drie cijfers

Definitie 21.1 (Groepen van drie)

Vanaf rechts worden de cijfers van een getal in groepen van drie verdeeld: de groep van de eenheden, de groep van de duizenden, de groep van de miljoenen. Elke groep heeft haar eigen eenheden, tientallen en honderdtallen. Zo is

6\,309\,452 = 6 \text{ miljoen} + 309 \text{ duizend} + 452 \text{ eenheden},

gelezen als “zes miljoen driehonderdnegenduizend vierhonderdtweeënvijftig”.

De groepentabel van 6\,309\,452 (h = honderdtallen, t = tientallen, e = eenheden van elke groep). Een groot getal lezen is elke groep lezen, met haar naam erachter. — De groepentabel van $6\,309\,452$ (h $=$ honderdtallen, t $=$ tientallen, e $=$ eenheden van elke groep). Een groot getal lezen is elke groep lezen, met haar naam erachter.

Voorbeeld 21.2 (Schrijven met de groepen)

“Twaalf miljoen veertigduizend vijfhonderd” heeft $12$ in de groep van de miljoenen, $040$ in die van de duizenden en $500$ in die van de eenheden:

12\,040\,500 .

De nullen van $040$ zijn onmisbaar: elke groep (behalve de meest linkse) moet haar drie cijfers laten zien.

Voorbeeld 21.3 (Hoeveel duizenden?)

Het getal $6\,309\,452$ bevat $6\,309$ duizenden (alles links van de groep van de eenheden): $6\,309\,452 = 6\,309 \times 1\,000 + 452$ . “Hoeveel duizenden?” vraagt dus niet naar één cijfer, maar naar een heel stuk vooraan het getal.

21.2 Vergelijken en afronden

Methode 21.4 (Grote getallen vergelijken)

Precies zoals in Methode 14.4, met de groepen als kortere weg: meer cijfers wint; bij even veel cijfers vergelijk je vanaf links — groep na groep, en dan cijfer na cijfer.

Voorbeeld 21.5

$2\,145\,890$ en $2\,148\,540$ : de miljoenen zijn gelijk ( $2$ ), en in de groep van de duizenden is $145 < 148$ , dus

2\,145\,890 < 2\,148\,540 .

Definitie 21.6 (Afronden)

Een getal afronden op het naaste duizendtal (of tiental, honderdtal, miljoen …) is het vervangen door het dichtstbijzijnde veelvoud van $1\,000$ . Ligt het getal precies halverwege, dan rond je naar boven af. In de praktijk: kijk naar het cijfer net onder de plaats waarop je afrondt — bij $5$ of meer rond je naar boven af, bij $4$ of minder naar beneden.

Voorbeeld 21.7

$37\,614$ afgerond op het naaste duizendtal: het cijfer van de honderdtallen is $6$ , dus naar boven: $38\,000$ . Afgerond op het naaste honderdtal: $37\,600$ . Afgerond op het naaste tienduizendtal: $40\,000$ .

37\,614 afronden op het naaste duizendtal: het ligt voorbij het midden 37\,500, dus rondt het af naar 38\,000. — $37\,614$ afronden op het naaste duizendtal: het ligt voorbij het midden $37\,500$ , dus rondt het af naar $38\,000$ .

Voorbeeld 21.8 (Grootteordes in de wereld)

Zo worden grote getallen in het echt gebruikt: een land met $67\,842\,591$ inwoners heeft “ongeveer $68$ miljoen” inwoners; een stad met $214\,376$ inwoners heeft er “ongeveer $200\,000$ ”. Het precieze aantal verandert toch elke dag — het afgeronde getal draagt de nuttige informatie.

21.3 Oefeningen

Oefening 21.1 ★

Schrijf in cijfers, met de groepen gescheiden: “drie miljoen vijfhonderdtwintigduizend”; “zeven miljoen acht”; “tweehonderdveertigduizend zestig”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.1.

$3\,520\,000$ ; $7\,000\,008$ ; $240\,060$ .

Oefening 21.2 ★

Schrijf in woorden: $5\,204\,300$ ; $10\,050\,000$ ; $999\,999$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.2.

$5\,204\,300$ : vijf miljoen tweehonderdvierduizend driehonderd.

$10\,050\,000$ : tien miljoen vijftigduizend.

$999\,999$ : negenhonderdnegenennegentigduizend negenhonderdnegenennegentig.

Oefening 21.3 ★

In $8\,472\,156$ : welk cijfer staat bij de tienduizenden? En welk bij de honderdtallen van de groep van de miljoenen? Hoeveel duizenden bevat het getal (zie Voorbeeld 21.3)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.3.

Tienduizenden: $7$ . Honderdtallen van de groep van de miljoenen: die zijn er niet in een getal van zeven cijfers — de groep van de miljoenen van $8\,472\,156$ bevat alleen het cijfer $8$ (de eenheden van de miljoenen). Aantal duizenden: $8\,472$ (want $8\,472\,156 = 8\,472 \times 1\,000 + 156$ ).

Oefening 21.4 ★

Neem over en vul in met $<$ of $>$ :

980\,000 \;?\; 1\,020\,000, \qquad 3\,456\,000 \;?\; 3\,465\,000, \qquad 7\,090\,050 \;?\; 7\,090\,500 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.4.

$980\,000 < 1\,020\,000$ ; $3\,456\,000 < 3\,465\,000$ (groep van de duizenden: $456 < 465$ ); $7\,090\,050 < 7\,090\,500$ .

Oefening 21.5 ★

Zet op volgorde, van klein naar groot: $2\,300\,000$ ; $980\,500$ ; $2\,030\,000$ ; $2\,299\,999$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.5.

$980\,500 < 2\,030\,000 < 2\,299\,999 < 2\,300\,000$ .

Oefening 21.6 ★

Rond $63\,782$ af: op het naaste tiental; op het naaste honderdtal; op het naaste duizendtal; op het naaste tienduizendtal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.6.

Op het tiental: $63\,780$ . Op het honderdtal: $63\,800$ . Op het duizendtal: $64\,000$ . Op het tienduizendtal: $60\,000$ .

Oefening 21.7 ★

Rond af op het naaste miljoen: $4\,721\,000$ ; $6\,499\,999$ ; $9\,500\,000$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.7.

$5\,000\,000$ ; $6\,000\,000$ (die $499\,999$ komt net niet aan een half miljoen); $10\,000\,000$ (precies halverwege rondt naar boven af).

Oefening 21.8 ★

Tel met stappen: drie stappen van $1\,000$ vanaf $998\,500$ ; twee stappen van $100\,000$ vanaf $950\,000$ . Wat gebeurt er met de groepen als je een miljoen voorbijgaat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.8.

$998\,500 \to 999\,500 \to 1\,000\,500 \to 1\,001\,500$ : bij de tweede stap ga je het miljoen voorbij, en links licht een nieuwe groep op.

$950\,000 \to 1\,050\,000 \to 1\,150\,000$ : hier gebeurt dat al bij de eerste stap.

Oefening 21.9 ★

In een stadion passen $81\,338$ bezoekers. Een krant schrijft “meer dan $80\,000$ fans”; de radio zegt “ongeveer $81\,000$ ”. Hebben ze beide gelijk? Op welke plaats heeft ieder afgerond?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.9.

Ze hebben beide gelijk. “Meer dan $80\,000$ ” is naar beneden afgerond op het tienduizendtal ( $81\,338 \to 80\,000$ ); “ongeveer $81\,000$ ” is afgerond op het naaste duizendtal ( $81\,338 \to 81\,000$ ).

Oefening 21.10 ★★

Gebruik elk van de cijfers $1$ tot $7$ precies één keer en schrijf het grootste getal van zeven cijfers, het kleinste, en het getal dat het dichtst bij $4\,000\,000$ ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.10.

Grootste: $7\,654\,321$ . Kleinste: $1\,234\,567$ . Het dichtst bij $4\,000\,000$ : net eronder lukt het minder goed — $3\,765\,421$ ligt er $234\,579$ vandaan, terwijl net erboven $4\,123\,567$ er maar $123\,567$ vandaan ligt: het dichtstbijzijnde is $4\,123\,567$ .

Oefening 21.11 ★★

Wat is het grootste hele getal dat, afgerond op het naaste duizendtal, $50\,000$ geeft? En het kleinste?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.11.

Afronden op het naaste duizendtal geeft $50\,000$ voor alle getallen van $49\,500$ (precies halverwege rondt naar boven af) tot $50\,499$ . Grootste: $50\,499$ ; kleinste: $49\,500$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst