Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

56Machten

Vouw een vel papier $10$ keer dubbel (als je kunt!): de dikte verdubbelt elke keer, en $10$ verdubbelingen vermenigvuldigen hem met $2^{10} = 1024$ . Machten zijn de verkorte notatie van herhaalde vermenigvuldiging; dit hoofdstuk zet de notatie en haar regels op, met een speciale plek voor de machten van $10$ .

56.1 Definitie

Definitie 56.1 (Macht)

Voor een getal $a$ en een geheel getal $n \geq 1$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ factoren}},

gelezen “ $a$ tot de (macht) $n$ ”; $a$ is het grondtal, $n$ de exponent. Speciale namen: $a^2$ is “ $a$ kwadraat”, $a^3$ “ $a$ derdemacht”. Per conventie:

a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Voorbeeld 56.2

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ ; $10^3 = 1000$ ; $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$ ; $(-2)^3 = -8$ en $(-2)^4 = +16$ (Voorbeeld 54.5). Let op: $a^n$ is niet $a \times n$ : $2^5 = 32$ , niet $10$ .

Machten van 2: elke staaf is tweemaal de vorige. Groei door herhaalde vermenigvuldiging loopt veel sneller weg dan groei door herhaalde optelling. — Machten van $2$ : elke staaf is tweemaal de vorige. Groei door herhaalde vermenigvuldiging loopt veel sneller weg dan groei door herhaalde optelling.

56.2 De rekenregels voor exponenten

Stelling 56.3 (Regels voor exponenten)

Voor een grondtal $a$ ongelijk aan nul en gehele exponenten $m$ , $n$ :

a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Bewijs door factoren te tellen. $a^m \times a^n$ zet $m$ factoren $a$ gevolgd door $n$ meer op een rij: $m + n$ in totaal. $\left(a^m\right)^n$ herhaalt een blok van $m$ factoren $n$ keer: $mn$ factoren. $(ab)^n$ bevat $n$ letters $a$ en $n$ letters $b$ , die hergroepeerd kunnen worden. De quotiëntrregel komt van het wegstrepen van $n$ van de $m$ factoren; met de conventies $a^0 = 1$ en $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ blijft hij waar ook als $n \geq m$ . ∎

Voorbeeld 56.4

2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 .

Een valkuil: de regels gelden voor een gemeenschappelijk grondtal (of een gemeenschappelijke exponent, voor de laatste). Geen regel vereenvoudigt $2^3 \times 5^2$ — reken gewoon uit: $8 \times 25 = 200$ .

56.3 Machten van tien

Propositie 56.5 (Machten van tien)

Voor $n \geq 1$ : $10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}$ , en $10^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$ . De exponentenregels lezen: machten van tien vermenigvuldigen is de exponenten optellen.

Voorbeeld 56.6

$10^4 \times 10^3 = 10^7$ ; $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001$ . Grote en kleine hoeveelheden worden leesbaar:

\text{één miljard} = 10^9, \qquad \text{één miljoenste} = 10^{-6}.

Gecombineerd met decimalen: $3.2 \times 10^5 = 320\,000$ en $4.7 \times 10^{-3} = 0.0047$ (verschuif de decimale punt, Propositie 38.7). Het systematische gebruik van deze schrijfwijze — wetenschappelijke notatie — wordt uitgewerkt in Hoofdstuk 63.

Voorbeeld 56.7 (Ordes van grootte)

Licht reist ongeveer $3 \times 10^8$ m/s; een jaar heeft ongeveer $3.2 \times 10^7$ seconden. Een lichtjaar is dus ongeveer

3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ m}

— tien miljoen miljard meters. Machten van tien laten astronomische berekeningen op één regel passen.

Methode 56.8 (Een uitdrukking met machten vereenvoudigen)

Groepeer de factoren grondtal voor grondtal;
pas de exponentenregels binnen elk grondtal toe;
bereken de overblijvende kleine machten, of laat het antwoord als macht staan als het groot is.

Voorbeeld 56.9

\frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 .

56.4 Oefeningen

Oefening 56.1 ★

Bereken:

2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.1.

$2^6 = 64$ ; $3^3 = 27$ ; $10^5 = 100\,000$ ; $1^{100} = 1$ ; $0.1^2 = 0.01$ ; $6^0 = 1$ .

Oefening 56.2 ★

Bereken:

(-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.2.

$(-3)^2 = 9$ ; $-3^2 = -9$ ; $(-1)^{15} = -1$ ; $(-5)^3 = -125$ ; $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$ .

Oefening 56.3 ★

Schrijf als één macht:

7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.3.

$7^4 \times 7^5 = 7^9$ ; $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6$ ; $\left(10^3\right)^4 = 10^{12}$ ; $5^6 \times 5^{-2} = 5^4$ ; $3^4 \times 7^4 = 21^4$ (zelfde exponent: vermenigvuldig de grondtallen).

Oefening 56.4 ★

Schrijf als decimaal getal: $10^{-2}$ ; $4 \times 10^3$ ; $2.5 \times 10^{-4}$ ; $10^0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.4.

$10^{-2} = 0.01$ ; $4 \times 10^3 = 4000$ ; $2.5 \times 10^{-4} = 0.00025$ ; $10^0 = 1$ .

Oefening 56.5 ★

Schrijf met een macht van tien: honderdduizend; één tiende; tien miljard; $0.000\,001$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.5.

$10^5$ ; $10^{-1}$ ; $10^{10}$ ; $10^{-6}$ .

Oefening 56.6 ★

Vereenvoudig, en bereken daarna:

\frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.6.

$\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$ .

$\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$ .

$\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$ .

Oefening 56.7 ★

Waar of onwaar? Corrigeer de foute.

2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.7.

$2^3 \times 2^4 = 2^{12}$ : onwaar — exponenten tellen op: $2^7$ .

$5^2 + 5^3 = 5^5$ : onwaar — geen regel voor sommen: $25 + 125 = 150$ , terwijl $5^5 = 3125$ .

$(3^2)^4 = 3^8$ : waar.

$10^3 \times 10^3 = 100^3$ : waar — beide gelijk aan $10^6$ (links: $10^{3+3}$ ; rechts: $(10^2)^3$ ).

Oefening 56.8 ★★

Een gerucht verspreidt zich: op dag 1 weten drie personen het; elke dag vertelt elke persoon die het weet het aan drie nieuwe personen. Schrijf met een macht het aantal nieuwe personen geïnformeerd op dag $4$ , en bereken hoeveel personen het gerucht kennen aan het einde van dag 4 (inclusief de oorspronkelijke drie).

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.8.

Nieuwe personen op dag $4$ : elk van de $3^3 = 27$ personen geïnformeerd op dag 3 vertelt het aan drie anderen: $3^4 = 81$ . Weten aan het einde van dag 4: $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ personen.

Oefening 56.9 ★★

Een vel papier is $0.1$ mm dik, d.w.z. $10^{-4}$ m. Vouwen verdubbelt de dikte elke keer.

Druk de dikte na $10$ vouwen uit als een product, en bereken die in centimeters ( $2^{10} = 1024$ ).
Na $42$ vouwen zou de dikte $2^{42} \times 10^{-4}$ m zijn, met $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ . Toon dat dit de Aarde–Maan-afstand overschrijdt, ongeveer $3.8 \times 10^8$ m.

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.9.

1. Dikte: $2^{10} \times 10^{-4}$ m $= 1024 \times 10^{-4}$ m $\approx 0.1$ m $= 10$ cm.

2. $2^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8$ m, groter dan $3.8 \times 10^8$ m: na $42$ (theoretische!) vouwen zou de papieren stapel de Maan passeren.

Oefening 56.10 ★★

Orden van klein naar groot, zonder rekenmachine:

2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 .

(Bereken elk; $2^{10}$ en $10^3$ zijn beroemde buren.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.10.

$2^{10} = 1024$ ; $10^3 = 1000$ ; $3^6 = 729$ ; $5^4 = 625$ . Volgorde:

5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} .

Oefening 56.11 ★★★

Welke is groter, $2^{100}$ of $10^{30}$ ? Gebruik $2^{10} = 1024 > 10^3$ om $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10}$ te vergelijken met $\left(10^3\right)^{10}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 56.11.

$2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10}$ en $10^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}$ . Omdat $1024 > 1000$ houdt het vermenigvuldigen van tien kopieën van elk de ongelijkheid: $2^{100} > 10^{30}$ .