Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

62Piramide en kegel

Na de prisma’s en cilinders van Hoofdstuk 53 — lichamen met constante doorsnede — komen de lichamen met een punt: piramides en kegels. Hun volumeformule draagt een beroemde factor $\frac13$ , die dit hoofdstuk aannemelijk maakt en gebruikt; de studie van lichamen gaat verder met bollen en doorsneden in Hoofdstuk 70.

62.1 Piramides en kegels beschrijven

Definitie 62.1 (Piramide, kegel)

Een piramide heeft een veelhoek als grondvlak en een punt, de top, verbonden met elk hoekpunt van het grondvlak door driehoekige zijvlakken. Haar hoogte is de afstand van de top tot het vlak van het grondvlak.
Een kegel is dezelfde constructie over een schijf: een grondschijf, een top, en een gekromd mantelvak.

Een piramide is regelmatig wanneer haar grondvlak een regelmatige veelhoek is (vierkant, gelijkzijdige driehoek, …) en haar top loodrecht boven het middelpunt van het grondvlak staat.

Een vierkante piramide en een kegel: één veelhoekig of rond grondvlak, één top, en de hoogte loodrecht op het grondvlak gemeten.

Voorbeeld 62.2 (Vlakken, ribben, hoekpunten tellen)

Een piramide met vierkant grondvlak heeft $5$ vlakken ( $1$ vierkant $+ 4$ driehoeken), $8$ ribben en $5$ hoekpunten. Met een $n$ -hoekig grondvlak: $n + 1$ vlakken, $2n$ ribben, $n + 1$ hoekpunten. Controleer Eulers kleine patroon: vlakken $+$ hoekpunten $=$ ribben $+ 2$ .

62.2 Volume

Stelling 62.3 (Volume van een piramide of kegel)

Voor een piramide of een kegel met grondvlakoppervlakte $B$ en hoogte $h$ :

V = \frac{1}{3}\, B \times h

— één derde van het prisma of de cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Voor een kegel met grondstraal $r$ : $V = \frac13 \pi r^2 h$ .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Opmerking 62.4 (Waarom één derde?)

Vul een holle piramide met water en giet die in het prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte: het kost exact drie vullingen. Nog beter: een kubus kan in drie identieke piramides gesneden worden, elk met een vlak van de kubus als grondvlak en één hoekpunt van de kubus als top (probeer het je voor te stellen!). Een algemeen bewijs gebruikt integratie, een gereedschap van het High School-volume.

Voorbeeld 62.5

Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijde $5$ cm en hoogte $9$ cm:

grondvlakoppervlakte: $B = 5^2 = 25$ cm $^2$ ;
volume: $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ cm $^3$ .

Een ijsjeskegel met straal $3$ cm en hoogte $10$ cm:

V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94 \text{ cm}^3 .

Voorbeeld 62.6 (Let op de hoogte)

Voor een kegel, verwar de hoogte $h$ (top tot middelpunt van het grondvlak, loodrecht) niet met de mantellengte $s$ (top tot de rand). Ze hangen samen door Pythagoras (Stelling 58.1) in de rechthoekige driehoek top–middelpunt–rand:

s^2 = h^2 + r^2 .

Een kegel met $r = 3$ en $s = 5$ heeft dus hoogte $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ , en volume $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ .

Methode 62.7 (Volumeproblemen)

Identificeer het lichaam (prisma/cilinder: $V = Bh$ ; piramide/kegel: $V = \frac13 Bh$ );
bereken eerst de grondvlakoppervlakte $B$ , als aparte stap;
controleer dat de hoogte loodrecht op het grondvlak staat (gebruik Pythagoras als de mantellengte gegeven is);
vermenigvuldig, houd eenheden consistent, reken op het einde om indien nodig ( $1$ L $= 1000$ cm $^3$ ).

62.3 Uitslagen

Voorbeeld 62.8 (Uitslag van een piramide)

Het openvouwen van een regelmatige vierkante piramide maakt haar uitslag: het vierkante grondvlak met vier identieke gelijkbenige driehoeken vast aan de zijden. De gelijke zijden van de driehoeken zijn de zijribben van de piramide — hun lengte is noch $h$ noch de mantellengte van een vlak, dus label zorgvuldig vóór je karton knipt.

De uitslag van een vierkante piramide: vouw de vier driehoeken omhoog tot hun toppen samenkomen.

62.4 Oefeningen

Oefening 62.1 ★

Hoeveel vlakken, ribben en hoekpunten heeft een piramide met driehoekig grondvlak (een tetraëder)? Met zeshoekig grondvlak?

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.1.

Tetraëder: $4$ vlakken, $6$ ribben, $4$ hoekpunten ( $4 + 4 = 6 + 2$ ). Zeshoekig grondvlak: $7$ vlakken, $12$ ribben, $7$ hoekpunten ( $7 + 7 = 12 + 2$ ).

Oefening 62.2 ★

Bereken het volume van een piramide met grondvlakoppervlakte $36$ cm $^2$ en hoogte $10$ cm; van een piramide met rechthoekig grondvlak $6 \times 4$ cm en hoogte $7.5$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.2.

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ cm $^3$ .

Rechthoekig grondvlak: $B = 24$ cm $^2$ , dus $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ cm $^3$ .

Oefening 62.3 ★

Bereken het volume van een kegel met straal $5$ cm en hoogte $9$ cm (exact met $\pi$ , daarna afgerond op de cm $^3$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.3.

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ cm $^3$ .

Oefening 62.4 ★

Een cilinder en een kegel hebben dezelfde straal $4$ cm en dezelfde hoogte $12$ cm. Bereken beide volumes. Wat is hun verhouding?

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.4.

Cilinder: $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ cm $^3$ . Kegel: $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ cm $^3$ . Verhouding: de kegel is één derde van de cilinder.

Oefening 62.5 ★

Een piramide heeft volume $56$ cm $^3$ en hoogte $8$ cm. Wat is haar grondvlakoppervlakte? (Schrijf de volumeformule en los op.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.5.

$56 = \frac13 \times B \times 8$ , dus $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ cm $^2$ .

Oefening 62.6 ★

Schets de uitslag van een kegel (een schijf voor het grondvlak, en een sector van een grotere schijf voor het mantelvak). Welke maat van de kegel is de straal van die sector: de hoogte $h$ of de mantellengte $s$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.6.

Het mantelvak rolt af tot een schijfsector waarvan de straal de mantellengte $s$ is (de afstand van de top tot de rand — dat lijnstuk ligt op het oppervlak), niet de hoogte $h$ .

Oefening 62.7 ★★

De Louvre-piramide heeft een vierkant grondvlak met zijde ongeveer $35$ m en een hoogte van ongeveer $22$ m. Schat haar volume, op de dichtstbijzijnde honderd kubieke meters.

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.7.

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m $^3$ — ongeveer $9\,000$ kubieke meters.

Oefening 62.8 ★★

Een kegel heeft mantellengte $13$ cm en grondstraal $5$ cm. Bereken zijn hoogte, daarna zijn volume (exact met $\pi$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.8.

Hoogte: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm. Volume: $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm $^3$ .

Oefening 62.9 ★★

Een kegelvormig glas met straal $4$ cm en hoogte $9$ cm wordt tot de rand gevuld, en daarna uitgegoten in een cilindrisch glas met straal $4$ cm. Welke hoogte bereikt de vloeistof in de cilinder?

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.9.

Zelfde straal, dus het volume van de kegel is één derde van het volume van de cilinder voor dezelfde hoogte: de vloeistof bereikt $\frac{9}{3} = 3$ cm in de cilinder.

Oefening 62.10 ★★

Een zandloper bestaat uit twee identieke kegels (straal $2$ cm, hoogte $4.5$ cm) verbonden in hun toppen. Al het zand vult exact één kegel. Bereken het volume zand (exact, daarna in cm $^3$ afgerond op de tiende), en het deel van het totale binnenvolume van de zandloper dat door het zand ingenomen wordt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.10.

Zand $=$ één kegel: $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi \approx 18.8$ cm $^3$ . De zandloper houdt twee zulke kegels, dus het zand vult exact de helft van het totale binnenvolume.

Oefening 62.11 ★★★

Een vierkante piramide met grondzijde $6$ cm heeft haar top rechtstreeks boven een hoek van het grondvlak, op hoogte $8$ cm.

Geldt de formule $V = \frac13 Bh$ nog? (Ja — de top hoeft niet gecentreerd te zijn. Bereken $V$ .)
Bereken de lengte van de langste zijribbe, van de top naar de overstaande hoek van het grondvlak (twee Pythagoras-stappen: eerst de gronddiagonaal).

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.11.

1. Ja: de formule $V = \frac13 Bh$ geldt voor elke positie van de top, zolang $h$ de loodrechte afstand tot het grondvlak is. $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ cm $^3$ .

2. Gronddiagonaal: $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ cm. De langste zijribbe is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met benen $6\sqrt2$ (in het grondvlak) en $8$ (verticaal):

\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7 \text{ cm}.