Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

24Eerste breuken

De helft van een appel, een kwartier, driekwart van de klas: breuken geven de stukken van dingen een naam. In dit hoofdstuk komt de schrijfwijze $\frac{a}{b}$ aan de orde, lezen we breuken op plaatjes en op de getallenlijn, en vergelijken we de eenvoudigste. (Breuken worden groot in Hoofdstuk 39.)

24.1 De stukken een naam geven

Definitie 24.1 (Breuk)

Verdeel een geheel in gelijke delen en neem er een paar — dat is een breuk:

\frac{3}{4} \quad \begin{array}{l} 3 \text{: hoeveel delen je neemt (de \emph{teller});}\\ 4 \text{: in hoeveel gelijke delen het geheel is verdeeld (de \emph{noemer}).} \end{array}

$\frac12$ is een helft, $\frac13$ een derde, $\frac14$ een kwart, $\frac{1}{10}$ een tiende.

Breuken lezen op plaatjes. De delen moeten gelijk zijn: drie ongelijke stukken zijn geen derden! — Breuken lezen op plaatjes. De delen moeten *gelijk* zijn: drie ongelijke stukken zijn geen derden!

Voorbeeld 24.2 (Breuken van een groep)

$\frac13$ van $12$ knikkers: verdeel de $12$ knikkers over $3$ gelijke groepjes van $4$ ; één groepje is $\frac13$ , dus $\frac13$ van $12$ is $4$ — en $\frac23$ van $12$ zijn twee groepjes, dus $8$ .

24.2 Breuken op de getallenlijn

Methode 24.3 ( $\frac{a}{b}$ plaatsen)

Verdeel elke eenheid van de lijn in $b$ gelijke stapjes; loop vanaf $0$ $a$ stapjes. Is $a$ groter dan $b$ , dan kom je voorbij $1$ : breuken kunnen groter zijn dan één geheel!

De lijn in kwarten verdeeld: 2/4 komt op hetzelfde punt uit als 1/2; 5/4 ligt één kwart voorbij 1; 11/4 is 2 en 3/4. — De lijn in kwarten verdeeld: $\frac24$ komt op hetzelfde punt uit als $\frac12$ ; $\frac54$ ligt één kwart voorbij $1$ ; $\frac{11}{4}$ is $2$ en $\frac34$ .

Voorbeeld 24.4 (Hele getallen verstopt in breuken)

$\frac44 = 1$ (vier kwarten maken het geheel); $\frac82 = 4$ ; $\frac{12}{3} = 4$ . En $\frac74$ is $1 + \frac34$ : één geheel en drie kwarten erbij.

24.3 Eenvoudige breuken vergelijken en optellen

Propositie 24.5 (Dezelfde noemer)

Bij dezelfde noemer zijn de stukken even groot — dan hoef je ze alleen te tellen:

\frac{2}{8} < \frac{5}{8}, \qquad \frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8}.

Vergelijken met één geheel gaat ook makkelijk: $\frac{5}{8} < 1 < \frac{9}{8}$ (minder, en dan meer, dan $8$ achtsten).

Waarom, op een plaatje. Als je $3$ achtsten van een strook inkleurt en daarna nog $4$ achtsten van dezelfde strook, is er in totaal $7$ achtsten ingekleurd. ∎

Voorbeeld 24.6 (Verschillende noemers, hetzelfde punt)

Op de getallenlijn komen $\frac12$ , $\frac24$ en $\frac{5}{10}$ allemaal op hetzelfde punt uit: het zijn drie namen voor hetzelfde getal. Elke helft in twee stukken knippen geeft kwarten; in vijf stukken, tienden. (De algemene regel staat in Hoofdstuk 39.)

Voorbeeld 24.7 (Kwartieren)

Een uur heeft $60$ minuten, dus een kwart van een uur is $60 \div 4 = 15$ minuten, en driekwart uur is $45$ minuten. “Half drie” is $\frac12$ uur na twee uur.

24.4 Oefeningen

Oefening 24.1 ★

Schrijf de breuk op die je ziet: een pizza in $6$ stukken gesneden waarvan er $5$ over zijn; een chocoladereep van $8$ blokjes waarvan er $3$ zijn opgegeten (de opgegeten breuk); een vlag in $3$ gelijke verticale banen waarvan $1$ gekleurd is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.1.

Pizza: $\frac56$ is over. Chocolade: $\frac38$ opgegeten. Vlag: $\frac13$ gekleurd.

Oefening 24.2 ★

Teken een strook in $5$ gelijke delen en kleur $\frac35$ in. Kleur daarna $\frac{2}{5}$ van een even grote strook in. Welke gekleurde stukken zijn groter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.2.

$\frac35$ kleurt drie delen in, $\frac25$ maar twee: $\frac35$ geeft het grootste gekleurde stuk.

Oefening 24.3 ★

Reken uit: $\frac12$ van $18$ ; $\frac14$ van $20$ ; $\frac13$ van $21$ ; $\frac34$ van $20$ (drie groepjes van een kwart).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.3.

Helft van $18$ : $9$ . Kwart van $20$ : $5$ . Derde van $21$ : $7$ . $\frac34$ van $20$ : drie kwarten, $3 \times 5 = 15$ .

Oefening 24.4 ★

Zet op een getallenlijn die in derden verdeeld is: $\frac13$ ; $\frac33$ ; $\frac53$ ; $2$ . Welke breuk komt precies op $2$ uit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.4.

$\frac13$ : één stapje; $\frac33$ : op $1$ ; $\frac53$ : twee stapjes voorbij $1$ . De breuk die precies op $2$ uitkomt, is $\frac63$ .

Oefening 24.5 ★

Neem over en vul in met $<$ , $>$ of $=$ :

\frac38 \;?\; \frac68, \qquad \frac55 \;?\; 1, \qquad \frac74 \;?\; 1, \qquad \frac12 \;?\; \frac24 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.5.

$\frac38 < \frac68$ ; $\frac55 = 1$ ; $\frac74 > 1$ ; $\frac12 = \frac24$ .

Oefening 24.6 ★

Reken uit: $\frac26 + \frac36$ ; $\frac58 - \frac28$ ; $\frac14 + \frac24$ ; $1 - \frac13$ (hoeveel derden maken $1$ ?).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.6.

$\frac26 + \frac36 = \frac56$ ; $\frac58 - \frac28 = \frac38$ ; $\frac14 + \frac24 = \frac34$ ; $1 = \frac33$ , dus $1 - \frac13 = \frac23$ .

Oefening 24.7 ★

Schrijf als een heel getal plus een breuk kleiner dan $1$ : $\frac54$ ; $\frac73$ ; $\frac{9}{2}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.7.

$\frac54 = 1 + \frac14$ ; $\frac73 = 2 + \frac13$ ; $\frac92 = 4 + \frac12$ .

Oefening 24.8 ★

Hoeveel minuten zijn: een half uur; een kwart van een uur; driekwart uur; $\frac13$ van een uur?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.8.

Een half uur: $30$ min. Een kwart: $15$ min. Driekwart: $45$ min. Een derde: $20$ min.

Oefening 24.9 ★

In een klas van $24$ leerlingen draagt $\frac14$ een bril. Hoeveel leerlingen dragen een bril? En hoeveel niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.9.

$\frac14$ van $24$ is $6$ leerlingen met een bril; $24 - 6 = 18$ zonder.

Oefening 24.10 ★★

Nina heeft $\frac38$ van een pizza opgegeten en Sam $\frac48$ van dezelfde pizza. Welke breuk hebben ze samen opgegeten? Welke breuk blijft over? Wie heeft er meer gegeten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.10.

Samen: $\frac38 + \frac48 = \frac78$ . Over: $\frac18$ . Sam heeft er meer gegeten ( $4$ achtsten tegen $3$ ).

Oefening 24.11 ★★

Waar of niet waar, met een plaatje of een voorbeeld: “het kan dat $\frac12$ van een kleine pizza minder is dan $\frac14$ van een heel grote pizza”. Wat moet je altijd weten voordat je twee breuken van iets vergelijkt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.11.

Dat kan inderdaad: de helft van een kleine pizza kan minder eten zijn dan een kwart van een reuzenpizza. Breuken vergelijken delen van hetzelfde geheel; voordat je $\frac12$ en $\frac14$ “van iets” vergelijkt, moet je weten dat die twee gehelen even groot zijn.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Breuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst