Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

40Lijnen, cirkels en hoeken

Meetkunde begint met een lat, een geodriehoek en een passer. Dit hoofdstuk legt de woorden vast — punten, lijnstukken, halfrechten, lijnen, cirkels — introduceert de twee bijzondere standen van lijnen (parallel en loodrecht), en leert je hoeken meten en tekenen.

40.1 Punten, lijnstukken, lijnen

Definitie 40.1 (De basisobjecten)

Door twee verschillende punten $A$ en $B$ gaan:

het lijnstuk $[AB]$ : het deel van de lijn tussen $A$ en $B$ (het heeft een lengte, geschreven $AB$ );
de halfrechte $[AB)$ : begint in $A$ , gaat door $B$ en loopt eindeloos verder;
de lijn $(AB)$ : loopt aan beide kanten eindeloos door. Twee punten bepalen precies één lijn.

Punten op dezelfde lijn heten collineair.

Dezelfde twee punten, drie verschillende objecten. De haakjes zeggen wat stopt en wat doorloopt: [ stopt, ( loopt door. — Dezelfde twee punten, drie verschillende objecten. De haakjes zeggen wat stopt en wat doorloopt: $[$ stopt, $($ loopt door.

40.2 Parallelle en loodrechte lijnen

Definitie 40.2 (Loodrecht, parallel)

Twee lijnen staan loodrecht op elkaar als ze elkaar onder een rechte hoek snijden; we schrijven $d_1 \perp d_2$ en zetten een vierkantje bij de rechte hoek. Twee lijnen zijn parallel als ze elkaar nooit ontmoeten, hoe ver je ze ook doortrekt; we schrijven $d_1 \parallel d_2$ .

Een snijpunt onder een rechte hoek (met het vierkantje erbij) en twee parallellen: dezelfde richting, geen snijpunt.

Propositie 40.3 (Twee nuttige feiten)

Staan twee lijnen beide loodrecht op een derde lijn, dan zijn ze parallel aan elkaar.
Zijn twee lijnen parallel, dan staat elke lijn die loodrecht op de ene staat, ook loodrecht op de andere.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Methode 40.4 (Tekenen met de geodriehoek)

Om de loodlijn op een lijn $d$ door een punt $P$ te tekenen:

leg één rand van de rechte hoek van de geodriehoek langs $d$ ;
schuif de geodriehoek langs $d$ tot de andere rand bij $P$ komt;
teken de lijn langs die rand, en zet het teken van de rechte hoek erbij.

Voor een parallel door $P$ : teken een loodlijn op $d$ , en daarna de loodlijn op die lijn door $P$ (Propositie 40.3).

40.3 Cirkels

Definitie 40.5 (Cirkel)

De cirkel met middelpunt $O$ en radius $r$ bestaat uit alle punten die precies op afstand $r$ van $O$ liggen. Een lijnstuk van het middelpunt naar de cirkel is een radius; een lijnstuk dat twee punten van de cirkel door het middelpunt verbindt, is een diameter — zijn lengte is $2r$ ; een lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt, is een koorde.

Een cirkel met een radius [OM], een diameter [AB] (een koorde door het middelpunt, twee keer zo lang als de radius) en een koorde [CD]. — Een cirkel met een radius $[OM]$ , een diameter $[AB]$ (een koorde door het middelpunt, twee keer zo lang als de radius) en een koorde $[CD]$ .

Voorbeeld 40.6

“Teken de cirkel met middelpunt $O$ door $A$ ”: zet de passer open van $O$ tot $A$ — de radius is de afstand $OA$ — en draai rond. Elk punt van deze cirkel ligt op dezelfde afstand van $O$ als $A$ .

40.4 Hoeken

Definitie 40.7 (Hoek)

Twee halfrechten $[AB)$ en $[AC)$ met hetzelfde beginpunt $A$ vormen de hoek $\widehat{BAC}$ ; het punt $A$ is zijn hoekpunt (altijd de middelste letter!). Hoeken meet je in graden ( $^\circ$ ), van $0^\circ$ tot $360^\circ$ voor een volle draai. Een hoek is:

recht als hij $90^\circ$ meet;
scherp als hij minder dan $90^\circ$ meet;
stomp als hij tussen $90^\circ$ en $180^\circ$ meet;
gestrekt als hij $180^\circ$ meet (de twee halfrechten vormen dan een lijn).

De vier families hoeken. De rechte hoek (90) is het ijkpunt: scherp betekent kleiner, stomp betekent groter. — De vier families hoeken. De rechte hoek ( $90^\circ$ ) is het ijkpunt: scherp betekent kleiner, stomp betekent groter.

Methode 40.8 (Een hoek meten met een gradenboog)

Leg het midden van de gradenboog precies op het hoekpunt van de hoek;
leg zijn $0^\circ$ -lijn langs één zijde van de hoek;
lees de streepjes af waar de andere zijde langs gaat — op de schaal die bij $0$ begint aan de kant die je hebt uitgelijnd;
controleer met je ogen: een scherpe hoek moet minder dan $90^\circ$ geven, een stompe meer.

Voorbeeld 40.9

Schat voordat je meet! Een hoek die iets wijder openstaat dan de hoek van een blad papier, is iets meer dan $90^\circ$ ; de helft van een rechte hoek is $45^\circ$ ; een derde van een rechte hoek is $30^\circ$ . Zegt je gradenboog $150^\circ$ bij een hoek die scherp lijkt, dan heb je de verkeerde schaal gelezen: de juiste maat is $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

40.5 Oefeningen

Oefening 40.1 ★

Zet drie punten $A$ , $B$ en $C$ die niet op één lijn liggen. Teken in verschillende kleuren: het lijnstuk $[AB]$ , de halfrechte $[CA)$ en de lijn $(BC)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.1.

Vrije constructie. Het lijnstuk stopt in $A$ en $B$ ; de halfrechte begint in $C$ en loopt voorbij $A$ door; de lijn loopt aan beide kanten van $B$ en $C$ door.

Oefening 40.2 ★

Waar of niet waar? “ $[AB]$ en $[BA]$ zijn hetzelfde lijnstuk.” “ $[AB)$ en $[BA)$ zijn dezelfde halfrechte.” “ $(AB)$ en $(BA)$ zijn dezelfde lijn.” Leg elk antwoord uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.2.

“ $[AB] = [BA]$ ”: waar — het deel tussen de twee punten hangt niet van de volgorde af.

“ $[AB) = [BA)$ ”: niet waar — $[AB)$ begint in $A$ en $[BA)$ begint in $B$ ; ze wijzen in tegengestelde richtingen.

“ $(AB) = (BA)$ ”: waar — beide namen beschrijven dezelfde onbegrensde lijn.

Oefening 40.3 ★

Teken een lijn $d$ en een punt $P$ dat niet op $d$ ligt. Construeer met de geodriehoek: de loodlijn op $d$ door $P$ , en daarna de parallel aan $d$ door $P$ . Beschrijf je stappen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.3.

Stappen: schuif de geodriehoek langs $d$ tot haar loodrechte rand door $P$ gaat; teken die loodlijn en noem hem $p$ . Teken daarna op dezelfde manier de loodlijn op $p$ door $P$ : volgens Propositie 40.3 is die parallel aan $d$ .

Oefening 40.4 ★

De lijnen $a$ en $b$ staan beide loodrecht op een lijn $c$ , en een vierde lijn $e$ staat loodrecht op $a$ . Wat kun je zeggen over $a$ en $b$ ? En over $e$ en $c$ ? Verantwoord het met Propositie 40.3.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.4.

$a$ en $b$ staan beide loodrecht op dezelfde lijn $c$ , dus $a \parallel b$ (feit 1). Voor $e$ en $c$ : beide staan loodrecht op dezelfde lijn $a$ (er is gegeven dat $e \perp a$ , en uit $a \perp c$ volgt ook $c \perp a$ ), dus geldt feit 1 opnieuw: $e \parallel c$ .

Oefening 40.5 ★

Teken een cirkel met middelpunt $O$ en radius $3$ cm. Zet een punt $M$ op de cirkel, een punt $N$ erbinnen en een punt $P$ erbuiten. Wat kun je zeggen over de afstanden $OM$ , $ON$ en $OP$ vergeleken met $3$ cm?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.5.

$OM = 3$ cm precies ( $M$ ligt op de cirkel); $ON < 3$ cm ( $N$ ligt erbinnen); $OP > 3$ cm ( $P$ ligt erbuiten).

Oefening 40.6 ★

Een cirkel heeft diameter $9$ cm. Wat is zijn radius? Een andere cirkel heeft radius $2.6$ cm: wat is zijn diameter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.6.

Radius $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. Diameter $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

Oefening 40.7 ★

Noem de gemarkeerde hoek met drie letters en zeg daarna van welk soort hij is (scherp, recht, stomp, gestrekt): een hoek van $72^\circ$ met hoekpunt $R$ tussen de halfrechten naar $S$ en $T$ ; een hoek van $148^\circ$ met hoekpunt $B$ tussen de halfrechten naar $A$ en $C$ ; een hoek van $90^\circ$ met hoekpunt $O$ tussen de halfrechten naar $M$ en $N$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.7.

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : scherp. $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : stomp. $\widehat{MON} = 90^\circ$ : recht. (Het hoekpunt is altijd de middelste letter.)

Oefening 40.8 ★

Schat en meet daarna met een gradenboog de drie hoeken van een driehoek die je zelf tekent. Tel de drie maten op: wat vind je? (Houd je antwoord bij voor Hoofdstuk 51.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.8.

De maten hangen af van de getekende driehoek, maar de som van de drie hoeken is altijd (heel dicht bij) $180^\circ$ — kleine verschillen komen van meetonnauwkeurigheid. Hoofdstuk 51 bewijst dat de som precies $180^\circ$ is.

Oefening 40.9 ★

Teken met een gradenboog een hoek $\widehat{xOy}$ van $65^\circ$ , en daarna een hoek van $130^\circ$ . Hoe zou je de tweede uit de eerste kunnen krijgen zonder gradenboog?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.9.

Vrije constructie. Om $130^\circ$ uit $65^\circ$ te krijgen zonder gradenboog: zet de hoek van $65^\circ$ twee keer naast elkaar over ( $65 + 65 = 130$ ), bijvoorbeeld met overtrekpapier of door de hoek met passer en lat te kopiëren.

Oefening 40.10 ★★

Twee dorpen $A$ en $B$ staan op een kaart. Waar liggen de punten die op $3$ cm van $A$ en op $2$ cm van $B$ liggen? Maak een tekening die laat zien hoeveel zulke punten er kunnen zijn ( $0$ , $1$ of $2$ , afhankelijk van de afstand $AB$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.10.

De punten op $3$ cm van $A$ vormen de cirkel met middelpunt $A$ en radius $3$ cm; die op $2$ cm van $B$ vormen de cirkel met middelpunt $B$ en radius $2$ cm. De gevraagde punten zijn de snijpunten van de twee cirkels: twee punten als de cirkels elkaar snijden ( $AB$ strikt tussen $1$ en $5$ cm), één als ze elkaar raken ( $AB = 5$ cm of $AB = 1$ cm), en geen als ze te ver van elkaar liggen of de ene binnen de andere ligt.

Oefening 40.11 ★★

Een klok wijst 3 uur aan: wat is de hoek tussen de twee wijzers? Dezelfde vraag om 5 uur, en om 6 uur. (Een volle draai is $360^\circ$ voor $12$ uur.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.11.

De $12$ uurstreepjes verdelen de volle draai in $12$ hoeken van $360 \div 12 = 30^\circ$ . Om 3 uur overspannen de wijzers $3$ streepjes: $90^\circ$ (een rechte hoek). Om 5 uur: $5 \times 30 = 150^\circ$ . Om 6 uur: $180^\circ$ (een gestrekte hoek).

Oefening 40.12 ★★★

Teken een lijnstuk $[AB]$ van $6$ cm. Construeer met alleen de passer het punt $C$ waarvoor $AC = BC = 6$ cm, en meet de hoek $\widehat{CAB}$ . Welke driehoek heb je gebouwd, en wat vermoed je over zijn hoeken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.12.

Teken twee bogen met radius $6$ cm met $A$ en $B$ als middelpunt; hun snijpunt is $C$ . Alle drie de zijden meten $6$ cm: de driehoek is gelijkzijdig, en elke hoek meet $60^\circ$ (de meting bevestigt het). Vermoeden: een gelijkzijdige driehoek heeft drie gelijke hoeken van $60^\circ$ .

40.6 Opgave: de meetkunde van de klok

Probleem 40.1

Weekendopgave — hoeken als breuken van een draai: ze op een klok lezen, de momenten jagen waarop de wijzers samenvallen, en een dag in een cirkeldiagram verdelen

Een klok is een gradenboog die de tijd vertelt: haar wijzerplaat is een volle draai van $360^\circ$ , door de twaalf uurstreepjes in twaalf gelijke hoeken verdeeld. In Oefening 40.11 maten we de wijzers om 3 uur en om 6 uur; in deze opgave bouw je de volledige theorie — ook voor de tijden waarop geen van de wijzers naar een streepje wijst — geef je antwoord op een vraag die weinig volwassenen goed krijgen (“hoe vaak liggen de twee wijzers precies op elkaar?”), en verdeel je tot slot een hele dag in een cirkeldiagram.

Deel I — Breuken van een draai.

Een volle draai meet $360^\circ$ . Hoeveel graden zijn een halve draai, een kwart draai en een twaalfde van een draai?
De twaalf uurstreepjes verdelen de wijzerplaat in twaalf gelijke hoeken bij het middelpunt. Hoeveel graden zitten er tussen twee buurstreepjes? Vind het antwoord van Oefening 40.11 voor 3 uur terug door streepjes te tellen.
Geef de hoek tussen de wijzers om 1 uur, om 4 uur en om 7 uur. (Om 7 uur verdelen de wijzers de wijzerplaat in twee hoeken; “de hoek tussen de wijzers” betekent altijd de kleinste.)
De minutenwijzer maakt een volle draai in $60$ minuten. Hoeveel graden legt hij per minuut af?
De uurwijzer gaat van het ene streepje naar het volgende — $30^\circ$ — in $60$ minuten. Hoeveel graden legt hij per minuut af? (Een decimaal getal, Hoofdstuk 38.)

Deel II — Tijden waarop niets naar een streepje wijst.

Om 3:30 wijst de minutenwijzer naar de $6$ . Waar staat de uurwijzer precies? Reken de hoek van elke wijzer vanaf de $12$ uit (met de klok mee gemeten) en leid daaruit de hoek tussen de wijzers af.
Om 6:30 denken veel mensen dat de wijzers op elkaar liggen. Gok eerst, en reken de hoek daarna uit zoals in vraag 6. Wie had gelijk?
Reken de hoek tussen de wijzers om 9:15 uit.
Leg uit waarom de twee wijzers ergens tussen 1:00 en 1:10 precies op elkaar moeten liggen: waar staat de minutenwijzer om 1:00 ten opzichte van de uurwijzer, en waar om 1:10? Welke wijzer loopt sneller, en waarom beslist dat de zaak?
Hoe vaak liggen de twee wijzers in twaalf uur precies op elkaar? (In elk stuk tussen twee opeenvolgende uren gebeurt één ontmoeting — met één uitzondering: wat gebeurt er tussen 11 en 12? Noem de ontmoetingstijden ongeveer en tel ze.) En hoe vaak op een hele dag?

Deel III — Hoeken om een punt: cirkeldiagrammen.

De twaalf sectoren van de wijzerplaat vullen samen de hele plaat: hun hoeken zijn samen $360^\circ$ . Leg uit waarom dat geldt voor elke verzameling hoeken die één hoekpunt delen en samen een volle draai vullen, zonder overlap en zonder gat.
Zoë houdt haar dag van $24$ uur bij: slapen $9$ u, school $6$ u, spelen $3$ u, eten $2$ u, al het overige $4$ u. Ze wil een cirkeldiagram: een schijf waarin elke bezigheid een sector krijgt, met hoeken die evenredig zijn met de tijden. Welke breuk van de dag is elke bezigheid, en hoeveel graden krijgt haar sector? Controleer dat de vijf hoeken samen $360^\circ$ zijn.
Beschrijf stap voor stap hoe je het cirkeldiagram van Zoë tekent met passer en gradenboog (Methode 40.8): waar de eerste radius komt, en hoe elke nieuwe sector begint waar de vorige eindigt.
In een ander cirkeldiagram van een dag meet één sector precies $90^\circ$ . Welke breuk van de schijf is dat, en hoeveel uur stelt het voor?
De finale, terug bij de klok: hoeveel volle draaien maakt de uurwijzer in $24$ uur? En de minutenwijzer? En de secondewijzer? (Een van deze antwoorden ligt boven de duizend.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 40.1.

1. Een halve draai: $360 \div 2 = 180^\circ$ . Een kwart: $360 \div 4 = 90^\circ$ . Een twaalfde: $360 \div 12 = 30^\circ$ .

2. Twaalf gelijke hoeken die samen $360^\circ$ vullen: $30^\circ$ tussen buurstreepjes. Om 3 uur overspannen de wijzers $3$ streepjes: $3 \times 30 = 90^\circ$ — een rechte hoek, zoals in Oefening 40.11 gevonden.

3. Om 1 uur: $1 \times 30 = 30^\circ$ . Om 4 uur: $4 \times 30 = 120^\circ$ . Om 7 uur overspannen de wijzers aan de ene kant $7$ streepjes, $7 \times 30 = 210^\circ$ , dus is de hoek tussen de wijzers de andere kant: $360 - 210 = 150^\circ$ .

4. $360^\circ$ in $60$ minuten: $360 \div 60 = 6^\circ$ per minuut.

5. $30^\circ$ in $60$ minuten: $30 \div 60 = 0.5^\circ$ per minuut — een halve graad. De uurwijzer kruipt, de minutenwijzer stapt.

6. In de $30$ minuten sinds 3:00 heeft de uurwijzer $30 \times 0.5 = 15^\circ$ voorbij de $3$ afgelegd: hij staat precies halverwege tussen de $3$ en de $4$ , op $90 + 15 = 105^\circ$ van de $12$ . De minutenwijzer wijst naar de $6$ : $180^\circ$ . Hoek tussen de wijzers: $180 - 105 = 75^\circ$ .

7. Rekenen verslaat de gok: de minutenwijzer staat op $180^\circ$ , maar de uurwijzer is de $6$ al voorbij — hij staat op $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$ . De hoek tussen de wijzers is $195 - 180 = 15^\circ$ : dichtbij, maar niet op elkaar.

8. Minutenwijzer op de $3$ : $90^\circ$ . Uurwijzer: $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$ . Verschil: $277.5 - 90 = 187.5^\circ$ , dus is de hoek tussen de wijzers $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ — bijna een gestrekte hoek.

9. Om 1:00 staat de minutenwijzer ( $0^\circ$ ) achter de uurwijzer ( $30^\circ$ ). Om 1:10 staat de minutenwijzer ( $60^\circ$ ) er voor ( $30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$ ). De minutenwijzer loopt sneller ( $6^\circ$ per minuut tegen $0.5^\circ$ ), dus haalt hij de uurwijzer tussen 1:00 en 1:10 in en gaat hij hem voorbij — op het moment van voorbijgaan liggen de twee wijzers precies op elkaar.

10. Datzelfde inhalen gebeurt keer op keer: de wijzers vallen samen om precies 12:00, en daarna om ongeveer 1:05, 2:11, 3:16, 4:22, 5:27, 6:33, 7:38, 8:44, 9:49 en 10:55. De ontmoeting die je tussen 11 en 12 zou verwachten, valt precies op 12:00, en dat is al het begin van de volgende ronde — in twaalf uur vallen de wijzers dus $11$ keer samen en niet $12$ . Op een hele dag: $22$ keer.

11. Hoeken die een hoekpunt delen, zonder overlap en zonder gat, betegelen de volle draai om dat hoekpunt: één keer rond het punt draaien gaat door elke hoek precies één keer, en een volle draai is $360^\circ$ . De maten zijn dus samen $360^\circ$ — ongeacht het aantal hoeken en hun grootte.

12. Elk uur van de dag is $360 \div 24 = 15^\circ$ waard. Dus:

\text{slapen } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad \text{school } 90^\circ, \quad \text{spelen } 45^\circ, \quad \text{eten } 30^\circ, \quad \text{overige } 60^\circ,

en $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$ : de schijf is vol, zonder gat en zonder overlap (vraag 11).

13. Teken met de passer een cirkel en één radius (de startlijn). Leg het midden van de gradenboog op het middelpunt van de cirkel, zijn $0^\circ$ -lijn op die radius, en markeer $135^\circ$ ; teken de nieuwe radius: de sector voor het slapen is klaar. Leg daarna de $0^\circ$ -lijn op die radius en markeer $90^\circ$ voor school, en zo verder — elke sector begint waar de vorige eindigt. Na de laatste sector sluit de tekening precies op de startradius.

14. $90^\circ$ is $\frac{90}{360} = \frac14$ van de schijf (Methode 39.7), en stelt dus een kwart van de dag voor: $24 \div 4 = 6$ uur.

15. De uurwijzer maakt één draai in $12$ uur: $2$ draaien per dag. De minutenwijzer één draai per uur: $24$ draaien. De secondewijzer één draai per minuut: $24 \times 60 = 1\,440$ draaien per dag.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst