Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

57Letterrekenen en vergelijkingen

In het derde leerjaar van deze reeks kwamen letters aan bod en leerde je eenvoudige uitdrukkingen herleiden (Hoofdstuk 48). Dit hoofdstuk voegt de twee vaardigheden toe die algebra krachtig maken: haakjes wegwerken in producten, en het oplossen van vergelijkingen — het getal vinden dat achter de letter schuilgaat.

57.1 Haakjes wegwerken

Stelling 57.1 (Enkele en dubbele distributiviteit)

Voor alle getallen geldt:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Bewijs. De eerste regel is Stelling 45.6, tekens inbegrepen: $k$ en de termen mogen negatief zijn (Hoofdstuk 54). Voor de tweede pas je de eerste regel twee keer toe, met $(c + d)$ als één getal:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd . \qedhere

∎

Voorbeeld 57.2

Let bij elke term op het teken:

\begin{align*} 3(2x - 5) &= 6x - 15, \\ -2(4x - 7) &= -8x + 14 && \text{(een minteken vooraan keert beide tekens om)}, \\ (x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\ (2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 . \end{align*}

Dubbele distributiviteit als oppervlakte: de rechthoek (a+b) × (c+d) valt uiteen in vier kleinere rechthoeken — één per term van het product. — Dubbele distributiviteit als oppervlakte: de rechthoek $(a+b) \times (c+d)$ valt uiteen in vier kleinere rechthoeken — één per term van het product.

Methode 57.3 (Haakjes wegwerken en herleiden)

Werk elk product uit en schrijf elke term met zijn teken;
neem gelijksoortige termen samen ( $x^2$ bij $x^2$ , $x$ bij $x$ , getallen bij getallen);
controleer met een waarde: vul bijvoorbeeld $x = 2$ in, in de oorspronkelijke uitdrukking en in het resultaat — gelijke uitkomsten halen de meeste fouten eruit.

57.2 Vergelijkingen oplossen

Definitie 57.4 (Vergelijking)

Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal, dat je $x$ noemt (of een andere letter). Haar oplossen betekent: alle waarden van $x$ vinden waarvoor de gelijkheid waar is — de oplossingen.

Stelling 57.5 (Balansregels)

Een vergelijking houdt precies dezelfde oplossingen wanneer:

bij beide leden hetzelfde getal wordt opgeteld (of ervan afgetrokken);
beide leden met hetzelfde getal, verschillend van nul, worden vermenigvuldigd (of erdoor gedeeld).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Een vergelijking is een balans in evenwicht: wat je met de ene schaal doet, moet je ook met de andere doen, en dan blijft het evenwicht — de gelijkheid — bestaan.

Methode 57.6 (Een eerstegraadsvergelijking oplossen)

Werk indien nodig de haakjes weg en herleid elk lid;
tel bij beide leden op of trek van beide leden af, tot de $x$ -termen in het ene lid staan en de losse getallen in het andere;
herleid, en deel dan beide leden door de coëfficiënt van $x$ ;
controleer door de gevonden waarde in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen.

Voorbeeld 57.7

Los $7x - 5 = 4x + 16$ op:

\begin{align*} 7x - 5 &= 4x + 16 \\ 7x - 4x &= 16 + 5 && \text{(bij beide leden $5$ optellen en $4x$ aftrekken)} \\ 3x &= 21 \\ x &= 7 && \text{(beide leden door 3 delen).} \end{align*}

Controle: linkerlid $7 \times 7 - 5 = 44$ ; rechterlid $4 \times 7 + 16 = 44$ . De oplossing is $7$ .

Voorbeeld 57.8 (Met haakjes en negatieve getallen)

Los $3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$ op:

\begin{align*} 3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(haakjes in beide leden wegwerken)} \\ 3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(herleiden)} \\ 5x &= 15 && \text{($2x + 12$ bij beide leden optellen)} \\ x &= 3 . \end{align*}

Controle: $3(3 - 4) = -3$ en $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$ . Oplossing: $3$ .

Methode 57.9 (Een vraagstuk met een vergelijking oplossen)

Kies de onbekende: “zij $x$ het aantal …” (de gevraagde grootheid, of een eenvoudiger grootheid die ermee samenhangt);
zet het verhaal om in een vergelijking;
los die op;
interpreteer: antwoord in een volle zin op de gestelde vraag, met eenheden, en toets het antwoord aan het verhaal.

Voorbeeld 57.10

Lucas is $4$ jaar ouder dan zijn zus; samen zijn ze $26$ jaar. Zij $x$ de leeftijd van de zus; dan is Lucas $x + 4$ jaar, en

x + (x + 4) = 26 \ \Longrightarrow\ 2x + 4 = 26 \ \Longrightarrow\ 2x = 22 \ \Longrightarrow\ x = 11 .

De zus is $11$ , Lucas is $15$ . Controle: $11 + 15 = 26$ en $15 - 11 = 4$ .

57.3 Ordening en ongelijkheden

Propositie 57.11 (Bewerkingen en ordening)

Bij beide leden van een ongelijkheid hetzelfde getal optellen behoudt de ongelijkheid; beide leden met een positief getal vermenigvuldigen behoudt haar; met een negatief getal vermenigvuldigen keert haar om:

2 < 5 \ \text{ maar }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 57.12

Los $5 - 2x \leq 11$ op: trek $5$ van beide leden af, dan is $-2x \leq 6$ ; deel door $-2$ en keer om: $x \geq -3$ . Alle getallen groter dan of gelijk aan $-3$ zijn oplossingen — een vergelijking heeft meestal één oplossing, een ongelijkheid een hele halve rechte.

57.4 Oefeningen

Oefening 57.1 ★

Werk de haakjes weg en herleid:

5(2x + 3), \qquad -3(4x - 1), \qquad 2(3x - 2) + 4(x + 5).

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.1.

$5(2x + 3) = 10x + 15$ .

$-3(4x - 1) = -12x + 3$ .

$2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$ .

Oefening 57.2 ★

Werk de haakjes weg en herleid:

(x + 2)(x + 7), \qquad (3x + 1)(2x - 5), \qquad (x - 4)(x - 6).

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.2.

$(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$ .

$(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$ .

$(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$ .

Oefening 57.3 ★

Is $x = 3$ een oplossing van $4x - 5 = 7$ ? Van $2x + 1 = x + 4$ ? Van $x^2 = 6x - 9$ ? (Vul in en vergelijk beide leden.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.3.

$4 \times 3 - 5 = 7$ : ja. $2 \times 3 + 1 = 7$ en $3 + 4 = 7$ : ja. $3^2 = 9$ en $6 \times 3 - 9 = 9$ : ja — $x = 3$ is een oplossing van alle drie.

Oefening 57.4 ★

Los op, met controle:

x + 9 = 4, \qquad 5x = -35, \qquad \frac{x}{3} = 8, \qquad 2x - 7 = 13 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.4.

$x + 9 = 4$ : $x = -5$ (controle: $-5 + 9 = 4$ ).

$5x = -35$ : $x = -7$ .

$\frac x3 = 8$ : $x = 24$ .

$2x - 7 = 13$ : $2x = 20$ , $x = 10$ (controle: $20 - 7 = 13$ ).

Oefening 57.5 ★

Los op:

6x + 5 = 2x + 25, \qquad 9 - 4x = x - 11, \qquad 3(x + 2) = 2x + 11 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.5.

$6x + 5 = 2x + 25$ : $4x = 20$ , dus $x = 5$ .

$9 - 4x = x - 11$ : $20 = 5x$ , dus $x = 4$ .

$3(x + 2) = 2x + 11$ : $3x + 6 = 2x + 11$ , dus $x = 5$ .

Oefening 57.6 ★

Los $4(2x - 3) = 5(x + 6)$ op door eerst de haakjes weg te werken, en controleer je oplossing.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.6.

$8x - 12 = 5x + 30$ , dus $3x = 42$ en $x = 14$ . Controle: $4(28 - 3) = 100$ en $5(14 + 6) = 100$ .

Oefening 57.7 ★

Zet om in een vergelijking en los op: “drie keer een getal, verminderd met $8$ , is $19$ ”; “het dubbel van een getal, vermeerderd met $5$ , is het getal vermeerderd met $12$ ”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.7.

“ $3x - 8 = 19$ ”: $3x = 27$ , $x = 9$ .

“ $2x + 5 = x + 12$ ”: $x = 7$ .

Oefening 57.8 ★★

De lengte van een rechthoek is $5$ cm groter dan de breedte, en de omtrek is $58$ cm. Zij $x$ de breedte: schrijf een vergelijking op, los die op en geef de twee afmetingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.8.

Breedte $x$ , lengte $x + 5$ ; omtrek $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$ , dus $4x = 48$ en $x = 12$ : breedte $12$ cm, lengte $17$ cm (controle: $2 \times (12 + 17) = 58$ ).

Oefening 57.9 ★★

Drie opeenvolgende hele getallen hebben som $141$ . Noem het middelste $n$ en zoek alle drie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.9.

De getallen zijn $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ met som $3n = 141$ , dus is $n = 47$ : de getallen zijn $46$ , $47$ , $48$ .

Oefening 57.10 ★★

Los de ongelijkheden op en beschrijf de oplossingen:

3x + 4 > 19, \qquad 7 - 2x \geq 1, \qquad 5(x - 1) < 2x + 7 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.10.

$3x + 4 > 19$ : $3x > 15$ , dus $x > 5$ .

$7 - 2x \geq 1$ : $-2x \geq -6$ ; delen door $-2$ keert de ongelijkheid om: $x \leq 3$ .

$5(x-1) < 2x + 7$ : $5x - 5 < 2x + 7$ , dus $3x < 12$ en $x < 4$ .

Oefening 57.11 ★★

Mia heeft $140$ euro spaargeld en legt er elke maand $15$ euro bij; Tom heeft $200$ euro en legt er elke maand $10$ euro bij. Na hoeveel maanden heeft Mia strikt meer dan Tom? (Stel een ongelijkheid op.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.11.

Na $n$ maanden heeft Mia $140 + 15n$ en Tom $200 + 10n$ . Mia loopt voorop wanneer

140 + 15n > 200 + 10n \ \Longleftrightarrow\ 5n > 60 \ \Longleftrightarrow\ n > 12 :

vanaf de $13$ de maand.

Oefening 57.12 ★★★

Los de vergelijking $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$ op. (Vermenigvuldig beide leden met $20$ , de gemeenschappelijke noemer, en werk dan zoals gewoonlijk verder; controleer je oplossing in de oorspronkelijke vergelijking.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.12.

Vermenigvuldig beide leden met $20$ :

5(x + 3) = 4(2x - 1) \ \Longrightarrow\ 5x + 15 = 8x - 4 \ \Longrightarrow\ 19 = 3x \ \Longrightarrow\ x = \frac{19}{3}.

Controle: $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} = \frac73$ , en $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} = \frac{35}{15} = \frac73$ . Gelijk: de oplossing is $\frac{19}{3}$ .

57.5 Opgave: merkwaardige producten en de trap van de oneven getallen

Probleem 57.1

Weekendopgave — $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ , $(a+b)(a-b)$ , en de som $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$

Drie uitwerkingen komen zo vaak voor dat de algebra ze uit het hoofd kent: ze heten de merkwaardige producten. Deze opgave leidt ze af uit de dubbele distributiviteit (Stelling 57.1), maakt er een superkracht voor hoofdrekenen van, bewijst er een prachtig feit over oneven getallen mee, en eindigt met vergelijkingen van een geheel nieuw soort: vergelijkingen met een kwadraat erin.

Deel I — De drie producten.

Werk $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ uit en herleid, om te bewijzen dat

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$
Bewijs op dezelfde manier de twee tegenhangers:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 .$
Teken een vierkant met zijde $a + b$ , verdeel elke zijde in $a$ en $b$ , en knip het vierkant in vier stukken. Welk stuk van het eerste product stelt elk deel van de tekening voor?
Hoofdrekenen: gebruik de merkwaardige producten om zonder één vermenigvuldiging op papier te berekenen:

$101^2, \qquad 99^2, \qquad 49 \times 51 .$
Een klassieke valkuil: Zoë schrijft “ $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ”. Toets haar formule met $a = 3$ , $b = 4$ , en leg op de tekening van vraag 3 precies uit welke stukken haar formule vergeet.

Deel II — De trap van de oneven getallen.

Bereken $1$ , dan $1 + 3$ , dan $1 + 3 + 5$ , dan $1 + 3 + 5 + 7$ , dan $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . Wat valt je op aan de uitkomsten?
Leg uit waarom het $n$ -de oneven getal $2n - 1$ is (controle: $n = 1, 2, 3$ geven $1, 3, 5$ ).
Gebruik een product uit deel I om $(n + 1)^2 - n^2$ uit te werken en te herleiden. Wat heeft de uitkomst met vraag 7 te maken?
Vraag 8 zegt: om van een vierkant met zijde $n$ naar een vierkant met zijde $n + 1$ te gaan, voeg je precies het volgende oneven getal eenheidsvakjes toe — een L-vormige rand langs twee zijden, met het hoekvakje erbij. Begin bij $1 = 1^2$ en laat het vierkant laag na laag groeien; leg uit waarom

$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 :$

de som van de eerste $n$ oneven getallen is het $n$ -de kwadraat.
Leid af, zonder ze één voor één op te tellen: de waarde van $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ ; en hoeveel oneven getallen, te beginnen bij $1$ , samen precies $400$ zijn.

Deel III — Vergelijkingen met een kwadraat.

Herken een merkwaardig product in $x^2 + 6x + 9$ , en los de vergelijking $x^2 + 6x + 9 = 0$ op.
Leg met de regel van teken en afstand uit Stelling 54.1 uit waarom een product van twee getallen alleen nul kan zijn als een van de twee factoren nul is. Los daarmee $(x - 2)(x + 5) = 0$ op.
Los $x^2 = 49$ op door alles naar één lid te brengen en $x^2 - 49$ te ontbinden met het derde merkwaardige product. Hoeveel oplossingen heeft deze vergelijking — en waarin verschilt dat van elke vergelijking die in dit hoofdstuk tot nu toe is opgelost?
In Oefening 57.3 heb je nagegaan dat $x = 3$ een oplossing is van $x^2 = 6x - 9$ . Toon aan dat het de enige is: breng alles naar één lid, herken een merkwaardig product en besluit.
Slot: bereken $2026^2 - 2025^2$ uit het hoofd, en leg met een merkwaardig product uit waarom het verschil van twee opeenvolgende kwadraten altijd de som van de twee getallen is — wat weer precies vraag 8 is.

Oplossing

Oplossing van Probleem 57.1.

1. Dubbele distributiviteit (Stelling 57.1) met $c = a$ , $d = b$ :

(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 ,

want $ab$ en $ba$ zijn hetzelfde product.

2. Dezelfde uitwerking, met aandacht voor de tekens:

(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 ,

(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 :

deze keer heffen de kruistermen $-ab$ en $+ba$ elkaar op in plaats van te verdubbelen.

3. Het vierkant met zijde $a + b$ valt uiteen in vier stukken: een vierkant $a \times a$ (de $a^2$ ), een vierkant $b \times b$ (de $b^2$ ), en twee rechthoeken $a \times b$ (samen de $2ab$ ). Het merkwaardige product $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ zegt precies dat de vier oppervlakten het grote vierkant volledig vullen — het is de tekening van de dubbele distributiviteit met beide zijden op dezelfde manier verdeeld.

4. Met de merkwaardige producten:

\begin{align*} 101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 2 \times 100 + 1 = 10\,201, \\ 99^2 &= (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801, \\ 49 \times 51 &= (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,499 . \end{align*}

5. Voor $a = 3$ , $b = 4$ : $(3 + 4)^2 = 49$ , maar $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . De formule van Zoë vergeet de twee rechthoeken $a \times b$ van de tekening — de ontbrekende $2ab = 24$ , en inderdaad is $25 + 24 = 49$ .

6. $1$ ; $1 + 3 = 4$ ; $1 + 3 + 5 = 9$ ; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ ; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$ . De uitkomsten zijn de kwadraten $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$ .

7. De oneven getallen beginnen bij $1$ en gaan met stappen van $2$ omhoog: het $n$ -de bereik je na $n - 1$ stappen van $2$ vanaf $1$ , dus is het $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$ . Controle: $n = 1, 2, 3$ geven $1, 3, 5$ .

8. Volgens het eerste merkwaardige product is

(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 :

het verschil tussen twee opeenvolgende kwadraten is precies het $(n+1)$ -de oneven getal (vraag 7 met $n + 1$ in de plaats van $n$ : $2(n+1) - 1 = 2n + 1$ ).

9. Bouw de vierkanten na elkaar op. Begin met één vakje: $1 = 1^2$ . Om van het vierkant met zijde $1$ naar het vierkant met zijde $2$ te gaan, voeg je $2 \times 1 + 1 = 3$ vakjes toe (vraag 8): $1 + 3 = 2^2$ . Om naar zijde $3$ te gaan, voeg je $2 \times 2 + 1 = 5$ vakjes toe: $1 + 3 + 5 = 3^2$ . Elk nieuw oneven getal is precies de L-vormige laag die het volgende vierkant afmaakt, dus is na het toevoegen van de eerste $n$ oneven getallen het vierkant met zijde $n$ volledig: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$ .

10. De oneven getallen van $1$ tot $99$ zijn de eerste $50$ ervan ( $2n - 1 = 99$ geeft $n = 50$ ), dus is

1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 50^2 = 2\,500 .

En $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ vraagt $n = 20$ : de eerste twintig oneven getallen ( $1$ tot en met $39$ ) zijn samen $400$ .

11. $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$ : het eerste merkwaardige product met $a = x$ , $b = 3$ . De vergelijking luidt dus $(x + 3)^2 = 0$ . Een kwadraat is alleen nul als het getal zelf nul is (Stelling 54.1: een getal verschillend van nul heeft een afstand verschillend van nul, en dus ook zijn kwadraat). Bijgevolg is $x + 3 = 0$ : de enige oplossing is $x = -3$ .

12. Volgens Stelling 54.1 is de afstand van een product het product van de afstanden. Zijn beide factoren verschillend van nul, dan zijn beide afstanden verschillend van nul, en dus ook de afstand van het product: het product kan dan geen $0$ zijn. Een product dat nul is, dwingt dus minstens één factor nul te zijn. Voor $(x - 2)(x + 5) = 0$ : ofwel $x - 2 = 0$ , ofwel $x + 5 = 0$ , wat de twee oplossingen $x = 2$ en $x = -5$ geeft.

13. $x^2 = 49$ wordt $x^2 - 49 = 0$ , en het derde merkwaardige product ontbindt het:

x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7) = 0 .

Volgens vraag 12 is $x = 7$ of $x = -7$ : twee oplossingen. Elke vergelijking die in dit hoofdstuk tot nu toe is opgelost, was van de eerste graad en had precies één oplossing; een kwadraat in de vergelijking kan er twee opleveren.

14. Breng alles naar het linkerlid: $x^2 - 6x + 9 = 0$ , en herken het tweede merkwaardige product: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$ . De vergelijking is dus $(x - 3)^2 = 0$ , wat $x - 3 = 0$ dwingt (net als in vraag 11): $x = 3$ is de enige oplossing — de controle van Oefening 57.3 vond die oplossing, en de ontbinding bewijst dat er geen andere zijn.

15. Volgens het derde merkwaardige product is

2026^2 - 2025^2 = (2026 - 2025)(2026 + 2025) = 1 \times 4051 = 4\,051 .

In het algemeen is $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$ : het verschil van twee opeenvolgende kwadraten is de som van de twee getallen — weer dezelfde $2n + 1$ als in vraag 8, nu verkregen uit het derde merkwaardige product in plaats van uit het eerste.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Vergelijking

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst