Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

21Grote getallen

Duizendtallen waren het plafond van Hoofdstuk 14; nu stijgt het plafond tot miljoenen. De truc die enorme getallen leesbaar maakt, is hun cijfers in groepen van drie te knippen — de klassen.

21.1 Klassen van drie cijfers

Definitie 21.1 (Klassen)

Vanaf rechts worden de cijfers van een getal gegroepeerd in klassen van drie: de klasse van de eenheden, de klasse van de duizendtallen, de klasse van de miljoenen. Elke klasse heeft haar eigen eenheden, tientallen en honderdtallen. Bijvoorbeeld

6\,309\,452 = 6 \text{ miljoenen} + 309 \text{ duizendtallen} + 452 \text{ eenheden},

gelezen als “zes miljoen driehonderdnegenduizend vierhonderdtweeënvijftig”.

De klassentabel van 6\,309\,452 (h = honderdtallen, t = tientallen, e = eenheden van elke klasse). Een groot getal lezen betekent elke klasse lezen, gevolgd door haar naam. — De klassentabel van $6\,309\,452$ (h $=$ honderdtallen, t $=$ tientallen, e $=$ eenheden van elke klasse). Een groot getal lezen betekent elke klasse lezen, gevolgd door haar naam.

Voorbeeld 21.2 (Schrijven met de klassen)

“Twaalf miljoen veertigduizend vijfhonderd” heeft $12$ in de miljoenenklasse, $040$ in de duizendtallenklasse, $500$ in de eenhedenklasse:

12\,040\,500 .

De nullen van $040$ zijn essentieel: elke klasse (behalve de linkerste) moet haar drie cijfers tonen.

Voorbeeld 21.3 (Hoeveel duizendtallen?)

Het getal $6\,309\,452$ bevat $6\,309$ duizendtallen (alles links van de eenhedenklasse): $6\,309\,452 = 6\,309 \times 1\,000 + 452$ . Vragen “hoeveel duizendtallen” vraagt niet om één cijfer, maar om een heel voorvoegsel van het getal.

21.2 Vergelijken en afronden

Methode 21.4 (Grote getallen vergelijken)

Precies zoals in Methode 14.4, met de klassen als snelweg: meer cijfers wint; zelfde lengte, vergelijk van links — klasse voor klasse, dan cijfer voor cijfer.

Voorbeeld 21.5

$2\,145\,890$ en $2\,148\,540$ : miljoenen gelijk ( $2$ ), duizendtallenklasse $145 < 148$ , dus

2\,145\,890 < 2\,148\,540 .

Definitie 21.6 (Afronden)

Om een getal te afronden op het dichtstbijzijnde duizendtal (of tiental, honderdtal, miljoen …), vervang het door het dichtstbijzijnde veelvoud van $1\,000$ . Als het getal precies halverwege ligt, rond naar boven af. In de praktijk: kijk naar het cijfer net onder de afrondplaats — $5$ of meer rondt naar boven af, $4$ of minder naar beneden.

Voorbeeld 21.7

$37\,614$ afgerond op het dichtstbijzijnde duizendtal: het honderdtallencijfer is $6$ , dus naar boven: $38\,000$ . Afgerond op het dichtstbijzijnde honderdtal: $37\,600$ . Afgerond op het dichtstbijzijnde tienduizendtal: $40\,000$ .

Afronden van 37\,614 op het dichtstbijzijnde duizendtal: het ligt voorbij het halfway-punt 37\,500, dus het wordt naar boven afgerond op 38\,000. — Afronden van $37\,614$ op het dichtstbijzijnde duizendtal: het ligt voorbij het halfway-punt $37\,500$ , dus het wordt naar boven afgerond op $38\,000$ .

Voorbeeld 21.8 (Ordes van grootte in de wereld)

Afronden is hoe grote getallen echt gebruikt worden: een land van $67\,842\,591$ inwoners is “ongeveer $68$ miljoen”; een stad van $214\,376$ mensen is “ongeveer $200\,000$ ”. Het exacte cijfer verandert toch elke dag — het afgeronde draagt de nuttige informatie.

21.3 Oefeningen

Oefening 21.1 ★

Schrijf in cijfers, met de klassen gescheiden: “drie miljoen vijfhonderdtwintigduizend”; “zeven miljoen acht”; “tweehonderdveertigduizend zestig”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.1.

$3\,520\,000$ ; $7\,000\,008$ ; $240\,060$ .

Oefening 21.2 ★

Schrijf in woorden: $5\,204\,300$ ; $10\,050\,000$ ; $999\,999$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.2.

$5\,204\,300$ : vijf miljoen tweehonderdvierduizend driehonderd.

$10\,050\,000$ : tien miljoen vijftigduizend.

$999\,999$ : negenhonderdnegenennegentigduizend negenhonderdnegenennegentig.

Oefening 21.3 ★

In $8\,472\,156$ : welk cijfer is de tientallen van de duizendtallen? De honderdtallen van de miljoenenklasse? Hoeveel duizendtallen bevat het getal (zie Voorbeeld 21.3)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.3.

Tientallen van de duizendtallen: $7$ . Honderdtallen van de miljoenenklasse: er is geen honderden-van-miljoenen-cijfer in een zevencijferig getal — de miljoenenklasse van $8\,472\,156$ bevat alleen het cijfer $8$ (eenheden van miljoenen). Duizendtallen bevat: $8\,472$ (want $8\,472\,156 = 8\,472 \times 1\,000 + 156$ ).

Oefening 21.4 ★

Schrijf over en vul in met $<$ of $>$ :

980\,000 \;?\; 1\,020\,000, \qquad 3\,456\,000 \;?\; 3\,465\,000, \qquad 7\,090\,050 \;?\; 7\,090\,500 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.4.

$980\,000 < 1\,020\,000$ ; $3\,456\,000 < 3\,465\,000$ (duizendtallenklasse $456 < 465$ ); $7\,090\,050 < 7\,090\,500$ .

Oefening 21.5 ★

Zet op volgorde van klein naar groot: $2\,300\,000$ ; $980\,500$ ; $2\,030\,000$ ; $2\,299\,999$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.5.

$980\,500 < 2\,030\,000 < 2\,299\,999 < 2\,300\,000$ .

Oefening 21.6 ★

Rond $63\,782$ af: op het dichtstbijzijnde tiental; op het dichtstbijzijnde honderdtal; op het dichtstbijzijnde duizendtal; op het dichtstbijzijnde tienduizendtal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.6.

Op het tiental: $63\,780$ . Op het honderdtal: $63\,800$ . Op het duizendtal: $64\,000$ . Op het tienduizendtal: $60\,000$ .

Oefening 21.7 ★

Rond af op het dichtstbijzijnde miljoen: $4\,721\,000$ ; $6\,499\,999$ ; $9\,500\,000$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.7.

$5\,000\,000$ ; $6\,000\,000$ (de $499\,999$ haalt de helft van een miljoen niet); $10\,000\,000$ (precies halfway rondt naar boven af).

Oefening 21.8 ★

Tel met stappen: drie stappen van $1\,000$ vanaf $998\,500$ ; twee stappen van $100\,000$ vanaf $950\,000$ . Wat gebeurt er met de klassen als je een miljoen oversteekt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.8.

$998\,500 \to 999\,500 \to 1\,000\,500 \to 1\,001\,500$ : de tweede stap steekt de miljoen over, en een nieuwe klasse gaat links aan.

$950\,000 \to 1\,050\,000 \to 1\,150\,000$ : dezelfde oversteek bij de eerste stap.

Oefening 21.9 ★

Een stadion houdt $81\,338$ toeschouwers. Een krant schrijft “meer dan $80\,000$ fans”; een radio zegt “ongeveer $81\,000$ ”. Hebben beide gelijk? Op welke plaats heeft elk afgerond?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.9.

Beide hebben gelijk. “Meer dan $80\,000$ ” rondt naar beneden af op het tienduizendtal ( $81\,338 \to 80\,000$ ); “ongeveer $81\,000$ ” rondt af op het dichtstbijzijnde duizendtal ( $81\,338 \to 81\,000$ ).

Oefening 21.10 ★★

Met elk van de cijfers $1$ tot $7$ precies één keer, schrijf het grootst mogelijke zevencijferige getal, het kleinste, en het getal dat het dichtst bij $4\,000\,000$ ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.10.

Grootste: $7\,654\,321$ . Kleinste: $1\,234\,567$ . Dichtst bij $4\,000\,000$ : net eronder werkt minder goed — $3\,765\,421$ is $234\,579$ weg, terwijl net erboven, $4\,123\,567$ , maar $123\,567$ weg is: het dichtstbijzijnde is $4\,123\,567$ .

Oefening 21.11 ★★

Wat is het grootste gehele getal dat afrondt op $50\,000$ bij afronden op het dichtstbijzijnde duizendtal? En het kleinste?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.11.

Afronden op het dichtstbijzijnde duizendtal geeft $50\,000$ voor alle getallen van $49\,500$ (halfway rondt naar boven) tot $50\,499$ . Grootste: $50\,499$ ; kleinste: $49\,500$ .