Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

22Grotere getallen vermenigvuldigen

In jaar 3 vermenigvuldigden we met één cijfer (Hoofdstuk 16); in dit hoofdstuk vermenigvuldigen we met getallen van twee cijfers — en leggen we de raadselachtige “opgeschoven regel” van het cijferen uit, die niets anders is dan een splitsing in tientallen en eenheden.

22.1 Vermenigvuldigen met tientallen

Propositie 22.1 (Keer 10, 20, 300 …)

Met $10$ vermenigvuldigen zet er één nul achter, met $100$ twee nullen. Om met $20$ te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je met $2$ en daarna met $10$ :

36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .

Net zo is $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

22.2 Het cijferen met twee cijfers

Voorbeeld 22.2 (Waarom die opgeschoven regel?)

Om $23 \times 12$ uit te rekenen, splits je $12$ in $10 + 2$ :

23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .

Bij het cijferen schrijf je precies deze twee producten onder elkaar — het tweede een plaats naar links opgeschoven, omdat het een aantal tientallen is:

\begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array}

(de punt geeft de plaats van de eenheden in de opgeschoven regel aan; die blijft meestal leeg).

Het rechthoekplaatje van 23 × 12: vier makkelijke producten, 200 + 40 + 30 + 6 = 276. Het cijferen bundelt ze in twee regels: 46 (de regel “× 2”) en 230 (de regel “× 10”). — Het rechthoekplaatje van $23 \times 12$ : vier makkelijke producten, $200 + 40 + 30 + 6 = 276$ . Het cijferen bundelt ze in twee regels: $46$ (de regel “ $\times 2$ ”) en $230$ (de regel “ $\times 10$ ”).

Methode 22.3 (Cijferend vermenigvuldigen met een getal van twee cijfers)

Om $457 \times 36$ uit te rekenen:

eerste regel: $457 \times 6 = 2\,742$ ;
tweede regel: $457 \times 3$ tientallen $= 1\,371$ tientallen — schrijf $1\,371$ één plaats naar links opgeschoven;
tel de twee regels op: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ;
controleer met een schatting: $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ? Beter: $450 \times 36$ is ongeveer $16\,000$ — aannemelijk.

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array}

Voorbeeld 22.4 (Trucs voor het hoofdrekenen)

Handig splitsen: $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ .
Bijna honderd gebruiken: $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ .
Verdubbelen en halveren: $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (de ene factor halveren en de andere verdubbelen laat het product gelijk).

22.3 Vermenigvuldigen in vraagstukken

Voorbeeld 22.5

Een school bestelt $28$ pakken van $145$ vellen papier.

Bewerking: $145 \times 28$ .
Schatting: $150 \times 30 = 4\,500$ , aan beide kanten iets te ruim.
Cijferen: $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ tientallen $= 2\,900$ ; samen $4\,060$ .
Antwoordzin: de school ontvangt $4\,060$ vellen.

22.4 Oefeningen

Oefening 22.1 ★

Reken uit het hoofd: $47 \times 10$ ; $23 \times 100$ ; $36 \times 20$ ; $15 \times 300$ ; $42 \times 50$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

$470$ ; $2\,300$ ; $720$ ; $4\,500$ ; $2\,100$ .

Oefening 22.2 ★

Reken $34 \times 21$ uit door te splitsen zoals in Voorbeeld 22.2 ( $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$ ) en controleer daarna met cijferen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$ ; het cijferen geeft dezelfde regels: $34$ en $680$ .

Oefening 22.3 ★

Vermenigvuldig cijferend: $63 \times 24$ ; $85 \times 47$ ; $126 \times 53$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

$63 \times 24 = 1\,512$ ; $85 \times 47 = 3\,995$ ; $126 \times 53 = 6\,678$ .

Oefening 22.4 ★

Vermenigvuldig cijferend, met eerst een schatting: $208 \times 34$ ; $517 \times 62$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

$208 \times 34$ : schatting $200 \times 34 = 6\,800$ ; precies $7\,072$ .

$517 \times 62$ : schatting $500 \times 60 = 30\,000$ ; precies $32\,054$ .

Oefening 22.5 ★

Reken uit met een truc uit Voorbeeld 22.4: $45 \times 11$ ; $32 \times 99$ ; $24 \times 45$ (verdubbelen en halveren — desnoods twee keer).

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$ .

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$ .

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (of nog een keer: $6 \times 180 = 1\,080$ ).

Oefening 22.6 ★

Een bioscoop heeft $26$ rijen van $18$ stoelen. Hoeveel stoelen zijn dat in totaal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

$26 \times 18 = 468$ stoelen.

Oefening 22.7 ★

Een vrachtwagen vervoert $32$ pallets met $48$ kratten. Hoeveel kratten zijn dat? Geef eerst een schatting en dan het precieze antwoord.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

Schatting: $30 \times 50 = 1\,500$ . Precies: $32 \times 48 = 1\,536$ kratten.

Oefening 22.8 ★

Zoek de fout: Ana rekent $57 \times 23$ uit als $57 \times 3 = 171$ en $57 \times 2 = 114$ , en telt dan op: $171 + 114 = 285$ . De juiste uitkomst is $1\,311$ . Wat is ze vergeten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

Ze is vergeten dat de $2$ van $23$ tientallen telt: de tweede regel moet $57 \times 20 = 1\,140$ zijn, niet $114$ . Het juiste totaal is $171 + 1\,140 = 1\,311$ .

Oefening 22.9 ★★

Een tuinier plant $14$ rijen van $35$ tulpen en $12$ rijen van $28$ narcissen. Hoeveel bloemen zijn dat in totaal? (Twee producten en dan een som.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

Tulpen: $14 \times 35 = 490$ . Narcissen: $12 \times 28 = 336$ . Samen: $490 + 336 = 826$ bloemen.

Oefening 22.10 ★★

Een bakkerij gebruikt elke dag $67$ kg bloem. Hoeveel bloem is dat ongeveer in een maand van $30$ dagen — schat met afgeronde getallen en reken daarna precies uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.10.

Schatting: $70 \times 30 = 2\,100$ kg. Precies: $67 \times 30 = 2\,010$ kg.

Oefening 22.11 ★★

Leg met een rechthoekplaatje zoals dat van dit hoofdstuk uit waarom $15 \times 12$ uitgerekend kan worden als $15 \times 10 + 15 \times 2$ . Verzin daarna een andere splitsing van $15 \times 12$ die ook werkt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.11.

Een rechthoek van $15 \times 12$ vakjes kun je met een verticale lijn in een stuk $15 \times 10$ en een stuk $15 \times 2$ knippen: elk stuk tellen geeft $150 + 30 = 180$ . Een andere knip werkt net zo goed, bijvoorbeeld $15 = 10 + 5$ : $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$ . Hoe je de rechthoek ook knipt, het totale aantal vakjes blijft hetzelfde.