Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

33Meetkundige constructies

Liniaal, geodriehoek, passer: met deze drie hulpmiddelen en een beetje methode kan elke in woorden beschreven figuur precies gebouwd worden. Dit hoofdstuk construeert loodlijnen, evenwijdigen, driehoeken en de speciale vierhoeken — eerst ambacht, later theorie (Hoofdstukken 40 en 41).

33.1 Loodlijnen en evenwijdigen door een punt

Methode 33.1 (De twee basisconstructies)

Loodrecht op $d$ door $A$ : schuif de geodriehoek langs $d$ tot zijn andere recht-hoek-zijde $A$ bereikt; teken; markeer de rechte hoek.

Evenwijdig aan $d$ door $A$ : druk een liniaal tegen de geodriehoek als rail langs $d$ ; schuif de geodriehoek tot $A$ ; teken. (Controle: de tussenruimte tussen de twee lijnen is overal hetzelfde.)

Voorbeeld 33.2 (Constructies ketenen)

Veel figuren zijn ketens van deze twee zetten. Een rechthoek $ABCD$ met $AB = 5$ cm en $BC = 3$ cm: teken $[AB]$ ; loodrecht in $A$ ; loodrecht in $B$ ; markeer $D$ en $C$ op $3$ cm aan dezelfde kant; verbind. Elke stap is één basisconstructie.

33.2 Driehoeken met de passer

Methode 33.3 (Driehoek uit drie zijden)

Om een driehoek met zijden $6$ cm, $5$ cm, $4$ cm te bouwen:

teken de langste zijde, $[AB]$ met $AB = 6$ cm;
boog met middelpunt $A$ en straal $5$ cm;
boog met middelpunt $B$ en straal $4$ cm;
hun snijpunt is het derde hoekpunt $C$ ; verbind.

De passer garandeert de lengtes: elk punt van de eerste boog ligt op precies $5$ cm van $A$ .

Twee bogen, één snijpunt: de driehoek 6–5–4 gebouwd met de passer. (Als de twee korte zijden samen korter waren dan de basis, zouden de bogen elkaar niet raken — meer hierover in .) — Twee bogen, één snijpunt: de driehoek $6$ – $5$ – $4$ gebouwd met de passer. (Als de twee korte zijden samen korter waren dan de basis, zouden de bogen elkaar niet raken — meer hierover in Hoofdstuk 51.)

Voorbeeld 33.4 (Gelijkbenig en gelijkzijdig gratis)

Zelfde passeropening voor beide bogen $\Rightarrow$ gelijkbenige driehoek. Opening gelijk aan de basis $\Rightarrow$ gelijkzijdig. De passer meet niet: hij kopieert lengtes, wat nog beter is.

33.3 De speciale vierhoeken, door constructie

Methode 33.5 (De familie bouwen)

Rechthoek: twee paren evenwijdigen die loodrecht kruisen — of de keten van Voorbeeld 33.2;
vierkant: een rechthoek waarvan de vier zijden dezelfde lengte gebruiken — draag die over met de passer;
ruit: vier gelijke zijden — teken één zijde, dan leggen twee passerbogen vanaf de uiteinden met dezelfde opening de andere twee hoekpunten vast (een ruit is twee gelijkbenige driehoeken geplakt langs een diagonaal).

Na het bouwen, controleer altijd met de hulpmiddelen: geodriehoek op de hoeken, passer op de zijden.

Voorbeeld 33.6 (Herkennen uit een beschrijving)

“Een vierhoek met vier zijden van $4$ cm en één rechte hoek” — bouw hem: de vier gelijke zijden forceren een ruitvorm, en één hoek recht drukken richt alle andere: het resultaat is een vierkant. Sommige beschrijvingen beschrijven stiekem een specialere vorm dan ze aankondigen. (Waarom de rechte hoek naar alle vier hoeken uitspreidt, wordt uitgelegd in Hoofdstuk 52.)

33.4 Cirkels in constructies

Voorbeeld 33.7 (De cirkel als hulpmiddel)

“Zoek alle punten op $3$ cm van $A$ ”: de cirkel met middelpunt $A$ , straal $3$ cm. “Zoek alle punten op $3$ cm van $A$ en $4$ cm van $B$ ”: teken beide cirkels; hun snijpunten (twee, één of nul punten) zijn de antwoorden. Schatkaarten en driehoeksconstructies gebruiken precies dit idee.

33.5 Oefeningen

Oefening 33.1 ★

Teken een lijn $d$ en een punt $A$ op ongeveer $3$ cm ervan. Construeer de loodlijn op $d$ door $A$ , dan de evenwijdige aan $d$ door $A$ . Markeer de rechte hoeken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.1.

Beide constructies volgen Methode 33.1; de loodlijn en de evenwijdige door $A$ staan zelf loodrecht op elkaar.

Oefening 33.2 ★

Construeer een rechthoek $ABCD$ met $AB = 7$ cm en $BC = 4$ cm, volgens Voorbeeld 33.2. Controleer de vierde hoek met de geodriehoek: als de constructie exact is, is hij automatisch recht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.2.

Keten van loodlijnen zoals in Voorbeeld 33.2. Als de drie gebouwde hoeken precies recht zijn en de lengtes exact, heeft de vierde hoek geen andere keus dan ook recht te zijn — een goed gebouwde rechthoek controleert zichzelf.

Oefening 33.3 ★

Construeer een driehoek met zijden $7$ cm, $6$ cm en $3$ cm (Methode 33.3).

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.3.

Basis $[AB]$ van $7$ cm; bogen van stralen $6$ cm (vanaf $A$ ) en $3$ cm (vanaf $B$ ); het snijpunt is $C$ .

Oefening 33.4 ★

Construeer een gelijkbenige driehoek met basis $5$ cm en gelijke zijden van $7$ cm; dan een gelijkzijdige driehoek van zijde $6$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.4.

Gelijkbenig: basis $5$ cm, beide bogen met dezelfde opening $7$ cm. Gelijkzijdig: basis $6$ cm, beide bogen met de opening $6$ cm.

Oefening 33.5 ★

Construeer een vierkant van zijde $5$ cm. Welke hulpmiddelen garanderen de rechte hoeken? Welke garanderen de gelijke zijden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.5.

De geodriehoek garandeert de rechte hoeken; de passer (of de liniaal) draagt de $5$ cm-zijde over naar alle vier zijden.

Oefening 33.6 ★

Construeer een ruit van zijde $4$ cm die geen vierkant is (kies je eigen opening voor de eerste hoek). Controleer de vier zijden met de passer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.6.

Teken een zijde $[AB]$ van $4$ cm, kies een richting voor $[AD]$ (niet loodrecht, om het vierkant te vermijden), $AD = 4$ cm; dan kruisen bogen van $4$ cm vanaf $B$ en vanaf $D$ in $C$ . De passer bevestigt de vier gelijke zijden.

Oefening 33.7 ★

Teken twee punten $A$ en $B$ met $AB = 5$ cm. Construeer alle punten die op $4$ cm van $A$ en op $3$ cm van $B$ liggen. Hoeveel zijn er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.7.

De cirkel met middelpunt $A$ , straal $4$ cm, en de cirkel met middelpunt $B$ , straal $3$ cm, kruisen in twee punten (één boven, één onder de lijn $(AB)$ ), omdat $4 + 3 > 5$ en de cirkels elkaar overlappen.

Oefening 33.8 ★

Schrijf een constructieprogramma (genummerde stappen, benoemde punten) voor een rechthoek $6$ cm $\times$ $2$ cm met daarop een gelijkbenige driehoek met gelijke zijden $4$ cm (een potloodvorm). Laat een klasgenoot het uitvoeren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.8.

Een correct programma: “1. Teken een rechthoek $ABCD$ met $AB = 6$ cm (onderkant) en $BC = 2$ cm. 2. Teken twee bogen van straal $4$ cm gecentreerd in $D$ en in $C$ (de bovenhoeken); noem $S$ hun snijpunt boven de rechthoek. 3. Teken $[DS]$ en $[CS]$ .” (De punt van het potlood is de gelijkbenige driehoek $DSC$ .)

Oefening 33.9 ★★

Probeer een driehoek te construeren met zijden $8$ cm, $3$ cm en $4$ cm. Wat gebeurt er met de bogen? Leg in één zin uit waarom deze driehoek niet kan bestaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.9.

De bogen van stralen $3$ cm en $4$ cm, getekend vanaf de twee uiteinden van de basis van $8$ cm, raken elkaar nooit: zelfs eind-aan-eind kan $3 + 4 = 7$ cm niet over $8$ cm reiken. Twee zijden samen moeten altijd langer zijn dan de derde — anders kan de driehoek niet sluiten.

Oefening 33.10 ★★

Construeer een ruit waarvan de diagonalen $6$ cm en $4$ cm meten, wetend dat de diagonalen van een ruit elkaar in hun middens kruisen onder een rechte hoek: teken de diagonalen eerst, verbind dan hun vier uiteinden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.10.

Teken een segment van $6$ cm en zijn middenpunt $O$ ; teken de loodlijn in $O$ ; markeer erop twee punten op $2$ cm van $O$ (één aan elke kant); verbind de vier eindpunten op volgorde. De passer bevestigt de vier gelijke zijden.

Oefening 33.11 ★★

Een geit is vastgebonden aan een paal $A$ met een touw van $4$ m, in een vlak veld met een recht hek dat op $3$ m van $A$ passeert. Teken een plattegrond (1 cm per meter): welk gebied kan de geit bereiken? Waar beperkt het hek haar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.11.

Op de plattegrond bereikt de geit de schijf met middelpunt $A$ en straal $4$ cm, afgesneden door de heklijn op $3$ cm van $A$ : haar gebied is de schijf min het sneetje voorbij het hek. Langs het hek kan ze grazen op een segment (waar de cirkel de heklijn kruist); daarachter niets.