Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

27Symmetrie

Vlinders, gezichten, sneeuwvlokken: de natuur houdt van figuren waarvan de twee helften bij het vouwen precies op elkaar passen. In dit hoofdstuk verkennen we symmetrie met vouwen en ruitjespapier — constructies met de geodriehoek wachten tot Hoofdstuk 42.

27.1 Vouwen en op elkaar leggen

Definitie 27.1 (Symmetrieas)

Een lijn is een symmetrieas van een figuur als de twee helften precies op elkaar passen wanneer je de figuur langs die lijn vouwt. Een figuur kan geen as, één as of meerdere assen hebben.

Vouw langs de stippellijn: de helften passen op elkaar. Bij de laatste driehoek werkt geen enkele vouw — geen symmetrieas.

Voorbeeld 27.2 (Testen met overtrekpapier)

Trek de figuur over, klap het overtrekpapier om langs de lijn die je wilt testen, en leg het terug: bedekt de overtrek de figuur precies, dan is de as echt. Je ogen laten zich vaak bedriegen — de diagonaal van een rechthoek lijkt een as, maar de vouwtest zegt van niet (probeer het!).

27.2 Figuren afmaken op een raster

Methode 27.3 (Het spiegelbeeld van een figuur in een rasterlijn)

De as is een verticale (of horizontale) lijn van het raster.

Neem elk hoekpunt van de figuur één voor één;
tel in vakjes hoe ver het van de as ligt;
zet het beeldhoekpunt op dezelfde afstand aan de andere kant, op dezelfde rij (of in dezelfde kolom);
verbind de beeldhoekpunten in dezelfde volgorde en controleer: het beeld is de spiegeltweeling van de figuur.

Afmaken over de rode as: elk hoekpunt springt naar dezelfde afstand aan de andere kant. Hoekpunten die op de as liggen, blijven staan.

Voorbeeld 27.4 (Zelfde vorm, zelfde maat, omgeklapt)

Het beeld heeft precies dezelfde lengtes en dezelfde hoeken als het origineel: spiegelen kopieert de figuur — maar klapt haar om, zoals een linkerhand en een rechterhand. Is de letter F het origineel, dan is haar spiegelbeeld een omgekeerde F, geen tweede F.

27.3 De assen van de bekende figuren

Voorbeeld 27.5 (Assen tellen)

Door te vouwen:

een vierkant: $4$ assen (twee door de middens van de zijden die tegenover elkaar liggen, twee langs de diagonalen);
een rechthoek: $2$ assen (alleen door de middens van de zijden!);
een gelijkbenige driehoek: $1$ ; een gelijkzijdige driehoek: $3$ ;
een cirkel: elke lijn door zijn middelpunt — meer assen dan je kunt tellen.

Voorbeeld 27.6 (Symmetrie in het alfabet)

A, M, T, U, V hebben een verticale as; B, C, D, E een horizontale; H, I, O, X hebben er twee. Woorden van de juiste letters kunnen ook symmetrisch zijn: MAM heeft een verticale as; OXO werkt in beide richtingen.

27.4 Oefeningen

Oefening 27.1 ★

Trek over en vouw: welke van deze figuren hebben een symmetrieas — een vierkant; een rechthoek die geen vierkant is; een ongelijkzijdige driehoek (alle zijden verschillend); een cirkel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.1.

Vierkant: ja ( $4$ assen). Rechthoek: ja ( $2$ ). Ongelijkzijdige driehoek: geen enkele vouw werkt. Cirkel: ja — elke lijn door het middelpunt.

Oefening 27.2 ★

Teken de symmetrieassen van: een vierkant; een rechthoek; een gelijkzijdige driehoek. Hoeveel zijn het per figuur?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.2.

Vierkant: $4$ (twee middellijnen, twee diagonalen). Rechthoek: $2$ (alleen de middellijnen). Gelijkzijdige driehoek: $3$ (één door elk hoekpunt).

Oefening 27.3 ★

Laat met de overtrekpapiertest van Voorbeeld 27.2 zien dat de diagonaal van een rechthoek van $6 \times 4$ geen symmetrieas is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.3.

Vouw je langs de diagonaal, dan hebben de twee driehoekige helften dezelfde vorm, maar liggen ze niet op elkaar — de ene ligt “verkeerd om”: de overtrek komt naast de figuur terecht en niet erop. De diagonaal is dus geen as.

Oefening 27.4 ★

Teken op ruitjespapier een verticale as en de letter L (drie vakjes hoog, twee breed) op $2$ vakjes van de as. Construeer haar spiegelbeeld.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.4.

De beeld-L staat $2$ vakjes aan de andere kant van de as, in spiegelschrift (een omgekeerde L), met dezelfde maten.

Oefening 27.5 ★

Teken op ruitjespapier een horizontale as en daarboven een vlaggetje (een driehoekje van $1 \times 1$ op een mast van $3$ vakjes). Maak de figuur onder de as af met symmetrie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.5.

De afgemaakte figuur toont het vlaggetje met daaronder zijn spiegelbeeld onder de as, mast onder mast.

Oefening 27.6 ★

Een figuur raakt haar symmetrieas in een punt $P$ . Waar ligt het beeld van $P$ ? Leg het uit met het vouwplaatje.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.6.

$P$ beweegt niet: bij het vouwen langs de as blijft elk punt op de as precies waar het is — $P$ is zijn eigen beeld.

Oefening 27.7 ★

Sorteer de hoofdletters A, B, E, F, H, N, O, T: verticale as? horizontale as? beide? geen van beide?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.7.

Verticale as: A, H, O, T. Horizontale as: B, E, H, O. Beide: H, O. Geen van beide: F, N.

Oefening 27.8 ★

Een driehoek heeft zijden van $5$ cm, $5$ cm en $3$ cm. Heeft hij een symmetrieas? Welke zijden wisselt de vouw om?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.8.

Ja: de driehoek is gelijkbenig, en zijn as loopt door de top tussen de twee zijden van $5$ cm en door het midden van de basis van $3$ cm. De vouw wisselt de twee gelijke zijden om.

Oefening 27.9 ★★

Teken op ruitjespapier een eigen figuur met precies twee symmetrieassen, en teken beide assen erbij. (Tip: denk aan een rechthoek of aan een kruis.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.9.

Elke figuur met precies twee assen is goed: een rechthoek die geen vierkant is, een plusteken met armen van twee verschillende lengtes (lang horizontaal, kort verticaal), of een ovaal. De twee assen snijden elkaar altijd in het midden van de figuur.

Oefening 27.10 ★★

De helft van een symmetrische tekening is gegeven: de linkerhelft van een huis (een vierkante muur en de halve driehoek van het dak), met een verticale as langs de rechterrand. Beschrijf of teken het hele huis. Hoe verhouden de lengtes van de afgemaakte rechterhelft zich tot die van de linkerhelft?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.10.

Het hele huis is de linkerhelft plus haar spiegeltweeling: een muur die twee keer zo breed is als de halve muur, onder een volledig driehoekig dak. Elke lengte rechts is gelijk aan haar partner links — spiegelen kopieert lengtes precies.

Oefening 27.11 ★★

Aya beweert: “elke driehoek met twee gelijke zijden heeft een symmetrieas, en elke driehoek met een symmetrieas heeft twee gelijke zijden.” Test haar dubbele bewering op tekeningen: een gelijkbenige driehoek, een gelijkzijdige en een ongelijkzijdige. Steunt het vouwen haar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.11.

De tekeningen steunen beide richtingen: de gelijkbenige driehoek vouwt langs de lijn door zijn top (twee gelijke zijden $\to$ een as); de gelijkzijdige vouwt op drie manieren; de ongelijkzijdige heeft geen as (geen gelijke zijden $\to$ geen as). Aya’s dubbele bewering is juist — ze wordt bewezen in Hoofdstuk 42.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Symmetrieas

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst