Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

37Gehele getallen

Alles in de wiskunde begint met tellen. Dit hoofdstuk herhaalt hoe gehele getallen worden geschreven, vergeleken en gecombineerd — en bekijkt de deling van dichtbij, de bewerking die zowel een quotiënt als een rest geeft.

37.1 Schrijven en vergelijken van gehele getallen

Definitie 37.1 (Plaatswaarde)

Onze manier om getallen te schrijven gebruikt tien cijfers ( $0$ tot $9$ ), en de waarde van een cijfer hangt af van zijn plaats: in $5\,208$ telt het cijfer $5$ de duizendtallen, de $2$ de honderdtallen, de $0$ de tientallen (er zijn er geen) en de $8$ de eenheden:

5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .

De plaatswaardetabel van 5\,208. De 0 telt mee: zonder hem zouden de 5 en de 2 in de verkeerde kolommen schuiven en het getal zou 528 luiden. — De plaatswaardetabel van $5\,208$ . De $0$ telt mee: zonder hem zouden de $5$ en de $2$ in de verkeerde kolommen schuiven en het getal zou $528$ luiden.

Methode 37.2 (Twee gehele getallen vergelijken)

Het getal met meer cijfers is het grootste ( $1\,203 > 989$ ).
Als ze evenveel cijfers hebben, vergelijk cijfer voor cijfer van links; het eerste verschil beslist: $6\,742 > 6\,715$ want op de plaats van de tientallen is $4 > 1$ .

De symbolen zijn $<$ (“kleiner dan”) en $>$ (“groter dan”); de kleine kant van het symbool wijst naar het kleine getal.

Voorbeeld 37.3

Orden van klein naar groot: $908$ ; $89$ ; $1\,001$ ; $980$ . Eerst op aantal cijfers: $89$ (twee cijfers) komt eerst, $1\,001$ (vier cijfers) als laatste. Tussen $908$ en $980$ : hetzelfde honderdtalcijfer $9$ , daarna tientallen $0 < 8$ , dus $908 < 980$ . Eindantwoord:

89 < 908 < 980 < 1\,001 .

Getallen leven op een lijn: kleiner betekent verder naar links. Elke streep hier is 100 waard. — Getallen leven op een lijn: kleiner betekent verder naar links. Elke streep hier is $100$ waard.

37.2 Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen

Voorbeeld 37.4 (Kolomberekeningen)

Om op te tellen of af te trekken, zet je de eenheden onder de eenheden, de tientallen onder de tientallen, en werk je van rechts naar links, met onthouden indien nodig:

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ +\ 2\,8\,6 \\ \hline 7\,4\,3 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 6\,0\,3 \\ -\ 1\,4\,7 \\ \hline 4\,5\,6 \end{array}

Bij de optelling: $7 + 6 = 13$ , schrijf $3$ , onthoud $1$ ; dan $5 + 8 + 1 = 14$ , schrijf $4$ , onthoud $1$ ; dan $4 + 2 + 1 = 7$ . Controleer de aftrekking door terug op te tellen: $456 + 147 = 603$ .

Opmerking 37.5 (Woordenlijst)

Het resultaat van een optelling is een som; van een aftrekking een verschil; van een vermenigvuldiging een product; van een deling een quotiënt. De gecombineerde getallen heten de termen (bij $+$ , $-$ ) of factoren (bij $\times$ ).

Voorbeeld 37.6 (Slim rekenen)

Termen of factoren herschikken bespaart vaak werk:

17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,

25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .

37.3 Deling

Stelling 37.7 (Euclidische deling)

Gegeven twee gehele getallen $a$ (het deeltal) en $b \neq 0$ (de deler), is er precies één manier om te schrijven

a = b \times q + r \qquad\text{met}\qquad 0 \leq r < b .

Het getal $q$ is het quotiënt en $r$ de rest van de deling van $a$ door $b$ .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 37.8

Deel $137$ door $4$ , stap voor stap.

Hoe vaak past $4$ in $13$ ? Drie keer ( $4 \times 3 = 12$ ), rest $13 - 12 = 1$ .
Laat de $7$ zakken: hoe vaak past $4$ in $17$ ? Vier keer ( $4 \times 4 = 16$ ), rest $1$ .

Dus $q = 34$ en $r = 1$ :

137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{en inderdaad } 0 \leq 1 < 4 .

Controle: $4 \times 34 = 136$ , en $136 + 1 = 137$ .

137 delen door 4: je past 34 volle groepen van 4 (tot 136), en er blijft 1 over — de rest is altijd kleiner dan de deler. — $137$ delen door $4$ : je past $34$ volle groepen van $4$ (tot $136$ ), en er blijft $1$ over — de rest is altijd kleiner dan de deler.

Definitie 37.9 (Deelbaar)

Wanneer de rest $0$ is, zeggen we dat $a$ deelbaar is door $b$ : bijvoorbeeld is $135$ deelbaar door $5$ want $135 = 5 \times 27 + 0$ .

Methode 37.10 (Woordproblemen met deling)

Na het berekenen van $a = bq + r$ , ga altijd terug naar de vraag:

“Hoeveel volle dozen/teams/pagina’s?” — het antwoord is het quotiënt $q$ ;
“Hoeveel blijven er over?” — het antwoord is de rest $r$ ;
“Hoeveel dozen zijn er nodig voor iedereen?” — als $r > 0$ , één meer dan het quotiënt: $q + 1$ .

Voorbeeld 37.11

$137$ leerlingen gaan op uitstap in bussen van $40$ plaatsen. Deling: $137 = 40 \times 3 + 17$ . Drie bussen vervoeren $120$ leerlingen, en $17$ leerlingen blijven over — ook zij hebben een bus nodig! Dus zijn er $4$ bussen nodig, hoewel het quotiënt $3$ is.

37.4 Oefeningen

Oefening 37.1 ★

Schrijf in cijfers: “drieduizend zevenenveertig”; “twintigduizend vijfhonderd”; “honderdvier”. Schrijf daarna $60\,013$ in woorden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.1.

$3\,047$ ; $20\,500$ ; $104$ . $60\,013$ : “zestigduizend dertien”.

Oefening 37.2 ★

In het getal $47\,209$ : wat is het cijfer van de honderdtallen? Het cijfer van de eenheden? Wat telt het cijfer $4$ ? Schrijf het getal als een som van veelvouden van $1$ , $10$ , $100$ , … zoals in Definitie 37.1.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.2.

Honderdtalcijfer: $2$ ; eenheidcijfer: $9$ ; de $4$ telt de tienduizendtallen. Ontbinding:

47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 9 .

Oefening 37.3 ★

Kopieer en vul in met $<$ of $>$ :

507 \;?\; 570, \qquad 1\,099 \;?\; 989, \qquad 23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad 9\,999 \;?\; 10\,000 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.3.

$507 < 570$ (tientallen: $0 < 7$ ); $1\,099 > 989$ (vier cijfers winnen van drie); $23\,456 < 23\,465$ (tientallen: $5 < 6$ ); $9\,999 < 10\,000$ (vier cijfers tegen vijf).

Oefening 37.4 ★

Orden van klein naar groot: $2\,043$ ; $978$ ; $2\,304$ ; $2\,034$ ; $1\,001$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.4.

Op aantal cijfers komen $978$ en $1\,001$ vóór de drie viercijferige getallen die met $2$ beginnen; onder die laatste: vergelijk tientallen en eenheden: $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$ . Eindvolgorde:

978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .

Oefening 37.5 ★

Bereken in kolommen: $348 + 576$ ; $805 - 268$ ; $307 \times 26$ . Controleer de aftrekking met een optelling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.5.

$348 + 576 = 924$ ; $805 - 268 = 537$ (controle: $537 + 268 = 805$ ); $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6 = 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$ .

Oefening 37.6 ★

Reken slim, door termen of factoren te groeperen:

38 + 45 + 12 + 5, \qquad 2 \times 83 \times 50, \qquad 4 \times 78 \times 25 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.6.

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$ .

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 = 8\,300$ .

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 = 7\,800$ .

Oefening 37.7 ★

Geef voor elke deling het quotiënt en de rest, en schrijf de gelijkheid $a = b \times q + r$ :

95 \div 7, \qquad 230 \div 6, \qquad 504 \div 8 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.7.

$95 = 7 \times 13 + 4$ (quotiënt $13$ , rest $4$ ).

$230 = 6 \times 38 + 2$ (quotiënt $38$ , rest $2$ ).

$504 = 8 \times 63 + 0$ (quotiënt $63$ , rest $0$ : $504$ is deelbaar door $8$ ).

Oefening 37.8 ★

Zonder te delen, leg uit waarom de gelijkheid $173 = 8 \times 20 + 13$ niet de Euclidische deling van $173$ door $8$ is, en vind het juiste quotiënt en de juiste rest.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.8.

De gelijkheid is waar, maar de rest $13$ is niet kleiner dan de deler $8$ , dus het is geen Euclidische deling. Haal nog één $8$ uit de rest: $173 = 8 \times 21 + 5$ , met $0 \leq 5 < 8$ : quotiënt $21$ , rest $5$ .

Oefening 37.9 ★★

Eieren worden verpakt in dozen van $12$ .

Een boerderij heeft $2\,000$ eieren. Hoeveel volle dozen kan ze vullen, en hoeveel eieren blijven over?
Een bakkerij heeft $150$ eieren nodig. Hoeveel dozen moet ze kopen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.9.

1. $2\,000 = 12 \times 166 + 8$ : de boerderij vult $166$ volle dozen en er blijven $8$ eieren over.

2. $150 = 12 \times 12 + 6$ : twaalf dozen bevatten slechts $144$ eieren, niet genoeg. De bakkerij moet $13$ dozen kopen.

Oefening 37.10 ★★

Vandaag is het dinsdag. Welke weekdag is het over $100$ dagen? (Weken hebben $7$ dagen: deel en denk na over de rest.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.10.

$100 = 7 \times 14 + 2$ : honderd dagen zijn $14$ volle weken en $2$ dagen extra. Veertien weken later is het weer dinsdag; twee dagen na een dinsdag is het donderdag.

Oefening 37.11 ★★

Bij een deling door $9$ is het quotiënt $56$ en de rest zo groot mogelijk. Wat is het deeltal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.11.

De grootst mogelijke rest bij een deling door $9$ is $8$ (de rest moet kleiner zijn dan de deler). Dus het deeltal is

9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .

Oefening 37.12 ★★★

Ik ben een getal van drie cijfers. Mijn honderdtalcijfer is het dubbele van mijn eenheidcijfer, mijn tientalcijfer is $0$ , en de som van mijn cijfers is $9$ . Wie ben ik? (Redeneer stap voor stap, en controleer daarna.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.12.

Laat de cijfers $h$ (honderdtallen), $0$ (tientallen), $u$ (eenheden) zijn. We weten $h = 2 \times u$ en $h + 0 + u = 9$ , dus $2u + u = 9$ , wat $3u = 9$ , $u = 3$ en $h = 6$ geeft. Het getal is $603$ . Controle: $6$ is het dubbele van $3$ , het tientalcijfer is $0$ , en $6 + 0 + 3 = 9$ .