Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

59Middens en evenwijdigen

Verbind de middens van twee zijden van een driehoek: het lijnstuk dat je krijgt is altijd evenwijdig aan de derde zijde, en precies half zo lang. Deze “middenparallellenstelling” en haar omgekeerde zijn de eerste proef van een groot idee — evenwijdigen snijden lengten evenredig — dat uitbloeit tot de stelling van Thales in Hoofdstuk 68.

59.1 De middenparallellenstelling

Stelling 59.1 (Middenparallellenstelling)

In een driehoek $ABC$ , laat $I$ het midden van $[AB]$ zijn en $J$ het midden van $[AC]$ . Dan is de rechte $(IJ)$ evenwijdig aan $(BC)$ , en

IJ = \frac{BC}{2} .

Bewijs-idee. Laat $K$ het spiegelbeeld van $I$ ten opzichte van $J$ zijn (een halve slag, Hoofdstuk 52). De vierhoek $AICK$ heeft diagonalen $[IK]$ en $[AC]$ die snijden in hun gemeenschappelijk midden $J$ : het is een parallellogram, dus $KC$ is evenwijdig aan $AI$ , d.w.z. aan $(AB)$ , en $KC = AI = IB$ . Dan heeft $IBCK$ twee overstaande zijden ( $[IB]$ en $[KC]$ ) evenwijdig en gelijk: het is ook een parallellogram (Stelling 52.9), dus $(IK) \parallel (BC)$ — dat is $(IJ) \parallel (BC)$ — en $BC = IK = 2\,IJ$ . ∎

Het middenlijnstuk [IJ] (rood) is evenwijdig aan de derde zijde (BC) en half zo lang. — Het middenlijnstuk $[IJ]$ (rood) is evenwijdig aan de derde zijde $(BC)$ en half zo lang.

Voorbeeld 59.2

In een driehoek $ABC$ met $BC = 9$ cm worden de middens $I$ van $[AB]$ en $J$ van $[AC]$ verbonden. Zonder enige meting: $(IJ) \parallel (BC)$ en $IJ = \frac92 = 4.5$ cm. De kleine driehoek $AIJ$ is een halfschaal-kopie van $ABC$ — zijn omtrek is ook de helft van de omtrek van $ABC$ .

Stelling 59.3 (Omgekeerde)

In een driehoek $ABC$ snijdt de rechte door het midden $I$ van $[AB]$ en evenwijdig aan $(BC)$ de zijde $[AC]$ in haar midden.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 59.4

Een pad doorkruist een driehoekig veld, startend in het midden van één rand en evenwijdig lopend aan de overstaande rand. Het omgekeerde garandeert dat het pad precies in het midden van de andere rand uitkomt — geen meting nodig aan de verre kant.

Methode 59.5 (Kiezen tussen stelling en omgekeerde)

Twee middens bekend $\Rightarrow$ gebruik de directe stelling: concludeer evenwijdigheid en halve lengte.
Eén midden en een evenwijdige bekend $\Rightarrow$ gebruik het omgekeerde: concludeer dat het snijpunt een midden is.
Schrijf welke driehoek, welke middens en welke stelling je gebruikt — één zin elk.

59.2 Halfschaal-driehoeken

Propositie 59.6 (De middendriehoek)

Het verbinden van de drie middens van de zijden van een driehoek snijdt hem in vier driehoeken van gelijke oppervlakten, elk een halfschaal-kopie van het origineel.

Bewijs. Elke zijde van de middendriehoek is evenwijdig aan een zijde van $ABC$ en half zo lang (Stelling 59.1, driemaal toegepast). De vier kleine driehoeken hebben zijden van dezelfde drie lengten, dus ze zijn identieke kopieën; samen betegelen ze $ABC$ , dus elk heeft een kwart van zijn oppervlakte. ∎

De middendriehoek IJK snijdt ABC in vier gelijke driehoeken — een plaatje om te onthouden. — De middendriehoek $IJK$ snijdt $ABC$ in vier gelijke driehoeken — een plaatje om te onthouden.

Opmerking 59.7 (Op weg naar Thales)

De middenparallellenstelling is het geval “één half” van een algemener feit: een lijn evenwijdig aan één zijde van een driehoek snijdt de twee andere zijden in gelijke verhoudingen — één derde en één derde, twee vijfden en twee vijfden … Die algemene uitspraak is de stelling van Thales (Hoofdstuk 68); het middencasus is het enige dat dit jaar nodig is.

59.3 Oefeningen

Oefening 59.1 ★

In een driehoek $RST$ is $M$ het midden van $[RS]$ en $N$ het midden van $[RT]$ , met $ST = 7$ cm. Wat kan gezegd worden over de rechte $(MN)$ en de lengte $MN$ ? Citeer de gebruikte stelling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.1.

$M$ en $N$ zijn de middens van twee zijden van de driehoek $RST$ : door de middenparallellenstelling (Stelling 59.1), $(MN) \parallel (ST)$ en $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm.

Oefening 59.2 ★

In een driehoek $ABC$ is $I$ het midden van $[AB]$ en snijdt de rechte door $I$ evenwijdig aan $(BC)$ de zijde $[AC]$ in $J$ , met $AC = 11$ cm. Bereken $AJ$ , met citeer van de gebruikte stelling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.2.

$I$ is een midden en $(IJ) \parallel (BC)$ : door het omgekeerde (Stelling 59.3) is $J$ het midden van $[AC]$ , dus $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm.

Oefening 59.3 ★

Teken een driehoek $ABC$ met $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm, $BC = 7$ cm, plaats de middens $I$ van $[AB]$ en $J$ van $[AC]$ , en meet $IJ$ om de stelling te controleren. Bereken de omtrek van $AIJ$ zonder iets anders te meten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.3.

De meting geeft $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$ . Omtrek van $AIJ$ : $AI = 4$ , $AJ = 3$ , $IJ = 3.5$ : totaal $10.5$ cm — de helft van de omtrek van $ABC$ ( $8 + 6 + 7 = 21$ cm).

Oefening 59.4 ★

$IJK$ is de middendriehoek van $ABC$ , waarvan de zijden $10$ , $12$ en $16$ cm meten. Geef de drie zijden van $IJK$ en zijn omtrek. Hoe verhouden de twee omtrekken zich?

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.4.

Elke zijde van $IJK$ is de helft van een zijde van $ABC$ : $5$ , $6$ en $8$ cm. Omtrek: $19$ cm, de helft van $10 + 12 + 16 = 38$ cm.

Oefening 59.5 ★

De oppervlakte van een driehoek is $36$ cm $^2$ . Wat is de oppervlakte van zijn middendriehoek? Van elk van de vier kleine driehoeken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.5.

De middendriehoek is één van de vier gelijke driehoeken van Propositie 59.6: oppervlakte $\frac{36}{4} = 9$ cm $^2$ — en elk van de vier kleine driehoeken heeft oppervlakte $9$ cm $^2$ .

Oefening 59.6 ★★

In een driehoek $ABC$ is $I$ het midden van $[AB]$ , $J$ dat van $[AC]$ en $K$ dat van $[BC]$ . Toon dat $IJKB$ een parallellogram is. (Vergelijk $[IJ]$ en $[BK]$ : evenwijdig? gelijk?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.6.

Door de middenparallellenstelling in $ABC$ : $(IJ) \parallel (BC)$ , d.w.z. $(IJ) \parallel (BK)$ , en $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (want $K$ is het midden van $[BC]$ ). Twee overstaande zijden van $IJKB$ zijn evenwijdig en gelijk: het is een parallellogram (Stelling 52.9, criterium 3).

Oefening 59.7 ★★

Een driehoekig zeil heeft zijn laagste rand $6.4$ m lang. Een versterkingsnaad verbindt de middens van de twee andere randen. Welke naadlengte is nodig? Wat als de naad in plaats daarvan de punten verbindt op één kwart van elke rand, vanaf het tophoekpunt? (Vermod met een tekening; het bewijs is Thales’, Hoofdstuk 68.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.7.

De naad verbindt twee middens: $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m. Op één kwart vanaf het tophoekpunt suggereert de tekening een naad van $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m, evenwijdig aan de basis — bevestigd door Thales in Hoofdstuk 68.

Oefening 59.8 ★★

In driehoek $ABC$ , rechthoekig in $A$ , is $M$ het midden van de schuine zijde $[BC]$ , en snijdt de evenwijdige aan $(AB)$ door $M$ de zijde $[AC]$ in $N$ .

Toon dat $N$ het midden van $[AC]$ is.
Leg uit waarom $(MN)$ loodrecht staat op $(AC)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.8.

1. $M$ is het midden van $[BC]$ en $(MN) \parallel (AB)$ : door het omgekeerde van de middenparallellenstelling (in de driehoek $ABC$ , zijde $[AC]$ ) is $N$ het midden van $[AC]$ .

2. $(MN) \parallel (AB)$ en $(AB) \perp (AC)$ (rechte hoek in $A$ ): een lijn evenwijdig aan $(AB)$ staat ook loodrecht op $(AC)$ (Propositie 40.3). Dus $(MN) \perp (AC)$ — het lijnstuk $[MN]$ is het middelloodstuk dat opnieuw toont dat $MA = MC$ (Stelling 60.1).

Oefening 59.9 ★★★

Laat $ABCD$ een willekeurige vierhoek zijn, en $I$ , $J$ , $K$ , $L$ de middens van $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ (het vermoeden van Oefening 52.11).

Pas de middenparallellenstelling toe in de driehoek $ABC$ op het lijnstuk $[IJ]$ , en in de driehoek $ACD$ op het lijnstuk $[LK]$ : vergelijk elk met de diagonaal $[AC]$ .
Concludeer dat $IJKL$ altijd een parallellogram is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.9.

1. In driehoek $ABC$ zijn $I$ en $J$ middens van $[AB]$ en $[BC]$ : $(IJ) \parallel (AC)$ en $IJ = \frac{AC}{2}$ . In driehoek $ACD$ zijn $L$ en $K$ middens van $[DA]$ en $[CD]$ : $(LK) \parallel (AC)$ en $LK = \frac{AC}{2}$ .

2. Dus zijn $[IJ]$ en $[LK]$ evenwijdig (beide evenwijdig aan de diagonaal $(AC)$ ) en gelijk (beide de helft van $AC$ ): $IJKL$ is een parallellogram (Stelling 52.9, criterium 3) — voor elke vierhoek $ABCD$ , zoals vermoed in Oefening 52.11.