Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

26Lijnen en veelhoeken

Met een liniaal, een geodriehoek en een passer wordt meetkunde een ambacht. Dit hoofdstuk leert de twee speciale posities van lijnen — loodrecht en evenwijdig — op het niveau van het gereedschap, en maakt een tour door de veelhoekenfamilie. (De theorie van deze begrippen komt in Hoofdstuk 40.)

26.1 Loodrecht en evenwijdig

Definitie 26.1 (Loodrecht, evenwijdig)

Twee lijnen zijn loodrecht als ze elkaar kruisen onder een rechte hoek (gecontroleerd met de geodriehoek, gemarkeerd met een klein vierkantje). Twee lijnen zijn evenwijdig als ze in dezelfde richting lopen en elkaar nooit kruisen — als de twee rails van een spoor, altijd op dezelfde afstand van elkaar.

Methode 26.2 (Tekenen met de geodriehoek)

Loodrecht op een lijn $d$ door een punt $P$ : leg één zijde van de rechte hoek langs $d$ , schuif tot de andere zijde $P$ bereikt, teken.

Evenwijdig aan $d$ door $P$ : leg de zijde van de geodriehoek langs $d$ , druk de liniaal tegen een andere zijde als rail, schuif de geodriehoek langs de liniaal tot $P$ , teken.

De twee constructies. Evenwijdige lijnen houden een constante tussenruimte: de tussenruimte op twee plaatsen meten is een goede controle.

Voorbeeld 26.3 (Ze herkennen in figuren)

In een rechthoek is elke zijde loodrecht op zijn twee buren en evenwijdig aan de overstaande zijde. Ruitjespapier is een kant-en-klaar netwerk van evenwijdige en loodrechte lijnen — daarom tekent men er zo comfortabel op.

26.2 Veelhoeken

Definitie 26.4 (Veelhoek)

Een veelhoek is een gesloten figuur waarvan de rand uit rechte segmenten bestaat, zijn zijden; de hoekpunten zijn de hoeken (of vertices). Veelhoeken worden benoemd naar hun aantal zijden: driehoek ( $3$ ), vierhoek ( $4$ ), vijfhoek ( $5$ ), zeshoek ( $6$ ), achthoek ( $8$ ).

De veelhoekenfamilie (de vijfhoek en zeshoek hier getekend zijn regelmatig: gelijke zijden en gelijke hoeken). Een cirkel is geen veelhoek: zijn rand bestaat niet uit segmenten. — De veelhoekenfamilie (de vijfhoek en zeshoek hier getekend zijn *regelmatig*: gelijke zijden en gelijke hoeken). Een cirkel is geen veelhoek: zijn rand bestaat niet uit segmenten.

Voorbeeld 26.5 (Een veelhoek beschrijven)

Een nuttig spel: beschrijf een figuur zo precies dat een klasgenoot hem kan natekenen zonder hem te zien. “Een vierhoek $ABCD$ met $AB = 5$ cm, de hoek in $A$ recht, $AD = 3$ cm …” — woordenschat is wat de boodschap doet werken.

26.3 De cirkel en de passer

Definitie 26.6 (Cirkel)

De cirkel met middelpunt $O$ en straal $3$ cm is de verzameling van alle punten op precies $3$ cm van $O$ . De passer tekent hem: punt op $O$ , opening $3$ cm, draaien. Een diameter is een segment door het middelpunt dat twee punten van de cirkel verbindt; hij meet tweemaal de straal.

Voorbeeld 26.7 (De passer als afstandsbehouder)

De passer doet meer dan cirkels tekenen: hij verplaatst afstanden. Om alle punten op $4$ cm van een punt $A$ te markeren, teken de cirkel met middelpunt $A$ , straal $4$ cm; om twee segmenten zonder liniaal te vergelijken, open de passer op de ene en test hem op de andere.

Methode 26.8 (Een figuur op een raster natekenen)

Kies een startpunt en zijn positie op het lege raster;
loop de figuur hoekpunt voor hoekpunt af, tel de rasterstappen (“ $3$ rechts, $2$ omhoog”);
verbind de hoekpunten op volgorde, en vergelijk met het model: dezelfde lengtes, dezelfde richtingen.

26.4 Oefeningen

Oefening 26.1 ★

Teken een lijn $d$ en een punt $P$ niet op $d$ . Construeer de loodlijn op $d$ door $P$ , dan de evenwijdige aan $d$ door $P$ (met de liniaal-railmethode). Markeer de rechte hoek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.1.

Constructies met Methode 26.2; het kleine vierkantje markeert de rechte hoek tussen $d$ en de loodlijn.

Oefening 26.2 ★

Kijk naar de hoofdletters E, H, N, T, Z. Zoek in elk een paar evenwijdige streken en een paar loodrechte streken wanneer die bestaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.2.

E: de drie horizontale streken zijn evenwijdig; elk is loodrecht op de verticale. H: de twee verticale streken zijn evenwijdig, de dwarsbalk is loodrecht op beide. N: de twee verticale streken zijn evenwijdig; de diagonaal is geen van beide. T: de twee streken zijn loodrecht. Z: de boven- en onderstreken zijn evenwijdig; de diagonaal is geen van beide.

Oefening 26.3 ★

Noem elke veelhoek: $6$ zijden; $4$ zijden; $3$ zijden; $8$ zijden; $5$ zijden. Hoeveel hoekpunten heeft elk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.3.

Zeshoek; vierhoek; driehoek; achthoek; vijfhoek. Een veelhoek heeft evenveel hoekpunten als zijden: $6$ , $4$ , $3$ , $8$ , $5$ .

Oefening 26.4 ★

Teken een willekeurige vijfhoek (niet per se regelmatig) en benoem zijn hoekpunten $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Hoeveel zijden heeft hij? Teken zijn diagonalen vanuit $A$ (segmenten van $A$ naar niet-buurhoekpunten): hoeveel zijn er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.4.

Een vijfhoek heeft $5$ zijden. Vanuit $A$ zijn de niet-buren $C$ en $D$ : twee diagonalen, $[AC]$ en $[AD]$ .

Oefening 26.5 ★

Teken een cirkel met middelpunt $O$ en straal $4$ cm; een diameter $[AB]$ ; en een punt $M$ van de cirkel niet op $[AB]$ . Geef de lengtes $OA$ , $OM$ en $AB$ zonder te meten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.5.

$OA = 4$ cm (straal); $OM = 4$ cm (elk punt van de cirkel); $AB = 8$ cm (een diameter is tweemaal de straal).

Oefening 26.6 ★

Met de passer als afstandsbehouder (Voorbeeld 26.7), vergelijk de zijden van een driehoek getekend door een klasgenoot en beslis of hij twee gelijke zijden heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.6.

Open de passer langs één zijde, draag die opening dan over naar de twee andere zijden: als de punt-en-potlood-span precies op een tweede zijde past, zijn die twee zijden gelijk.

Oefening 26.7 ★

Nateken op ruitjespapier dit pad en sluit het tot een veelhoek: begin bij een punt $A$ ; ga $4$ rechts; $2$ omhoog; $3$ links; $2$ omhoog; dan terug naar $A$ in een rechte lijn. Hoe heet de veelhoek die je krijgt (tel de zijden)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.7.

Het pad sluit tot een veelhoek met $5$ zijden — een vijfhoek (geen regelmatige!).

Oefening 26.8 ★

Waar of niet waar? Leg uit met een tekening. “Twee loodrechte lijnen kruisen elkaar altijd.” “Twee evenwijdige lijnen kruisen elkaar nooit.” “Een lijn kan evenwijdig zijn aan één lijn en loodrecht op een andere.”

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.8.

“Loodrechte lijnen kruisen elkaar altijd”: waar — ze kruisen bij de rechte hoek zelf.

“Evenwijdige lijnen kruisen elkaar nooit”: waar — dat is hun definitie.

“Een lijn kan evenwijdig zijn aan één lijn en loodrecht op een andere”: waar — op ruitjespapier is een horizontale lijn evenwijdig aan elke horizontale lijn en loodrecht op elke verticale.

Oefening 26.9 ★★

Teken een lijn $d$ , dan een lijn $e$ loodrecht op $d$ , dan een lijn $f$ loodrecht op $e$ . Kijk naar $d$ en $f$ : wat val je op? (Deze waarneming wordt een stelling in Hoofdstuk 40.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.9.

De lijnen $d$ en $f$ lijken evenwijdig — en dat zijn ze altijd: twee lijnen loodrecht op dezelfde lijn zijn evenwijdig (Propositie 40.3 maakt dit officieel).

Oefening 26.10 ★★

Beschrijf de figuur hieronder in woorden voor een klasgenoot, zonder hem te laten zien: een vierkant van zijde $4$ cm, met een cirkel van straal $2$ cm gecentreerd in het midden van het vierkant (raakt de vier zijden). Schrijf de beschrijving als genummerde instructies.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.10.

Een correct programma: “1. Teken een vierkant $ABCD$ van zijde $4$ cm. 2. Markeer het punt $O$ waar zijn diagonalen kruisen. 3. Teken de cirkel met middelpunt $O$ en straal $2$ cm.” De cirkel raakt elke zijde in het midden.

Oefening 26.11 ★★

Hoeveel diagonalen heeft een vierhoek? Een vijfhoek? Een zeshoek? Teken de drie gevallen, tel zorgvuldig, en beschrijf het patroon dat je ziet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.11.

Vierhoek: $2$ diagonalen. Vijfhoek: $5$ . Zeshoek: $9$ . Elk nieuw hoekpunt voegt meer en meer diagonalen toe — de tellingen groeien steeds sneller ( $+3$ , dan $+4$ , …).