Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

28Maten en omtrek

In jaar 3 maten we met latten, weegschalen en klokken (Hoofdstuk 19); in dit hoofdstuk komt de maattabel erbij — de machine die alles omzet — en twee manieren om een vlakke figuur te meten: de lengte van haar rand (de omtrek) en de ruimte erbinnen (de oppervlakte, voorlopig geteld in vakjes).

28.1 De maattabel

Methode 28.1 (Omzetten met de tabel)

Bij lengtes is elke kolom tien keer de volgende waard:

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
			$3$	$4$	$0$

Schrijf het getal met één cijfer per kolom, en zet het cijfer van de eenheden van de maat in de kolom van zijn eenheid (hier $3.4$ m: de $3$ onder m);
lees het getal in de nieuwe eenheid: $3.4$ m $= 340$ cm (vul lege kolommen met nullen);
massa’s (kg … g) en inhouden (L … cL) werken op dezelfde manier.

Voorbeeld 28.2

$5$ km $= 5\,000$ m; $270$ cm $= 2.7$ m (de $2$ komt onder m); $3$ kg $250$ g $= 3\,250$ g; $2.5$ L $= 250$ cL.

28.2 Omtrek

Definitie 28.3 (Omtrek)

De omtrek van een veelhoek is de totale lengte van zijn rand: tel de lengtes van alle zijden op (in dezelfde eenheid!). Voor de bekende figuren zijn er kortere formules:

\text{rechthoek: } P = 2 \times (l + b), \qquad \text{vierkant: } P = 4 \times z .

Voorbeeld 28.4

Een rechthoekige tuin van $12$ m bij $7$ m:

P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38 \text{ m}

hek. Een vierkante fotolijst met zijde $18$ cm: $P = 4 \times 18 = 72$ cm.

28.3 Oppervlakte: vakjes tellen

Definitie 28.5 (Oppervlakte door te tellen)

De oppervlakte van een figuur op een raster is het aantal rastervakjes dat ze bedekt. Twee halve vakjes tellen als één. De oppervlakte antwoordt op “hoeveel oppervlak”, de omtrek op “hoe lang is de rand” — twee verschillende vragen!

Twee figuren op het raster: oppervlaktes 8 en 6 vakjes. Loop nu de randen af en tel de eenheden: 12 voor beide! Dezelfde omtrek, verschillende oppervlaktes. — Twee figuren op het raster: oppervlaktes $8$ en $6$ vakjes. Loop nu de randen af en tel de eenheden: $12$ voor beide! Dezelfde omtrek, verschillende oppervlaktes.

Voorbeeld 28.6 (Halve vakjes)

Een rechthoekige driehoek op het raster met rechthoekszijden $4$ en $2$ bedekt $3$ hele vakjes en $2$ halve … tel zorgvuldig: haar oppervlakte is de helft van de rechthoek $4 \times 2$ , dus $4$ vakjes. Een rechthoek langs zijn diagonaal knippen geeft altijd twee driehoeken met dezelfde oppervlakte.

Voorbeeld 28.7 (Zelfde oppervlakte, andere omtrek)

Een vierkant van $4 \times 4$ en een rechthoek van $8 \times 2$ bedekken beide $16$ vakjes — dezelfde oppervlakte. Randen: $16$ eenheden voor het vierkant, $20$ voor de rechthoek. Geen van de twee maten bepaalt de andere: een lange dunne vorm heeft veel rand bij weinig oppervlak.

28.4 Tijdsduren

Methode 28.8 (Tijden optellen over het hele uur)

Om tijdsduren op te tellen of af te trekken, werk je met sprongen via de hele uren (denk aan $1$ u $= 60$ min):

9\text{ u }40 + 35 \text{ min}: \quad 9\text{ u }40 \xrightarrow{+20} 10\text{ u }00 \xrightarrow{+15} 10\text{ u }15 .

Tel nooit minuten voorbij $60$ op zonder om te zetten: $40 + 35 = 75$ min $= 1$ u $15$ min.

Voorbeeld 28.9

De trein vertrekt om $8{:}47$ en komt aan om $11{:}05$ . Duur: $8{:}47 \to 9{:}00$ is $13$ min; $9{:}00 \to 11{:}00$ is $2$ u; $11{:}00 \to 11{:}05$ is $5$ min. Samen: $2$ u $18$ min.

28.5 Oefeningen

Oefening 28.1 ★

Zet om met de maattabel: $7$ m in cm; $3.2$ km in m; $85$ mm in cm; $4\,500$ m in km.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.1.

$7$ m $= 700$ cm; $3.2$ km $= 3\,200$ m; $85$ mm $= 8.5$ cm; $4\,500$ m $= 4.5$ km.

Oefening 28.2 ★

Zet om: $2$ kg in g; $1\,800$ g in kg en g; $3.5$ L in cL; $25$ cL in L.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.2.

$2$ kg $= 2\,000$ g; $1\,800$ g $= 1$ kg $800$ g; $3.5$ L $= 350$ cL; $25$ cL $= 0.25$ L.

Oefening 28.3 ★

Reken de omtrek uit: een rechthoek van $9$ cm $\times$ $5$ cm; een vierkant met zijde $7.5$ cm; een driehoek met zijden $6$ cm, $8$ cm en $10$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.3.

Rechthoek: $2 \times (9 + 5) = 28$ cm. Vierkant: $4 \times 7.5 = 30$ cm. Driehoek: $6 + 8 + 10 = 24$ cm.

Oefening 28.4 ★

Een rechthoek heeft omtrek $26$ cm en lengte $8$ cm. Zoek zijn breedte (zoek eerst lengte $+$ breedte).

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.4.

Lengte $+$ breedte $= 26 \div 2 = 13$ cm, dus is de breedte $13 - 8 = 5$ cm.

Oefening 28.5 ★

Teken op ruitjespapier een L-vormige figuur die precies $10$ vakjes bedekt, en tel de eenheden van haar omtrek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.5.

Er zijn veel L-vormen die werken; voor een L van $10$ vakjes, gemaakt van een rechthoek $4 \times 2$ met een voet van $2 \times 1$ , geeft het aflopen van de rand $16$ eenheden. (Elke goede figuur met een zorgvuldige telling is juist; de omtrek hangt af van de gekozen L.)

Oefening 28.6 ★

Teken twee verschillende rechthoeken met een oppervlakte van $12$ vakjes. Reken van elk de omtrek uit. Welke is “ronder”, welke is “dunner”?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.6.

$3 \times 4$ : omtrek $14$ . $2 \times 6$ : omtrek $16$ . ( $1 \times 12$ : omtrek $26$ .) Hoe dichter bij een vierkant, hoe kleiner de omtrek bij dezelfde oppervlakte.

Oefening 28.7 ★

Op het raster is een rechthoekige driehoek getekend met rechthoekszijden $6$ en $3$ . Wat is zijn oppervlakte in vakjes? (Gebruik Voorbeeld 28.6.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.7.

De helft van de rechthoek $6 \times 3$ : $18 \div 2 = 9$ vakjes.

Oefening 28.8 ★

Reken de tijdsduren uit: van $10{:}20$ tot $12{:}45$ ; van $7{:}35$ tot $9{:}10$ . Een film duurt $1$ u $50$ en begint om $20{:}30$ : hoe laat is hij uit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.8.

$10{:}20 \to 12{:}45$ : $2$ u $25$ min. $7{:}35 \to 9{:}10$ : $1$ u $35$ min. Film: $20{:}30 + 1$ u $50 = 22{:}20$ .

Oefening 28.9 ★

Kim loopt $3$ rondjes om een rechthoekig veld van $60$ m bij $45$ m. Hoeveel meter loopt ze?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.9.

Eén rondje: $2 \times (60 + 45) = 210$ m. Drie rondjes: $3 \times 210 = 630$ m.

Oefening 28.10 ★★

Een boer wil een vierkant veld met zijde $85$ m omheinen en laat een poort van $4$ m zonder hek. Hoeveel meter hek moet hij kopen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.10.

Omtrek: $4 \times 85 = 340$ m; de poort eraf: $340 - 4 = 336$ m hek.

Oefening 28.11 ★★

Waar of niet waar, met voorbeelden op het raster: “hebben twee figuren dezelfde omtrek, dan hebben ze dezelfde oppervlakte”; “hebben twee figuren dezelfde oppervlakte, dan hebben ze dezelfde omtrek”. (Voorbeeld 28.7 en de figuur van dit hoofdstuk helpen je.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.11.

Beide beweringen zijn niet waar. Dezelfde omtrek, verschillende oppervlaktes: de rechthoek $4 \times 2$ en de L-vorm uit de figuur van dit hoofdstuk (beide omtrek $12$ ; oppervlaktes $8$ en $6$ ). Dezelfde oppervlakte, verschillende omtrekken: het vierkant $4 \times 4$ en de rechthoek $8 \times 2$ (beide oppervlakte $16$ ; omtrekken $16$ en $20$ ).

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst