Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

33Meetkundige constructies

Lat, geodriehoek, passer: met deze drie stukken gereedschap en een beetje methode kun je elke figuur die in woorden beschreven is, precies bouwen. Dit hoofdstuk construeert loodlijnen, parallellen, driehoeken en de bijzondere vierhoeken — eerst het ambacht, later de theorie (Hoofdstukken 40 en 41).

33.1 Loodlijnen en parallellen door een punt

Methode 33.1 (De twee basisconstructies)

De loodlijn op $d$ door $A$ : schuif de geodriehoek langs $d$ tot haar andere rand van de rechte hoek bij $A$ komt; teken; zet het teken van de rechte hoek erbij.

De parallel aan $d$ door $A$ : druk een lat als rail tegen de geodriehoek die langs $d$ ligt; schuif de geodriehoek op tot bij $A$ ; teken. (Controle: de afstand tussen de twee lijnen is overal gelijk.)

Voorbeeld 33.2 (Constructies aan elkaar rijgen)

Veel figuren zijn een reeks van deze twee bewegingen. Een rechthoek $ABCD$ met $AB = 5$ cm en $BC = 3$ cm: teken $[AB]$ ; de loodlijn in $A$ ; de loodlijn in $B$ ; zet $D$ en $C$ op $3$ cm aan dezelfde kant; verbind. Elke stap is één basisconstructie.

33.2 Driehoeken met de passer

Methode 33.3 (Een driehoek uit drie zijden)

Om een driehoek met zijden $6$ cm, $5$ cm en $4$ cm te bouwen:

teken de langste zijde, $[AB]$ met $AB = 6$ cm;
een boog met middelpunt $A$ en radius $5$ cm;
een boog met middelpunt $B$ en radius $4$ cm;
hun snijpunt is het derde hoekpunt $C$ ; verbind.

De passer garandeert de lengtes: elk punt van de eerste boog ligt precies $5$ cm van $A$ .

Twee bogen, één snijpunt: de driehoek 6–5–4, gebouwd met de passer. (Als de twee korte zijden samen korter waren dan de basis, zouden de bogen elkaar niet ontmoeten — daarover meer in .) — Twee bogen, één snijpunt: de driehoek $6$ – $5$ – $4$ , gebouwd met de passer. (Als de twee korte zijden samen korter waren dan de basis, zouden de bogen elkaar niet ontmoeten — daarover meer in Hoofdstuk 51.)

Voorbeeld 33.4 (Gelijkbenig en gelijkzijdig krijg je erbij)

Dezelfde passeropening voor beide bogen $\Rightarrow$ een gelijkbenige driehoek. Een opening gelijk aan de basis $\Rightarrow$ gelijkzijdig. De passer meet niet: hij kopieert lengtes, en dat is nog beter.

33.3 De bijzondere vierhoeken, al bouwend

Methode 33.5 (De familie bouwen)

Rechthoek: twee paar parallellen die elkaar onder rechte hoeken snijden — of de reeks van Voorbeeld 33.2;
vierkant: een rechthoek waarvan de vier zijden dezelfde lengte gebruiken — breng die met de passer over;
ruit: vier gelijke zijden — teken één zijde, en twee bogen met dezelfde opening vanuit haar uiteinden leggen de andere twee hoekpunten vast (een ruit is twee gelijkbenige driehoeken die langs een diagonaal aan elkaar geplakt zijn).

Controleer na het bouwen altijd met het gereedschap: de geodriehoek op de hoeken, de passer op de zijden.

Voorbeeld 33.6 (Herkennen uit een beschrijving)

“Een vierhoek met vier zijden van $4$ cm en één rechte hoek” — bouw hem: de vier gelijke zijden dwingen de vorm van een ruit af, en één hoek recht maken trekt alle andere ook recht: het resultaat is een vierkant. Sommige beschrijvingen beschrijven in stilte een bijzonderder figuur dan ze aankondigen. (Waarom die rechte hoek zich over alle vier de hoeken verspreidt, wordt uitgelegd in Hoofdstuk 52.)

33.4 Cirkels in constructies

Voorbeeld 33.7 (De cirkel als gereedschap)

“Zoek alle punten op $3$ cm van $A$ ”: dat is de cirkel met middelpunt $A$ en radius $3$ cm. “Zoek alle punten op $3$ cm van $A$ en $4$ cm van $B$ ”: teken beide cirkels; hun snijpunten (twee, één of nul) zijn de antwoorden. Schatkaarten en driehoeksconstructies gebruiken precies dit idee.

33.5 Oefeningen

Oefening 33.1 ★

Teken een lijn $d$ en een punt $A$ op ongeveer $3$ cm ervan. Construeer de loodlijn op $d$ door $A$ , en daarna de parallel aan $d$ door $A$ . Zet de tekens voor de rechte hoeken erbij.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.1.

Beide constructies volgen Methode 33.1; de loodlijn en de parallel door $A$ staan zelf ook loodrecht op elkaar.

Oefening 33.2 ★

Construeer een rechthoek $ABCD$ met $AB = 7$ cm en $BC = 4$ cm, volgens Voorbeeld 33.2. Controleer de vierde hoek met de geodriehoek: is de constructie precies, dan is hij automatisch recht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.2.

Een reeks loodlijnen zoals in Voorbeeld 33.2. Zijn de drie gebouwde hoeken precies recht en de lengtes precies, dan kan de vierde hoek niet anders dan recht zijn — een goed gebouwde rechthoek controleert zichzelf.

Oefening 33.3 ★

Construeer een driehoek met zijden $7$ cm, $6$ cm en $3$ cm (Methode 33.3).

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.3.

Basis $[AB]$ van $7$ cm; bogen met radius $6$ cm (vanuit $A$ ) en $3$ cm (vanuit $B$ ); het snijpunt is $C$ .

Oefening 33.4 ★

Construeer een gelijkbenige driehoek met basis $5$ cm en gelijke zijden van $7$ cm; en daarna een gelijkzijdige driehoek met zijde $6$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.4.

Gelijkbenig: basis $5$ cm, beide bogen met dezelfde opening van $7$ cm. Gelijkzijdig: basis $6$ cm, beide bogen met de opening van $6$ cm.

Oefening 33.5 ★

Construeer een vierkant met zijde $5$ cm. Welk gereedschap garandeert de rechte hoeken? En welk de gelijke zijden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.5.

De geodriehoek garandeert de rechte hoeken; de passer (of de lat) brengt de zijde van $5$ cm naar alle vier de zijden over.

Oefening 33.6 ★

Construeer een ruit met zijde $4$ cm die geen vierkant is (kies zelf de opening van de eerste hoek). Controleer de vier zijden met de passer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.6.

Teken een zijde $[AB]$ van $4$ cm, kies een richting voor $[AD]$ (niet loodrecht, anders krijg je een vierkant), met $AD = 4$ cm; bogen van $4$ cm vanuit $B$ en vanuit $D$ snijden elkaar in $C$ . De passer bevestigt de vier gelijke zijden.

Oefening 33.7 ★

Zet twee punten $A$ en $B$ met $AB = 5$ cm. Construeer alle punten die op $4$ cm van $A$ en op $3$ cm van $B$ liggen. Hoeveel zijn er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.7.

De cirkel met middelpunt $A$ en radius $4$ cm en de cirkel met middelpunt $B$ en radius $3$ cm snijden elkaar in twee punten (één boven en één onder de lijn $(AB)$ ), omdat $4 + 3 > 5$ en de cirkels dus overlappen.

Oefening 33.8 ★

Schrijf een tekenprogramma (genummerde stappen, punten met namen) voor een rechthoek van $6$ cm $\times$ $2$ cm met daarop een gelijkbenige driehoek met gelijke zijden van $4$ cm (de vorm van een potlood). Laat een klasgenoot het uitvoeren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.8.

Een goed programma is bijvoorbeeld: “1. Teken een rechthoek $ABCD$ met $AB = 6$ cm (onderzijde) en $BC = 2$ cm. 2. Teken twee bogen met radius $4$ cm met $D$ en $C$ als middelpunt (de bovenste hoekpunten); noem hun snijpunt boven de rechthoek $S$ . 3. Teken $[DS]$ en $[CS]$ .” (De punt van het potlood is de gelijkbenige driehoek $DSC$ .)

Oefening 33.9 ★★

Probeer een driehoek met zijden $8$ cm, $3$ cm en $4$ cm te construeren. Wat gebeurt er met de bogen? Leg in één zin uit waarom deze driehoek niet kan bestaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.9.

De bogen met radius $3$ cm en $4$ cm, vanuit de twee uiteinden van de basis van $8$ cm, ontmoeten elkaar nooit: zelfs kop aan kop overspant $3 + 4 = 7$ cm geen $8$ cm. Twee zijden samen moeten altijd langer zijn dan de derde — anders kan de driehoek niet sluiten.

Oefening 33.10 ★★

Construeer een ruit waarvan de diagonalen $6$ cm en $4$ cm lang zijn, gegeven dat de diagonalen van een ruit elkaar in hun middens onder een rechte hoek snijden: teken eerst de diagonalen en verbind daarna hun vier uiteinden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.10.

Teken een lijnstuk van $6$ cm met zijn midden $O$ ; teken de loodlijn in $O$ ; zet daarop twee punten op $2$ cm van $O$ (één aan elke kant); verbind de vier uiteinden op volgorde. De passer bevestigt de vier gelijke zijden.

Oefening 33.11 ★★

Een geit staat met een touw van $4$ m vast aan een paal $A$ , in een vlak veld met een recht hek dat op $3$ m van $A$ langsloopt. Teken een plattegrond (1 cm per meter): welk gebied kan de geit bereiken? Waar beperkt het hek haar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.11.

Op de plattegrond bereikt de geit de schijf met middelpunt $A$ en radius $4$ cm, afgesneden door de hekkenlijn op $3$ cm van $A$ : haar gebied is de schijf zonder het randje voorbij het hek. Langs het hek kan ze op een lijnstuk grazen (waar de cirkel de hekkenlijn snijdt); verder kan ze niet.