Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

68De stelling van Thales

Hoe meet je de hoogte van een piramide zonder erop te klimmen? Thales van Milete vergeleek haar schaduw met de schaduw van een stok. Zijn stelling — parallelle lijnen verdelen lijnstukken in evenredige stukken — is het wiskundige hart van maquettes, kaarten en vergrotingen, en een van de oudste stellingen met een naam.

68.1 De stelling

Stelling 68.1 (Thales)

Zij twee lijnen die elkaar in een punt $A$ snijden. Neem $M$ op de eerste lijn en $N$ op de tweede, met $B$ verder op de eerste en $C$ verder op de tweede. Zijn de lijnen $(MN)$ en $(BC)$ parallel, dan hebben de driehoeken $AMN$ en $ABC$ evenredige zijden:

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

De twee standen van Thales: geneste driehoeken (links) en de “vlinderstand”, waarbij M en N aan de andere kant van A liggen (rechts). In beide is (MN) (BC) en zijn de drie verhoudingen gelijk. — De twee standen van Thales: geneste driehoeken (links) en de “vlinderstand”, waarbij $M$ en $N$ aan de andere kant van $A$ liggen (rechts). In beide is $(MN) \parallel (BC)$ en zijn de drie verhoudingen gelijk.

Methode 68.2 (Een lengte berekenen met Thales)

Bepaal het punt $A$ waar de twee lijnen elkaar snijden en de twee parallelle lijnen; benoem de twee driehoeken;
schrijf de drie gelijke verhoudingen op, telkens “kleine driehoek gedeeld door grote driehoek”;
houd de gelijkheid van de twee verhoudingen over waarin de drie bekende lengten en de onbekende voorkomen;
los de verhouding die je zo krijgt op door kruislings te vermenigvuldigen.

Voorbeeld 68.3

Stel in de linkerstand hierboven dat $AM = 3$ , $AB = 5$ , $AN = 2.4$ en $MN = 3.3$ , en laten we $AC$ en $BC$ berekenen. Thales geeft

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad \frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.

Uit $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$ volgt door kruislings te vermenigvuldigen: $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$ , dus $AC = 4$ . Uit $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$ : $3 \times BC = 16.5$ , dus $BC = 5.5$ .

Voorbeeld 68.4 (Thales in het echte leven)

Een verticale stok van $1$ m hoog werpt een schaduw van $1.5$ m, terwijl een boom op hetzelfde ogenblik een schaduw van $12$ m werpt. Zonnestralen zijn parallel, dus staan de driehoeken van stok-met-schaduw en boom-met-schaduw in de stand van Thales:

\frac{\text{hoogte van de boom}}{1} = \frac{12}{1.5}, \qquad\text{dus is de boom } 8 \text{ m hoog.}

68.2 De omgekeerde stelling

Stelling 68.5 (Omgekeerde stelling van Thales)

Met de punten geplaatst als in Stelling 68.1 ( $M$ op $(AB)$ , $N$ op $(AC)$ , in dezelfde orde op beide lijnen): geldt

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},

dan zijn de lijnen $(MN)$ en $(BC)$ parallel.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Methode 68.6 (Parallellisme bewijzen of weerleggen)

Bereken de twee verhoudingen $\dfrac{AM}{AB}$ en $\dfrac{AN}{AC}$ afzonderlijk (als breuken, niet als afrondingen);
zijn ze gelijk en liggen de punten in dezelfde orde op de twee lijnen, dan zijn de lijnen parallel (omgekeerde stelling van Thales);
verschillen ze, dan zijn de lijnen niet parallel — want waren ze dat, dan zou de stelling van Thales gelijke verhoudingen opleggen.

Voorbeeld 68.7

Op lijn 1 is $AM = 4$ en $AB = 10$ ; op lijn 2 is $AN = 6$ en $AC = 15$ . Dan is

\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25, \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :

gelijke verhoudingen, dezelfde orde: $(MN) \parallel (BC)$ .

Met $AC = 14$ in de plaats: $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$ , dus zijn de lijnen niet parallel.

68.3 Vergroten en verkleinen

Definitie 68.8 (Een figuur schalen)

Een figuur vergroten of verkleinen met de schaalfactor $k > 0$ betekent al haar lengten met $k$ vermenigvuldigen: een vergroting wanneer $k > 1$ , een verkleining wanneer $k < 1$ . In de stand van Thales is de driehoek $AMN$ de verkleining van $ABC$ met de factor $k = \frac{AM}{AB}$ .

Propositie 68.9 (Gevolg voor hoeken en oppervlakten)

Schalen met de factor $k$ behoudt de hoeken en de vorm van figuren, vermenigvuldigt elke lengte met $k$ , en vermenigvuldigt elke oppervlakte met $k^2$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

De lengten verdubbelen (k = 2) vermenigvuldigt de oppervlakte met k2 = 4: vier exemplaren van de kleine rechthoek betegelen de grote. — De lengten verdubbelen ( $k = 2$ ) vermenigvuldigt de oppervlakte met $k^2 = 4$ : vier exemplaren van de kleine rechthoek betegelen de grote.

Voorbeeld 68.10

Een foto van $10 \times 15$ cm wordt vergroot met schaalfactor $k = 3$ : de afdruk meet $30 \times 45$ cm. Haar oppervlakte gaat van $150$ cm $^2$ naar $150 \times 9 = 1350$ cm $^2$ — $9$ keer groter, niet $3$ .

68.4 Oefeningen

Oefening 68.1 ★

De lijnen $(MN)$ en $(BC)$ zijn parallel, met $M$ op $[AB]$ en $N$ op $[AC]$ ; en $AM = 2$ , $AB = 6$ , $AN = 3$ , $BC = 9$ . Bereken $AC$ en $MN$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.1.

Thales: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , dat wil zeggen $\dfrac26 = \dfrac13$ . Dus geeft $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ dat $AC = 9$ , en $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ dat $MN = 3$ .

Oefening 68.2 ★

Dezelfde stand: $AM = 5$ , $MB = 3$ (let op: $MB$ , niet $AB$ !), $AN = 4$ . Bereken $AC$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.2.

Zoek eerst $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$ . Dan geeft $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ dat $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$ , dus $5 \times AC = 32$ en $AC = 6.4$ .

Oefening 68.3 ★

In een vlinderstand ligt $A$ tussen $M$ en $B$ en tussen $N$ en $C$ , met $(MN) \parallel (BC)$ ; verder is $AM = 3$ , $AB = 7.5$ , $AN = 2$ , $MN = 2.6$ . Bereken $AC$ en $BC$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.3.

De vlinderstand werkt precies zoals de geneste stand: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , dat wil zeggen $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$ . Dus geeft $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ dat $AC = 5$ , en $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ dat $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$ .

Oefening 68.4 ★

$M$ ligt op $[AB]$ met $AM = 6$ , $AB = 8$ ; $N$ ligt op $[AC]$ met $AN = 9$ , $AC = 12$ . Zijn de lijnen $(MN)$ en $(BC)$ parallel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.4.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ en $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$ : gelijke verhoudingen, punten in dezelfde orde, dus is $(MN) \parallel (BC)$ volgens de omgekeerde stelling van Thales.

Oefening 68.5 ★★

Zoals hierboven, met $AM = 4$ , $AB = 6$ , $AN = 5$ , $AC = 8$ . Zijn $(MN)$ en $(BC)$ parallel? Verantwoord zorgvuldig.

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.5.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ en $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$ . Op gemeenschappelijke noemer: $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ en $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$ : de verhoudingen verschillen. Waren de lijnen parallel, dan zou de stelling van Thales gelijke verhoudingen opleggen — dus zijn $(MN)$ en $(BC)$ niet parallel.

Oefening 68.6 ★★

Een persoon van $1.8$ m staat op $2$ m van de voet van een straatlantaarn; haar schaduw meet $3$ m. Teken de stand van Thales die de lantaarn, de persoon en het uiteinde van de schaduw vormen, en bereken de hoogte van de lantaarn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.6.

Zij $S$ het uiteinde van de schaduw, $P$ de bovenkant van het hoofd van de persoon en $L$ de top van de lantaarn. De persoon ( $1.8$ m op afstand $3$ m van $S$ ) en de lantaarn (hoogte $h$ op afstand $3 + 2 = 5$ m van $S$ ) zijn twee parallelle verticale lijnstukken die door de lichtstraal $(SL)$ worden gesneden: Thales vanuit het punt $S$ geeft

\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5}, \qquad\text{dus}\quad h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m}.

Oefening 68.7 ★★

Een kaart heeft schaal $1 : 25\,000$ (de lengten op de kaart zijn de echte lengten vermenigvuldigd met $k = \frac{1}{25000}$ ).

Twee dorpen liggen op de kaart $6.8$ cm van elkaar. Wat is de echte afstand, in km?
Een bos heeft op de kaart een oppervlakte van $8$ cm $^2$ . Wat is zijn echte oppervlakte, in km $^2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.7.

1. Echte afstand: $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $= 1.7$ km.

2. Oppervlakten schalen met $k^2$ : echte oppervlakte $= 8 \times 25\,000^2$ cm $^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm $^2$ $= 5 \times 10^9$ cm $^2$ . Omdat $1$ km $^2 = 10^{10}$ cm $^2$ , is dat $0.5$ km $^2$ .

Oefening 68.8 ★★

De driehoek $ABC$ heeft $AB = 12$ , $AC = 15$ , $BC = 18$ . Het punt $M$ op $[AB]$ voldoet aan $AM = 8$ , en de lijn door $M$ parallel met $(BC)$ snijdt $[AC]$ in $N$ .

Bereken $AN$ en $MN$ .
Wat is de schaalfactor van $ABC$ naar $AMN$ ? Vergelijk de omtrekken van de twee driehoeken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.8.

1. De verhouding is $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ . Thales: $AN = \frac23 \times 15 = 10$ en $MN = \frac23 \times 18 = 12$ .

2. De schaalfactor is $k = \frac23$ . Omtrekken: $ABC$ heeft $12 + 15 + 18 = 45$ , en $AMN$ heeft $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times 45$ : ook de omtrek schaalt met $k$ , zoals elke lengte.

Oefening 68.9 ★★★

Zij $ABCD$ een trapezium met $(AB) \parallel (CD)$ , $AB = 4$ en $CD = 6$ , waarvan de diagonalen $[AC]$ en $[BD]$ elkaar in $O$ snijden. Bereken met Thales in de vlinderstand rond $O$ de verhouding $\dfrac{OA}{OC}$ , en toon aan dat $O$ beide diagonalen in dezelfde verhouding verdeelt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 68.9.

Rond $O$ snijden de lijnen $(AC)$ en $(BD)$ elkaar, en $(AB) \parallel (CD)$ : vlinderstand met de driehoeken $OAB$ en $OCD$ . Thales geeft

\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .

Dus is $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$ , en de gelijkheid $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ zegt precies dat $O$ de twee diagonalen in dezelfde verhouding verdeelt.

68.5 Opgave: de lat zonder maatstreep, de camera obscura en de drie gemiddelden van een trapezium

Probleem 68.1

Weekendopgave — Thales aan het werk: elk lijnstuk in gelijke delen verdelen, de Zon meten met een schoenendoos, en een trapezium waarin alle drie de beroemde gemiddelden samenkomen

De stelling van Thales is de wiskunde van de stralen: zonnestralen, lichtstralen door een gaatje, potloodstralen uit een hoekpunt. Deze opgave gebruikt haar op drie manieren — als constructiegereedschap (een lijnstuk van willekeurige lengte, zelfs $\sqrt2$ , in volmaakt gelijke delen verdelen), als meetinstrument (de diameter van de Zon, met een schoenendoos en een munt), en als vergrootglas op het trapezium van Oefening 68.9, waar het rekenkundig, het meetkundig en het harmonisch gemiddelde van deze reeks alle in één figuur opduiken.

Deel I — Verdelen met een lat zonder maatstreep.

Teken een lijnstuk $[AB]$ van $7$ cm. Om het met passer en een lat zonder maatstreep in drie gelijke delen te verdelen: teken een willekeurige straal uit $A$ (niet door $B$ ); zet er drie gelijke passerlengten op uit, wat de punten $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ geeft; verbind $P_3$ met $B$ ; teken de parallellen met $(P_3 B)$ door $P_1$ en $P_2$ . Voer de constructie uit en markeer waar de parallellen $[AB]$ snijden.
Verantwoord met Stelling 68.1 dat de twee gemarkeerde punten $[AB]$ precies op zijn derdepunten verdelen.
Pas de methode aan om een lijnstuk in $5$ gelijke delen te verdelen, en daarna om $\frac35$ van een gegeven lijnstuk te construeren.
Construeer het punt $M$ van $[AB]$ met $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (dat wil zeggen $M$ op $\frac25$ van de weg vanaf $A$ ). Hoeveel gelijke stappen op de straal, en welk punt verbind je met $B$ ?
Waarom is deze constructie beter dan meten met een lat met maatstrepen? Denk aan een lijnstuk met lengte $\sqrt2$ (de diagonaal van een eenheidsvierkant, irrationaal volgens Probleem 65.1): wat zou meten geven, en wat geeft Thales?

Deel II — De camera obscura. Prik met een speld een gaatje in één zijvlak van een gesloten doos: op het overstaande zijvlak verschijnt een omgekeerd beeld van de wereld. Een punt van een voorwerp, het gaatje en het beeldpunt liggen op één lijn — licht gaat rechtdoor — zodat het voorwerp (hoogte $H$ , op afstand $D$ vóór het gaatje) en zijn beeld (hoogte $h$ , op de achterwand op diepte $d$ achter het gaatje) in de vlinderstand van Thales staan.

Leid de formule van de camera obscura, $h = H \times \frac dD$ , af uit Thales in de vlinderstand rond het gaatje.
Een boom van $12$ m staat $30$ m van een schoenendoos met diepte $20$ cm. Hoe hoog is zijn beeld, en in welke stand?
Richt de doos op de Zon: op $d = 1$ m achter het gaatje is het beeld van de Zon een schijf met een diameter van ongeveer $9$ mm. Bereken met de afstand van de Zon, $D = 1.5 \times 10^{11}$ m, haar diameter in wetenschappelijke notatie (de notatie van Probleem 63.1 aan het werk). Vergelijk met de werkelijke waarde, $1.39 \times 10^9$ m.
De Maan: diameter $3.5 \times 10^6$ m, afstand $3.8 \times 10^8$ m. Bereken de verhouding $\frac{\text{diameter}}{\text{afstand}}$ voor de Maan en voor de Zon. Welk gelukkig toeval laten de twee getallen zien — en welk spectaculair verschijnsel maakt het mogelijk?
In één of twee zinnen: waarom staat het beeld in de camera obscura op zijn kop, en waarom wordt het beeld helderder maar onscherper als je het gaatje vergroot?

Deel III — Het trapezium van de drie gemiddelden. $ABCD$ is het trapezium van Oefening 68.9: $(AB) \parallel (CD)$ , $AB = 4$ , $CD = 6$ , met de diagonalen die elkaar in $O$ snijden en $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} = \frac23$ .

Oefening op de vlinderstand: twee lijnen snijden elkaar in $O$ met $(MN) \parallel (PQ)$ in vlinderstand; $OM = 3$ , $OP = 7.5$ , $MN = 4$ en $OQ = 6$ . Bereken $PQ$ en $ON$ .
Leg uit hoe Thales, toegepast met verhouding $\frac12$ , de middenparallelstelling van Stelling 59.1 als bijzonder geval bevat.
Teken de parallel met de basissen door $O$ ; die ontmoet $[AD]$ in $E$ . Bereken $EO$ door in de driehoek $ACD$ te werken (merk op dat $\frac{AO}{AC} = \frac25$ ).
Volgens de spiegelberekening in de driehoek $BDC$ heeft het stuk $OF$ (met $F$ op $[BC]$ ) dezelfde lengte. Besluit dat

$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$

de parallel door het snijpunt van de diagonalen meet het harmonisch gemiddelde van de basissen — het gemiddelde van de heen-en-terugrit uit Probleem 61.1, dat weer opduikt in de zuivere meetkunde.
Het grote slot: bereken de drie klassieke gemiddelden van de basissen $4$ en $6$ — het rekenkundige $\frac{4+6}{2}$ , het meetkundige $\sqrt{4 \times 6}$ en het harmonische $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — en zet ze op volgorde. Elk woont in het trapezium: het rekenkundige gemiddelde is de middenparallel die de middens van de benen verbindt (Probleem 53.1), het harmonisch gemiddelde is jouw lijnstuk $EF$ , en het meetkundig gemiddelde is de parallel die het trapezium in twee gelijkvormige trapezia verdeelt (ga zijn waarde na met de rekenmachine; het bewijs is een prachtige extra uitdaging). Waar is de ongelijkheid tussen de drie in dit boek bewezen (Probleem 60.1, Probleem 61.1)?

Oplossing

Oplossing van Probleem 68.1.

1. De constructie brengt twee punten op $[AB]$ voort; noem ze $M_1$ (uit $P_1$ ) en $M_2$ (uit $P_2$ ).

2. In de driehoek $A P_3 B$ verdelen de parallellen met $(P_3 B)$ door $P_1$ en $P_2$ de zijden evenredig (Stelling 68.1):

\frac{A M_1}{AB} = \frac{A P_1}{A P_3} = \frac13, \qquad \frac{A M_2}{AB} = \frac{A P_2}{A P_3} = \frac23 .

De passer maakte $A P_1$ , $P_1 P_2$ en $P_2 P_3$ gelijk, dus zijn de verhoudingen precies derden — wat de hoek van de straal en de gekozen passeropening ook zijn.

3. Voor vijfden: zet vijf gelijke lengten uit, verbind het vijfde punt met $B$ , en teken vier parallellen. Voor $\frac35$ van een lijnstuk: dezelfde figuur, en neem het punt dat de parallel door $P_3$ afsnijdt: het ligt op $\frac{3}{5}$ van $[AB]$ vanaf $A$ .

4. $\frac{AM}{MB} = \frac23$ betekent $AM = \frac25 AB$ : vijf gelijke stappen op de straal, verbind $P_5$ met $B$ , en de parallel door $P_2$ markeert $M$ .

5. $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ cm meten gebruikt altijd maar eindig veel decimalen: elk gemeten “derde” is een benadering. De constructie van Thales leest nooit een getal af: ze levert het exacte punt op $\frac{\sqrt2}{3}$ — gelijke delen van een lijnstuk dat geen enkele lat zelfs maar kan uitdrukken (Probleem 65.1).

6. De bovenkant van het voorwerp, het gaatje en de onderkant van het beeld liggen op één lijn, en zo ook de onderkant van het voorwerp en de bovenkant van het beeld: twee lijnen die elkaar in het gaatje snijden, met het voorwerp en de beeldwand parallel. Thales in de vlinderstand:

\frac{h}{H} = \frac{d}{D}, \qquad\text{dus}\qquad h = H \times \frac dD .

7. $h = 12 \times \frac{0.20}{30} = 0.08$ m $= 8$ cm — op zijn kop (de stralen kruisen elkaar in het gaatje).

8. $H = h \times \frac Dd = 9 \times 10^{-3} \times \frac{1.5 \times 10^{11}}{1} = 1.35 \times 10^{9}$ m. Werkelijke waarde $1.39 \times 10^9$ m: een schoenendoos meet de Zon op een paar procent nauwkeurig.

9. Maan: $\frac{3.5 \times 10^6}{3.8 \times 10^8} \approx 0.0092$ . Zon: $\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}} \approx 0.0093$ . De twee verhoudingen — de schijnbare grootten aan de hemel — zijn bijna gelijk: de Maan kan de Zon precies bedekken, rand tegen rand. Dat kosmische toeval is de totale zonsverduistering.

10. Elke straal moet door het ene gaatje, dus gaan stralen van de bovenkant van het voorwerp naar beneden verder en stralen van de onderkant naar boven: het beeld staat op zijn kop. Het gaatje vergroten laat een hele bundel lichtjes verschoven exemplaren van het beeld door, die over elkaar liggen: helderder, maar uitgesmeerd.

11. $\frac{PQ}{MN} = \frac{OP}{OM} = \frac{7.5}{3} = 2.5$ , dus is $PQ = 10$ ; en $\frac{ON}{OQ} = \frac{OM}{OP} = \frac{1}{2.5}$ , dus is $ON = \frac{6}{2.5} = 2.4$ .

12. Gaat de parallel door het midden van één zijde, dan is de verhouding van Thales $\frac12$ , dus snijdt ze de tweede zijde in haar midden, en meet het parallelle lijnstuk de helft van de basis: precies Stelling 59.1. Thales is de middenparallelstelling, bevrijd van de verhouding $\frac12$ .

13. In de driehoek $ACD$ is de lijn $(EO)$ parallel met de basis $(CD)$ , met $\frac{AO}{AC} = \frac{OA}{OA + OC} = \frac{4}{4 + 6} = \frac25$ . Thales: $\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC} = \frac25$ , dus is $EO = \frac25 \times 6 = 2.4$ .

14. In de driehoek $BDC$ is net zo $\frac{BO}{BD} = \frac25$ en $OF = \frac25 \times 6 = 2.4$ . Bijgevolg is

EF = EO + OF = 4.8 = \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} :

het harmonisch gemiddelde van de basissen — het gemiddelde van de heen-en-terugritten (Probleem 61.1), getekend in een trapezium.

15. Rekenkundig: $5$ ; meetkundig: $\sqrt{24} \approx 4.90$ ; harmonisch: $4.8$ . Op volgorde: $4.8 < 4.90\ldots < 5$ , dat wil zeggen harmonisch $<$ meetkundig $<$ rekenkundig — met gelijkheid alleen bij gelijke basissen. In de figuur: de middenparallel meet $5$ , de parallel door het snijpunt van de diagonalen $4.8$ , en de snede van de gelijkvormigheid $\sqrt{24}$ , alle drie tussen de basissen gestapeld in die orde. De ongelijkheden werden bewezen in Probleem 60.1 (meetkundig $\leq$ rekenkundig, met de cirkel en met een merkwaardig product) en Probleem 61.1 (harmonisch $\leq$ rekenkundig); harmonisch $\leq$ meetkundig volgt door die te combineren ( $H \times A = G^2$ , daar ook bewezen).

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Een figuur schalen

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst