Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

40Lijnen, cirkels en hoeken

Meetkunde begint met een liniaal, een geodriehoek en een passer. Dit hoofdstuk legt de woordenschat vast — punten, lijnstukken, halfrechten, rechten, cirkels — introduceert de twee speciale posities van lijnen (evenwijdig en loodrecht), en leert hoeken meten en tekenen.

40.1 Punten, lijnstukken, rechten

Definitie 40.1 (Basisobjecten)

Door twee verschillende punten $A$ en $B$ gaan:

het lijnstuk $[AB]$ : het deel van de rechte tussen $A$ en $B$ (het heeft een lengte, genoteerd $AB$ );
de halfrechte $[AB)$ : start in $A$ , gaat door $B$ en loopt oneindig door;
de rechte $(AB)$ : loopt oneindig door aan beide kanten. Twee punten bepalen precies één rechte.

Punten op dezelfde rechte heten gealigneerd (op één lijn).

Dezelfde twee punten, drie verschillende objecten. De haken zeggen wat stopt en wat doorloopt: [ stopt, ( loopt door. — Dezelfde twee punten, drie verschillende objecten. De haken zeggen wat stopt en wat doorloopt: $[$ stopt, $($ loopt door.

40.2 Evenwijdige en loodrechte lijnen

Definitie 40.2 (Loodrecht, evenwijdig)

Twee rechten zijn loodrecht wanneer ze snijden onder een rechte hoek; we schrijven $d_1 \perp d_2$ en markeren de rechte hoek met een klein vierkantje. Twee rechten zijn evenwijdig wanneer ze elkaar nooit ontmoeten, hoe ver ze ook verlengd worden; we schrijven $d_1 \parallel d_2$ .

Een snijding onder een rechte hoek (gemarkeerd met het vierkantje) en twee evenwijdigen: dezelfde richting, geen snijpunt.

Propositie 40.3 (Twee nuttige feiten)

Als twee rechten beide loodrecht staan op een derde rechte, dan zijn ze evenwijdig aan elkaar.
Als twee rechten evenwijdig zijn, is elke rechte loodrecht op de ene ook loodrecht op de andere.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Methode 40.4 (Tekenen met de geodriehoek)

Om de loodlijn op een rechte $d$ door een punt $P$ te tekenen:

leg één been van de rechte hoek van de geodriehoek langs $d$ ;
schuif de geodriehoek langs $d$ tot het andere been $P$ bereikt;
teken de lijn langs dat been, en markeer de rechte hoek.

Voor een evenwijdige door $P$ : teken een loodlijn op $d$ , daarna de loodlijn op die lijn door $P$ (Propositie 40.3).

40.3 Cirkels

Definitie 40.5 (Cirkel)

De cirkel met middelpunt $O$ en straal $r$ is de verzameling van alle punten op afstand precies $r$ van $O$ . Een lijnstuk van het middelpunt naar de cirkel is een straal; een lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt door het middelpunt is een middellijn — zijn lengte is $2r$ ; een lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt is een koorde.

Een cirkel met een straal [OM], een middellijn [AB] (een koorde door het middelpunt, tweemaal zo lang als de straal) en een koorde [CD]. — Een cirkel met een straal $[OM]$ , een middellijn $[AB]$ (een koorde door het middelpunt, tweemaal zo lang als de straal) en een koorde $[CD]$ .

Voorbeeld 40.6

“Teken de cirkel met middelpunt $O$ door $A$ ”: open de passer van $O$ tot $A$ — de straal is de afstand $OA$ — en draai. Elk punt van deze cirkel ligt op dezelfde afstand van $O$ als $A$ .

40.4 Hoeken

Definitie 40.7 (Hoek)

Twee halfrechten $[AB)$ en $[AC)$ met hetzelfde beginpunt $A$ vormen de hoek $\widehat{BAC}$ ; het punt $A$ is zijn hoekpunt (altijd de middelste letter!). Hoeken worden gemeten in graden ( $^\circ$ ), van $0^\circ$ tot $360^\circ$ voor een volledige omwenteling. Een hoek is:

recht als hij $90^\circ$ meet;
scherp als hij minder dan $90^\circ$ meet;
stomp als hij tussen $90^\circ$ en $180^\circ$ meet;
gestrekt als hij $180^\circ$ meet (de twee halfrechten vormen een rechte).

De vier families van hoeken. De rechte hoek (90) is de referentie: scherp betekent kleiner, stomp betekent groter. — De vier families van hoeken. De rechte hoek ( $90^\circ$ ) is de referentie: scherp betekent kleiner, stomp betekent groter.

Methode 40.8 (Een hoek meten met een gradenboog)

Plaats het middelpunt van de gradenboog precies op het hoekpunt;
lijn de $0^\circ$ -lijn uit met één been van de hoek;
lees de graad af die het andere been snijdt — op de schaal die bij $0$ begint op het uitgelijnde been;
controleer met het oog: een scherpe hoek moet minder dan $90^\circ$ aangeven, een stompe meer.

Voorbeeld 40.9

Schat vóór je meet! Een hoek die iets opener is dan de hoek van een vel papier is iets meer dan $90^\circ$ ; de helft van een rechte hoek is $45^\circ$ ; een derde van een rechte hoek is $30^\circ$ . Als je gradenboog $150^\circ$ aangeeft voor een hoek die scherp lijkt, heb je de verkeerde schaal gelezen: de juiste maat is $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

40.5 Oefeningen

Oefening 40.1 ★

Teken drie punten $A$ , $B$ , $C$ die niet gealigneerd zijn. Teken in verschillende kleuren: het lijnstuk $[AB]$ , de halfrechte $[CA)$ , de rechte $(BC)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.1.

Vrije constructie. Het lijnstuk stopt bij $A$ en $B$ ; de halfrechte start in $C$ en loopt door voorbij $A$ ; de rechte loopt door aan beide kanten van $B$ en $C$ .

Oefening 40.2 ★

Waar of onwaar? “ $[AB]$ en $[BA]$ zijn hetzelfde lijnstuk.” “ $[AB)$ en $[BA)$ zijn dezelfde halfrechte.” “ $(AB)$ en $(BA)$ zijn dezelfde rechte.” Leg elk antwoord uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.2.

“ $[AB] = [BA]$ ”: waar — het deel tussen de twee punten hangt niet van de volgorde af.

“ $[AB) = [BA)$ ”: onwaar — $[AB)$ start in $A$ , $[BA)$ start in $B$ ; ze wijzen in tegengestelde richtingen.

“ $(AB) = (BA)$ ”: waar — beide namen beschrijven dezelfde oneindige rechte.

Oefening 40.3 ★

Teken een rechte $d$ en een punt $P$ niet op $d$ . Construeer met de geodriehoek: de loodlijn op $d$ door $P$ , daarna de evenwijdige aan $d$ door $P$ . Beschrijf je stappen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.3.

Stappen: schuif de geodriehoek langs $d$ tot zijn loodrechte been door $P$ gaat; teken die loodlijn, noem hem $p$ . Teken daarna op dezelfde manier de loodlijn op $p$ door $P$ : door Propositie 40.3 is die evenwijdig aan $d$ .

Oefening 40.4 ★

Rechten $a$ en $b$ staan beide loodrecht op een rechte $c$ , en een vierde rechte $e$ staat loodrecht op $a$ . Wat kun je zeggen over $a$ en $b$ ? Over $e$ en $c$ ? Motiveer met Propositie 40.3.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.4.

$a$ en $b$ staan beide loodrecht op dezelfde rechte $c$ , dus $a \parallel b$ (feit 1). Voor $e$ en $c$ : beide staan loodrecht op dezelfde rechte $a$ (we weten $e \perp a$ , en $a \perp c$ betekent ook $c \perp a$ ), dus feit 1 geldt opnieuw: $e \parallel c$ .

Oefening 40.5 ★

Teken een cirkel met middelpunt $O$ en straal $3$ cm. Plaats een punt $M$ op de cirkel, een punt $N$ erin, een punt $P$ erbuiten. Wat kun je zeggen over de afstanden $OM$ , $ON$ , $OP$ vergeleken met $3$ cm?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.5.

$OM = 3$ cm exact ( $M$ ligt op de cirkel); $ON < 3$ cm ( $N$ erin); $OP > 3$ cm ( $P$ erbuiten).

Oefening 40.6 ★

Een cirkel heeft middellijn $9$ cm. Wat is zijn straal? Een andere heeft straal $2.6$ cm: wat is zijn middellijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.6.

Straal $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. Middellijn $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

Oefening 40.7 ★

Noem de gemarkeerde hoek met drie letters, en classificeer hem (scherp, recht, stomp, gestrekt): een hoek van $72^\circ$ in hoekpunt $R$ tussen halfrechten naar $S$ en $T$ ; een hoek van $148^\circ$ in hoekpunt $B$ tussen halfrechten naar $A$ en $C$ ; een hoek van $90^\circ$ in hoekpunt $O$ tussen halfrechten naar $M$ en $N$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.7.

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : scherp. $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : stomp. $\widehat{MON} = 90^\circ$ : recht. (Het hoekpunt is altijd de middelste letter.)

Oefening 40.8 ★

Schat, en meet daarna met een gradenboog, de drie hoeken van een driehoek die je zelf tekent. Tel de drie maten op: wat vind je? (Bewaar je antwoord voor Hoofdstuk 51.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.8.

De maten hangen af van de getekende driehoek, maar de som van de drie hoeken is altijd (zeer dicht bij) $180^\circ$ — kleine verschillen komen van meetonnauwkeurigheid. Hoofdstuk 51 bewijst dat de som exact $180^\circ$ is.

Oefening 40.9 ★

Teken een hoek $\widehat{xOy}$ van $65^\circ$ met een gradenboog, daarna een hoek van $130^\circ$ . Hoe kun je de tweede uit de eerste halen zonder de gradenboog?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.9.

Vrije constructie. Om $130^\circ$ uit $65^\circ$ te krijgen zonder gradenboog: kopieer de hoek van $65^\circ$ twee keer naast elkaar ( $65 + 65 = 130$ ), bijvoorbeeld met calqueerpapier of met passer en liniaal.

Oefening 40.10 ★★

Twee dorpen $A$ en $B$ staan op een kaart. Waar liggen de punten die op $3$ cm van $A$ en op $2$ cm van $B$ liggen? Teken een figuur die laat zien hoeveel zulke punten er kunnen zijn ( $0$ , $1$ of $2$ afhankelijk van de afstand $AB$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.10.

De punten op $3$ cm van $A$ vormen de cirkel met middelpunt $A$ en straal $3$ cm; die op $2$ cm van $B$ vormen de cirkel met middelpunt $B$ en straal $2$ cm. De gevraagde punten zijn de snijpunten van de twee cirkels: twee punten als de cirkels snijden ( $AB$ strikt tussen $1$ en $5$ cm), één als ze raken ( $AB = 5$ cm of $AB = 1$ cm), geen als ze te ver uit elkaar liggen of de ene in de andere zit.

Oefening 40.11 ★★

Een klok wijst 3 uur: wat is de hoek tussen de twee wijzers? Zelfde vraag om 5 uur, en om 6 uur. (Een volledige omwenteling is $360^\circ$ voor $12$ uren.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.11.

De $12$ uurmerken verdelen de volle omwenteling in $12$ hoeken van $360 \div 12 = 30^\circ$ . Om 3 uur overspannen de wijzers $3$ merken: $90^\circ$ (een rechte hoek). Om 5 uur: $5 \times 30 = 150^\circ$ . Om 6 uur: $180^\circ$ (een gestrekte hoek).

Oefening 40.12 ★★★

Teken een lijnstuk $[AB]$ van $6$ cm. Construeer het punt $C$ zo dat $AC = BC = 6$ cm, met alleen de passer, en meet de hoek $\widehat{CAB}$ . Welke driehoek heb je gebouwd, en wat vermoed je over zijn hoeken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.12.

Teken twee bogen met straal $6$ cm en middelpunten $A$ en $B$ ; hun snijpunt is $C$ . Alle drie de zijden meten $6$ cm: de driehoek is gelijkzijdig, en elke hoek meet $60^\circ$ (de maat bevestigt het). Vermoeden: een gelijkzijdige driehoek heeft drie gelijke hoeken van $60^\circ$ .