Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

37Gehele getallen

Alles in de wiskunde begint met tellen. Dit hoofdstuk herhaalt hoe gehele getallen geschreven, vergeleken en gecombineerd worden — en kijkt zorgvuldig naar het delen, de bewerking die zowel een quotiënt als een rest oplevert.

37.1 Gehele getallen schrijven en vergelijken

Definitie 37.1 (Plaatswaarde)

Onze manier van getallen schrijven gebruikt tien cijfers ( $0$ tot $9$ ), en de waarde van een cijfer hangt af van zijn plaats: in $5\,208$ telt het cijfer $5$ duizendtallen, de $2$ honderdtallen, de $0$ tientallen (die zijn er niet) en de $8$ eenheden:

5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .

De plaatswaardetabel van 5\,208. Die 0 doet ertoe: zonder hem zouden de 5 en de 2 in de verkeerde kolommen schuiven en zou het getal 528 zijn. — De plaatswaardetabel van $5\,208$ . Die $0$ doet ertoe: zonder hem zouden de $5$ en de $2$ in de verkeerde kolommen schuiven en zou het getal $528$ zijn.

Methode 37.2 (Twee gehele getallen vergelijken)

Het getal met meer cijfers is het grootste ( $1\,203 > 989$ ).
Hebben ze even veel cijfers, vergelijk dan cijfer voor cijfer vanaf links; het eerste verschil beslist: $6\,742 > 6\,715$ , want bij de tientallen is $4 > 1$ .

De tekens zijn $<$ (“kleiner dan”) en $>$ (“groter dan”); de smalle kant van het teken wijst naar het kleine getal.

Voorbeeld 37.3

Zet op volgorde, van klein naar groot: $908$ ; $89$ ; $1\,001$ ; $980$ . Eerst op het aantal cijfers: $89$ (twee cijfers) komt vooraan, $1\,001$ (vier cijfers) achteraan. Tussen $908$ en $980$ : hetzelfde cijfer $9$ bij de honderdtallen, dan bij de tientallen $0 < 8$ , dus $908 < 980$ . Het antwoord:

89 < 908 < 980 < 1\,001 .

Getallen wonen op een lijn: kleiner betekent verder naar links. Elk streepje is hier 100 waard. — Getallen wonen op een lijn: kleiner betekent verder naar links. Elk streepje is hier $100$ waard.

37.2 Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen

Voorbeeld 37.4 (Cijferen)

Om op te tellen of af te trekken, zet je de eenheden onder de eenheden en de tientallen onder de tientallen, en werk je van rechts naar links, met onthouden waar dat nodig is:

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ +\ 2\,8\,6 \\ \hline 7\,4\,3 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 6\,0\,3 \\ -\ 1\,4\,7 \\ \hline 4\,5\,6 \end{array}

Bij de optelling: $7 + 6 = 13$ , schrijf $3$ , onthoud $1$ ; dan $5 + 8 + 1 = 14$ , schrijf $4$ , onthoud $1$ ; dan $4 + 2 + 1 = 7$ . Controleer de aftrekking door terug op te tellen: $456 + 147 = 603$ .

Opmerking 37.5 (Woorden)

De uitkomst van een optelling is een som; van een aftrekking een verschil; van een vermenigvuldiging een product; van een deling een quotiënt. De getallen die je combineert, zijn de termen (bij $+$ en $-$ ) of de factoren (bij $\times$ ).

Voorbeeld 37.6 (Slim rekenen)

Termen of factoren anders groeperen scheelt vaak veel werk:

17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,

25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .

37.3 Delen

Stelling 37.7 (Deling met rest)

Gegeven twee gehele getallen $a$ (het deeltal) en $b \neq 0$ (de deler), is er precies één manier om

a = b \times q + r \qquad\text{met}\qquad 0 \leq r < b

te schrijven. Het getal $q$ is het quotiënt en $r$ de rest van de deling van $a$ door $b$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 37.8

Deel $137$ door $4$ , stap voor stap.

Hoeveel keer gaat $4$ in $13$ ? Drie keer ( $4 \times 3 = 12$ ), rest $13 - 12 = 1$ .
Haal de $7$ naar beneden: hoeveel keer gaat $4$ in $17$ ? Vier keer ( $4 \times 4 = 16$ ), rest $1$ .

Dus $q = 34$ en $r = 1$ :

137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{en inderdaad } 0 \leq 1 < 4 .

Controle: $4 \times 34 = 136$ , en $136 + 1 = 137$ .

137 door 4 delen: er passen 34 volle groepjes van 4 (tot 136), en 1 blijft over — de rest is altijd kleiner dan de deler. — $137$ door $4$ delen: er passen $34$ volle groepjes van $4$ (tot $136$ ), en $1$ blijft over — de rest is altijd kleiner dan de deler.

Definitie 37.9 (Deelbaar)

Als de rest $0$ is, zeggen we dat $a$ deelbaar is door $b$ : zo is $135$ deelbaar door $5$ , want $135 = 5 \times 27 + 0$ .

Methode 37.10 (Vraagstukken met een deling)

Ga na het uitrekenen van $a = bq + r$ altijd terug naar de vraag:

“Hoeveel volle dozen/teams/bladzijden?” — het antwoord is het quotiënt $q$ ;
“Hoeveel blijven er over?” — het antwoord is de rest $r$ ;
“Hoeveel dozen zijn er nodig voor alles?” — als $r > 0$ , één meer dan het quotiënt: $q + 1$ .

Voorbeeld 37.11

$137$ leerlingen gaan op excursie in bussen met $40$ plaatsen. De deling: $137 = 40 \times 3 + 17$ . Drie bussen vervoeren $120$ leerlingen, en $17$ leerlingen blijven over — die hebben ook een bus nodig! Er zijn dus $4$ bussen nodig, ook al is het quotiënt $3$ .

37.4 Oefeningen

Oefening 37.1 ★

Schrijf in cijfers: “drieduizend zevenenveertig”; “twintigduizend vijfhonderd”; “honderdvier”. Schrijf daarna $60\,013$ in woorden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.1.

$3\,047$ ; $20\,500$ ; $104$ . $60\,013$ : “zestigduizend dertien”.

Oefening 37.2 ★

In het getal $47\,209$ : wat is het cijfer van de honderdtallen? En dat van de eenheden? Wat telt het cijfer $4$ ? Schrijf het getal als een som van veelvouden van $1$ , $10$ , $100$ , … zoals in Definitie 37.1.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.2.

Cijfer van de honderdtallen: $2$ ; cijfer van de eenheden: $9$ ; de $4$ telt de tienduizendtallen. Splitsing:

47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 9 .

Oefening 37.3 ★

Neem over en vul in met $<$ of $>$ :

507 \;?\; 570, \qquad 1\,099 \;?\; 989, \qquad 23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad 9\,999 \;?\; 10\,000 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.3.

$507 < 570$ (tientallen: $0 < 7$ ); $1\,099 > 989$ (vier cijfers verslaan drie); $23\,456 < 23\,465$ (tientallen: $5 < 6$ ); $9\,999 < 10\,000$ (vier cijfers tegen vijf).

Oefening 37.4 ★

Zet op volgorde, van klein naar groot: $2\,043$ ; $978$ ; $2\,304$ ; $2\,034$ ; $1\,001$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.4.

Op het aantal cijfers komen $978$ en $1\,001$ voor de drie getallen van vier cijfers die met $2$ beginnen; vergelijk bij die drie de tientallen en de eenheden: $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$ . De volgorde is:

978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .

Oefening 37.5 ★

Reken cijferend uit: $348 + 576$ ; $805 - 268$ ; $307 \times 26$ . Controleer de aftrekking met een optelling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.5.

$348 + 576 = 924$ ; $805 - 268 = 537$ (controle: $537 + 268 = 805$ ); $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6 = 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$ .

Oefening 37.6 ★

Reken slim, door termen of factoren te groeperen:

38 + 45 + 12 + 5, \qquad 2 \times 83 \times 50, \qquad 4 \times 78 \times 25 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.6.

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$ .

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 = 8\,300$ .

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 = 7\,800$ .

Oefening 37.7 ★

Geef bij elke deling het quotiënt en de rest, en schrijf de gelijkheid $a = b \times q + r$ op:

95 \div 7, \qquad 230 \div 6, \qquad 504 \div 8 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.7.

$95 = 7 \times 13 + 4$ (quotiënt $13$ , rest $4$ ).

$230 = 6 \times 38 + 2$ (quotiënt $38$ , rest $2$ ).

$504 = 8 \times 63 + 0$ (quotiënt $63$ , rest $0$ : $504$ is deelbaar door $8$ ).

Oefening 37.8 ★

Leg zonder te delen uit waarom de gelijkheid $173 = 8 \times 20 + 13$ niet de deling met rest van $173$ door $8$ is, en zoek het juiste quotiënt en de juiste rest.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.8.

De gelijkheid is juist, maar de rest $13$ is niet kleiner dan de deler $8$ , dus is het niet de deling met rest. Haal nog één keer $8$ uit de rest: $173 = 8 \times 21 + 5$ , met $0 \leq 5 < 8$ : quotiënt $21$ , rest $5$ .

Oefening 37.9 ★★

Eieren worden in dozen van $12$ verpakt.

Een boerderij heeft $2\,000$ eieren. Hoeveel volle dozen kan ze vullen, en hoeveel eieren blijven over?
Een bakkerij heeft $150$ eieren nodig. Hoeveel dozen moet ze kopen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.9.

1. $2\,000 = 12 \times 166 + 8$ : de boerderij vult $166$ volle dozen en er blijven $8$ eieren over.

2. $150 = 12 \times 12 + 6$ : twaalf dozen bevatten maar $144$ eieren, en dat is te weinig. De bakkerij moet $13$ dozen kopen.

Oefening 37.10 ★★

Vandaag is het dinsdag. Welke dag van de week is het over $100$ dagen? (Een week heeft $7$ dagen: deel, en denk aan de rest.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.10.

$100 = 7 \times 14 + 2$ : honderd dagen zijn $14$ volle weken en $2$ dagen erbij. Veertien weken later is het weer dinsdag; twee dagen na een dinsdag is het donderdag.

Oefening 37.11 ★★

Bij een deling door $9$ is het quotiënt $56$ en is de rest zo groot als hij maar kan zijn. Wat is het deeltal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.11.

De grootst mogelijke rest bij een deling door $9$ is $8$ (de rest moet kleiner zijn dan de deler). Het deeltal is dus

9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .

Oefening 37.12 ★★★

Ik ben een getal van drie cijfers. Mijn cijfer van de honderdtallen is twee keer mijn cijfer van de eenheden, mijn cijfer van de tientallen is $0$ , en de som van mijn cijfers is $9$ . Wie ben ik? (Denk stap voor stap, en controleer daarna.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.12.

Noem de cijfers $h$ (honderdtallen), $0$ (tientallen) en $e$ (eenheden). We weten dat $h = 2 \times e$ en $h + 0 + e = 9$ , dus $2e + e = 9$ , waaruit $3e = 9$ , $e = 3$ en $h = 6$ . Het getal is $603$ . Controle: $6$ is twee keer $3$ , het cijfer van de tientallen is $0$ , en $6 + 0 + 3 = 9$ .

37.5 Opgave: de kleine Gauss en de som van de eerste honderd getallen

Probleem 37.1

Weekendopgave — $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ in tien seconden, en de driehoeksgetallen

Een beroemd verhaal: om zijn klas bezig te houden, vroeg een meester zijn leerlingen alle getallen van $1$ tot $100$ op te tellen. Eén jongen schreef bijna onmiddellijk $5\,050$ op zijn schrijfplankje — Carl Friedrich Gauss, negen jaar oud, die een van de grootste wiskundigen van alle tijden zou worden. Zijn geheim was niets anders dan slim rekenen (Voorbeeld 37.6): de termen zo groeperen dat elk groepje makkelijk is. In deze opgave ontdek je zijn truc opnieuw, laat je hem in elke situatie werken, en zie je hoe vaak zulke sommen in het dagelijks leven opduiken.

Deel I — De paren van Gauss.

Reken $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ uit door de termen slim te groeperen.
Voor $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ : koppel de eerste term aan de laatste ( $1 + 10$ ), de tweede aan de voorlaatste ( $2 + 9$ ), en zo verder. Hoeveel is elk paar waard? Hoeveel paren zijn er? Maak de berekening af.
Dezelfde manier voor $1 + 2 + \dots + 20$ : hoeveel is elk paar waard, hoeveel paren zijn er, en wat is het totaal?
Nu de som van de meester, $1 + 2 + \dots + 100$ : leg uit waarom de paren $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98, \dots$ allemaal even veel waard zijn, en waarom het er precies $50$ zijn, met $50 + 51$ als laatste.
Schrijf het antwoord van Gauss als één vermenigvuldiging, en reken het uit.

Deel II — Een truc die nooit faalt.

Probeer het koppelen op $1 + 2 + \dots + 9$ : nu blijft er één getal zonder partner over. Welk? Koppel eromheen en reken de som uit.
Hier is een versie van de truc die werkt of het aantal termen even of oneven is: schrijf de som twee keer, één keer vooruit en één keer achteruit, onder elkaar,

$\begin{array}{ccccccc} 1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\ 9 & + & 8 & + & \dots & + & 1 \end{array}$

en tel kolom voor kolom op. Hoeveel is elke kolom waard? Hoeveel kolommen zijn er? Leg uit waarom de som van de twee regels $9 \times 10 = 90$ is, en besluit dat $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — hetzelfde antwoord als in vraag 6.
Reken met de truc van de twee regels $1 + 2 + \dots + 50$ uit, en daarna $1 + 2 + \dots + 200$ .
Reken de som van de eerste honderd even getallen uit, $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ . (Vergelijk elke term met een term van de som van Gauss: nieuw koppelen is niet nodig.)
Reken $101 + 102 + \dots + 200$ uit met twee sommen die je al kent en één aftrekking.

Deel III — Driehoeksgetallen, overal. De totalen $1$ , $3$ , $6$ , $10$ , $15, \dots$ van de sommen $1 + 2 + \dots + n$ heten driehoeksgetallen, omdat ze voorwerpen tellen die in een driehoek gestapeld liggen.

Acht vrienden ontmoeten elkaar, en ieder geeft precies één keer elk van de anderen een hand. Leg uit waarom het aantal handdrukken $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ is, en reken het uit.
Een winkelierster bouwt een driehoekige piramide van blikjes: $12$ blikjes in de onderste rij, $11$ in de volgende, en zo verder tot één blikje bovenaan. Hoeveel blikjes heeft ze nodig? (Gebruik de truc van vraag 7.)
Teken de som $1 + 2 + 3 + 4$ als een trap van vakjes: één vakje in de eerste kolom, twee in de tweede, drie in de derde, vier in de vierde. Laat op je tekening zien dat twee zulke trappen, waarvan er één op zijn kop staat, precies in een rechthoek van $4$ rijen van $5$ vakjes passen — en leg uit waarom dit de truc van de twee regels uit vraag 7 is, getekend in plaats van opgeschreven.
Een klok slaat $1$ keer om één uur, $2$ keer om twee uur, …, $12$ keer om twaalf uur. Hoeveel slagen zijn dat over de twaalf uren? En over een hele dag?
Nog één keer Gauss: $5\,050$ seconden — is dat meer of minder dan anderhalf uur? Zet het om in uren, minuten en seconden, met twee keer een deling met rest (Stelling 37.7).

Oplossing

Oplossing van Probleem 37.1.

1. Bijvoorbeeld $(1 + 4) + (2 + 3) + 5 = 5 + 5 + 5 = 15$ .

2. Elk paar is $11$ waard: $1 + 10$ , $2 + 9$ , $3 + 8$ , $4 + 7$ , $5 + 6$ . Dat zijn $5$ paren (tien getallen, twee per paar), dus is de som $5 \times 11 = 55$ .

3. Paren van $21$ ( $1 + 20$ , $2 + 19, \dots$ ), en het zijn er $10$ : $10 \times 21 = 210$ .

4. In elk paar groeit het eerste getal met $1$ terwijl het tweede met $1$ krimpt, dus verandert het totaal nooit: $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \dots = 101$ . De honderd getallen vormen $50$ paren (twee getallen elk), met $50 + 51 = 101$ als binnenste paar.

5. $50$ paren van $101$ :

1 + 2 + \dots + 100 = 50 \times 101 = 5\,050 .

6. Bij negen getallen heeft het middelste, $5$ , geen partner. Eromheen: $1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10$ , vier paren. Totaal: $4 \times 10 + 5 = 45$ .

7. Elke kolom is $1 + 9 = 2 + 8 = \dots = 9 + 1 = 10$ waard, en er zijn $9$ kolommen: samen zijn de twee regels $9 \times 10 = 90$ waard. Maar de twee regels zijn dezelfde som, twee keer opgeschreven, dus is één exemplaar de helft waard: $1 + 2 + \dots + 9 = 90 \div 2 = 45$ . Nu blijft er nooit een getal zonder partner — zijn partner staat er recht onder.

8. Voor $1$ tot $50$ : $50$ kolommen van $51$ , dubbele som $50 \times 51 = 2\,550$ , dus de som is $2\,550 \div 2 = 1\,275$ . Voor $1$ tot $200$ : $200$ kolommen van $201$ , dubbele som $40\,200$ , som $20\,100$ .

9. Elk even getal is het dubbele van een getal uit de som van Gauss: $2 = 2 \times 1$ , $4 = 2 \times 2$ , …, $200 = 2 \times 100$ . De hele som is dus het dubbele van die van Gauss:

2 + 4 + \dots + 200 = 2 \times 5\,050 = 10\,100 .

10. De getallen van $101$ tot $200$ zijn de getallen van $1$ tot $200$ zonder de getallen van $1$ tot $100$ :

101 + 102 + \dots + 200 = 20\,100 - 5\,050 = 15\,050 .

11. Zet de vrienden op een rij. De eerste geeft $7$ handen (één aan elk van de anderen). De tweede heeft de eerste al begroet, dus geeft hij $6$ nieuwe handen; de derde $5$ ; en zo verder, tot de zevende er $1$ geeft en de achtste geen nieuwe meer. Elke handdruk wordt precies één keer geteld:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \text{ handdrukken}

(koppel om het midden: $(7+1) + (6+2) + (5+3) + 4 = 8 + 8 + 8 + 4 = 28$ ).

12. $1 + 2 + \dots + 12$ : twaalf kolommen van $13$ , dubbele som $12 \times 13 = 156$ , dus $156 \div 2 = 78$ blikjes.

13. De trap van $1 + 2 + 3 + 4$ vakjes, met dezelfde trap op zijn kop erbij, vult precies een rechthoek van $4$ rijen en $5$ kolommen: elke rij van de rechthoek is één kolom van de truc met twee regels (een trede van de stijgende trap, aangevuld door een trede van de dalende: $1 + 4$ , $2 + 3$ , $3 + 2$ , $4 + 1$ — altijd $5$ ). Twee keer de som is dus $4 \times 5 = 20$ vakjes, en $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ : het plaatje is vraag 7.

14. $1 + 2 + \dots + 12 = 78$ slagen in twaalf uur (vraag 12), en dus $78 \times 2 = 156$ slagen op een hele dag.

15. Deel door $60$ : $5\,050 = 60 \times 84 + 10$ , dus $5\,050$ seconden is $84$ minuten en $10$ seconden. Deel de minuten door $60$ : $84 = 60 \times 1 + 24$ , dus $84$ minuten is $1$ uur en $24$ minuten. Alles samen: $1$ u $24$ min $10$ s — iets minder dan anderhalf uur ( $1$ u $30$ min).

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst