Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

55Breuken: alle vier de bewerkingen

Dit hoofdstuk maakt de rekenkunde van de breuken af: optellen en aftrekken met elke noemer, vermenigvuldigen, en — de nieuwkomer — delen, dat een vermomde vermenigvuldiging blijkt te zijn. De tekens uit Hoofdstuk 54 gaan mee op reis.

55.1 Optellen met willekeurige noemers

Methode 55.1 (Gemeenschappelijke noemer)

Om $\frac ab$ en $\frac cd$ op te tellen of af te trekken:

zoek een gemeenschappelijk veelvoud van $b$ en $d$ (het product $b \times d$ werkt altijd; een kleiner veelvoud spaart werk);
herschrijf beide breuken met die noemer;
tel de tellers op of trek ze af; vereenvoudig.

Voorbeeld 55.2

Reken $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$ uit. Een gemeenschappelijk veelvoud van $6$ en $4$ is $12$ :

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}, \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.

Met tekens: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} - \dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$ .

55.2 Breuken vermenigvuldigen

Stelling 55.3 (Product van breuken)

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .

Waarom, op een plaatje. Neem $\frac34$ van $\frac25$ van een vierkant: knip het vierkant in $5$ verticale stroken en houd er $2$ ; knip horizontaal in $4$ en houd $3$ rijen van wat er overbleef. Wat je overhoudt, is een rooster van $3 \times 2$ vakjes van de $4 \times 5$ : de breuk $\frac{6}{20}$ . ∎

3/4 × 2/5: het dubbel gekleurde gebied is 3 × 2 = 6 vakjes van de 4 × 5 = 20, dus 6/20 = 3/10 — de tellers vermenigvuldigd, de noemers vermenigvuldigd. — $\frac34 \times \frac25$ : het dubbel gekleurde gebied is $3 \times 2 = 6$ vakjes van de $4 \times 5 = 20$ , dus $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — de tellers vermenigvuldigd, de noemers vermenigvuldigd.

Voorbeeld 55.4

Vereenvoudig voordat je vermenigvuldigt, door gemeenschappelijke factoren weg te strepen:

\frac{7}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{7 \times 9}{12 \times 14} = \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7} = \frac{3}{8}

(de factor $7$ en één factor $3$ vallen boven en onder weg). Met tekens gelden eerst de regels van Stelling 54.1: $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) = +\frac{10}{12} = \frac56$ .

55.3 Breuken delen

Definitie 55.5 (Omgekeerde)

De omgekeerde van een getal $x$ dat niet nul is, is het getal dat met $x$ vermenigvuldigd $1$ geeft. De omgekeerde van $\frac ab$ is $\frac ba$ , want $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$ ; de omgekeerde van een geheel getal $n$ is $\frac1n$ .

Stelling 55.6 (Delen is vermenigvuldigen met de omgekeerde)

Voor $c \neq 0$ :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .

Bewijs. Per definitie is het quotiënt $q$ van $\frac ab$ door $\frac cd$ het getal waarvoor $q \times \frac cd = \frac ab$ . Test de kandidaat $q = \frac ab \times \frac dc$ :

\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd = \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right) = \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere

∎

Voorbeeld 55.7

\frac{3}{5} \div \frac{7}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{3 \times 10}{5 \times 7} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.

Een controle op de grootte: delen door $\frac{7}{10}$ , een getal kleiner dan $1$ , moet een uitkomst geven die groter is dan $\frac35$ — en $\frac67 > \frac35$ is inderdaad zo ( $\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$ ).

Voorbeeld 55.8 (Breukstrepen in breukstrepen)

Een “dubbeldekker” is niets anders dan een deling die verticaal geschreven is:

\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ } = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.

Zoek eerst de hoofdstreep (de langste) en pas dan Stelling 55.6 toe.

Methode 55.9 (Gemengde berekeningen)

In een uitdrukking met breuken en de vier bewerkingen:

pas de gewone voorrangsregels toe (Hoofdstuk 45);
zet elke deling om in een vermenigvuldiging met de omgekeerde;
beslis eerst de tekens (Methode 54.6) en vermenigvuldig daarna, of zoek gemeenschappelijke noemers;
vereenvoudig bij de eerste gelegenheid.

Voorbeeld 55.10

\begin{align*} \frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} &= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4} && \text{(eerst het product!)} \\ &= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32 = \frac{4}{2} = 2 . \end{align*}

55.4 Oefeningen

Oefening 55.1 ★

Reken uit en vereenvoudig:

\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad \frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad \frac{7}{10} + \frac{8}{15} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.1.

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{23}{20}$ .

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ .

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} = \dfrac{37}{30}$ .

Oefening 55.2 ★

Reken uit (eerst de tekens):

-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad \frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad -\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.2.

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{1}{14}$ .

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} = -\dfrac{13}{12}$ .

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} = -\dfrac{11}{10}$ .

Oefening 55.3 ★

Reken uit, en vereenvoudig voordat je vermenigvuldigt:

\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad \frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad \left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.3.

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15} = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (vereenvoudig door $5$ en door $4$ ).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3} = \dfrac{3}{2}$ (vereenvoudig door $7$ en door $3$ ).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45} = -\dfrac43$ (tegengestelde tekens: negatief).

Oefening 55.4 ★

Geef de omgekeerde van: $\dfrac{3}{7}$ ; $5$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $-\dfrac{2}{9}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.4.

Omgekeerden: $\dfrac73$ ; $\dfrac15$ ; $4$ ; $-\dfrac92$ (de omgekeerde houdt het teken).

Oefening 55.5 ★

Reken uit:

\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad \frac{7}{5} \div 14, \qquad 6 \div \frac{3}{4} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.5.

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$ .

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70} = \dfrac{1}{10}$ .

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$ .

Oefening 55.6 ★

Reken de dubbeldekkers uit:

\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ }, \qquad \frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ }, \qquad \frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.6.

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} = \dfrac23$ .

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ .

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$ .

Oefening 55.7 ★

Reken uit, met respect voor de voorrangsregels:

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}, \qquad \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.7.

Eerst het product: $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10} = \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$ .

Eerst de haakjes: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45 = \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$ .

Oefening 55.8 ★★

Een tank is voor $\frac{2}{5}$ gevuld. Er wordt $\frac{1}{3}$ van de inhoud van de tank bij gedaan. Welke breuk van de tank is nu gevuld? En welke breuk is nog leeg?

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.8.

Gevuld: $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ van de tank. Leeg: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ .

Oefening 55.9 ★★

Driekwart van de leerlingen van een klas haalde een toets; van hen kreeg twee derde meer dan $14$ van de $20$ . Welke breuk van de klas kreeg meer dan $14$ ? Als dat $12$ leerlingen zijn, hoe groot is de klas dan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.9.

De breuk met meer dan $14$ : $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ van de klas. Als dat $12$ leerlingen zijn, heeft de klas $24$ leerlingen.

Oefening 55.10 ★★

Een touw van $\frac{15}{2}$ m moet in stukken van elk $\frac{3}{4}$ m geknipt worden. Hoeveel stukken krijg je? (Een deling van breuken — ga na dat het antwoord een heel getal is.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.10.

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43 = \dfrac{60}{6} = 10$ stukken — een heel getal, geen touw verspild.

Oefening 55.11 ★★

Reken uit:

E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9}, \qquad F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.11.

$E$ : eerst de deling: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac34$ ; en dan $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$ .

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times \dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (het kwadraat is positief).

Oefening 55.12 ★★★

Vereenvoudig de uitdrukking

1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}

(begin bij de binnenste breuk en werk naar buiten, één streep per keer).

Oplossing

Oplossing van Oefening 55.12.

Van binnen naar buiten: $1 + 1 = 2$ ; dan $1 + \dfrac12 = \dfrac32$ ; en dan

1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .

55.5 Opgave: Egyptische breuken

Probleem 55.1

Weekendopgave — elke breuk is een som van verschillende stambreuken

Een stambreuk is een breuk met teller $1$ . De schrijvers van het oude Egypte — de Rhind-papyrus werd rond $1550$ v.Chr. gekopieerd — schreven elke breuk als een som van verschillende stambreuken: nooit $\frac27 = \frac17 + \frac17$ , maar $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ . Zo’n som heet een Egyptische schrijfwijze van de breuk. In deze opgave werk je de optel- en vergelijktechnieken van dit hoofdstuk (Methode 55.1) uit tot een methode — in $1202$ door Fibonacci gepubliceerd — die van elke breuk tussen $0$ en $1$ een Egyptische schrijfwijze oplevert, en eindig je met een gevierde erfenispuzzel.

Deel I — Stambreuken en de splitsingsformule.

Reken $\frac12 + \frac13$ en $\frac12 + \frac14$ uit, en leid Egyptische schrijfwijzen van $\frac56$ en $\frac34$ af.
Ga de vermelding van de schrijvers voor $\frac27$ na: laat zien dat $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
Ga na dat $\frac13 + \frac16 = \frac12$ en dat $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$ . Bewijs daarna de splitsingsformule: voor elk heel getal $n \geq 1$ geldt

$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$
Leid een Egyptische schrijfwijze van $1$ zelf af, als som van drie verschillende stambreuken.
Splits de laatste term van $\frac56 = \frac12 + \frac13$ om een tweede Egyptische schrijfwijze van $\frac56$ te krijgen, met drie stambreuken. Leg uit waarom geen enkele breuk een unieke Egyptische schrijfwijze heeft.

Deel II — De hebberige methode van Fibonacci. De methode is: trek de grootste stambreuk af die past, en herhaal met wat overblijft.

Laat met gemeenschappelijke noemers zien dat $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . Waarom bewijst dat dat $\frac14$ de grootste stambreuk kleiner dan $\frac27$ is?
Reken $\frac27 - \frac14$ uit. Welke schrijfwijze van $\frac27$ levert de hebberige methode op?
Neem nu $\frac57$ . Laat zien dat de grootste stambreuk kleiner dan $\frac57$ gelijk is aan $\frac12$ , en reken $\frac57 - \frac12$ uit.
Laat zien dat de grootste stambreuk kleiner dan $\frac{3}{14}$ gelijk is aan $\frac15$ (vergelijk $\frac{3}{14}$ met $\frac14$ en met $\frac15$ ), reken $\frac{3}{14} - \frac15$ uit, en besluit:

$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$

Ga die schrijfwijze rechtstreeks na met de gemeenschappelijke noemer $70$ .
Laat de hebberige methode op $\frac45$ lopen, ga bij elke stap na dat je stambreuk de grootste is die past, en controleer de uiteindelijke schrijfwijze.

Deel III — Waarom de methode altijd stopt, en de achttiende kameel.

In de vragen 7–10 is de methode toegepast op $\frac27$ , $\frac57$ en $\frac45$ . Noem voor elk de tellers van de opeenvolgende resten (voordat je vereenvoudigt). Wat valt je op?
Laat voor een breuk $\frac ab$ en een heel getal $n$ zien dat

$\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$
Stel dat de hebberige methode $\frac1n$ van $\frac ab$ aftrekt: dan past $\frac1n$ , maar is $\frac{1}{n-1}$ al te groot, dus $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ . Zet beide op de gemeenschappelijke noemer $b \times (n - 1)$ en leid af dat $b > a \times n - a$ , en dus dat de nieuwe teller voldoet aan

$a \times n - b < a .$

Leg uit waarom dat bewijst dat de methode altijd stopt.
Een oud verhaal: een vader sterft en laat $17$ kamelen achter, met in zijn testament $\frac12$ van de kudde voor zijn oudste kind, $\frac13$ voor het tweede en $\frac19$ voor het derde — en geen van de delen is een heel aantal kamelen. Een buurman leent het gezin een achttiende kameel; de kinderen nemen $9$ , $6$ en $2$ kamelen, en de geleende kameel gaat terug. Reken $\frac12 + \frac13 + \frac19$ uit en verklaar de truc: waarom kon de kudde in hele kamelen verdeeld worden, en waarom kreeg geen enkel kind minder dan het testament beloofde?
Repareer het testament: stel drie verschillende stambreuken voor die samen precies $1$ zijn, en geef de kleinste kudde waarvoor alle drie de delen hele aantallen kamelen zijn.

Oplossing

Oplossing van Probleem 55.1.

1. $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ en $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$ . Dus zijn $\frac56 = \frac12 + \frac13$ en $\frac34 = \frac12 + \frac14$ Egyptische schrijfwijzen (met in elk verschillende stambreuken).

2. Met de gemeenschappelijke noemer $28$ :

\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .

3. $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 = \frac12$ , en $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$ . In het algemeen is de gemeenschappelijke noemer van $\frac{1}{n+1}$ en $\frac{1}{n(n+1)}$ gelijk aan $n(n+1)$ :

\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} .

4. Begin bij $1 = \frac12 + \frac12$ en splits de tweede helft met vraag 3:

1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,

drie verschillende stambreuken.

5. De $\frac13$ in $\frac56 = \frac12 + \frac13$ splitsen geeft

\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .

Geen enkele Egyptische schrijfwijze is ooit uniek: de splitsingsformule kan altijd de stambreuk met de grootste noemer door twee nieuwe, nog kleinere stambreuken vervangen — en zo maak je uit elke schrijfwijze een volgende.

6. Met noemer $21$ : $\frac27 = \frac{6}{21} < \frac{7}{21} = \frac13$ . Met noemer $28$ : $\frac14 = \frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$ . Stambreuken krimpen als hun noemers groeien, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$ ; en omdat $\frac13$ (en alles daarboven) te groot is en $\frac14$ past, is $\frac14$ de grootste stambreuk kleiner dan $\frac27$ .

7. $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} = \frac{1}{28}$ : de hebberige methode levert $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ op, precies de vermelding van de schrijvers uit vraag 2.

8. Met noemer $14$ : $\frac12 = \frac{7}{14} < \frac{10}{14} = \frac57$ , terwijl de enige grotere stambreuk, $1$ , groter is dan $\frac57$ . Dus is $\frac12$ de grootste die past, en

\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .

9. Met noemer $28$ : $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} < \frac{7}{28} = \frac14$ , dus is $\frac14$ te groot. Met noemer $70$ : $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$ , dus past $\frac15$ : het is de grootste stambreuk kleiner dan $\frac{3}{14}$ . Dan is

\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70} = \frac{1}{70}, \qquad\text{en dus}\qquad \frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .

Controle: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = \frac{50}{70} = \frac57$ .

10. Eerste stap: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} = \frac45$ en $1 > \frac45$ , dus trek $\frac12$ af: $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$ . Tweede stap: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ is te groot, en $\frac14 = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ past, dus trek $\frac14$ af: $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}$ . Besluit:

\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20}, \qquad \frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac45 . \checkmark

11. De tellers van de opeenvolgende resten zijn: voor $\frac27$ : $2$ , dan $1$ ; voor $\frac57$ : $5$ , dan $3$ , dan $1$ ; voor $\frac45$ : $4$ , dan $3$ , dan $1$ . Elk rijtje is strikt dalend.

12. De gemeenschappelijke noemer van $\frac ab$ en $\frac1n$ is $b \times n$ :

\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n} = \frac{a \times n - b}{b \times n} .

13. Op de gemeenschappelijke noemer $b \times (n-1)$ vergelijkt de ongelijkheid $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ de tellers $b$ en $a \times (n - 1)$ :

b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,

en $a - b$ bij beide kanten optellen geeft $a > a \times n - b$ . Na elke hebberige stap is de teller van de rest (vraag 12) dus een heel getal dat strikt kleiner is dan de vorige. Hele getallen kunnen niet eeuwig strikt dalen: na hoogstens $a$ stappen heeft de rest teller $1$ — een stambreuk — of is hij $0$ , en stopt de methode.

14. Met de gemeenschappelijke noemer $18$ :

\frac12 + \frac13 + \frac19 = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{17}{18} ,

en dat is minder dan $1$ : het testament vergat $\frac{1}{18}$ van de kudde. Dat gat is de hele truc. Van $18$ kamelen zijn de delen $\frac12$ , $\frac13$ en $\frac19$ de hele getallen $9$ , $6$ en $2$ , die samen $9 + 6 + 2 = 17$ maken: precies de kudde, en de achttiende kameel gaat naar huis. En niemand kan klagen: het testament beloofde, van $17$ kamelen, $\frac{17}{2} = 8.5$ , dan $\frac{17}{3} \approx 5.67$ , dan $\frac{17}{9} \approx 1.89$ kamelen, en elk kind kreeg strikt meer ( $9$ , $6$ en $2$ ). De vergeten $\frac{1}{18}$ is wat de kameel van de buurman tijdelijk opvulde.

15. Vraag 4 levert het gerepareerde testament:

\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .

De delen zijn hele getallen als de kudde deelbaar is door $2$ , door $3$ en door $6$ — dus deelbaar door $6$ . De kleinste zulke kudde is $6$ kamelen: delen $3$ , $2$ en $1$ , en er blijft niets over.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Omgekeerde

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst