Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

24Eerste breuken

Een half appeltje, een kwartier, driekwart van de klas: breuken noemen de stukken van dingen. Dit hoofdstuk introduceert de notatie $\frac{a}{b}$ , leest breuken op plaatjes en getallenlijnen, en vergelijkt de eenvoudigste. (Breuken groeien verder in Hoofdstuk 39.)

24.1 De stukken benoemen

Definitie 24.1 (Breuk)

Snijd een geheel in gelijke delen en neem er enkele — dat is een breuk:

\frac{3}{4} \quad \begin{array}{l} 3 \text{: hoeveel delen genomen worden (de \emph{teller});}\\ 4 \text{: in hoeveel gelijke delen het geheel is gesneden (de \emph{noemer}).} \end{array}

$\frac12$ is een half, $\frac13$ een derde, $\frac14$ een kwart, $\frac{1}{10}$ een tiende.

Breuken lezen op plaatjes. De delen moeten gelijk zijn: drie ongelijke stukken maken geen derden! — Breuken lezen op plaatjes. De delen moeten *gelijk* zijn: drie ongelijke stukken maken geen derden!

Voorbeeld 24.2 (Breuken van een verzameling)

$\frac13$ van $12$ knikkers: verdeel de $12$ knikkers in $3$ gelijke groepen van $4$ ; één groep is $\frac13$ , dus $\frac13$ van $12$ is $4$ — en $\frac23$ van $12$ is twee groepen, $8$ .

24.2 Breuken op de getallenlijn

Methode 24.3 ( $\frac{a}{b}$ plaatsen)

Snijd elke eenheid van de lijn in $b$ gelijke stappen; vanaf $0$ , loop $a$ stappen. Als $a$ groter is dan $b$ , gaat de wandeling voorbij $1$ : breuken kunnen groter zijn dan één geheel!

De lijn in kwarten gesneden: 2/4 landt op hetzelfde punt als 1/2; 5/4 is één kwart voorbij 1; 11/4 is 2 en 3/4. — De lijn in kwarten gesneden: $\frac24$ landt op hetzelfde punt als $\frac12$ ; $\frac54$ is één kwart voorbij $1$ ; $\frac{11}{4}$ is $2$ en $\frac34$ .

Voorbeeld 24.4 (Hele getallen verborgen in breuken)

$\frac44 = 1$ (vier kwarten maken het geheel); $\frac82 = 4$ ; $\frac{12}{3} = 4$ . En $\frac74$ is $1 + \frac34$ : één geheel en drie kwarten erbij.

24.3 Eenvoudige breuken vergelijken en optellen

Propositie 24.5 (Zelfde noemer)

Met dezelfde noemer hebben de stukken dezelfde grootte — dus tel ze gewoon:

\frac{2}{8} < \frac{5}{8}, \qquad \frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8}.

Vergelijken met één geheel is ook makkelijk: $\frac{5}{8} < 1 < \frac{9}{8}$ (minder, dan meer, dan $8$ achtsten).

Waarom, op een plaatje. $3$ achtsten arceren en dan $4$ achtsten meer van dezelfde balk arceert in totaal $7$ achtsten. ∎

Voorbeeld 24.6 (Verschillende noemers, zelfde punt)

Op de getallenlijn landen $\frac12$ , $\frac24$ en $\frac{5}{10}$ allemaal op hetzelfde punt: het zijn drie namen van hetzelfde getal. Elke helft in twee snijden maakt kwarten; in vijf, tienden. (De algemene regel staat in Hoofdstuk 39.)

Voorbeeld 24.7 (Kwarten van een uur)

Een uur heeft $60$ minuten, dus een kwartier is $60 \div 4 = 15$ minuten, en driekwart uur is $45$ minuten. “Half drie” is $\frac12$ uur na twee uur.

24.4 Oefeningen

Oefening 24.1 ★

Schrijf de getoonde breuk: een pizza in $6$ met $5$ stukken over; een chocoladereep van $8$ vakjes met $3$ opgegeten (breuk opgegeten); een vlag in $3$ gelijke verticale banen, $1$ gekleurd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.1.

Pizza: $\frac56$ over. Chocolade: $\frac38$ opgegeten. Vlag: $\frac13$ gekleurd.

Oefening 24.2 ★

Teken een balk in $5$ gelijke delen en arceer $\frac35$ . Arceer dan $\frac{2}{5}$ van een andere gelijke balk. Welke arcering is groter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.2.

$\frac35$ arceert drie delen, $\frac25$ maar twee: $\frac35$ is de grotere arcering.

Oefening 24.3 ★

Reken uit: $\frac12$ van $18$ ; $\frac14$ van $20$ ; $\frac13$ van $21$ ; $\frac34$ van $20$ (drie groepen van een kwart).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.3.

Helft van $18$ : $9$ . Kwart van $20$ : $5$ . Derde van $21$ : $7$ . $\frac34$ van $20$ : drie kwarten, $3 \times 5 = 15$ .

Oefening 24.4 ★

Plaats op een getallenlijn in derden: $\frac13$ ; $\frac33$ ; $\frac53$ ; $2$ . Welke breuk landt precies op $2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.4.

$\frac13$ : één stap; $\frac33$ : op $1$ ; $\frac53$ : twee stappen voorbij $1$ . De breuk die precies op $2$ landt is $\frac63$ .

Oefening 24.5 ★

Schrijf over en vul in met $<$ , $>$ of $=$ :

\frac38 \;?\; \frac68, \qquad \frac55 \;?\; 1, \qquad \frac74 \;?\; 1, \qquad \frac12 \;?\; \frac24 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.5.

$\frac38 < \frac68$ ; $\frac55 = 1$ ; $\frac74 > 1$ ; $\frac12 = \frac24$ .

Oefening 24.6 ★

Reken uit: $\frac26 + \frac36$ ; $\frac58 - \frac28$ ; $\frac14 + \frac24$ ; $1 - \frac13$ (hoeveel derden maken $1$ ?).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.6.

$\frac26 + \frac36 = \frac56$ ; $\frac58 - \frac28 = \frac38$ ; $\frac14 + \frac24 = \frac34$ ; $1 = \frac33$ , dus $1 - \frac13 = \frac23$ .

Oefening 24.7 ★

Schrijf als een geheel getal plus een breuk kleiner dan $1$ : $\frac54$ ; $\frac73$ ; $\frac{9}{2}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.7.

$\frac54 = 1 + \frac14$ ; $\frac73 = 2 + \frac13$ ; $\frac92 = 4 + \frac12$ .

Oefening 24.8 ★

Hoeveel minuten zijn: een half uur; een kwartier; driekwart uur; $\frac13$ van een uur?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.8.

Half uur: $30$ min. Kwartier: $15$ min. Driekwart: $45$ min. Derde: $20$ min.

Oefening 24.9 ★

In een klas van $24$ leerlingen draagt $\frac14$ een bril. Hoeveel leerlingen dragen een bril? Hoeveel niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.9.

$\frac14$ van $24$ is $6$ leerlingen met bril; $24 - 6 = 18$ zonder.

Oefening 24.10 ★★

Nina at $\frac38$ van een pizza en Sam at $\frac48$ van dezelfde pizza. Welke breuk aten ze samen? Welke breuk is over? Wie at meer?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.10.

Samen: $\frac38 + \frac48 = \frac78$ . Over: $\frac18$ . Sam at meer ( $4$ achtsten tegen $3$ ).

Oefening 24.11 ★★

Waar of niet waar, met een plaatje of een voorbeeld: “ $\frac12$ van een kleine pizza is minder dan $\frac14$ van een heel grote pizza is mogelijk”. Wat moet men altijd weten vóór men twee breuken van iets vergelijkt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.11.

Inderdaad mogelijk: de helft van een kleine pizza kan minder eten zijn dan een kwart van een reusachtige. Breuken vergelijken delen van hetzelfde geheel; vóór $\frac12$ en $\frac14$ “van iets” te vergelijken, moet men weten dat de twee ietsen gelijk zijn.