Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

68De stelling van Thales

Hoe meet je de hoogte van een piramide zonder erop te klimmen? Thales van Milete vergeleek haar schaduw met de schaduw van een stok. Zijn stelling — evenwijdige lijnen snijden segmenten in evenredige stukken — is het wiskundige hart van schaalmodellen, kaarten en vergrotingen, en een van de oudste stellingen met een naam.

68.1 De stelling

Stelling 68.1 (Thales)

Laat twee lijnen snijden in een punt $A$ . Neem $M$ op de eerste lijn en $N$ op de tweede, met $B$ verderop op de eerste en $C$ verderop op de tweede. Als de lijnen $(MN)$ en $(BC)$ evenwijdig zijn, dan hebben de driehoeken $AMN$ en $ABC$ evenredige zijden:

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

De twee Thales-configuraties: geneste driehoeken (links) en de “vlinder”, waarbij M en N aan de andere kant van A zitten (rechts). In beide: (MN) (BC) en de drie verhoudingen zijn gelijk. — De twee Thales-configuraties: geneste driehoeken (links) en de “vlinder”, waarbij $M$ en $N$ aan de andere kant van $A$ zitten (rechts). In beide: $(MN) \parallel (BC)$ en de drie verhoudingen zijn gelijk.

Methode 68.2 (Een lengte berekenen met Thales)

Identificeer het punt $A$ waar de twee lijnen snijden en de twee evenwijdige lijnen; noem de twee driehoeken;
schrijf de drie gelijke verhoudingen, altijd “kleine driehoek over grote driehoek”;
houd de gelijkheid van de twee verhoudingen met de drie bekende lengten en de onbekende;
los de resulterende evenredigheid op door kruisproducten.

Voorbeeld 68.3

In de linkerconfiguratie hierboven, stel $AM = 3$ , $AB = 5$ , $AN = 2.4$ en $MN = 3.3$ , en bereken $AC$ en $BC$ . Thales geeft

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \qquad\text{d.w.z.}\qquad \frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.

Uit $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$ , kruisproduct: $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$ , dus $AC = 4$ . Uit $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$ : $3 \times BC = 16.5$ , dus $BC = 5.5$ .

Voorbeeld 68.4 (Thales in het echt)

Een verticale stok van hoogte $1$ m werpt een schaduw van $1.5$ m, terwijl een boom op hetzelfde moment een schaduw van $12$ m werpt. Zonnestralen zijn evenwijdig, dus de stok-en-schaduw- en boom-en-schaduw-driehoeken staan in Thales-configuratie:

\frac{\text{hoogte van de boom}}{1} = \frac{12}{1.5}, \qquad\text{dus de boom is } 8 \text{ m hoog.}

68.2 Het omgekeerde

Stelling 68.5 (Omgekeerde van Thales)

Met de punten geplaatst zoals in Stelling 68.1 ( $M$ op $(AB)$ , $N$ op $(AC)$ , in dezelfde volgorde op beide lijnen): als

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},

dan zijn de lijnen $(MN)$ en $(BC)$ evenwijdig.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Methode 68.6 (Evenwijdigheid bewijzen of weerleggen)

Bereken apart de twee verhoudingen $\dfrac{AM}{AB}$ en $\dfrac{AN}{AC}$ (als breuken, niet afrondingen);
als ze gelijk zijn en de punten in dezelfde volgorde op de twee lijnen staan, zijn de lijnen evenwijdig (omgekeerde van Thales);
als ze verschillen, zijn de lijnen niet evenwijdig — want als ze dat waren, zou de stelling van Thales de verhoudingen gelijk forceren.

Voorbeeld 68.7

Op lijn 1: $AM = 4$ en $AB = 10$ ; op lijn 2: $AN = 6$ en $AC = 15$ . Dan

\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25, \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :

gelijke verhoudingen, zelfde volgorde: $(MN) \parallel (BC)$ .

Met $AC = 14$ in plaats daarvan: $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$ , dus de lijnen zijn niet evenwijdig.

68.3 Vergroting en verkleining

Definitie 68.8 (Een figuur schalen)

Een figuur vergroten of verkleinen met de schaalfactor $k > 0$ betekent alle haar lengten met $k$ vermenigvuldigen: een vergroting wanneer $k > 1$ , een verkleining wanneer $k < 1$ . In de Thales-configuratie is de driehoek $AMN$ de verkleining van $ABC$ met de factor $k = \frac{AM}{AB}$ .

Propositie 68.9 (Effect op hoeken en oppervlakten)

Schalen met de factor $k$ behoudt hoeken en de vorm van figuren, vermenigvuldigt elke lengte met $k$ , en vermenigvuldigt elke oppervlakte met $k^2$ .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Lengten verdubbelen (k = 2) vermenigvuldigt de oppervlakte met k2 = 4: vier kopieën van de kleine rechthoek betegelen de grote. — Lengten verdubbelen ( $k = 2$ ) vermenigvuldigt de oppervlakte met $k^2 = 4$ : vier kopieën van de kleine rechthoek betegelen de grote.

Voorbeeld 68.10

Een foto van $10 \times 15$ cm wordt vergroot met schaalfactor $k = 3$ : de afdruk meet $30 \times 45$ cm. Haar oppervlakte gaat van $150$ cm $^2$ naar $150 \times 9 = 1350$ cm $^2$ — $9$ keer groter, niet $3$ .

68.4 Oefeningen

Oefening 68.1 ★

De lijnen $(MN)$ en $(BC)$ zijn evenwijdig, met $M$ op $[AB]$ en $N$ op $[AC]$ ; $AM = 2$ , $AB = 6$ , $AN = 3$ , $BC = 9$ . Bereken $AC$ en $MN$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.1.

Thales: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , d.w.z. $\dfrac26 = \dfrac13$ . Dus $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ geeft $AC = 9$ , en $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ geeft $MN = 3$ .

Oefening 68.2 ★

Zelfde configuratie: $AM = 5$ , $MB = 3$ (let op: $MB$ , niet $AB$ !), $AN = 4$ . Bereken $AC$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.2.

Vind eerst $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$ . Dan $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ geeft $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$ , dus $5 \times AC = 32$ en $AC = 6.4$ .

Oefening 68.3 ★

In een vlinderconfiguratie ligt $A$ tussen $M$ en $B$ en tussen $N$ en $C$ , met $(MN) \parallel (BC)$ ; $AM = 3$ , $AB = 7.5$ , $AN = 2$ , $MN = 2.6$ . Bereken $AC$ en $BC$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.3.

De vlinder werkt precies als de geneste configuratie: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , d.w.z. $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$ . Dus $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ geeft $AC = 5$ , en $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ geeft $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$ .

Oefening 68.4 ★

$M$ ligt op $[AB]$ met $AM = 6$ , $AB = 8$ ; $N$ ligt op $[AC]$ met $AN = 9$ , $AC = 12$ . Zijn de lijnen $(MN)$ en $(BC)$ evenwijdig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.4.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ en $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$ : gelijke verhoudingen, punten in dezelfde volgorde, dus $(MN) \parallel (BC)$ door het omgekeerde van Thales.

Oefening 68.5 ★★

Zelfde als hierboven met $AM = 4$ , $AB = 6$ , $AN = 5$ , $AC = 8$ . Zijn $(MN)$ en $(BC)$ evenwijdig? Motiveer zorgvuldig.

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.5.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ en $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$ . Kruiscontrole: $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ en $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$ : de verhoudingen verschillen. Als de lijnen evenwijdig waren, zou de stelling van Thales ze gelijk forceren — dus zijn $(MN)$ en $(BC)$ niet evenwijdig.

Oefening 68.6 ★★

Een persoon van $1.8$ m staat $2$ m van de voet van een straatlamp; hun schaduw meet $3$ m. Teken de Thales-configuratie gevormd door de lamp, de persoon en de top van de schaduw, en bereken de hoogte van de lamp.

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.6.

Laat $S$ de top van de schaduw zijn, $P$ de top van het hoofd van de persoon, $L$ de top van de lamp. De persoon ( $1.8$ m op afstand $3$ m van $S$ ) en de lamp (hoogte $h$ op afstand $3 + 2 = 5$ m van $S$ ) zijn twee evenwijdige verticale segmenten gesneden door de lichtstraal $(SL)$ : Thales vanuit $S$ geeft

\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5}, \qquad\text{dus}\quad h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m}.

Oefening 68.7 ★★

Een kaart heeft schaal $1 : 25\,000$ (lengten op de kaart zijn de echte lengten vermenigvuldigd met $k = \frac{1}{25000}$ ).

Twee dorpen liggen $6.8$ cm uit elkaar op de kaart. Wat is de echte afstand, in km?
Een bos heeft een oppervlakte van $8$ cm $^2$ op de kaart. Wat is zijn echte oppervlakte, in km $^2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.7.

1. Echte afstand: $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $= 1.7$ km.

2. Oppervlakten schalen met $k^2$ : echte oppervlakte $= 8 \times 25\,000^2$ cm $^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm $^2$ $= 5 \times 10^9$ cm $^2$ . Omdat $1$ km $^2 = 10^{10}$ cm $^2$ , is dat $0.5$ km $^2$ .

Oefening 68.8 ★★

Driehoek $ABC$ heeft $AB = 12$ , $AC = 15$ , $BC = 18$ . Het punt $M$ op $[AB]$ voldoet aan $AM = 8$ , en de lijn door $M$ evenwijdig aan $(BC)$ snijdt $[AC]$ in $N$ .

Bereken $AN$ en $MN$ .
Wat is de schaalfactor van $ABC$ naar $AMN$ ? Vergelijk de omtrekken van de twee driehoeken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.8.

1. De verhouding is $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ . Thales: $AN = \frac23 \times 15 = 10$ en $MN = \frac23 \times 18 = 12$ .

2. De schaalfactor is $k = \frac23$ . Omtrekken: $ABC$ heeft $12 + 15 + 18 = 45$ , en $AMN$ heeft $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times 45$ : de omtrek schaalt ook met $k$ , zoals elke lengte.

Oefening 68.9 ★★★

Laat $ABCD$ een trapezium zijn met $(AB) \parallel (CD)$ , $AB = 4$ en $CD = 6$ , waarvan de diagonalen $[AC]$ en $[BD]$ snijden in $O$ . Gebruik Thales in de vlinderconfiguratie rond $O$ om de verhouding $\dfrac{OA}{OC}$ te berekenen, en toon dat $O$ beide diagonalen in dezelfde verhouding snijdt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.9.

Rond $O$ snijden de lijnen $(AC)$ en $(BD)$ , en $(AB) \parallel (CD)$ : vlinderconfiguratie met de driehoeken $OAB$ en $OCD$ . Thales geeft

\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .

Dus $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$ , en de gelijkheid $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ zegt precies dat $O$ de twee diagonalen in dezelfde verhouding snijdt.