Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

49Evenredigheid

Jaar 6 leerde evenredigheidstabellen (Hoofdstuk 44); dit hoofdstuk maakt van evenredigheid een volwaardig gereedschap: de kruisregel om een vierde waarde te vinden, percentages, en schalen van kaarten en modellen. Snelheid, de beroemdste evenredigheid van alle, wordt bestudeerd in Hoofdstuk 61.

49.1 Tabellen herkennen en invullen

Definitie 49.1 (Evenredigheidstabel)

Een tabel met twee rijen is een evenredigheidstabel wanneer de getallen van de tweede rij die van de eerste zijn, vermenigvuldigd met één vast getal, de coëfficiënt. Equivalent: alle kolomquotiënten $\frac{\text{onder}}{\text{boven}}$ zijn gelijk.

Voorbeeld 49.2

boven	$4$	$10$	$14$
onder	$6$	$15$	$21$

Quotiënten: $\frac64 = 1.5$ , $\frac{15}{10} = 1.5$ , $\frac{21}{14} = 1.5$ : evenredig, coëfficiënt $1.5$ .

Stelling 49.3 (Kruisregel)

In een evenredigheidstabel met kolommen $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ en $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ zijn de kruisproducten gelijk:

a \times d = b \times c .

Bijgevolg kan de vierde waarde uit de drie andere berekend worden: $d = \dfrac{b \times c}{a}$ .

Bewijs. Laat $k$ de coëfficiënt zijn: $b = ka$ en $d = kc$ . Dan

a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac :

beide kruisproducten zijn $k \times ac$ . Delen van $ad = bc$ door $a$ geeft de formule voor $d$ . ∎

Voorbeeld 49.4 (Vierde evenredige)

Als $7$ identieke boeken $2.8$ kg wegen, hoeveel wegen $12$ zulke boeken? Tabel en kruisregel:

boeken	$7$	$12$
kg	$2.8$	$m$

7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ kg}.

Controle via de eenheid: één boek weegt $0.4$ kg, twaalf wegen $4.8$ kg.

49.2 Percentages

Methode 49.5 (Percentages toepassen en vinden)

Toepassen van $t\,\%$ : vermenigvuldig met $\frac{t}{100}$ ( $12\,\%$ van $350$ is $0.12 \times 350 = 42$ );
vinden welk percentage een deel voorstelt: bereken $\frac{\text{deel}}{\text{geheel}}$ en herschrijf over $100$ ( $21$ van de $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ );
vraag altijd: een percentage van wat? Het referentiegeheel telt.

Voorbeeld 49.6

In een school zijn $180$ van de $400$ leerlingen meisjes. Percentage:

\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% .

Omgekeerd: hoeveel zijn de $55\,\%$ jongens? $0.55 \times 400 = 220$ . Controle: $180 + 220 = 400$ .

49.3 Schalen

Definitie 49.7 (Schaal)

Op een kaart of model op schaal $\frac{1}{n}$ (geschreven $1 : n$ ) zijn de afstanden op de kaart evenredig met de echte afstanden, met coëfficiënt $\frac1n$ :

\text{kaartafstand} = \frac{1}{n} \times \text{echte afstand},

beide gemeten in dezelfde eenheid.

Voorbeeld 49.8

Op een kaart $1 : 50\,000$ liggen twee steden $7$ cm uit elkaar. Echte afstand:

7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm} = 3\,500 \text{ m} = 3.5 \text{ km}.

Omgekeerd meet een wandeling van $12$ km op de kaart $12$ km $= 1\,200\,000$ cm, dus $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm.

Een schaal is een evenredigheid: kaartafstanden tegen echte afstanden liggen op een rechte lijn door de oorsprong (hier 1 cm 4 km; de stippellijnen lezen 7 cm 28 km). — Een schaal is een evenredigheid: kaartafstanden tegen echte afstanden liggen op een rechte lijn door de oorsprong (hier $1$ cm $\leftrightarrow$ $4$ km; de stippellijnen lezen $7$ cm $\leftrightarrow$ $28$ km).

Opmerking 49.9

Grafieken zijn de snelste test van evenredigheid (Hoofdstuk 44): punten op een rechte lijn door de oorsprong betekenen evenredige grootheden; een lijn die de oorsprong mist (zoals een taxitarief met vast startbedrag) betekent niet evenredig, ook al is het een rechte lijn. Affiene functies, in Hoofdstuk 67, maken dit precies.

49.4 Oefeningen

Oefening 49.1 ★

Welke tabellen zijn evenredigheidstabellen? Geef de coëfficiënt als die bestaat.

	$3$	$7$	$11$
	$7.5$	$17.5$	$27.5$

	$2$	$5$	$9$
	$6$	$15$	$28$

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.1.

Eerste tabel: quotiënten $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{17.5}{7} = 2.5$ , $\frac{27.5}{11} = 2.5$ : evenredig, coëfficiënt $2.5$ .

Tweede tabel: $\frac62 = 3$ en $\frac{15}{5} = 3$ , maar $\frac{28}{9} \approx 3.1$ : niet evenredig.

Oefening 49.2 ★

Vul in met de kruisregel, en schrijf de berekening: $5$ kg aardappelen kosten $6$ euro; hoeveel kosten $8$ kg?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.2.

Met de kruisregel: $5 \times p = 6 \times 8$ , dus $p = \frac{48}{5} = 9.60$ euro.

Oefening 49.3 ★

Een printer print $36$ pagina’s in $3$ minuten. Met dezelfde snelheid, hoeveel pagina’s in $5$ minuten? Hoe lang voor $96$ pagina’s?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.3.

Tempo: $36 \div 3 = 12$ pagina’s per minuut. In $5$ minuten: $60$ pagina’s. Voor $96$ pagina’s: $96 \div 12 = 8$ minuten.

Oefening 49.4 ★

Bereken: $30\,\%$ van $250$ ; $15\,\%$ van $60$ ; $t\,\%$ zodat $t\,\%$ van $80$ gelijk is aan $20$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.4.

$30\,\%$ van $250$ : $0.3 \times 250 = 75$ . $15\,\%$ van $60$ : $0.15 \times 60 = 9$ . $t\,\%$ van $80$ is $20$ : $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$ , dus $t = 25$ .

Oefening 49.5 ★

Van $25$ schoten scoorde een basketbalspeler $18$ . Wat is haar succespercentage? (Herschrijf de breuk over $100$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.5.

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$ .

Oefening 49.6 ★

Op een kaart $1 : 25\,000$ meet een pad $9$ cm. Wat is zijn echte lengte in km? Een meer is $2$ km lang: hoe lang is het op de kaart?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.6.

Pad: $9 \times 25\,000 = 225\,000$ cm $= 2.25$ km. Meer: $2$ km $= 200\,000$ cm op de grond, dus $200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm op de kaart.

Oefening 49.7 ★

Een modelauto is gebouwd op schaal $1 : 43$ . De echte auto is $4.3$ m lang. Hoe lang is het model, in cm?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.7.

$4.3$ m $= 430$ cm, en $430 \div 43 = 10$ cm.

Oefening 49.8 ★★

Een recept gebruikt $240$ g chocolade voor $8$ porties. Aline heeft $300$ g chocolade. Voor hoeveel porties is dat genoeg (geheel aantal porties)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.8.

Chocolade per portie: $240 \div 8 = 30$ g. Met $300$ g: $300 \div 30 = 10$ porties exact.

Oefening 49.9 ★★

De prijs van een jas daalt van $80$ naar $60$ euro.

Wat is de korting in euro? In procent van de oorspronkelijke prijs?
Later stijgt de prijs terug van $60$ naar $80$ euro. Leg uit waarom deze stijging niet $25\,\%$ is — bereken het juiste stijgingspercentage.

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.9.

1. Korting: $20$ euro, d.w.z. $\frac{20}{80} = 25\,\%$ van de oorspronkelijke prijs.

2. De stijging van $20$ euro wordt nu vergeleken met de nieuwe referentie $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Een percentage verwijst altijd naar een geheel; het geheel veranderde, dus het percentage ook.

Oefening 49.10 ★★

Twee rijen van een tabel zijn evenredig:

	$4$	$x$	$10$
	$y$	$10.5$	$17.5$

Vind de coëfficiënt, daarna $x$ en $y$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.10.

Coëfficiënt uit de complete kolom: $\frac{17.5}{10} = 1.75$ . Dan $y = 4 \times 1.75 = 7$ en $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$ .

Oefening 49.11 ★★★

Een fotokopieerapparaat verkleint documenten tot $80\,\%$ van hun grootte. Een lijnstuk van $10$ cm wordt gekopieerd, daarna wordt de kopie opnieuw gekopieerd met dezelfde instelling.

Hoe lang is het lijnstuk na één kopie? Na twee?
Waarom is het antwoord na twee kopieën niet $60\,\%$ van het origineel? Welk enkel percentage komt overeen met twee kopieën?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.11.

1. Na één kopie: $10 \times 0.8 = 8$ cm. Na twee: $8 \times 0.8 = 6.4$ cm.

2. De tweede verkleining geldt voor de al verkleinde kopie, niet voor het origineel: de factoren vermenigvuldigen, $0.8 \times 0.8 = 0.64$ , dus twee kopieën verkleinen tot $64\,\%$ van het origineel — niet $60\,\%$ .