Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

70Lichamen en volumes

Ruimtemeetkunde begint met een kleine familie van lichamen — prisma’s, cilinders, piramides, kegels, bollen — en twee vragen: hoeveel houden ze (volume), en wat zie je als je ze snijdt (doorsneden)? Het hoofdstuk sluit af met een feit van groot praktisch belang: een lichaam schalen met $k$ vermenigvuldigt zijn volume met $k^3$ .

70.1 De klassieke lichamen en hun volumes

Stelling 70.1 (Volumeformules)

Schrijf $B$ voor de oppervlakte van het grondvlak en $h$ voor de hoogte (de afstand tussen het grondvlak en het overstaande vlak of de top).

lichaam	volume
prisma, cilinder	$V = B \times h$
[5pt] piramide, kegel	$V = \dfrac13\, B \times h$
[5pt] bol met straal $r$	$V = \dfrac43\,\pi r^3$

Voor een cilinder en een kegel met straal $r$ is de grondvlakoppervlakte $B = \pi r^2$ ; de oppervlakte van de bol is $4\pi r^2$ .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

De lichamen van dit hoofdstuk. Voor elk betrekt het volume een grondvlakoppervlakte en een hoogte — behalve de bol, die alleen haar straal nodig heeft.

Voorbeeld 70.2

Een cilindrisch blik heeft straal $4$ cm en hoogte $10$ cm:

V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3 \approx 0.5 \text{ L}.

Een kegel met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte houdt één derde daarvan: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm $^3$ . Een bol met straal $4$ cm: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm $^3$ .

Voorbeeld 70.3 (Een piramide stap voor stap)

Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijde $6$ m en hoogte $5$ m.

Grondvlakoppervlakte: $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
Volume: $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Let op de eenheden: als de zijde in cm gegeven was en de hoogte in m, zou één van beide eerst omgerekend moeten worden.

70.2 Doorsneden met vlakken

Propositie 70.4 (Doorsneden van de klassieke lichamen)

Een lichaam snijden met een vlak produceert een platte figuur, zijn doorsnede:

een prisma of cilinder evenwijdig aan zijn grondvlak gesneden geeft een kopie van het grondvlak, op elke hoogte;
een piramide of kegel evenwijdig aan zijn grondvlak gesneden geeft een verkleining van het grondvlak: op afstand $d$ van de top is de schaalfactor $k = \frac{d}{h}$ ;
een bol met straal $r$ gesneden door een vlak op afstand $d < r$ van het middelpunt geeft een cirkel met straal $\sqrt{r^2 - d^2}$ (door de stelling van Pythagoras).

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Links: een kegel evenwijdig aan zijn grondvlak snijden op afstand d van de top geeft een schijf geschaald met k = dh. Rechts: een vlak op afstand d van het middelpunt van een bol snijdt hem in een cirkel met straal √r2 - d2. — Links: een kegel evenwijdig aan zijn grondvlak snijden op afstand $d$ van de top geeft een schijf geschaald met $k = \frac dh$ . Rechts: een vlak op afstand $d$ van het middelpunt van een bol snijdt hem in een cirkel met straal $\sqrt{r^2 - d^2}$ .

Voorbeeld 70.5

Een kegel heeft grondstraal $6$ en hoogte $9$ . De doorsnede door een vlak evenwijdig aan het grondvlak, op afstand $3$ van de top, is een schijf geschaald met $k = \frac39 = \frac13$ : zijn straal is $6 \times \frac13 = 2$ .

Een bol met straal $5$ wordt gesneden door een vlak op afstand $3$ van zijn middelpunt: de doorsnede is een cirkel met straal $\sqrt{25 - 9} = 4$ .

70.3 Lichamen schalen

Stelling 70.6 (Effect van schalen op lengten, oppervlakten, volumes)

Wanneer een lichaam vergroot of verkleind wordt met de schaalfactor $k > 0$ :

alle lengten worden met $k$ vermenigvuldigd;
alle oppervlakten worden met $k^2$ vermenigvuldigd;
alle volumes worden met $k^3$ vermenigvuldigd.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 70.7

Een modelauto op schaal $\frac{1}{18}$ : lengten zijn die van de echte auto vermenigvuldigd met $k = \frac{1}{18}$ , beschilderd oppervlak vermenigvuldigd met $k^2 = \frac{1}{324}$ , en volume met $k^3 = \frac{1}{5832}$ .

De straal van een bol verdubbelen ( $k = 2$ ) vermenigvuldigt zijn volume met $2^3 = 8$ : controle op de formule, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$ .

Voorbeeld 70.8 (Afgeknotte kegel)

Een kegel met hoogte $9$ en grondstraal $6$ (volume $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$ ) wordt gesneden op afstand $3$ van de top, en de kleine kegel boven de snede wordt weggenomen. De kleine kegel is de verkleining met $k = \frac13$ , dus zijn volume is $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$ . Het resterende lichaam (een afgeknotte kegel) heeft volume $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$ .

70.4 Oefeningen

Oefening 70.1 ★

Bereken de volumes: een balk (rechthoekig prisma) met afmetingen $4 \times 5 \times 12$ ; een cilinder met straal $3$ en hoogte $7$ (exacte waarde met $\pi$ , daarna afgerond op de eenheid).

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.1.

Balk: $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$ .

Cilinder: $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$ .

Oefening 70.2 ★

Bereken het volume van een kegel met straal $5$ en hoogte $12$ , en van een piramide met rechthoekig grondvlak $8 \times 3$ en hoogte $10$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.2.

Kegel: $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ .

Piramide: grondvlakoppervlakte $B = 8 \times 3 = 24$ , dus $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$ .

Oefening 70.3 ★

Bereken het volume en de oppervlakte van een bol met straal $6$ (exacte waarden met $\pi$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.3.

Volume: $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$ .

Oppervlakte: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$ .

Oefening 70.4 ★

Een bol met straal $10$ wordt gesneden door een vlak op afstand $8$ van zijn middelpunt. Wat is de straal van de doorsnedecirkel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.4.

Straal van de doorsnede: $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ .

Oefening 70.5 ★★

Een kegel heeft grondstraal $8$ en hoogte $12$ . Een vlak evenwijdig aan het grondvlak snijdt hem op afstand $9$ van de top. Bereken de straal van de doorsnede, daarna het volume van de kleine kegel boven de snede.

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.5.

Schaalfactor van de hele kegel naar de kleine: $k = \frac{9}{12} = \frac34$ . Doorsnedestraal: $8 \times \frac34 = 6$ .

Volume van de hele kegel: $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$ . Volume van de kleine kegel: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 = 256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$ .

Oefening 70.6 ★★

Een cilindrisch glas met binnenstraal $3$ cm bevat water tot een hoogte van $10$ cm. Een bal met straal $2$ cm wordt er volledig in ondergedompeld. Met hoeveel stijgt het waterniveau? (Het toegevoegde volume spreidt zich over de grondvlakoppervlakte van het glas; geef de exacte stijging, daarna afgerond op de millimeter.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.6.

Volume van de bal: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm $^3$ . Dit volume spreidt zich over de grondvlakoppervlakte $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm $^2$ , dus het niveau stijgt met

\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}

(ongeveer $12$ mm).

Oefening 70.7 ★★

Een recept vult een bolvormige mal met straal $6$ cm. Je hebt alleen een bolvormige mal met straal $3$ cm. Hoeveel kleine mallen kun je vullen? (Antwoord zonder een van beide volumes expliciet te berekenen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.7.

De kleine mal is de verkleining van de grote met $k = \frac36 = \frac12$ , dus haar volume is $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ van de grote: het recept vult $8$ kleine mallen.

Oefening 70.8 ★★

De Grote Piramide van Gizeh heeft een vierkant grondvlak met zijde ongeveer $230$ m en een hoogte van ongeveer $147$ m. Schat haar volume, en druk het uit in miljoenen kubieke meters.

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.8.

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147 = 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m $^3$ — ongeveer $2.6$ miljoen kubieke meters.

Oefening 70.9 ★★★

Een kegelvormige trechter met straal $6$ cm en hoogte $12$ cm, top naar beneden, wordt met water gevuld tot de helft van zijn hoogte (gemeten vanaf de top).

Welk deel van het volume van de trechter is gevuld?
Als hij in plaats daarvan met de helft van zijn volume water gevuld wordt, toon dat de waterhoogte $d$ voldoet aan $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ , en geef $d$ op de millimeter ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.9.

1. Het water vormt een kegel geschaald met $k = \frac12$ (top naar beneden, half de hoogte), dus zijn volume is $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ van de trechter: één achtste, veel minder dan de helft!

2. Water tot hoogte $d$ vormt een kegel geschaald met $k = \frac{d}{12}$ , van volume $k^3$ maal dat van de trechter. De helft van het volume betekent $k^3 = \frac12$ , d.w.z. $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ . Dan $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ , dus $d \approx 9.5$ cm: de tweede helft van het volume neemt slechts de bovenste $2.5$ cm in — het brede deel van de kegel houdt het meeste water.