Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

39Breuken: eerste stappen

Drie pizza’s eerlijk verdelen over vier mensen geeft elke persoon … geen heel getal pizza’s. Breuken zijn de getallen die voor het verdelen zijn uitgevonden. Dit hoofdstuk bouwt het beeld op: een breuk als deel van een geheel, als punt op de getallenlijn, en als de precieze uitkomst van een deling.

39.1 Wat een breuk betekent

Definitie 39.1 (Breuk)

Verdeel een eenheid in $b$ gelijke delen en neem er $a$ van: de hoeveelheid die je krijgt, is de breuk

\frac{a}{b} \qquad \begin{array}{l} a \text{: de \emph{teller} --- hoeveel delen we nemen;}\\ b \text{: de \emph{noemer} --- in hoeveel delen de eenheid verdeeld is.} \end{array}

Twee breuken van dezelfde strook. De noemer zegt hoe fijn de verdeling is, de teller hoeveel we nemen.

Voorbeeld 39.2

Een breuk kan groter zijn dan $1$ : $\frac74$ betekent zeven kwarten — één hele eenheid (vier kwarten) en drie kwarten erbij:

\frac74 = 1 + \frac34 .

Propositie 39.3 (Breuken op de getallenlijn)

Om $\frac ab$ op de getallenlijn te plaatsen, verdeel je elk stuk van $0$ tot $1$ in $b$ gelijke delen en tel je $a$ delen af vanaf $0$ .

De lijn met streepjes per kwart: 3/4 ligt voor 1, 7/4 ligt tussen 1 en 2, en 22/4 = 5 + 2/4 ligt halverwege tussen 5 en 6. — De lijn met streepjes per kwart: $\frac34$ ligt voor $1$ , $\frac74$ ligt tussen $1$ en $2$ , en $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$ ligt halverwege tussen $5$ en $6$ .

Stelling 39.4 (Een breuk is een deling)

De breuk $\frac ab$ is het getal dat, vermenigvuldigd met $b$ , $a$ geeft:

\frac ab \times b = a .

Met andere woorden: $\frac ab$ is het precieze quotiënt van $a$ door $b$ — ook als de deling “niet uitkomt”.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 39.5

Drie pizza’s voor vier mensen: ieder krijgt $\frac34$ pizza. Controleer met de stelling: $4$ porties van $\frac34$ maken $\frac34 \times 4 = 3$ pizza’s. Sommige breuken zijn decimale getallen ( $\frac34 = 0.75$ ), andere niet: $\frac13 = 0.333\dots$ houdt nooit op. De breuk is de precieze waarde; $0.33$ is slechts een benadering.

39.2 Gelijke breuken

Propositie 39.6 (Gelijkwaardige breuken)

Een breuk verandert niet als je haar teller en noemer beide met hetzelfde getal (niet nul) vermenigvuldigt of erdoor deelt:

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Idee van het bewijs. Elk deel van de verdeling in $k$ kleinere stukjes knippen vermenigvuldigt zowel het aantal genomen stukjes als het totale aantal stukjes met $k$ , maar de genomen hoeveelheid blijft dezelfde. Een plaatje zegt het het best: ∎

2/3 = 4/6: elk derde in twee knippen verdubbelt de aantallen boven en onder, zonder de gekleurde hoeveelheid te veranderen. — $\frac23 = \frac46$ : elk derde in twee knippen verdubbelt de aantallen boven en onder, zonder de gekleurde hoeveelheid te veranderen.

Methode 39.7 (Een breuk vereenvoudigen)

Zoek een getal dat de teller en de noemer deelt, en deel beide erdoor. Herhaal dat tot er geen gemeenschappelijke deler meer over is:

\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.

39.3 Een breuk van een hoeveelheid nemen

Methode 39.8 (Breuk van een hoeveelheid)

Om $\frac ab$ van een hoeveelheid te berekenen, deel je de hoeveelheid door $b$ (één deel) en vermenigvuldig je met $a$ (het aantal delen):

\frac ab \text{ van } Q = (Q \div b) \times a .

(Eerst met $a$ vermenigvuldigen en dan door $b$ delen geeft dezelfde uitkomst — kies de volgorde waarbij de getallen het mooist blijven.)

Voorbeeld 39.9

Reken $\frac35$ van $40$ euro uit, stap voor stap:

een vijfde van $40$ : $40 \div 5 = 8$ ;
drie vijfden: $8 \times 3 = 24$ .

Dus $\frac35$ van $40$ euro is $24$ euro. Controle: de overige $\frac25$ is $16$ euro, en $24 + 16 = 40$ .

39.4 Oefeningen

Oefening 39.1 ★

Schrijf bij elke beschrijving de breuk op: een cake in $8$ stukken gesneden waarvan $3$ opgegeten; een chocoladereep van $12$ blokjes waarvan $7$ opgegeten; een taart in $6$ stukken waarvan alle $6$ opgegeten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.1.

Cake: $\frac38$ opgegeten. Chocolade: $\frac{7}{12}$ . Taart: $\frac66 = 1$ (de hele taart).

Oefening 39.2 ★

Teken een strook in $5$ gelijke delen en kleur er $\frac45$ van in. Is $\frac45$ kleiner of groter dan $1$ ? En $\frac65$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.2.

Vier van de vijf delen zijn gekleurd. $\frac45 < 1$ (vier van de vijf delen is minder dan de hele strook); $\frac65 > 1$ (zes vijfden is één hele strook en een vijfde erbij).

Oefening 39.3 ★

Zet op een getallenlijn met streepjes per derde: $\frac13$ ; $\frac53$ ; $2$ ; $\frac73$ . Welke twee van deze getallen liggen even ver van $2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.3.

Op de lijn met streepjes per derde: $\frac13$ ligt één streepje na $0$ ; $\frac53$ ligt één streepje voor $2$ (want $2 = \frac63$ ); $\frac73$ ligt één streepje na $2$ . Dus liggen $\frac53$ en $\frac73$ beide op afstand $\frac13$ van $2$ .

Oefening 39.4 ★

Schrijf elke breuk als een heel getal plus een breuk kleiner dan $1$ (zoals bij $\frac74 = 1 + \frac34$ ):

\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad \frac{25}{8} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.4.

$\frac94 = 2 + \frac14$ ; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$ ; $\frac{12}{6} = 2$ (precies); $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$ .

Oefening 39.5 ★

Vul aan zodat de breuken gelijk zijn:

\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad \frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad \frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad \frac{?}{6} = \frac{10}{12}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.5.

$\frac23 = \frac{8}{12}$ (met $4$ vermenigvuldigd); $\frac{15}{20} = \frac34$ (door $5$ gedeeld); $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ (met $3$ vermenigvuldigd); $\frac56 = \frac{10}{12}$ (door $2$ gedeeld).

Oefening 39.6 ★

Vereenvoudig zo veel mogelijk: $\dfrac{6}{8}$ ; $\dfrac{15}{25}$ ; $\dfrac{18}{24}$ ; $\dfrac{35}{7}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.6.

$\frac68 = \frac34$ ; $\frac{15}{25} = \frac35$ ; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$ ; $\frac{35}{7} = 5$ (een heel getal).

Oefening 39.7 ★

Reken uit: $\frac12$ van $86$ ; $\frac34$ van $60$ ; $\frac25$ van $35$ ; $\frac{7}{10}$ van $250$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.7.

$\frac12$ van $86$ : $86 \div 2 = 43$ .

$\frac34$ van $60$ : $60 \div 4 = 15$ , dan $15 \times 3 = 45$ .

$\frac25$ van $35$ : $35 \div 5 = 7$ , dan $7 \times 2 = 14$ .

$\frac{7}{10}$ van $250$ : $250 \div 10 = 25$ , dan $25 \times 7 = 175$ .

Oefening 39.8 ★

Wat is groter: $\frac12$ of $\frac13$ (van dezelfde cake)? $\frac25$ of $\frac35$ ? $\frac34$ of $\frac78$ (schrijf beide met noemer $8$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.8.

$\frac12 > \frac13$ : helften zijn grotere delen dan derden. $\frac35 > \frac25$ : dezelfde delen, en meer ervan. $\frac34 = \frac68 < \frac78$ : zeven achtsten verslaan zes achtsten.

Oefening 39.9 ★★

Geef de decimale waarde van de breuken die er een hebben, en zeg welke breuk er geen heeft: $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac13$ ; $\frac{7}{10}$ ; $\frac{9}{4}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.9.

$\frac12 = 0.5$ ; $\frac34 = 0.75$ ; $\frac{7}{10} = 0.7$ ; $\frac94 = 2.25$ . De uitzondering is $\frac13 = 0.333\dots$ , waarvan de decimale schrijfwijze nooit ophoudt: dat is geen decimaal getal.

Oefening 39.10 ★★

Een klas heeft $28$ leerlingen. Driekwart van hen komt met de bus naar school, de rest komt lopend. Hoeveel leerlingen komen lopend? Los stap voor stap op, en controleer dat je twee groepen samen $28$ zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.10.

Met de bus: $\frac34$ van $28$ : $28 \div 4 = 7$ , dan $7 \times 3 = 21$ leerlingen. Lopend: $28 - 21 = 7$ leerlingen (dat is het overblijvende kwart: $28 \div 4 = 7$ ). Controle: $21 + 7 = 28$ .

Oefening 39.11 ★★

Leo gaf $\frac23$ van zijn spaargeld aan een spel van $18$ euro. Hoeveel geld had Leo daarvoor? (Een derde van zijn spaargeld is de helft van $18$ … denk na over waarom, of zoek eerst de grootte van één deel.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.11.

Twee derde van het spaargeld is $18$ euro, dus is één derde $18 \div 2 = 9$ euro, en was het hele spaargeld (drie derden) $9 \times 3 = 27$ euro. Controle: $\frac23$ van $27$ is $18$ .

Oefening 39.12 ★★★

Een tank is tot $\frac58$ van zijn inhoud gevuld. Na het gebruik van $10$ liter is hij half vol. Wat is de inhoud van de tank? (Welke breuk van de tank zijn die $10$ liter?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 39.12.

Het water ging van $\frac58$ naar $\frac48$ (een helft is vier achtsten) van de tank: die $10$ liter is dus $\frac58 - \frac48 = \frac18$ van de inhoud. De volle tank bevat dus $10 \times 8 = 80$ liter. Controle: $\frac58$ van $80$ is $50$ , min $10$ blijft $40$ , en dat is inderdaad de helft van $80$ .

39.5 Opgave: de chocoladereep die nooit opgaat

Probleem 39.1

Weekendopgave — helften van helften: de som $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ kruipt naar $1$ zonder hem ooit te raken

Neem een chocoladereep. Eet er de helft van op. Eet dan de helft van wat er over is. En dan weer de helft van wat er over is, en zo verder. Twee dingen lijken tegelijk waar: je krijgt de reep nooit op (er blijft altijd iets over), en toch eet je bijna alles op. In deze opgave maak je van beide gevoelens precieze uitspraken over breuken — en ontmoet je onderweg een hardloper uit het oude Griekenland en een verdeelpuzzel die je oplost met een mes dat alleen maar kan halveren.

Deel I — Helften van helften. De reep is een rechthoek van $16$ gelijke blokjes.

Eerste hap: je eet de helft van de reep. Hoeveel blokjes zijn dat? Schrijf de hap op twee manieren als breuk van de reep, met noemer $2$ en met noemer $16$ (Propositie 39.6).
Tweede hap: de helft van wat er over is. Hoeveel blokjes? Laat met het plaatje of met gelijkwaardige breuken zien dat deze hap $\frac14$ van de hele reep is: de helft van een helft is een kwart.
Derde en vierde hap, met dezelfde regel: geef elke hap in blokjes en als breuk van de reep. Wat gebeurt er van de ene hap naar de volgende met de noemer?
Hoeveel blokjes zijn er na de vier happen in totaal opgegeten? Welke breuk van de reep is dat, en welke breuk blijft over?
Vraag 4 zegt, in zestienden geschreven:

$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}, \qquad\text{dus}\qquad \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} .$

Controleer elk van de vier herschrijvingen ( $\frac12 = \frac{8}{16}$ , en zo verder).

Deel II — De trap naar $1$ . Stel je, om verder te kunnen happen, een fijnere reep van $64$ blokjes voor.

Noem de grootte van de eerste zes happen in blokjes ( $32$ , dan …) en controleer dat er na de zesde hap precies één blokje over is. Welke breuk van de reep blijft er over?
Welke breuk van de reep blijft er na elke hap over? Schrijf het rijtje op ( $\frac12$ , $\frac14$ , …) tot de zesde hap, en beschrijf het patroon. Als een verbeeld mes zelfs het laatste blokje kon halveren, wat zou er dan na een zevende hap overblijven?
Leg uit waarom het opgegeten totaal nooit $1$ kan bereiken, hoe vaak je ook hapt. (Vergelijk met de twintig negens van Probleem 38.1: hetzelfde verhaal?)
En toch komt het totaal voorbij elk doel onder $1$ . Een vriend daagt je uit om meer dan $\frac{99}{100}$ van de reep op te eten. Wat is kleiner, $\frac{1}{128}$ of $\frac{1}{100}$ — en na welke hap is de uitdaging gewonnen?
Zet op een getallenlijn van $0$ tot $1$ met streepjes per zestiende de opgegeten totalen na elk van de eerste vier happen: $\frac12$ , $\frac34$ , $\frac78$ , $\frac{15}{16}$ . Waar landt elk nieuw totaal, vergeleken met het vorige en met $1$ ?

Deel III — De hardloper van Zeno, en een mes dat alleen halveert.

Vierentwintig eeuwen geleden vertelde de Griekse filosoof Zeno dit verhaal: om een muur te bereiken, moet een hardloper eerst de helft van de afstand afleggen, dan de helft van wat overblijft, dan weer de helft van wat overblijft … “dus bereikt de hardloper de muur nooit!” Zeg met de vragen 8 en 9 wat er juist is in het verhaal van Zeno, en waar de valstrik zit. (Heeft de hardloper echt eindeloos veel tijd nodig voor al die stappen?)
De verdeelpuzzel: verdeel $15$ identieke chocoladereepjes eerlijk over $16$ kinderen, met alleen halveringen (van een reep, van een halve reep, van een kwart reep …). Beschrijf hoe je snijdt: hoeveel reepjes worden in helften gesneden, hoeveel in kwarten, in achtsten, in zestienden, zodat elk kind één stuk van elke maat krijgt.
Controleer je verdeling: schrijf het deel van elk kind als een som van breuken, reken het in zestienden uit, en ga na dat de $16$ delen samen precies de $15$ reepjes opgebruiken.
In de klas ernaast worden $7$ reepjes eerlijk over $8$ kinderen verdeeld. Welk kind krijgt meer chocolade — een van de $16$ of een van de $8$ ? (Schrijf beide delen met noemer $16$ , Oefening 39.8.)
De finale: een vriendin beweert dat je met oneindig veel happen precies de hele reep zou opeten. Teken een vierkant en kleur de happen erin: de helft van het vierkant, dan een kwart, dan een achtste … Wat valt je op aan het niet-gekleurde hoekje? Formuleer zorgvuldig de twee ware feiten van deze hele opgave: wat er na elk eindig aantal happen overblijft, en hoe klein die rest wordt. (Wat een “oneindige som” precies betekent, is een verhaal voor het bovenbouwvolume.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 39.1.

1. De helft van $16$ blokjes is $8$ blokjes. Als breuk: $\frac12$ van de reep, en omdat elke helft $8$ van de $16$ blokjes is, ook $\frac{8}{16}$ — dezelfde breuk, op twee manieren geschreven (Propositie 39.6).

2. De helft van de $8$ overgebleven blokjes is $4$ blokjes, en dat is $\frac{4}{16}$ van de reep. Vereenvoudigd door $4$ : $\frac{4}{16} = \frac14$ . Op het plaatje: de overgebleven helft in twee knippen geeft twee kwarten van de oorspronkelijke reep — de helft van een helft is een kwart.

3. Derde hap: de helft van $4$ blokjes is $2$ blokjes, dus $\frac{2}{16} = \frac18$ van de reep. Vierde hap: $1$ blokje, dus $\frac{1}{16}$ . Van de ene hap naar de volgende verdubbelt de noemer: $2$ , $4$ , $8$ , $16$ .

4. Opgegeten: $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ van de $16$ blokjes, dus $\frac{15}{16}$ van de reep. Over: $1$ blokje, $\frac{1}{16}$ .

5. $\frac12 = \frac{8}{16}$ (teller en noemer met $8$ vermenigvuldigd), $\frac14 = \frac{4}{16}$ (met $4$ ), $\frac18 = \frac{2}{16}$ (met $2$ ), en $\frac{1}{16}$ blijft staan. In zestienden geteld: $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ ervan, dus is het totaal $\frac{15}{16}$ .

6. Happen: $32$ , $16$ , $8$ , $4$ , $2$ , $1$ blokjes. Totaal opgegeten: $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$ blokjes, dus blijft er $1$ blokje over: $\frac{1}{64}$ van de reep.

7. Na elke hap blijft er

\frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad \frac{1}{16},\quad \frac{1}{32},\quad \frac{1}{64}

over: de rest halveert elke keer — haar noemer verdubbelt. Een zevende, verbeelde hap zou $\frac{1}{128}$ overlaten.

8. Elke hap eet maar de helft van wat er over is, dus staat de andere helft van de rest er nog: na elk aantal happen blijft er altijd iets over. Het opgegeten totaal blijft dus altijd onder $1$ — precies zoals de twintig negens van Probleem 38.1, die steeds dichter bij $3$ komen zonder het te bereiken.

9. Beide breuken hebben teller $1$ , en in $128$ delen knippen geeft kleinere delen dan in $100$ delen knippen: dus $\frac{1}{128} < \frac{1}{100}$ . Na de zevende hap is de rest $\frac{1}{128}$ , en dus is het opgegeten deel meer dan $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$ : bij hap zeven is de uitdaging gewonnen.

10. In zestienden zijn de totalen $\frac{8}{16}$ , $\frac{12}{16}$ , $\frac{14}{16}$ , $\frac{15}{16}$ . Elk nieuw totaal landt precies halverwege tussen het vorige totaal en $1$ : de trap halveert steeds de afstand die nog naar $1$ overblijft, zonder er ooit op te stappen.

11. Wat juist is: in elke fase van Zeno’s beschrijving blijft er inderdaad een stukje afstand over (vraag 8) — de lijst fasen houdt nooit op. De valstrik: de fasen worden extreem kort, in afstand en in looptijd; de hardloper doet niet over elke fase even lang. Dat je de loop in oneindig veel krimpende stukjes beschrijft, maakt de loop zelf niet eindeloos: de hardloper bereikt de muur, en vraag 9 laat zien dat de beschrijving elk punt vóór de muur voorbijgaat.

12. Snijd $8$ reepjes in helften: $16$ halve stukken. Snijd $4$ reepjes in kwarten: $16$ kwartstukken. Snijd $2$ reepjes in achtsten: $16$ achtste stukken. Snijd het laatste reepje in zestienden: $16$ kleine stukjes. Dat gebruikt $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ reepjes, en elk kind krijgt één stuk van elke maat.

13. Het deel van elk kind is

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}

van een reep (vraag 5). Zestien zulke delen maken $16 \times \frac{15}{16} = 15$ reepjes (Stelling 39.4): precies wat er gesneden is, zonder rest — een eerlijke verdeling van $15$ reepjes over $16$ kinderen, met alleen halveringen.

14. De buren krijgen elk $\frac78$ reep. Met noemer $16$ : $\frac78 = \frac{14}{16}$ , terwijl onze kinderen $\frac{15}{16}$ krijgen. Een kind van de $16$ krijgt dus meer: $\frac{15}{16} > \frac{14}{16}$ , en wel één zestiende reep.

15. In het vierkantsplaatje vult elke gekleurde hap de helft van het nog ongekleurde hoekje, en blijft dat hoekje krimpen: na elke hap is het half zo groot als daarvoor, en het verdwijnt nooit. De twee ware feiten: (i) na elk eindig aantal happen blijft er een rest — het opgegeten totaal is altijd strikt kleiner dan $1$ ; (ii) die rest wordt kleiner dan elke breuk die je maar wilt noemen ( $\frac{1}{100}$ , $\frac{1}{1000}$ , …), als je lang genoeg hapt. De woorden “de oneindige som is gelijk aan $1$ ” hun precieze betekenis geven, is het werk van de limieten, in het bovenbouwvolume.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Breuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst