Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

48Lettervormen

Een letter in een berekening staat voor een getal dat we nog niet kennen, of voor alle getallen tegelijk: $P = 4c$ schrijven geeft de omtrek van elk vierkant in één formule. Dit hoofdstuk leert de schrijfconventies, hoe waarden in te vullen, en hoe eenvoudige uitdrukkingen te vereenvoudigen — het begin van de algebra, voortgezet in Hoofdstuk 57.

48.1 Schrijven met letters

Definitie 48.1 (Lettervorm)

Een lettervorm (of letteruitdrukking) is een berekening met één of meer letters, die elk voor een getal staan. Schrijfconventies:

het teken $\times$ valt weg vóór een letter of een haakje: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
maar het blijft tussen twee getallen: $3 \times 5$ kan niet als $35$ geschreven worden!
$a \times a$ wordt $a^2$ geschreven (“ $a$ kwadraat”), $a \times a \times a = a^3$ ;
$1a$ wordt $a$ geschreven, en $0a$ is $0$ .

Voorbeeld 48.2

Vereenvoudig de schrijfwijze:

5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y, \qquad a \times 7 = 7a \ \text{(getal eerst)}, \qquad x \times x \times 4 = 4x^2 .

Voorbeeld 48.3 (Formules zijn lettervormen)

Voor een rechthoek met lengte $L$ en breedte $w$ : omtrek $P = 2(L + w)$ , oppervlakte $A = Lw$ . Eén formule vat de oneindig veel rechthoeken tegelijk samen — dat is precies het punt van letters.

Twee formules, geldig voor elke rechthoek: vul de waarden van L en w in om getallen te krijgen. — Twee formules, geldig voor elke rechthoek: vul de waarden van $L$ en $w$ in om getallen te krijgen.

48.2 Invullen

Methode 48.4 (Een uitdrukking uitrekenen)

Om een uitdrukking uit te rekenen voor gegeven waarden van haar letters:

herschrijf de uitdrukking met de verborgen $\times$ -tekens terug: $3a + a^2$ is $3 \times a + a \times a$ ;
vervang elke letter door haar waarde, met haakjes eromheen indien nodig;
reken uit, met inachtneming van de rekenvolgorde van Hoofdstuk 45.

Voorbeeld 48.5

Bereken $E = 3x + x^2$ voor $x = 5$ :

E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .

Bereken $F = 2(a + 3b)$ voor $a = 4$ en $b = 0.5$ :

F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5 = 11 .

48.3 Uitdrukkingen herleiden

Propositie 48.6 (Gelijksoortige termen verzamelen)

Termen met hetzelfde letterdeel kunnen verzameld worden door hun getaldelen op te tellen (dit is distributiviteit, Stelling 45.6, achterstevoren gelezen):

5x + 3x = (5 + 3)x = 8x, \qquad 7a - 2a = 5a .

Termen met verschillende letterdelen (zoals $3x$ en $5y$ , of $x$ en $x^2$ ) kunnen niet verzameld worden.

Voorbeeld 48.7

Herleid $E = 4x + 7 + 3x + 2$ , met de termen gesorteerd:

E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .

Let op: $7x + 9$ is niet $16x$ ! Test met $x = 1$ : $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ en $7 \times 1 + 9 = 16$ komen overeen, maar $16x$ zou ook $16$ zijn — test met $x = 2$ : het origineel geeft $8 + 7 + 6 + 2 = 23$ , en $7 \times 2 + 9 = 23$ , terwijl $16 \times 2 = 32$ . De herleiding $7x + 9$ is juist, $16x$ is fout.

Methode 48.8 (Een gelijkheid testen)

Om te controleren of twee uitdrukkingen voor elke waarde gelijk zouden kunnen zijn:

vul dezelfde waarde in beide in, minstens twee keer (bijv. $x = 2$ en $x = 10$ ; vermijd $0$ en $1$ , die te veel verschillen verbergen);
als de resultaten ook maar één keer verschillen, zijn de uitdrukkingen niet gelijk — één tegenvoorbeeld doodt een algemene bewering;
als de resultaten overeenkomen, is de gelijkheid slechts plausibel: een bewijs vraagt algebra (uitwerken, herleiden).

Voorbeeld 48.9

Is $2(x + 3)$ gelijk aan $2x + 6$ voor elke $x$ ? Uitwerken bewijst het: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$ . Is $(x + 1)^2$ gelijk aan $x^2 + 1$ ? Test $x = 2$ : $(2+1)^2 = 9$ maar $2^2 + 1 = 5$ . Nee — en één tegenvoorbeeld is een volledig bewijs van “nee”.

48.4 Uitdrukkingen opstellen

Voorbeeld 48.10 (Van situatie naar uitdrukking)

Een taxi rekent $4$ euro plus $2$ euro per kilometer. Voor een rit van $k$ kilometer is de prijs

p = 4 + 2k \quad\text{euro}.

Voor $k = 7$ : $p = 4 + 14 = 18$ euro. De uitdrukking is het algemene antwoord; invullen produceert elk bijzonder antwoord.

Voorbeeld 48.11 (Getaltrucs)

“Denk aan een getal, verdubbel het, tel $10$ op, deel door $2$ , trek je getal af.” Noem het getal $n$ en volg de stappen:

n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\ n + 5 - n = 5 .

Iedereen krijgt $5$ , wat $n$ ook was — de letters verklaren de magie.

48.5 Oefeningen

Oefening 48.1 ★

Vereenvoudig de schrijfwijze:

7 \times x, \qquad y \times 3, \qquad a \times b \times 5, \qquad x \times x, \qquad 2 \times (a + 4).

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.1.

$7x$ ; $3y$ ; $5ab$ ; $x^2$ ; $2(a + 4)$ .

Oefening 48.2 ★

Zet de $\times$ -tekens terug:

5ab, \qquad 3(x + 2), \qquad x^2 + 4x, \qquad 2a^3 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.2.

$5ab = 5 \times a \times b$ ; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$ ; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$ ; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$ .

Oefening 48.3 ★

Bereken voor $x = 3$ : $5x + 1$ ; $x^2$ ; $2x^2 - x$ ; $10 - 2x$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.3.

Voor $x = 3$ : $5 \times 3 + 1 = 16$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $2 \times 9 - 3 = 15$ ; $10 - 6 = 4$ .

Oefening 48.4 ★

Bereken $3a + 2b$ en $a b + 5$ voor $a = 4$ , $b = 1.5$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.4.

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$ ; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$ .

Oefening 48.5 ★

Herleid:

8x + 5x, \qquad 9a - 4a + a, \qquad 6y + 2 + 3y + 7, \qquad 5t + 3 - 2t - 3 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.5.

$8x + 5x = 13x$ ; $9a - 4a + a = 6a$ ; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$ ; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$ .

Oefening 48.6 ★

Geef een formule voor: de omtrek van een vierkant met zijde $c$ ; de omtrek van een gelijkbenige driehoek met basis $b$ en gelijke zijden $s$ ; de prijs van $n$ broden van $1.20$ euro elk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.6.

Vierkant: $P = 4c$ . Gelijkbenige driehoek: $P = b + 2s$ . Broden: $p = 1.20\,n$ euro.

Oefening 48.7 ★

Koppel elke uitdrukking aan een beschrijving: $2n$ ; $n + 2$ ; $n^2$ ; $\frac n2$ . Beschrijvingen: “de helft van $n$ ”; “het dubbele van $n$ ”; “het kwadraat van $n$ ”; “twee meer dan $n$ ”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.7.

$2n$ : het dubbele; $n + 2$ : twee meer dan $n$ ; $n^2$ : het kwadraat; $\frac n2$ : de helft.

Oefening 48.8 ★★

Beslis met Methode 48.8 (met bewijs of tegenvoorbeeld) of deze gelijkheden voor elke $x$ gelden:

3(x + 4) = 3x + 12; \qquad 2x + 5 = 7x; \qquad x + x = x^2 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.8.

$3(x+4) = 3x + 12$ : waar voor elke $x$ (distributiviteit — dit is een bewijs, geen test nodig).

$2x + 5 = 7x$ : test $x = 2$ : links $9$ , rechts $14$ — onwaar in het algemeen (het geldt alleen voor $x = 1$ ).

$x + x = x^2$ : test $x = 3$ : links $6$ , rechts $9$ — onwaar in het algemeen ( $x + x = 2x$ ).

Oefening 48.9 ★★

Een rechthoek heeft breedte $w$ en zijn lengte is $3$ cm meer dan zijn breedte.

Druk de lengte, daarna de omtrek, uit in $w$ , en herleid.
Bereken de omtrek voor $w = 5$ cm, rechtstreeks en met je herleide formule. Zelfde antwoord?

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.9.

1. Lengte: $w + 3$ . Omtrek:

P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .

2. Voor $w = 5$ : rechtstreeks zijn de zijden $5$ en $8$ , dus $P = 2 \times 13 = 26$ cm; met de formule, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Ze komen overeen.

Oefening 48.10 ★★

Volg de truc van Voorbeeld 48.11 met letters: “denk aan een getal, tel $6$ op, vermenigvuldig met $3$ , trek $18$ af, deel door je startgetal” (neem aan dat het niet nul is). Wat krijgt iedereen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.10.

De stappen met de letter $n$ :

n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n \ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .

Iedereen krijgt $3$ .

Oefening 48.11 ★★★

De figuur hieronder is een vierkant met zijde $a$ met een vierkante hoek van zijde $b$ weggenomen ( $b$ kleiner dan $a$ ). Schrijf twee verschillende uitdrukkingen voor zijn oppervlakte (één als verschil, één door de L-vorm in twee rechthoeken te snijden), en controleer dat ze overeenkomen voor $a = 5$ , $b = 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.11.

Als verschil: $A = a^2 - b^2$ . Door de L in twee rechthoeken te snijden: een volle-breedte strook van hoogte $a - b$ en, erboven, een smallere rechthoek:

A = a(a - b) + b(a - b)

(onderste rechthoek $a$ breed en $a - b$ hoog, bovenste rechthoek $a - b$ breed en $b$ hoog geeft de variant $a(a-b) + (a-b)b$ — hetzelfde). Voor $a = 5$ , $b = 2$ : $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$ , en $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$ . Beide uitdrukkingen komen overeen — dat doen ze altijd: dit is de identiteit $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ van Hoofdstuk 66 in vermomming.