Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

28Maten en omtrek

In jaar 3 maten we met linialen, weegschalen en klokken (Hoofdstuk 19); dit hoofdstuk voegt de eenhedentabel toe — de machine die alles omzet — en twee manieren om een platte vorm te meten: de lengte van zijn rand (omtrek) en de ruimte erin (oppervlakte, voorlopig geteld in vierkantjes).

28.1 De eenhedentabel

Methode 28.1 (Omzetten met de tabel)

Voor lengtes is elke kolom tien van de volgende waard:

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
			$3$	$4$	$0$

Schrijf het getal met één cijfer per kolom, het eenhedencijfer van de maat in de kolom van zijn eenheid (hier $3.4$ m: de $3$ onder m);
lees het getal in de nieuwe eenheid: $3.4$ m $= 340$ cm (vul lege kolommen met nullen);
massa’s (kg … g) en inhouden (L … cL) werken op dezelfde manier.

Voorbeeld 28.2

$5$ km $= 5\,000$ m; $270$ cm $= 2.7$ m (de $2$ landt onder m); $3$ kg $250$ g $= 3\,250$ g; $2.5$ L $= 250$ cL.

28.2 Omtrek

Definitie 28.3 (Omtrek)

De omtrek van een veelhoek is de totale lengte van zijn rand: tel de lengtes van al zijn zijden op (in dezelfde eenheid!). Snelwegen voor de klassiekers:

\text{rechthoek: } P = 2 \times (L + b), \qquad \text{vierkant: } P = 4 \times z .

Voorbeeld 28.4

Een rechthoekige tuin $12$ m bij $7$ m:

P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38 \text{ m}

hek. Een vierkant fotolijstje van zijde $18$ cm: $P = 4 \times 18 = 72$ cm.

28.3 Oppervlakte: vierkantjes tellen

Definitie 28.5 (Oppervlakte door te tellen)

De oppervlakte van een figuur getekend op een raster is het aantal rastervierkantjes dat hij bedekt. Twee half-vierkantjes tellen als één. Oppervlakte beantwoordt “hoeveel vlak”, omtrek beantwoordt “hoe lang is de rand” — twee verschillende vragen!

Twee figuren op het raster: oppervlaktes 8 en 6 vierkantjes. Loop nu de randen en tel de eenheden: 12 voor beide! Zelfde omtrek, verschillende oppervlaktes. — Twee figuren op het raster: oppervlaktes $8$ en $6$ vierkantjes. Loop nu de randen en tel de eenheden: $12$ voor beide! Zelfde omtrek, verschillende oppervlaktes.

Voorbeeld 28.6 (Half-vierkantjes)

Een rechthoekige driehoek op het raster met benen $4$ en $2$ bedekt $3$ volle vierkantjes en $2$ half-vierkantjes … tel zorgvuldig: zijn oppervlakte is de helft van de $4 \times 2$ -rechthoek, d.w.z. $4$ vierkantjes. Een rechthoek langs de diagonaal snijden geeft altijd twee driehoeken van gelijke oppervlakte.

Voorbeeld 28.7 (Zelfde oppervlakte, verschillende omtrekken)

Een $4 \times 4$ -vierkant en een $8 \times 2$ -rechthoek bedekken beide $16$ vierkantjes — dezelfde oppervlakte. Randen: $16$ eenheden voor het vierkant, $20$ voor de rechthoek. Geen van beide maten bepaalt de andere: een lange dunne vorm heeft veel rand voor weinig vlak.

28.4 Duur

Methode 28.8 (Tijden optellen over het uur)

Om duren op te tellen of af te trekken, werk in sprongen door de hele uren (onthou $1$ u $= 60$ min):

9\text{ u }40 + 35 \text{ min}: \quad 9\text{ u }40 \xrightarrow{+20} 10\text{ u }00 \xrightarrow{+15} 10\text{ u }15 .

Tel nooit minuten voorbij $60$ zonder om te zetten: $40 + 35 = 75$ min $= 1$ u $15$ min.

Voorbeeld 28.9

De trein vertrekt om $8{:}47$ en komt aan om $11{:}05$ . Duur: $8{:}47 \to 9{:}00$ is $13$ min; $9{:}00 \to 11{:}00$ is $2$ u; $11{:}00 \to 11{:}05$ is $5$ min. Totaal: $2$ u $18$ min.

28.5 Oefeningen

Oefening 28.1 ★

Zet om met de eenhedentabel: $7$ m in cm; $3.2$ km in m; $85$ mm in cm; $4\,500$ m in km.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.1.

$7$ m $= 700$ cm; $3.2$ km $= 3\,200$ m; $85$ mm $= 8.5$ cm; $4\,500$ m $= 4.5$ km.

Oefening 28.2 ★

Zet om: $2$ kg in g; $1\,800$ g in kg en g; $3.5$ L in cL; $25$ cL in L.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.2.

$2$ kg $= 2\,000$ g; $1\,800$ g $= 1$ kg $800$ g; $3.5$ L $= 350$ cL; $25$ cL $= 0.25$ L.

Oefening 28.3 ★

Bereken de omtrek: een rechthoek $9$ cm $\times$ $5$ cm; een vierkant van zijde $7.5$ cm; een driehoek met zijden $6$ cm, $8$ cm en $10$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.3.

Rechthoek: $2 \times (9 + 5) = 28$ cm. Vierkant: $4 \times 7.5 = 30$ cm. Driehoek: $6 + 8 + 10 = 24$ cm.

Oefening 28.4 ★

Een rechthoek heeft omtrek $26$ cm en lengte $8$ cm. Vind de breedte (vind eerst lengte $+$ breedte).

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.4.

Lengte $+$ breedte $= 26 \div 2 = 13$ cm, dus de breedte is $13 - 8 = 5$ cm.

Oefening 28.5 ★

Teken op ruitjespapier een L-vormige figuur die precies $10$ vierkantjes bedekt, en tel de eenheden van zijn omtrek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.5.

Veel L-vormen werken; voor een L van $10$ vierkantjes gemaakt van een $4 \times 2$ -rechthoek plus een $2 \times 1$ -voet, geeft de rand lopen $16$ eenheden. (Elke correcte figuur en zorgvuldige telling is goed; de omtrek hangt af van de gekozen L.)

Oefening 28.6 ★

Teken twee verschillende rechthoeken van oppervlakte $12$ vierkantjes. Bereken de omtrek van elk. Welke is “ronder”, welke is “dunner”?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.6.

$3 \times 4$ : omtrek $14$ . $2 \times 6$ : omtrek $16$ . ( $1 \times 12$ : omtrek $26$ .) Hoe dichter bij een vierkant, hoe kleiner de omtrek voor dezelfde oppervlakte.

Oefening 28.7 ★

Een rechthoekige driehoek is op het raster getekend met benen $6$ en $3$ . Wat is zijn oppervlakte in vierkantjes? (Gebruik Voorbeeld 28.6.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.7.

Helft van de $6 \times 3$ -rechthoek: $18 \div 2 = 9$ vierkantjes.

Oefening 28.8 ★

Bereken de duren: van $10{:}20$ tot $12{:}45$ ; van $7{:}35$ tot $9{:}10$ . Een film duurt $1$ u $50$ en begint om $20{:}30$ : hoe laat eindigt hij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.8.

$10{:}20 \to 12{:}45$ : $2$ u $25$ min. $7{:}35 \to 9{:}10$ : $1$ u $35$ min. Film: $20{:}30 + 1$ u $50 = 22{:}20$ .

Oefening 28.9 ★

Kim loopt $3$ rondjes van een rechthoekig veld $60$ m bij $45$ m. Hoeveel meter loopt ze?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.9.

Eén rondje: $2 \times (60 + 45) = 210$ m. Drie rondjes: $3 \times 210 = 630$ m.

Oefening 28.10 ★★

Een boer wil een vierkant veld van zijde $85$ m omheinen, en een poort van $4$ m zonder hek laten. Hoeveel meter hek moet hij kopen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.10.

Omtrek: $4 \times 85 = 340$ m; min de poort: $340 - 4 = 336$ m hek.

Oefening 28.11 ★★

Waar of niet waar, met rastervoorbeelden: “als twee figuren dezelfde omtrek hebben, hebben ze dezelfde oppervlakte”; “als twee figuren dezelfde oppervlakte hebben, hebben ze dezelfde omtrek”. (Voorbeeld 28.7 en de figuur van dit hoofdstuk helpen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.11.

Beide beweringen zijn niet waar. Zelfde omtrek, verschillende oppervlaktes: de $4 \times 2$ -rechthoek en de L-vorm van de figuur van dit hoofdstuk (beide omtrek $12$ ; oppervlaktes $8$ en $6$ ). Zelfde oppervlakte, verschillende omtrekken: het $4 \times 4$ - vierkant en de $8 \times 2$ -rechthoek (beide oppervlakte $16$ ; omtrekken $16$ en $20$ ).