Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

22Grotere getallen vermenigvuldigen

In jaar 3 vermenigvuldigden we met één cijfer (Hoofdstuk 16); dit hoofdstuk vermenigvuldigt met tweecijferige getallen — en legt de mysterieuze “verschoven regel” van de kolommethode uit, die niets anders is dan een splitsing in tientallen en eenheden.

22.1 Vermenigvuldigen met tientallen

Propositie 22.1 (Keer 10, 20, 300 …)

Vermenigvuldigen met $10$ voegt één nul toe, met $100$ twee nullen. Om met $20$ te vermenigvuldigen, vermenigvuldig met $2$ , dan met $10$ :

36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .

Zo ook $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$ .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

22.2 De kolommethode met twee cijfers

Voorbeeld 22.2 (Waarom de verschoven regel?)

Om $23 \times 12$ uit te rekenen, splits $12$ in $10 + 2$ :

23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .

De kolommethode schrijft precies deze twee producten, de ene onder de andere — de tweede naar links verschoven omdat het een getal van tientallen is:

\begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array}

(de punt markeert de eenhedenplaats van de verschoven regel, vaak blanco gelaten).

Het rechthoekplaatje van 23 × 12: vier makkelijke producten, 200 + 40 + 30 + 6 = 276. De kolommethode groepeert ze in twee regels: 46 (de “× 2”-rij) en 230 (de “× 10”-rij). — Het rechthoekplaatje van $23 \times 12$ : vier makkelijke producten, $200 + 40 + 30 + 6 = 276$ . De kolommethode groepeert ze in twee regels: $46$ (de “ $\times 2$ ”-rij) en $230$ (de “ $\times 10$ ”-rij).

Methode 22.3 (Kolomsgewijs vermenigvuldigen met een tweecijferig getal)

Om $457 \times 36$ uit te rekenen:

eerste regel: $457 \times 6 = 2\,742$ ;
tweede regel: $457 \times 3$ tientallen $= 1\,371$ tientallen — schrijf $1\,371$ één plaats naar links verschoven;
tel de twee regels op: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ;
schat om te controleren: $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ? Beter: $450 \times 36$ is ongeveer $16\,000$ — aannemelijk.

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array}

Voorbeeld 22.4 (Mentale trucs)

Vriendelijk splitsen: $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ .
Bijna-honderd gebruiken: $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ .
Verdubbelen en halveren: $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (één factor halveren en de andere verdubbelen houdt het product).

22.3 Vermenigvuldigen in sommen

Voorbeeld 22.5

Een school bestelt $28$ dozen van $145$ vellen papier.

Bewerking: $145 \times 28$ .
Schatting: $150 \times 30 = 4\,500$ , een beetje te veel aan beide kanten.
Kolommen: $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ tientallen $= 2\,900$ ; totaal $4\,060$ .
Zin: de school ontvangt $4\,060$ vellen.

22.4 Oefeningen

Oefening 22.1 ★

Reken uit het hoofd: $47 \times 10$ ; $23 \times 100$ ; $36 \times 20$ ; $15 \times 300$ ; $42 \times 50$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

$470$ ; $2\,300$ ; $720$ ; $4\,500$ ; $2\,100$ .

Oefening 22.2 ★

Reken $34 \times 21$ uit door te splitsen zoals in Voorbeeld 22.2 ( $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$ ), controleer dan in kolommen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$ ; de kolommen geven dezelfde regels: $34$ en $680$ .

Oefening 22.3 ★

Reken kolomsgewijs uit: $63 \times 24$ ; $85 \times 47$ ; $126 \times 53$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

$63 \times 24 = 1\,512$ ; $85 \times 47 = 3\,995$ ; $126 \times 53 = 6\,678$ .

Oefening 22.4 ★

Reken kolomsgewijs uit, met eerst een schatting: $208 \times 34$ ; $517 \times 62$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

$208 \times 34$ : schatting $200 \times 34 = 6\,800$ ; precies $7\,072$ .

$517 \times 62$ : schatting $500 \times 60 = 30\,000$ ; precies $32\,054$ .

Oefening 22.5 ★

Reken uit met een truc uit Voorbeeld 22.4: $45 \times 11$ ; $32 \times 99$ ; $24 \times 45$ (verdubbel en half — twee keer als je wilt).

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$ .

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$ .

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (of nog eens: $6 \times 180 = 1\,080$ ).

Oefening 22.6 ★

Een bioscoop heeft $26$ rijen van $18$ stoelen. Hoeveel stoelen in totaal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

$26 \times 18 = 468$ stoelen.

Oefening 22.7 ★

Een vrachtwagen vervoert $32$ pallets van $48$ kratten. Hoeveel kratten? Geef eerst een schatting, dan het exacte antwoord.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

Schatting: $30 \times 50 = 1\,500$ . Precies: $32 \times 48 = 1\,536$ kratten.

Oefening 22.8 ★

Zoek de fout: Ana rekent $57 \times 23$ als $57 \times 3 = 171$ en $57 \times 2 = 114$ , en telt dan $171 + 114 = 285$ . Het juiste antwoord is $1\,311$ . Wat is ze vergeten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

Ze vergat dat de $2$ van $23$ tientallen telt: de tweede regel moet $57 \times 20 = 1\,140$ zijn, niet $114$ . Juiste totaal: $171 + 1\,140 = 1\,311$ .

Oefening 22.9 ★★

Een tuinman plant $14$ rijen van $35$ tulpen en $12$ rijen van $28$ narcissen. Hoeveel bloemen in totaal? (Twee producten, dan een som.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

Tulpen: $14 \times 35 = 490$ . Narcissen: $12 \times 28 = 336$ . Totaal: $490 + 336 = 826$ bloemen.

Oefening 22.10 ★★

Elke dag gebruikt een bakkerij $67$ kg meel. Ongeveer hoeveel meel is dat in een maand van $30$ dagen — schat met afgeronde getallen, reken dan precies.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.10.

Schatting: $70 \times 30 = 2\,100$ kg. Precies: $67 \times 30 = 2\,010$ kg.

Oefening 22.11 ★★

Leg uit, met een rechthoekplaatje zoals in dit hoofdstuk, waarom $15 \times 12$ berekend kan worden als $15 \times 10 + 15 \times 2$ . Bedenk daarna een andere splitsing van $15 \times 12$ die ook werkt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.11.

Een $15 \times 12$ -rechthoek van eenheidsvierkantjes kan door een verticale lijn gesneden worden in een $15 \times 10$ -deel en een $15 \times 2$ -deel: elk deel tellen geeft $150 + 30 = 180$ . Een andere snede werkt even goed, bijvoorbeeld $15 = 10 + 5$ : $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$ . Elke manier om de rechthoek te snijden laat het totale aantal vierkantjes onveranderd.