Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

26Lijnen en veelhoeken

Met een lat, een geodriehoek en een passer wordt meetkunde een ambacht. In dit hoofdstuk leer je de twee bijzondere standen van lijnen — loodrecht en parallel — met het gereedschap in de hand, en maken we een rondje langs de familie van de veelhoeken. (De theorie van deze begrippen komt in Hoofdstuk 40.)

26.1 Loodrecht en parallel

Definitie 26.1 (Loodrecht, parallel)

Twee lijnen staan loodrecht op elkaar als ze elkaar onder een rechte hoek snijden (te controleren met de geodriehoek, aangegeven met een vierkantje). Twee lijnen zijn parallel als ze dezelfde richting hebben en elkaar nooit snijden — zoals de twee rails van een spoor, altijd op dezelfde afstand van elkaar.

Methode 26.2 (Tekenen met de geodriehoek)

De loodlijn op een lijn $d$ door een punt $P$ : leg één rand van de rechte hoek langs $d$ , schuif tot de andere rand bij $P$ komt, en teken.

De parallel aan $d$ door $P$ : leg de rand van de geodriehoek langs $d$ , druk de lat als rail tegen een andere rand, schuif de geodriehoek langs de lat tot bij $P$ , en teken.

De twee constructies. Parallelle lijnen houden een vaste afstand: die afstand op twee plaatsen meten is een goede controle.

Voorbeeld 26.3 (Ze in figuren herkennen)

In een rechthoek staat elke zijde loodrecht op haar twee buren en is ze parallel aan de zijde die ertegenover ligt. Ruitjespapier is een kant-en-klaar netwerk van parallelle en loodrechte lijnen — daarom is het zo prettig om erop te tekenen.

26.2 Veelhoeken

Definitie 26.4 (Veelhoek)

Een veelhoek is een gesloten figuur waarvan de rand uit rechte lijnstukken bestaat, de zijden; de hoekpunten zijn de hoekpunten. Veelhoeken worden genoemd naar hun aantal zijden: driehoek ( $3$ ), vierhoek ( $4$ ), vijfhoek ( $5$ ), zeshoek ( $6$ ), achthoek ( $8$ ).

De familie van de veelhoeken (de vijfhoek en de zeshoek die hier getekend zijn, zijn regelmatig: gelijke zijden en gelijke hoeken). Een cirkel is geen veelhoek: zijn rand bestaat niet uit lijnstukken. — De familie van de veelhoeken (de vijfhoek en de zeshoek die hier getekend zijn, zijn *regelmatig*: gelijke zijden en gelijke hoeken). Een cirkel is geen veelhoek: zijn rand bestaat niet uit lijnstukken.

Voorbeeld 26.5 (Een veelhoek beschrijven)

Een nuttig spel: beschrijf een figuur zo precies dat een klasgenoot hem kan natekenen zonder hem te zien. “Een vierhoek $ABCD$ met $AB = 5$ cm, een rechte hoek in $A$ , $AD = 3$ cm …” — de juiste woorden zijn wat de boodschap laat werken.

26.3 De cirkel en de passer

Definitie 26.6 (Cirkel)

De cirkel met middelpunt $O$ en radius $3$ cm bestaat uit alle punten die precies $3$ cm van $O$ liggen. De passer tekent hem: punt op $O$ , opening $3$ cm, ronddraaien. Een diameter is een lijnstuk door het middelpunt dat twee punten van de cirkel verbindt; hij is twee keer zo lang als de radius.

Voorbeeld 26.7 (De passer als afstandsbewaarder)

De passer doet meer dan cirkels tekenen: hij verplaatst afstanden. Om alle punten op $4$ cm van een punt $A$ te markeren, teken je de cirkel met middelpunt $A$ en radius $4$ cm; om twee lijnstukken zonder lat te vergelijken, zet je de passer op het ene en probeer je hem op het andere.

Methode 26.8 (Een figuur op een raster natekenen)

Kies een beginhoekpunt en zijn plaats op het lege raster;
loop de figuur hoekpunt na hoekpunt af en tel de stappen op het raster (“ $3$ naar rechts, $2$ naar boven”);
verbind de hoekpunten op volgorde en vergelijk met het voorbeeld: dezelfde lengtes, dezelfde richtingen.

26.4 Oefeningen

Oefening 26.1 ★

Teken een lijn $d$ en een punt $P$ dat er niet op ligt. Construeer de loodlijn op $d$ door $P$ , en daarna de parallel aan $d$ door $P$ (met de lat als rail). Zet het teken voor de rechte hoek erbij.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.1.

Constructies met Methode 26.2; het vierkantje geeft de rechte hoek tussen $d$ en de loodlijn aan.

Oefening 26.2 ★

Bekijk de hoofdletters E, H, N, T, Z. Zoek in elke letter een paar parallelle strepen en een paar loodrechte strepen, als die er zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.2.

E: de drie horizontale strepen zijn parallel; elk staat loodrecht op de verticale streep. H: de twee verticale strepen zijn parallel, de dwarsstreep staat loodrecht op beide. N: de twee verticale strepen zijn parallel; de diagonaal is geen van beide. T: de twee strepen staan loodrecht op elkaar. Z: de bovenste en de onderste streep zijn parallel; de diagonaal is geen van beide.

Oefening 26.3 ★

Noem elke veelhoek: $6$ zijden; $4$ zijden; $3$ zijden; $8$ zijden; $5$ zijden. Hoeveel hoekpunten heeft elk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.3.

Zeshoek; vierhoek; driehoek; achthoek; vijfhoek. Een veelhoek heeft even veel hoekpunten als zijden: $6$ , $4$ , $3$ , $8$ , $5$ .

Oefening 26.4 ★

Teken een willekeurige vijfhoek (niet noodzakelijk regelmatig) en noem de hoekpunten $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Hoeveel zijden heeft hij? Teken de diagonalen vanuit $A$ (lijnstukken van $A$ naar hoekpunten die geen buren zijn): hoeveel zijn dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.4.

Een vijfhoek heeft $5$ zijden. Vanuit $A$ zijn $C$ en $D$ geen buren: twee diagonalen, $[AC]$ en $[AD]$ .

Oefening 26.5 ★

Teken een cirkel met middelpunt $O$ en radius $4$ cm; een diameter $[AB]$ ; en een punt $M$ van de cirkel dat niet op $[AB]$ ligt. Geef de lengtes $OA$ , $OM$ en $AB$ zonder te meten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.5.

$OA = 4$ cm (de radius); $OM = 4$ cm (elk punt van de cirkel); $AB = 8$ cm (een diameter is twee keer de radius).

Oefening 26.6 ★

Vergelijk met de passer als afstandsbewaarder (Voorbeeld 26.7) de zijden van een driehoek die een klasgenoot heeft getekend, en beslis of hij twee gelijke zijden heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.6.

Zet de passer op één zijde en breng die opening naar de twee andere zijden: past de opening precies op een tweede zijde, dan zijn die twee zijden even lang.

Oefening 26.7 ★

Teken dit pad op ruitjespapier na en sluit het tot een veelhoek: begin in een punt $A$ ; ga $4$ naar rechts; $2$ naar boven; $3$ naar links; $2$ naar boven; en dan in een rechte lijn terug naar $A$ . Hoe heet de veelhoek die je krijgt (tel de zijden)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.7.

Het pad sluit tot een veelhoek met $5$ zijden — een vijfhoek (en geen regelmatige!).

Oefening 26.8 ★

Waar of niet waar? Leg uit met een tekening. “Twee loodrechte lijnen snijden elkaar altijd.” “Twee parallelle lijnen snijden elkaar nooit.” “Een lijn kan parallel zijn aan de ene lijn en loodrecht staan op een andere.”

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.8.

“Twee loodrechte lijnen snijden elkaar altijd”: waar — ze snijden elkaar juist in de rechte hoek.

“Twee parallelle lijnen snijden elkaar nooit”: waar — dat is hun definitie.

“Een lijn kan parallel zijn aan de ene lijn en loodrecht staan op een andere”: waar — op ruitjespapier is een horizontale lijn parallel aan elke horizontale lijn en loodrecht op elke verticale.

Oefening 26.9 ★★

Teken een lijn $d$ , dan een lijn $e$ die loodrecht op $d$ staat, en dan een lijn $f$ die loodrecht op $e$ staat. Bekijk $d$ en $f$ : wat valt je op? (Deze observatie wordt een stelling in Hoofdstuk 40.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.9.

De lijnen $d$ en $f$ lijken parallel — en dat zijn ze altijd: twee lijnen die loodrecht op dezelfde lijn staan, zijn parallel (Propositie 40.3 maakt het officieel).

Oefening 26.10 ★★

Beschrijf de volgende figuur in woorden voor een klasgenoot, zonder hem te laten zien: een vierkant met zijde $4$ cm, met een cirkel van radius $2$ cm met het midden van het vierkant als middelpunt (die de vier zijden raakt). Schrijf de beschrijving als genummerde instructies.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.10.

Een goed programma is bijvoorbeeld: “1. Teken een vierkant $ABCD$ met zijde $4$ cm. 2. Zet het punt $O$ waar zijn diagonalen elkaar snijden. 3. Teken de cirkel met middelpunt $O$ en radius $2$ cm.” De cirkel raakt elke zijde in haar midden.

Oefening 26.11 ★★

Hoeveel diagonalen heeft een vierhoek? En een vijfhoek? En een zeshoek? Teken de drie gevallen, tel zorgvuldig, en beschrijf het patroon dat je ziet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.11.

Vierhoek: $2$ diagonalen. Vijfhoek: $5$ . Zeshoek: $9$ . Elk nieuw hoekpunt voegt er meer diagonalen bij — de aantallen groeien steeds sneller ( $+3$ , dan $+4$ , …).

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst