Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

15Optellen en aftrekken

Optellen is samenvoegen; aftrekken is wegnemen, of zoeken wat er ontbreekt. In dit hoofdstuk oefen je de twee manieren van cijferen — met hun beroemde onthouden en lenen — en de hoofdrekentrucs die het cijferen vaak overbodig maken.

15.1 Cijferend optellen

Methode 15.1 (Onder elkaar optellen)

Schrijf de getallen onder elkaar, eenheden onder eenheden, tientallen onder tientallen (lijn rechts uit);
tel de eenheden op; komt de som voorbij $9$ , schrijf dan het cijfer van de eenheden en onthoud het tiental voor de volgende kolom (een kleine $1$ );
ga verder met de tientallen, de honderdtallen, …, en tel elke keer het onthoudcijfer mee.

Voorbeeld 15.2

Reken $457 + 368$ uit:

\begin{array}{r} {\scriptstyle 1}\ \ {\scriptstyle 1}\ \ \phantom{0} \\[-3pt] 4\,5\,7 \\ +\ 3\,6\,8 \\ \hline 8\,2\,5 \end{array}

Eenheden: $7 + 8 = 15$ : schrijf $5$ , onthoud $1$ . Tientallen: $5 + 6 + 1 = 12$ : schrijf $2$ , onthoud $1$ . Honderdtallen: $4 + 3 + 1 = 8$ . Uitkomst: $825$ .

Voorbeeld 15.3 (Optellen uit het hoofd)

Zoek naar vriendelijke getallen voordat je gaat cijferen:

maak een tiental: $47 + 8 = 47 + 3 + 5 = 50 + 5 = 55$ ;
spring in delen: $256 + 130 = 256 + 100 + 30 = 386$ ;
verwissel de volgorde: $17 + 59 + 3 = (17 + 3) + 59 = 79$ .

Hoofdrekenen als sprongen op de getallenlijn: 256 + 130 in twee sprongen, eerst de honderdtallen, dan de tientallen. — Hoofdrekenen als sprongen op de getallenlijn: $256 + 130$ in twee sprongen, eerst de honderdtallen, dan de tientallen.

15.2 Cijferend aftrekken

Methode 15.4 (Onder elkaar aftrekken)

Schrijf het grootste getal bovenaan, rechts uitgelijnd;
trek kolom voor kolom af, te beginnen bij de eenheden;
is het bovenste cijfer te klein, dan leen je: haal er één weg bij de volgende plaats van de bovenste rij (die is tien waard in deze kolom);
controleer: de uitkomst plus het afgetrokken getal moet het bovenste getal teruggeven.

Voorbeeld 15.5

Reken $603 - 147$ uit:

\begin{array}{r} 6\,0\,3 \\ -\ 1\,4\,7 \\ \hline 4\,5\,6 \end{array}

Eenheden: $3 - 7$ kan niet; leen door: $603$ wordt $5$ honderdtallen, $9$ tientallen, $13$ eenheden. Dan $13 - 7 = 6$ ; tientallen $9 - 4 = 5$ ; honderdtallen $5 - 1 = 4$ . Uitkomst: $456$ . Controle: $456 + 147 = 603$ .

Het lenen bij 603 - 147 in plaatjes: één honderdtal wordt opengebroken in tien tientallen, en één van die tientallen in tien eenheden. Even veel, in een nieuw jasje — 6\, \,0\, \,3 wordt 5\, \,9\, \,13, en nu kan elke kolom aftrekken. — Het lenen bij $603 - 147$ in plaatjes: één honderdtal wordt opengebroken in tien tientallen, en één van die tientallen in tien eenheden. Even veel, in een nieuw jasje — $6\,\vert\,0\,\vert\,3$ wordt $5\,\vert\,9\,\vert\,13$ , en nu kan elke kolom aftrekken.

Voorbeeld 15.6 (Aftrekken als ontbrekend deel)

“Lila heeft $35$ knikkers, Tom heeft er $52$ : hoeveel heeft Tom er meer?” is de aftrekking $52 - 35$ . Uit het hoofd tel je door vanaf $35$ : $35 \to 40$ is $5$ , en $40 \to 52$ is $12$ ; samen $5 + 12 = 17$ . Doortellen is vaak makkelijker dan lenen.

52 - 35 met doortellen: eerst naar het vriendelijke 40, dan naar 52. Het antwoord is het totaal van de sprongen: 5 + 12 = 17. — $52 - 35$ met doortellen: eerst naar het vriendelijke $40$ , dan naar $52$ . Het antwoord is het totaal van de sprongen: $5 + 12 = 17$ .

15.3 Grootteordes

Methode 15.7 (Schatten voordat je rekent)

Rond voor elke cijferberekening de getallen af op vriendelijke getallen en maak een schatting. Vergelijk daarna: een uitkomst die ver van de schatting ligt, wijst op een fout.

Voorbeeld 15.8

Voor $487 + 312$ is de schatting $500 + 300 = 800$ . De uitkomst van het cijferen, $799$ , ligt er dicht bij: aannemelijk. Had je $1\,099$ gevonden (een kolom verkeerd uitgelijnd), dan had de schatting je gewaarschuwd.

15.4 Oefeningen

Oefening 15.1 ★

Tel onder elkaar op: $346 + 253$ ; $478 + 265$ ; $1\,536 + 2\,876$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.1.

$346 + 253 = 599$ ; $478 + 265 = 743$ ; $1\,536 + 2\,876 = 4\,412$ .

Oefening 15.2 ★

Trek onder elkaar af en controleer met een optelling: $587 - 234$ ; $805 - 348$ ; $1\,000 - 463$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.2.

$587 - 234 = 353$ (controle: $353 + 234 = 587$ ).

$805 - 348 = 457$ (controle: $457 + 348 = 805$ ).

$1\,000 - 463 = 537$ (controle: $537 + 463 = 1\,000$ ).

Oefening 15.3 ★

Reken uit het hoofd door tientallen te maken: $38 + 7$ ; $56 + 9$ ; $45 + 28$ (tel $30$ op en haal er $2$ af).

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.3.

$38 + 7 = 38 + 2 + 5 = 45$ ; $56 + 9 = 56 + 4 + 5 = 65$ ; $45 + 28 = 45 + 30 - 2 = 73$ .

Oefening 15.4 ★

Reken uit het hoofd met sprongen: $340 + 220$ ; $675 + 210$ ; $512 - 300$ ; $840 - 220$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.4.

$340 + 220 = 560$ ; $675 + 210 = 885$ ; $512 - 300 = 212$ ; $840 - 220 = 620$ .

Oefening 15.5 ★

Reken $63 - 47$ uit met doortellen (zoals in Voorbeeld 15.6) en controleer daarna met cijferen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.5.

Van $47$ naar $50$ : $3$ ; van $50$ naar $63$ : $13$ ; samen $3 + 13 = 16$ . Het cijferen bevestigt het: $63 - 47 = 16$ .

Oefening 15.6 ★

Schat eerst (rond af op honderdtallen) en reken dan precies uit: $492 + 218$ ; $913 - 388$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.6.

$492 + 218$ : schatting $500 + 200 = 700$ ; precies $710$ .

$913 - 388$ : schatting $900 - 400 = 500$ ; precies $525$ .

Oefening 15.7 ★

Een school heeft $348$ meisjes en $296$ jongens. Hoeveel leerlingen zijn dat in totaal? Schrijf de bewerking op, reken uit en antwoord met een zin.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.7.

$348 + 296 = 644$ . De school heeft $644$ leerlingen.

Oefening 15.8 ★

Een boek heeft $224$ bladzijden; Nora heeft er $178$ gelezen. Hoeveel bladzijden moet ze nog lezen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.8.

$224 - 178 = 46$ . Nora moet nog $46$ bladzijden lezen.

Oefening 15.9 ★

Vul de gaten in (kolom voor kolom):

\begin{array}{r} 3\,?\,7 \\ +\ ?\,2\,? \\ \hline 8\,6\,2 \end{array}

Kunnen de drie gaten maar op één manier gevuld worden? Leg uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.9.

Eenheden: $7 + \text{?} = 2$ kan niet, dus $7 + 5 = 12$ : in het gat bij de eenheden komt $5$ , en je onthoudt $1$ . Tientallen: $\text{?} + 2 + 1 = 6$ : in het gat bij de tientallen komt $3$ (niets te onthouden). Honderdtallen: $3 + \text{?} = 8$ : in het gat bij de honderdtallen komt $5$ . Dus $337 + 525 = 862$ , en bij elk gat paste precies één cijfer — er is maar één manier.

Oefening 15.10 ★★

Een bakkerij verkocht ’s ochtends $145$ croissants en ’s middags $89$ ; bij sluitingstijd waren er $17$ croissants over. Hoeveel croissants zijn er die dag gebakken? (Twee stappen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.10.

Verkocht: $145 + 89 = 234$ croissants. Gebakken: verkocht plus de rest, $234 + 17 = 251$ croissants.

Oefening 15.11 ★★

Theo zegt: “om $500 - 199$ uit te rekenen, reken ik $500 - 200$ uit en tel er dan $1$ bij op.” Heeft hij gelijk? Reken het op beide manieren uit en leg zijn truc uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.11.

Hij heeft gelijk: $500 - 200 = 300$ , plus $1$ geeft $301$ ; en met cijferen is $500 - 199$ ook $301$ . Door $200$ weg te halen haal je er één te veel weg, dus moet je er één teruggeven — een vriendelijk buurgetal aftrekken en dan verbeteren is vaak sneller dan lenen.