Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

39Breuken: eerste stappen

Drie pizza’s eerlijk verdelen onder vier personen geeft elke persoon … geen geheel aantal pizza’s. Breuken zijn de getallen die uitgevonden zijn om te delen. Dit hoofdstuk bouwt het beeld op: een breuk als deel van een geheel, als punt op de getallenlijn, en als het exacte resultaat van een deling.

39.1 Wat een breuk betekent

Definitie 39.1 (Breuk)

Snijd een eenheid in $b$ gelijke delen, en neem er $a$ van: de verkregen hoeveelheid is de breuk

\frac{a}{b} \qquad \begin{array}{l} a \text{: de \emph{teller} --- hoeveel delen we nemen;}\\ b \text{: de \emph{noemer} --- in hoeveel delen de eenheid is gesneden.} \end{array}

Twee breuken van dezelfde balk. De noemer zegt hoe fijn de snede is, de teller hoeveel we nemen.

Voorbeeld 39.2

Een breuk kan groter zijn dan $1$ : $\frac74$ betekent zeven kwarten — één hele eenheid (vier kwarten) en nog drie kwarten:

\frac74 = 1 + \frac34 .

Propositie 39.3 (Breuken op de getallenlijn)

Om $\frac ab$ op de getallenlijn te plaatsen, snijd elk eenheidsinterval in $b$ gelijke delen en tel $a$ delen vanaf $0$ .

De lijn afgestreept in kwarten: 3/4 ligt vóór 1, 7/4 tussen 1 en 2, en 22/4 = 5 + 2/4 halverwege tussen 5 en 6. — De lijn afgestreept in kwarten: $\frac34$ ligt vóór $1$ , $\frac74$ tussen $1$ en $2$ , en $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$ halverwege tussen $5$ en $6$ .

Stelling 39.4 (Een breuk is een deling)

De breuk $\frac ab$ is het getal dat, vermenigvuldigd met $b$ , $a$ geeft:

\frac ab \times b = a .

Met andere woorden is $\frac ab$ het exacte quotiënt van $a$ door $b$ — ook wanneer de deling “niet uitkomt”.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 39.5

Drie pizza’s voor vier personen: elke persoon krijgt $\frac34$ pizza. Controle met de stelling: $4$ porties van $\frac34$ maken $\frac34 \times 4 = 3$ pizza’s. Sommige breuken zijn decimale getallen ( $\frac34 = 0.75$ ), andere niet: $\frac13 = 0.333\dots$ stopt nooit. De breuk is de exacte waarde; $0.33$ is slechts een benadering.

39.2 Gelijke breuken

Propositie 39.6 (Equivalente breuken)

Een breuk verandert niet wanneer teller en noemer beide vermenigvuldigd (of gedeeld) worden met hetzelfde getal ongelijk aan nul:

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Bewijs-idee. Elk deel van de verdeling in $k$ kleinere stukjes snijden vermenigvuldigt zowel het aantal genomen stukken als het totaal aantal stukken met $k$ , maar de genomen hoeveelheid blijft gelijk. Een plaatje zegt het best: ∎

2/3 = 4/6: elke derde in twee snijden verdubbelt de tellingen, boven en onder, zonder de gearceerde hoeveelheid te veranderen. — $\frac23 = \frac46$ : elke derde in twee snijden verdubbelt de tellingen, boven en onder, zonder de gearceerde hoeveelheid te veranderen.

Methode 39.7 (Een breuk vereenvoudigen)

Zoek een getal dat de teller en de noemer deelt, en deel beide. Herhaal tot er geen gemeenschappelijke deler meer is:

\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.

39.3 Een breuk van een hoeveelheid nemen

Methode 39.8 (Breuk van een hoeveelheid)

Om $\frac ab$ van een hoeveelheid te berekenen, deel de hoeveelheid door $b$ (één deel), en vermenigvuldig daarna met $a$ (het aantal delen):

\frac ab \text{ van } Q = (Q \div b) \times a .

(Eerst vermenigvuldigen met $a$ en daarna delen door $b$ geeft hetzelfde resultaat — kies de volgorde die de getallen prettiger maakt.)

Voorbeeld 39.9

Bereken $\frac35$ van $40$ euro, stap voor stap:

één vijfde van $40$ : $40 \div 5 = 8$ ;
drie vijfden: $8 \times 3 = 24$ .

Dus $\frac35$ van $40$ euro is $24$ euro. Controle: de resterende $\frac25$ is $16$ euro, en $24 + 16 = 40$ .

39.4 Oefeningen

Oefening 39.1 ★

Schrijf voor elke beschrijving de breuk: een taart in $8$ stukken, $3$ opgegeten; een chocoladereep van $12$ vakjes, $7$ opgegeten; een taart in $6$ stukken, alle $6$ opgegeten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.1.

Taart: $\frac38$ opgegeten. Chocolade: $\frac{7}{12}$ . Taart: $\frac66 = 1$ (de hele taart).

Oefening 39.2 ★

Teken een balk in $5$ gelijke delen en kleur $\frac45$ ervan. Is $\frac45$ kleiner of groter dan $1$ ? En $\frac65$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.2.

Vier van de vijf delen zijn gekleurd. $\frac45 < 1$ (vier van de vijf delen is minder dan de hele balk); $\frac65 > 1$ (zes vijfden is één hele balk en nog één vijfde).

Oefening 39.3 ★

Plaats op een getallenlijn afgestreept in derden: $\frac13$ ; $\frac53$ ; $2$ ; $\frac73$ . Welke twee van deze getallen liggen op gelijke afstand van $2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.3.

Op de lijn in derden: $\frac13$ is één streep na $0$ ; $\frac53$ is één streep vóór $2$ (want $2 = \frac63$ ); $\frac73$ is één streep na $2$ . Dus $\frac53$ en $\frac73$ liggen beide op afstand $\frac13$ van $2$ .

Oefening 39.4 ★

Schrijf elke breuk als een geheel getal plus een breuk kleiner dan $1$ (zoals $\frac74 = 1 + \frac34$ ):

\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad \frac{25}{8} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.4.

$\frac94 = 2 + \frac14$ ; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$ ; $\frac{12}{6} = 2$ (exact); $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$ .

Oefening 39.5 ★

Vul in zodat de breuken gelijk zijn:

\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad \frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad \frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad \frac{?}{6} = \frac{10}{12}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.5.

$\frac23 = \frac{8}{12}$ (vermenigvuldig met $4$ ); $\frac{15}{20} = \frac34$ (deel door $5$ ); $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ (vermenigvuldig met $3$ ); $\frac56 = \frac{10}{12}$ (deel door $2$ ).

Oefening 39.6 ★

Vereenvoudig zoveel mogelijk: $\dfrac{6}{8}$ ; $\dfrac{15}{25}$ ; $\dfrac{18}{24}$ ; $\dfrac{35}{7}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.6.

$\frac68 = \frac34$ ; $\frac{15}{25} = \frac35$ ; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$ ; $\frac{35}{7} = 5$ (een geheel getal).

Oefening 39.7 ★

Bereken: $\frac12$ van $86$ ; $\frac34$ van $60$ ; $\frac25$ van $35$ ; $\frac{7}{10}$ van $250$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.7.

$\frac12$ van $86$ : $86 \div 2 = 43$ .

$\frac34$ van $60$ : $60 \div 4 = 15$ , daarna $15 \times 3 = 45$ .

$\frac25$ van $35$ : $35 \div 5 = 7$ , daarna $7 \times 2 = 14$ .

$\frac{7}{10}$ van $250$ : $250 \div 10 = 25$ , daarna $25 \times 7 = 175$ .

Oefening 39.8 ★

Welke is groter: $\frac12$ of $\frac13$ (van dezelfde taart)? $\frac25$ of $\frac35$ ? $\frac34$ of $\frac78$ (schrijf beide met noemer $8$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.8.

$\frac12 > \frac13$ : helen zijn grotere delen dan derden. $\frac35 > \frac25$ : dezelfde delen, meer ervan. $\frac34 = \frac68 < \frac78$ : zeven achtsten winnen van zes achtsten.

Oefening 39.9 ★★

Geef de decimale waarde van de breuken die er een hebben, en zeg welke breuk dat niet heeft: $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac13$ ; $\frac{7}{10}$ ; $\frac{9}{4}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.9.

$\frac12 = 0.5$ ; $\frac34 = 0.75$ ; $\frac{7}{10} = 0.7$ ; $\frac94 = 2.25$ . De uitzondering is $\frac13 = 0.333\dots$ , waarvan de decimale schrijfwijze nooit stopt: het is geen decimaal getal.

Oefening 39.10 ★★

Een klas heeft $28$ leerlingen. Driekwart van hen komt met de bus naar school, en de rest loopt. Hoeveel leerlingen lopen? Los stap voor stap op, en controleer dat de twee groepsgroottes samen $28$ zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.10.

Busreizigers: $\frac34$ van $28$ : $28 \div 4 = 7$ , daarna $7 \times 3 = 21$ leerlingen. Lopenden: $28 - 21 = 7$ leerlingen (dat is het resterende kwart: $28 \div 4 = 7$ ). Controle: $21 + 7 = 28$ .

Oefening 39.11 ★★

Leo gaf $\frac23$ van zijn spaargeld uit aan een spel dat $18$ euro kostte. Hoeveel geld had Leo ervoor? (Eén derde van zijn spaargeld is de helft van $18$ … denk na waarom, of vind eerst de grootte van één deel.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.11.

Twee derden van het spaargeld zijn $18$ euro, dus één derde is $18 \div 2 = 9$ euro, en het hele spaargeld (drie derden) was $9 \times 3 = 27$ euro. Controle: $\frac23$ van $27$ is $18$ .

Oefening 39.12 ★★★

Een tank is tot $\frac58$ van zijn capaciteit gevuld. Na gebruik van $10$ liter is hij halfvol. Wat is de capaciteit van de tank? (Welk deel van de tank stellen de $10$ liter voor?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.12.

Het gebruikte water ging van $\frac58$ naar $\frac48$ (een half is vier achtsten) van de tank: de $10$ liter stellen $\frac58 - \frac48 = \frac18$ van de capaciteit voor. Dus de volle tank houdt $10 \times 8 = 80$ liter. Controle: $\frac58$ van $80$ is $50$ , min $10$ blijft $40$ , wat inderdaad de helft van $80$ is.