Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

27Symmetrie

Vlinders, gezichten, sneeuwvlokken: de natuur houdt van figuren waarvan de twee helften bij vouwen overeenkomen. Dit hoofdstuk verkent symmetrie met vouwen en ruitjespapier — constructies met de geodriehoek wachten in Hoofdstuk 42.

27.1 Vouwen en laten kloppen

Definitie 27.1 (Symmetrieas)

Een lijn is een symmetrieas van een figuur als het vouwen van de figuur langs die lijn de twee helften precies op elkaar laat vallen. Een figuur kan geen as, één as, of meerdere assen hebben.

Vouw langs de stippellijn: de helften kloppen. De laatste driehoek heeft geen vouw die werkt — geen symmetrieas.

Voorbeeld 27.2 (Testen met calqueerpapier)

Trek de figuur over, klap het calqueerpapier om langs de kandidaat-as, en leg het terug: als de calque de figuur precies bedekt, is de as echt. Het oog alleen wordt vaak bedrogen — de diagonaal van een rechthoek lijkt een as, maar de vouwtest zegt nee (probeer het!).

27.2 Figuren afmaken op een raster

Methode 27.3 (Spiegelbeeld van een figuur over een rasterlijn)

De as is een verticale (of horizontale) lijn van het raster.

Neem elk hoekpunt van de figuur om de beurt;
tel zijn afstand tot de as in vakjes;
plaats het beeldhoekpunt op dezelfde afstand aan de andere kant, op dezelfde rij (of kolom);
verbind de beeldhoekpunten in dezelfde volgorde, en controleer: het beeld is de spiegeltweeling van de figuur.

Afmaken over de rode as: elk hoekpunt springt naar dezelfde afstand aan de andere kant. Hoekpunten op de as blijven staan.

Voorbeeld 27.4 (Zelfde vorm, zelfde grootte, omgeklapt)

Het beeld heeft precies dezelfde lengtes en dezelfde hoeken als het origineel: symmetrie kopieert de figuur — maar klapt hem om, als een linkerhand en een rechterhand. Als de originele letter F is, is zijn spiegelbeeld een achterstevoren F, geen andere F.

27.3 Assen van de gebruikelijke vormen

Voorbeeld 27.5 (Assen tellen)

Door te vouwen:

een vierkant: $4$ assen (twee door de middens van overstaande zijden, twee langs de diagonalen);
een rechthoek: $2$ assen (alleen middens van overstaande zijden!);
een gelijkbenige driehoek: $1$ ; een gelijkzijdige driehoek: $3$ ;
een cirkel: elke lijn door het middelpunt — meer assen dan je kunt tellen.

Voorbeeld 27.6 (Symmetrie in het alfabet)

A, M, T, U, V hebben een verticale as; B, C, D, E hebben een horizontale; H, I, O, X hebben beide. Woorden van de juiste letters kunnen ook symmetrisch zijn: MUM heeft een verticale as; OXO werkt beide kanten op.

27.4 Oefeningen

Oefening 27.1 ★

Trek over en vouw: welke van deze hebben een symmetrieas — een vierkant; een (niet-vierkante) rechthoek; een ongelijkzijdige driehoek (alle zijden verschillend); een cirkel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.1.

Vierkant: ja ( $4$ assen). Rechthoek: ja ( $2$ ). Ongelijkzijdige driehoek: geen vouw werkt. Cirkel: ja — elke lijn door het middelpunt.

Oefening 27.2 ★

Teken de symmetrieassen van: een vierkant; een rechthoek; een gelijkzijdige driehoek. Hoeveel voor elk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.2.

Vierkant: $4$ (twee middenlijnen, twee diagonalen). Rechthoek: $2$ (alleen de middenlijnen). Gelijkzijdige driehoek: $3$ (één door elk hoekpunt).

Oefening 27.3 ★

Gebruik de calqueerpapertest van Voorbeeld 27.2 om te tonen dat de diagonaal van een $6 \times 4$ -rechthoek geen symmetrieas is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.3.

Vouwen langs de diagonaal: de twee driehoekige helften hebben dezelfde vorm maar liggen niet op elkaar — de ene is “verkeerd om”: de calque landt naast de figuur, niet erop. Dus de diagonaal is geen as.

Oefening 27.4 ★

Teken op ruitjespapier een verticale as en de letter L (drie vakjes hoog, twee breed) op $2$ vakjes van de as. Construeer het spiegelbeeld.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.4.

Het beeld-L staat $2$ vakjes aan de andere kant van de as, achterstevoren geschreven (een spiegel-L), dezelfde groottes.

Oefening 27.5 ★

Teken op ruitjespapier een horizontale as en een klein vlaggetje (een $1 \times 1$ -driehoek op een mast van $3$ vakjes) erboven. Maak de figuur af door symmetrie onder de as.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.5.

De voltooide figuur toont het vlaggetje en zijn omgekeerde spiegelbeeld onder de as, mast onder mast.

Oefening 27.6 ★

Een figuur raakt zijn symmetrieas in een punt $P$ . Waar is het beeld van $P$ ? Leg uit met het vouwplaatje.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.6.

$P$ beweegt niet: vouwen langs de as laat elk punt op de as precies waar het is — $P$ is zijn eigen beeld.

Oefening 27.7 ★

Sorteer de hoofdletters A, B, E, F, H, N, O, T: verticale as? horizontale as? beide? geen van beide?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.7.

Verticale as: A, H, O, T. Horizontale as: B, E, H, O. Beide: H, O. Geen van beide: F, N.

Oefening 27.8 ★

Een driehoek heeft zijden $5$ cm, $5$ cm en $3$ cm. Heeft hij een symmetrieas? Welke zijden wisselt de vouw om?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.8.

Ja: de driehoek is gelijkbenig, en zijn as gaat door de top tussen de twee $5$ cm-zijden en het midden van de $3$ cm-basis. De vouw wisselt de twee gelijke zijden om.

Oefening 27.9 ★★

Teken op ruitjespapier een figuur van jezelf met precies twee symmetrieassen, en teken beide assen. (Hint: denk aan een rechthoek, of aan een kruis.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.9.

Elke figuur met precies twee assen werkt: een (niet-vierkante) rechthoek, een plusteken met armen van twee verschillende lengtes (lang horizontaal, kort verticaal), een ovaal. De twee assen kruisen altijd in het centrum van de figuur.

Oefening 27.10 ★★

De helft van een symmetrische tekening is gegeven: de linkerhelft van een huis (een vierkante muur en half een driehoekig dak), met een verticale as langs de rechterrand. Beschrijf of teken het complete huis. Hoe verhouden de lengtes van de voltooide rechterhelft zich tot de linkerhelft?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.10.

Het complete huis is de linkerhelft plus zijn spiegeltweeling: een muur twee keer zo breed als de half-muur, onder een volledig driehoekig dak. Elke lengte rechts is gelijk aan zijn partner links — symmetrie kopieert lengtes precies.

Oefening 27.11 ★★

Aya beweert: “elke driehoek met twee gelijke zijden heeft een symmetrieas, en elke driehoek met een symmetrieas heeft twee gelijke zijden.” Test haar dubbele bewering op tekeningen: een gelijkbenige driehoek, een gelijkzijdige, een ongelijkzijdige. Ondersteunt het vouwen haar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.11.

De tekeningen ondersteunen beide richtingen: de gelijkbenige driehoek vouwt langs de lijn door zijn top (twee gelijke zijden $\to$ as); de gelijkzijdige vouwt drie manieren; de ongelijkzijdige heeft geen as (geen gelijke zijden $\to$ geen as). Aya’s dubbele bewering is juist — hij wordt bewezen in Hoofdstuk 42.