Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

57Letterrekenen en vergelijkingen

Jaar 7 introduceerde letters en herleidde eenvoudige uitdrukkingen (Hoofdstuk 48). Dit hoofdstuk voegt de twee vaardigheden toe die algebra krachtig maken: uitwerken van producten van haakjes, en vergelijkingen oplossen — het getal vinden dat achter de letter schuilgaat.

57.1 Uitwerken

Stelling 57.1 (Eenvoudige en dubbele distributiviteit)

Voor alle getallen:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Bewijs. De eerste regel is Stelling 45.6 (met tekens inbegrepen: $k$ en de termen mogen negatief zijn, Hoofdstuk 54). Voor de tweede, pas de eerste regel twee keer toe, waarbij $(c + d)$ als één getal wordt behandeld:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd . \qedhere

∎

Voorbeeld 57.2

Let op de tekens bij elke term:

\begin{align*} 3(2x - 5) &= 6x - 15, \\ -2(4x - 7) &= -8x + 14 && \text{(een min ervoor keert beide tekens om)}, \\ (x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\ (2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 . \end{align*}

Dubbele distributiviteit als oppervlakten: de rechthoek (a+b) × (c+d) splitst in vier kleinere rechthoeken — één per term van de ontwikkeling. — Dubbele distributiviteit als oppervlakten: de rechthoek $(a+b) \times (c+d)$ splitst in vier kleinere rechthoeken — één per term van de ontwikkeling.

Methode 57.3 (Uitwerken en herleiden)

Werk elk product uit, en schrijf elke term met zijn teken;
verzamel gelijksoortige termen ( $x^2$ met $x^2$ , $x$ met $x$ , getallen met getallen);
controleer met een waarde: vul bijv. $x = 2$ in in het origineel en in het resultaat — gelijke uitkomsten vangen de meeste fouten.

57.2 Vergelijkingen oplossen

Definitie 57.4 (Vergelijking)

Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal, genoteerd $x$ (of een andere letter). Oplossen betekent alle waarden van $x$ vinden die de gelijkheid waar maken — de oplossingen.

Stelling 57.5 (Balansregels)

Een vergelijking houdt precies dezelfde oplossingen wanneer:

hetzelfde getal aan beide kanten wordt opgeteld (of afgetrokken);
beide kanten met hetzelfde getal ongelijk aan nul worden vermenigvuldigd (of gedeeld).

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Een vergelijking is een in evenwicht zijnde weegschaal: wat aan de ene schaal gedaan wordt, moet aan de andere gedaan worden, en het evenwicht — de gelijkheid — blijft bestaan.

Methode 57.6 (Een eerstegraadsvergelijking oplossen)

Werk uit en herleid elke kant indien nodig;
tel of trek aan beide kanten op/af om de $x$ -termen aan één kant te verzamelen, de gewone getallen aan de andere;
herleid, en deel daarna beide kanten door de coëfficiënt van $x$ ;
controleer door de gevonden waarde in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen.

Voorbeeld 57.7

Los op $7x - 5 = 4x + 16$ :

\begin{align*} 7x - 5 &= 4x + 16 \\ 7x - 4x &= 16 + 5 && \text{(tel $5$ op, trek $4x$ af, aan beide kanten)} \\ 3x &= 21 \\ x &= 7 && \text{(deel beide kanten door 3).} \end{align*}

Controle: linkerkant $7 \times 7 - 5 = 44$ ; rechterkant $4 \times 7 + 16 = 44$ . De oplossing is $7$ .

Voorbeeld 57.8 (Met haakjes en negatieven)

Los op $3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$ :

\begin{align*} 3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(werk beide kanten uit)} \\ 3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(herleid)} \\ 5x &= 15 && \text{(tel $2x + 12$ op aan beide kanten)} \\ x &= 3 . \end{align*}

Controle: $3(3 - 4) = -3$ en $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$ . Oplossing: $3$ .

Methode 57.9 (Een probleem met een vergelijking oplossen)

Kies de onbekende: “laat $x$ … zijn” (de gevraagde grootheid, of een eenvoudigere verwante);
vertaal het verhaal in een vergelijking;
los die op;
interpreteer: beantwoord de oorspronkelijke vraag in een zin, met eenheden, en controleer het antwoord tegen het verhaal.

Voorbeeld 57.10

Lucas is $4$ jaar ouder dan zijn zus; samen is hun leeftijd $26$ . Laat $x$ de leeftijd van de zus zijn; dan is Lucas $x + 4$ , en

x + (x + 4) = 26 \ \Longrightarrow\ 2x + 4 = 26 \ \Longrightarrow\ 2x = 22 \ \Longrightarrow\ x = 11 .

De zus is $11$ , Lucas is $15$ . Controle: $11 + 15 = 26$ en $15 - 11 = 4$ .

57.3 Orde en ongelijkheden

Propositie 57.11 (Bewerkingen en orde)

Hetzelfde getal aan beide kanten van een ongelijkheid optellen houdt haar in stand; beide kanten met een positief getal vermenigvuldigen houdt haar in stand; vermenigvuldigen met een negatief getal keert haar om:

2 < 5 \ \text{ maar }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 57.12

Los op $5 - 2x \leq 11$ : trek $5$ af aan beide kanten, $-2x \leq 6$ ; deel door $-2$ en keer om: $x \geq -3$ . Alle getallen groter dan of gelijk aan $-3$ zijn oplossingen — een vergelijking heeft meestal één oplossing, een ongelijkheid heeft een hele halfrechte ervan.

57.4 Oefeningen

Oefening 57.1 ★

Werk uit en herleid:

5(2x + 3), \qquad -3(4x - 1), \qquad 2(3x - 2) + 4(x + 5).

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.1.

$5(2x + 3) = 10x + 15$ .

$-3(4x - 1) = -12x + 3$ .

$2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$ .

Oefening 57.2 ★

Werk uit en herleid:

(x + 2)(x + 7), \qquad (3x + 1)(2x - 5), \qquad (x - 4)(x - 6).

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.2.

$(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$ .

$(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$ .

$(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$ .

Oefening 57.3 ★

Is $x = 3$ een oplossing van $4x - 5 = 7$ ? Van $2x + 1 = x + 4$ ? Van $x^2 = 6x - 9$ ? (Vul in en vergelijk beide kanten.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.3.

$4 \times 3 - 5 = 7$ : ja. $2 \times 3 + 1 = 7$ en $3 + 4 = 7$ : ja. $3^2 = 9$ en $6 \times 3 - 9 = 9$ : ja — $x = 3$ lost alle drie op.

Oefening 57.4 ★

Los op, met controle:

x + 9 = 4, \qquad 5x = -35, \qquad \frac{x}{3} = 8, \qquad 2x - 7 = 13 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.4.

$x + 9 = 4$ : $x = -5$ (controle: $-5 + 9 = 4$ ).

$5x = -35$ : $x = -7$ .

$\frac x3 = 8$ : $x = 24$ .

$2x - 7 = 13$ : $2x = 20$ , $x = 10$ (controle: $20 - 7 = 13$ ).

Oefening 57.5 ★

Los op:

6x + 5 = 2x + 25, \qquad 9 - 4x = x - 11, \qquad 3(x + 2) = 2x + 11 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.5.

$6x + 5 = 2x + 25$ : $4x = 20$ , dus $x = 5$ .

$9 - 4x = x - 11$ : $20 = 5x$ , dus $x = 4$ .

$3(x + 2) = 2x + 11$ : $3x + 6 = 2x + 11$ , dus $x = 5$ .

Oefening 57.6 ★

Los op $4(2x - 3) = 5(x + 6)$ , eerst uitwerken, en controleer je oplossing.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.6.

$8x - 12 = 5x + 30$ , dus $3x = 42$ en $x = 14$ . Controle: $4(28 - 3) = 100$ en $5(14 + 6) = 100$ .

Oefening 57.7 ★

Vertaal en los op: “driemaal een getal, verminderd met $8$ , is gelijk aan $19$ ”; “het dubbele van een getal vermeerderd met $5$ is gelijk aan het getal vermeerderd met $12$ ”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.7.

“ $3x - 8 = 19$ ”: $3x = 27$ , $x = 9$ .

“ $2x + 5 = x + 12$ ”: $x = 7$ .

Oefening 57.8 ★★

De lengte van een rechthoek is $5$ cm meer dan zijn breedte, en zijn omtrek is $58$ cm. Laat $x$ de breedte zijn: schrijf een vergelijking, los die op en geef de twee afmetingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.8.

Breedte $x$ , lengte $x + 5$ ; omtrek $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$ , dus $4x = 48$ en $x = 12$ : breedte $12$ cm, lengte $17$ cm (controle: $2 \times (12 + 17) = 58$ ).

Oefening 57.9 ★★

Drie opeenvolgende gehele getallen hebben som $141$ . Noem de middelste $n$ en vind alle drie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.9.

De getallen zijn $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ met som $3n = 141$ , dus $n = 47$ : de getallen zijn $46$ , $47$ , $48$ .

Oefening 57.10 ★★

Los de ongelijkheden op en beschrijf de oplossingen:

3x + 4 > 19, \qquad 7 - 2x \geq 1, \qquad 5(x - 1) < 2x + 7 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.10.

$3x + 4 > 19$ : $3x > 15$ , dus $x > 5$ .

$7 - 2x \geq 1$ : $-2x \geq -6$ , delen door $-2$ keert om: $x \leq 3$ .

$5(x-1) < 2x + 7$ : $5x - 5 < 2x + 7$ , dus $3x < 12$ en $x < 4$ .

Oefening 57.11 ★★

Mia heeft $140$ euro spaargeld en voegt elke maand $15$ euro toe; Tom heeft $200$ euro en voegt elke maand $10$ euro toe. Na hoeveel maanden heeft Mia strikt meer dan Tom? (Stel een ongelijkheid op.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.11.

Na $n$ maanden heeft Mia $140 + 15n$ en Tom $200 + 10n$ . Mia leidt wanneer

140 + 15n > 200 + 10n \ \Longleftrightarrow\ 5n > 60 \ \Longleftrightarrow\ n > 12 :

vanaf de $13$ e maand.

Oefening 57.12 ★★★

Los de vergelijking $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$ op. (Vermenigvuldig beide kanten met $20$ , de gemeenschappelijke noemer, en ga daarna verder zoals gewoonlijk; controleer je oplossing in de oorspronkelijke vergelijking.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.12.

Vermenigvuldig beide kanten met $20$ :

5(x + 3) = 4(2x - 1) \ \Longrightarrow\ 5x + 15 = 8x - 4 \ \Longrightarrow\ 19 = 3x \ \Longrightarrow\ x = \frac{19}{3}.

Controle: $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} = \frac73$ , en $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} = \frac{35}{15} = \frac73$ . Gelijk: de oplossing is $\frac{19}{3}$ .