Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

45Rekenvolgorde

Wat is $3 + 4 \times 5$ ? Als je van links naar rechts rekent krijg je $35$ ; als je eerst vermenigvuldigt krijg je $23$ . Wiskunde heeft één enkel antwoord nodig, dus er zijn verkeersregels voor berekeningen — de rekenvolgorde. Dit hoofdstuk stelt ze vast en introduceert een eerste algebraïsche identiteit, de distributiviteit.

45.1 De voorrangsregels

Stelling 45.1 (Voorrangsregels)

In een berekening zonder haakjes:

vermenigvuldigingen en delingen worden uitgevoerd vóór optellingen en aftrekkingen;
bewerkingen van hetzelfde niveau worden van links naar rechts uitgevoerd.

Haakjes overruilen alles: wat tussen haakjes staat wordt eerst berekend, te beginnen bij de binnenste.

Voorbeeld 45.2

Eén stap per regel, (mentaal) onderstrepen wat berekend wordt:

\begin{align*} 3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23 &&\text{(eerst vermenigvuldiging)}\\ 20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14 &&\text{(zelfde niveau: links naar rechts)}\\ 18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12 &&\text{(zelfde niveau: links naar rechts)}\\ (3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35 &&\text{(eerst haakjes).} \end{align*}

Let op de valkuilen: $20 - 8 + 2$ is niet $20 - 10$ , en $18 \div 3 \times 2$ is niet $18 \div 6$ .

Voorbeeld 45.3 (Geneste haakjes)

\begin{align*} 50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr) &= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(binnenste haakjes)}\\ &= 50 - 2 \times 9 && \text{(resterende haakjes)}\\ &= 50 - 18 && \text{(vermenigvuldiging)}\\ &= 32 . \end{align*}

Opmerking 45.4 (Breukstrepen verbergen haakjes)

Een breukstreep groepeert teller en noemer, alsof elk onzichtbare haakjes had:

\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5, \qquad\text{niet}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .

Methode 45.5 (Veilig rekenen)

Spot de bewerking die eerst moet (binnenste haakjes, daarna $\times$ en $\div$ , daarna $+$ en $-$ );
bereken alleen die ene, en herschrijf de hele uitdrukking met het resultaat op die plaats;
herhaal tot er één getal overblijft — één bewerking per regel, geen shortcuts.

45.2 Distributiviteit

Stelling 45.6 (Distributiviteit)

Voor alle getallen $k$ , $a$ , $b$ :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b, \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b .

Bewijs met een plaatje. Tel de oppervlakte van een rechthoek met breedte $k$ gesplitst in twee kleinere rechthoeken met lengten $a$ en $b$ : als geheel is die $k \times (a+b)$ ; in twee delen is die $k \times a + k \times b$ . Zelfde rechthoek, zelfde oppervlakte. ∎

Distributiviteit als oppervlakten: de grote rechthoek k × (a + b) is de som van de twee kleinere. — Distributiviteit als oppervlakten: de grote rechthoek $k \times (a + b)$ is de som van de twee kleinere.

Voorbeeld 45.7 (Beide richtingen)

Uitwerken (van links naar rechts) maakt mentaal rekenen makkelijk:

7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721, \qquad 6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .

Ontbinden (van rechts naar links) verzamelt een gemeenschappelijke factor:

23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .

Voorbeeld 45.8 (Woorden omzetten in een berekening)

“De som van $8$ en het product van $5$ met $3$ ” is $8 + 5 \times 3 = 23$ . “Het product van $5$ met de som van $8$ en $3$ ” is $5 \times (8 + 3) = 55$ : de woorden “het product van … met de som van…” zetten haakjes om de som.

45.3 Oefeningen

Oefening 45.1 ★

Bereken, één bewerking per regel:

5 + 3 \times 6, \qquad (5 + 3) \times 6, \qquad 30 - 12 \div 4, \qquad (30 - 12) \div 4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.1.

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$ .

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$ .

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$ .

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$ .

Oefening 45.2 ★

Bereken:

24 - 6 + 2, \qquad 24 \div 6 \times 2, \qquad 24 - 6 \times 2, \qquad 24 \div (6 \times 2).

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.2.

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (links naar rechts).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (links naar rechts).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (eerst vermenigvuldiging).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$ .

Oefening 45.3 ★

Bereken stap voor stap:

7 + 3 \times (10 - 6), \qquad 40 - (2 + 3) \times 4, \qquad 60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.3.

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$ .

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$ .

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3) = 60 \div 6 = 10$ .

Oefening 45.4 ★

Bereken de breuken (onzichtbare haakjes!):

\frac{18 + 6}{8}, \qquad \frac{30}{7 - 2}, \qquad \frac{5 \times 8}{4 + 6} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.4.

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$ ; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$ ; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$ .

Oefening 45.5 ★

Gebruik distributiviteit om uit het hoofd te rekenen:

8 \times 102, \qquad 25 \times 99, \qquad 14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad 37 \times 45 - 37 \times 35 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.5.

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$ .

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$ .

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$ .

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 = 370$ .

Oefening 45.6 ★

Schrijf de berekening in één regel, met haakjes waar nodig, en bereken dan: “het verschil van $50$ en het product van $6$ met $7$ ”; “het product van de som van $4$ en $5$ met het verschil van $10$ en $8$ ”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.6.

“Het verschil van $50$ en het product van $6$ met $7$ ”: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (geen haakjes nodig, de voorrang doet het werk).

“Het product van de som van $4$ en $5$ met het verschil van $10$ en $8$ ”: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$ .

Oefening 45.7 ★

Amir kocht $3$ schriften van $2.50$ elk en $2$ pennen van $1.20$ elk. Schrijf zijn totaal in één uitdrukking, en bereken die.

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.7.

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ euro.

Oefening 45.8 ★★

Plaats haakjes in $4 + 2 \times 5 - 1$ om als resultaat te krijgen: (a) $13$ ; (b) $29$ ; (c) $24$ . (Voor één van de drie zijn helemaal geen haakjes nodig — welke?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.8.

(a) geen haakjes: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$ .

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$ .

Oefening 45.9 ★★

Zijn $12 + 4 \times k$ en $16 \times k$ hetzelfde voor elk getal $k$ ? Test met $k = 1$ en $k = 2$ , en concludeer. Welke voorrangsfout zou van de ene naar de andere leiden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.9.

$k = 1$ : $12 + 4 \times 1 = 16$ en $16 \times 1 = 16$ — ze komen overeen (daarom is $k = 1$ een slechte test!). $k = 2$ : $12 + 4 \times 2 = 20$ maar $16 \times 2 = 32$ : verschillend. Dus de twee uitdrukkingen zijn niet gelijk in het algemeen. De fout $12 + 4 \times k = 16 \times k$ komt van eerst $12 + 4$ optellen, waarbij de voorrang van $\times$ wordt genegeerd.

Oefening 45.10 ★★

Een bioscoopticket kost $9$ euro, maar een groep van $n$ personen betaalt een vast bedrag van $12$ euro plus $6$ euro per persoon.

Schrijf een uitdrukking voor de groepsprijs, en bereken die voor $n = 5$ .
Vanaf hoeveel personen is het groepstarief goedkoper dan $n$ individuele tickets? (Probeer een paar waarden van $n$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.10.

1. Groepsprijs: $12 + 6 \times n$ . Voor $n = 5$ : $12 + 30 = 42$ euro.

2. Individuele prijs: $9n$ . Vergelijk: $n = 3$ : $30$ vs $27$ (individueel goedkoper); $n = 4$ : $36$ vs $36$ (gelijk); $n = 5$ : $42$ vs $45$ (groep goedkoper). Vanaf $5$ personen wint het groepstarief (elke extra persoon kost $6$ in plaats van $9$ , dus de kloof groeit alleen).

Oefening 45.11 ★★★

Gebruik elk van de cijfers $1$ , $2$ , $3$ , $4$ precies één keer, de vier bewerkingen en haakjes naar believen, en schrijf uitdrukkingen gelijk aan $24$ , aan $10$ , en aan $1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.11.

Mogelijke antwoorden (er bestaan er veel):

24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad 10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad 1 = (4 - 3) \times (2 - 1).