Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

55Breuken: alle vier de bewerkingen

Dit hoofdstuk voltooit de rekenkunde van breuken: optellen en aftrekken met elke noemers, vermenigvuldigen, en — de nieuwkomer — delen, wat een vermenigvuldiging in vermomming blijkt te zijn. Tekens uit Hoofdstuk 54 reizen mee.

55.1 Optellen met willekeurige noemers

Methode 55.1 (Gemeenschappelijke noemer)

Om $\frac ab$ en $\frac cd$ op te tellen of af te trekken:

vind een gemeenschappelijk veelvoud van $b$ en $d$ (het product $b \times d$ werkt altijd; een kleiner spaart werk);
herschrijf beide breuken met die noemer;
tel of trek de tellers op/af; vereenvoudig.

Voorbeeld 55.2

Bereken $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$ . Een gemeenschappelijk veelvoud van $6$ en $4$ is $12$ :

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}, \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.

Met tekens: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} - \dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$ .

55.2 Breuken vermenigvuldigen

Stelling 55.3 (Product van breuken)

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .

Waarom, op een plaatje. Neem $\frac34$ van $\frac25$ van een vierkant: snijd het vierkant in $5$ verticale stroken en houd $2$ ; snijd horizontaal in $4$ en houd $3$ rijen van wat overbleef. Het gehouden deel is een rooster van $3 \times 2$ kleine cellen van de $4 \times 5$ : breuk $\frac{6}{20}$ . ∎

3/4 × 2/5: het dubbel gearceerde gebied is 3 × 2 = 6 cellen van de 4 × 5 = 20, d.w.z. 6/20 = 3/10 — tellers vermenigvuldigd, noemers vermenigvuldigd. — $\frac34 \times \frac25$ : het dubbel gearceerde gebied is $3 \times 2 = 6$ cellen van de $4 \times 5 = 20$ , d.w.z. $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — tellers vermenigvuldigd, noemers vermenigvuldigd.

Voorbeeld 55.4

Vereenvoudig vóór het vermenigvuldigen, door gemeenschappelijke factoren weg te strepen:

\frac{7}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{7 \times 9}{12 \times 14} = \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7} = \frac{3}{8}

(de factor $7$ en één factor $3$ vallen weg tussen boven en onder). Met tekens gelden eerst de regels van Stelling 54.1: $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) = +\frac{10}{12} = \frac56$ .

55.3 Breuken delen

Definitie 55.5 (Omgekeerde)

Het omgekeerde van een getal $x$ ongelijk aan nul is het getal dat, vermenigvuldigd met $x$ , $1$ geeft. Het omgekeerde van $\frac ab$ is $\frac ba$ , want $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$ ; het omgekeerde van een geheel getal $n$ is $\frac1n$ .

Stelling 55.6 (Delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde)

Voor $c \neq 0$ :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .

Bewijs. Per definitie is het quotiënt $q$ van $\frac ab$ door $\frac cd$ het getal met $q \times \frac cd = \frac ab$ . Controleer de kandidaat $q = \frac ab \times \frac dc$ :

\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd = \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right) = \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere

∎

Voorbeeld 55.7

\frac{3}{5} \div \frac{7}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{3 \times 10}{5 \times 7} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.

Een saneiteitscontrole: delen door $\frac{7}{10}$ , een getal kleiner dan $1$ , moet een resultaat groter dan $\frac35$ geven — en $\frac67 > \frac35$ inderdaad ( $\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$ ).

Voorbeeld 55.8 (Breukstrepen in breukstrepen)

Een “dubbeldekker” is gewoon een deling verticaal geschreven:

\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ } = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.

Zoek eerst de hoofdstreep (de langste), en pas daarna Stelling 55.6 toe.

Methode 55.9 (Gemengde berekeningen)

In een uitdrukking die breuken en de vier bewerkingen mengt:

pas de gewone rekenvolgorde toe (Hoofdstuk 45);
zet elke deling om in een vermenigvuldiging met het omgekeerde;
bepaal eerst de tekens (Methode 54.6), en vermenigvuldig daarna of zoek gemeenschappelijke noemers;
vereenvoudig bij de vroegste gelegenheid.

Voorbeeld 55.10

\begin{align*} \frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} &= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4} && \text{(eerst product!)} \\ &= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32 = \frac{4}{2} = 2 . \end{align*}

55.4 Oefeningen

Oefening 55.1 ★

Bereken en vereenvoudig:

\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad \frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad \frac{7}{10} + \frac{8}{15} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.1.

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{23}{20}$ .

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ .

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} = \dfrac{37}{30}$ .

Oefening 55.2 ★

Bereken (eerst de tekens):

-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad \frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad -\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.2.

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{1}{14}$ .

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} = -\dfrac{13}{12}$ .

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} = -\dfrac{11}{10}$ .

Oefening 55.3 ★

Bereken, en vereenvoudig vóór het vermenigvuldigen:

\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad \frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad \left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.3.

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15} = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (vereenvoudig met $5$ en met $4$ ).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3} = \dfrac{3}{2}$ (vereenvoudig met $7$ en met $3$ ).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45} = -\dfrac43$ (tegengestelde tekens: negatief).

Oefening 55.4 ★

Geef het omgekeerde van: $\dfrac{3}{7}$ ; $5$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $-\dfrac{2}{9}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.4.

Omgekeerden: $\dfrac73$ ; $\dfrac15$ ; $4$ ; $-\dfrac92$ (het omgekeerde houdt het teken).

Oefening 55.5 ★

Bereken:

\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad \frac{7}{5} \div 14, \qquad 6 \div \frac{3}{4} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.5.

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$ .

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70} = \dfrac{1}{10}$ .

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$ .

Oefening 55.6 ★

Bereken de dubbeldekkers:

\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ }, \qquad \frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ }, \qquad \frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.6.

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} = \dfrac23$ .

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ .

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$ .

Oefening 55.7 ★

Bereken, met respect voor de rekenvolgorde:

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}, \qquad \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.7.

Eerst product: $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10} = \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$ .

Eerst haakjes: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45 = \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$ .

Oefening 55.8 ★★

Een tank is $\frac{2}{5}$ vol. Men voegt $\frac{1}{3}$ van de capaciteit van de tank toe. Welk deel van de tank is nu vol? Welk deel is nog leeg?

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.8.

Vol: $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ van de tank. Leeg: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ .

Oefening 55.9 ★★

Driekwart van de leerlingen van een klas slaagde voor een toets; onder hen haalde twee derden meer dan $14$ op $20$ . Welk deel van de klas haalde meer dan $14$ ? Als dat $12$ leerlingen voorstelt, hoe groot is de klas?

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.9.

Deel met meer dan $14$ : $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ van de klas. Als dat $12$ leerlingen is, heeft de klas $24$ leerlingen.

Oefening 55.10 ★★

Een touw van $\frac{15}{2}$ m moet in stukken van $\frac{3}{4}$ m worden geknipt. Hoeveel stukken krijgt men? (Een deling van breuken — controleer dat het antwoord een geheel getal is.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.10.

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43 = \dfrac{60}{6} = 10$ stukken — een geheel getal, geen touw verspild.

Oefening 55.11 ★★

Bereken

E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9}, \qquad F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.11.

$E$ : eerst deling: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac34$ ; daarna $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$ .

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times \dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (het kwadraat is positief).

Oefening 55.12 ★★★

Vereenvoudig de uitdrukking

1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}

(begin bij de binnenste breuk en werk naar buiten, één streep per keer).

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.12.

Van binnen naar buiten: $1 + 1 = 2$ ; daarna $1 + \dfrac12 = \dfrac32$ ; daarna

1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .