Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

49Evenredigheid

In jaar 6 kwamen evenredigheidstabellen aan de orde (Hoofdstuk 44); in dit hoofdstuk wordt evenredigheid een volwaardig gereedschap: de kruisregel om een vierde waarde te vinden, percentages, en schalen van kaarten en maquettes. Snelheid, de beroemdste evenredigheid van alle, komt in Hoofdstuk 61.

49.1 Tabellen herkennen en aanvullen

Definitie 49.1 (Evenredigheidstabel)

Een tabel met twee rijen is een evenredigheidstabel als de getallen van de tweede rij die van de eerste zijn, vermenigvuldigd met één vast getal, de constante. Even goed gezegd: alle kolomquotiënten $\frac{\text{onder}}{\text{boven}}$ zijn gelijk.

Voorbeeld 49.2

boven	$4$	$10$	$14$
onder	$6$	$15$	$21$

Quotiënten: $\frac64 = 1.5$ , $\frac{15}{10} = 1.5$ , $\frac{21}{14} = 1.5$ : evenredig, met constante $1.5$ .

Stelling 49.3 (Kruisregel)

In een evenredigheidstabel met kolommen $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ en $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ zijn de kruisproducten gelijk:

a \times d = b \times c .

Daardoor kun je de vierde waarde uit de drie andere berekenen: $d = \dfrac{b \times c}{a}$ .

Bewijs. Zij $k$ de constante: $b = ka$ en $d = kc$ . Dan is

a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac :

beide kruisproducten zijn gelijk aan $k \times ac$ . $ad = bc$ door $a$ delen geeft de formule voor $d$ . ∎

Voorbeeld 49.4 (De vierde evenredige)

Als $7$ dezelfde boeken $2.8$ kg wegen, hoeveel wegen dan $12$ van die boeken? Tabel en kruisregel:

boeken	$7$	$12$
kg	$2.8$	$m$

7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ kg}.

Controle via één stuk: één boek weegt $0.4$ kg, twaalf boeken wegen $4.8$ kg.

49.2 Percentages

Methode 49.5 (Percentages toepassen en vinden)

$t\,\%$ toepassen: vermenigvuldig met $\frac{t}{100}$ ( $12\,\%$ van $350$ is $0.12 \times 350 = 42$ );
het percentage vinden dat een deel voorstelt: reken $\frac{\text{deel}}{\text{geheel}}$ uit en schrijf het op noemer $100$ ( $21$ van $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ );
vraag je altijd af: een percentage van wát? Het geheel waarnaar je verwijst, doet ertoe.

Voorbeeld 49.6

Op een school zijn $180$ van de $400$ leerlingen meisjes. Het percentage:

\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% .

En de andere kant op: hoeveel zijn de $55\,\%$ jongens? $0.55 \times 400 = 220$ . Controle: $180 + 220 = 400$ .

49.3 Schalen

Definitie 49.7 (Schaal)

Op een kaart of maquette op schaal $\frac{1}{n}$ (geschreven als $1 : n$ ) zijn de afstanden op de kaart evenredig met de echte afstanden, met constante $\frac1n$ :

\text{afstand op de kaart} = \frac{1}{n} \times \text{echte afstand},

en dat allebei gemeten in dezelfde eenheid.

Voorbeeld 49.8

Op een kaart $1 : 50\,000$ liggen twee steden $7$ cm van elkaar. De echte afstand:

7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm} = 3\,500 \text{ m} = 3.5 \text{ km}.

Andersom: een wandelpad van $12$ km meet op de kaart $12$ km $= 1\,200\,000$ cm, dus $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm.

Een schaal is een evenredigheid: kaartafstanden tegen echte afstanden liggen op één rechte lijn door de oorsprong (hier 1 cm 4 km; de stippellijnen lezen 7 cm 28 km). — Een schaal is een evenredigheid: kaartafstanden tegen echte afstanden liggen op één rechte lijn door de oorsprong (hier $1$ cm $\leftrightarrow$ $4$ km; de stippellijnen lezen $7$ cm $\leftrightarrow$ $28$ km).

Opmerking 49.9

Grafieken zijn de snelste test op evenredigheid (Hoofdstuk 44): punten op één rechte lijn door de oorsprong betekenen evenredige grootheden; een lijn die de oorsprong mist (zoals een taxiprijs met een vast starttarief) betekent niet evenredig, ook al is het een rechte lijn. Affiene functies, in Hoofdstuk 67, maken dat precies.

49.4 Oefeningen

Oefening 49.1 ★

Welke tabellen zijn evenredigheidstabellen? Geef de constante als die bestaat.

	$3$	$7$	$11$
	$7.5$	$17.5$	$27.5$

	$2$	$5$	$9$
	$6$	$15$	$28$

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.1.

Eerste tabel: quotiënten $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{17.5}{7} = 2.5$ , $\frac{27.5}{11} = 2.5$ : evenredig, met constante $2.5$ .

Tweede tabel: $\frac62 = 3$ en $\frac{15}{5} = 3$ , maar $\frac{28}{9} \approx 3.1$ : niet evenredig.

Oefening 49.2 ★

Vul aan met de kruisregel, en schrijf de berekening op: $5$ kg aardappelen kost $6$ euro; wat kost $8$ kg?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.2.

Met de kruisregel: $5 \times p = 6 \times 8$ , dus $p = \frac{48}{5} = 9.60$ euro.

Oefening 49.3 ★

Een printer print $36$ bladzijden in $3$ minuten. Hoeveel bladzijden print hij in hetzelfde tempo in $5$ minuten? En hoe lang doet hij over $96$ bladzijden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.3.

Tempo: $36 \div 3 = 12$ bladzijden per minuut. In $5$ minuten: $60$ bladzijden. Voor $96$ bladzijden: $96 \div 12 = 8$ minuten.

Oefening 49.4 ★

Reken uit: $30\,\%$ van $250$ ; $15\,\%$ van $60$ ; de $t$ waarvoor $t\,\%$ van $80$ gelijk is aan $20$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.4.

$30\,\%$ van $250$ : $0.3 \times 250 = 75$ . $15\,\%$ van $60$ : $0.15 \times 60 = 9$ . $t\,\%$ van $80$ is $20$ : $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$ , dus $t = 25$ .

Oefening 49.5 ★

Van $25$ schoten scoorde een basketbalspeelster $18$ keer. Wat is haar scoringspercentage? (Schrijf de breuk op noemer $100$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.5.

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$ .

Oefening 49.6 ★

Op een kaart $1 : 25\,000$ meet een pad $9$ cm. Wat is zijn echte lengte in km? Een meer is $2$ km lang: hoe lang is het op de kaart?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.6.

Pad: $9 \times 25\,000 = 225\,000$ cm $= 2.25$ km. Meer: $2$ km $= 200\,000$ cm op de grond, dus $200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm op de kaart.

Oefening 49.7 ★

Een modelauto is gebouwd op schaal $1 : 43$ . De echte auto is $4.3$ m lang. Hoe lang is het model, in cm?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.7.

$4.3$ m $= 430$ cm, en $430 \div 43 = 10$ cm.

Oefening 49.8 ★★

Een recept gebruikt $240$ g chocolade voor $8$ porties. Aline heeft $300$ g chocolade. Voor hoeveel porties is dat genoeg (een heel aantal porties)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.8.

Chocolade per portie: $240 \div 8 = 30$ g. Met $300$ g: $300 \div 30 = 10$ porties precies.

Oefening 49.9 ★★

De prijs van een jas daalt van $80$ naar $60$ euro.

Hoeveel euro is de korting? En hoeveel procent van de oorspronkelijke prijs?
Later gaat de prijs weer van $60$ naar $80$ euro. Leg uit waarom die stijging geen $25\,\%$ is — en reken het juiste stijgingspercentage uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.9.

1. Korting: $20$ euro, dus $\frac{20}{80} = 25\,\%$ van de oorspronkelijke prijs.

2. De stijging van $20$ euro wordt nu vergeleken met het nieuwe uitgangspunt $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Een percentage verwijst altijd naar een geheel; dat geheel is veranderd, en dus het percentage ook.

Oefening 49.10 ★★

Twee rijen van een tabel zijn evenredig:

	$4$	$x$	$10$
	$y$	$10.5$	$17.5$

Zoek de constante, en daarna $x$ en $y$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.10.

De constante uit de volledige kolom: $\frac{17.5}{10} = 1.75$ . Dan is $y = 4 \times 1.75 = 7$ en $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$ .

Oefening 49.11 ★★★

Een kopieerapparaat verkleint documenten tot $80\,\%$ van hun maat. Een lijnstuk van $10$ cm wordt gekopieerd, en daarna wordt de kopie opnieuw gekopieerd met dezelfde instelling.

Hoe lang is het lijnstuk na één kopie? En na twee?
Waarom is het antwoord na twee kopieën geen $60\,\%$ van het origineel? Welk enkel percentage hoort bij twee kopieën?

Oplossing

Oplossing van Oefening 49.11.

1. Na één kopie: $10 \times 0.8 = 8$ cm. Na twee: $8 \times 0.8 = 6.4$ cm.

2. De tweede verkleining werkt op de al verkleinde kopie, niet op het origineel: de factoren vermenigvuldigen zich, $0.8 \times 0.8 = 0.64$ , dus verkleinen twee kopieën tot $64\,\%$ van het origineel — geen $60\,\%$ .

49.5 Opgave: de aarde meten met een stok

Probleem 49.1

Weekendopgave — schaduwen zijn een evenredigheid, en hoe Eratosthenes in 240 v.Chr. de omtrek van de aarde uitrekende

Tweeëntwintig eeuwen geleden mat de bibliothecaris van Alexandrië de aarde — zonder telescoop, zonder satelliet en zonder rekenmachine, met een stok, een put, een kamelenkaravaan en de wiskunde van dit hoofdstuk. In deze opgave loop je zijn stappen na: eerst de evenredigheid van schaduwen, dan de beroemde berekening zelf, en tot slot hoe zijn antwoord er op menselijke schaal uitziet.

Deel I — De schaduw van een stok. De zon staat zo ver weg dat haar stralen ons parallel bereiken. Op een gegeven moment zijn alle verticale voorwerpen en hun schaduwen dus evenredig.

Om twaalf uur werpt een verticale stok van $1$ m een schaduw van $0.4$ m, en de schaduw van een boom meet $3.2$ m. Hoe hoog is de boom (Stelling 49.3)?
Op datzelfde moment werpt een toren een schaduw van $26$ m: hoe hoog is de toren? En hoe lang is de schaduw van een kind van $1.5$ m?
Leg in één zin uit waarom al deze berekeningen alleen geldig zijn op hetzelfde moment van de dag.
De legende zegt dat Thales de Grote Piramide mat door te wachten op het moment waarop zijn eigen schaduw precies zo lang was als hij zelf. Wat is de evenredigheidsconstante op dat moment, en hoe hoog is de piramide als de punt van haar schaduw op $147$ m ligt van het punt op de grond recht onder haar top?
Vat deel I samen: welke grootheid is op één gegeven moment hetzelfde voor de stok, de boom, de toren en de piramide (Definitie 49.1)?

Deel II — De berekening van Eratosthenes. Eratosthenes kende twee feiten. In de stad Syene stond de zon om twaalf uur op de dag van de zomerzonnewende precies in het zenit: het zonlicht bereikte de bodem van de diepste putten, en verticale stokken wierpen geen schaduw. In Alexandrië, $800$ km recht naar het noorden, wierp een verticale stok op datzelfde moment wel een schaduw, en maakten de zonnestralen een hoek van $7.2^\circ$ met de verticaal.

Leg uit waarom die twee waarnemingen samen bewijzen dat de grond van Syene en de grond van Alexandrië niet parallel zijn — dat het oppervlak van de aarde dus gekromd is. (Wat zouden parallelle stralen met twee stokken op een platte aarde doen?)
Op een tekening van de ronde aarde met parallelle zonnestralen duikt de $7.2^\circ$ van Alexandrië opnieuw op in het middelpunt van de aarde, als de hoek tussen de richtingen van de twee steden. Maak de tekening en overtuig jezelf (de nette verantwoording gebruikt de paren gelijke hoeken van Hoofdstuk 51).
Welke breuk van een volle draai is $7.2^\circ$ ?
De boog van Syene naar Alexandrië ( $800$ km) hoort bij $7.2^\circ$ ; de hele omtrek hoort bij $360^\circ$ . Zet de evenredigheid op en reken de omtrek van de aarde uit.
Leid daaruit de diameter van de aarde af, met $\pi \approx 3.14$ (Propositie 43.3) en afgerond op honderd kilometer. (De moderne waarde is $12\,742$ km — hoe dichtbij kwam een man met een stok in 240 v.Chr.?)

Deel III — De aarde op menselijke schaal.

Er wordt een globe gebouwd op schaal $1 : 40\,000\,000$ . Laat met de omtrek uit vraag 9 zien dat de omtrek van de globe precies $1$ m is. Wat is haar diameter, op de centimeter?
De Mont Blanc rijst ongeveer $4.8$ km op. Zet $4.8$ km om in centimeters, deel door $40\,000\,000$ , en geef de hoogte van de berg op de globe in millimeters. Wat zegt het antwoord over hoe “hobbelig” de aarde werkelijk is?
Een wandelaar legt $40$ km per dag af. Hoeveel dagen doet hij in dat tempo over de hele omtrek van Eratosthenes — en hoeveel jaar is dat ongeveer?
De ademlucht van de atmosfeer zit vooral in de eerste $10$ km boven de grond. Welk percentage van de radius van de aarde (ongeveer $6\,370$ km) is dat (Methode 49.5)? Rond af op een tiende procent.
Historici schatten dat de waarde die Eratosthenes aankondigde, omgezet naar moderne eenheden, ongeveer $42\,000$ km kan zijn geweest. Neem $40\,000$ km als de echte waarde en reken zijn foutpercentage uit. Besluit met één zin over stokken, putten en evenredigheid.

Oplossing

Oplossing van Probleem 49.1.

1. Hoogtes en schaduwen zijn evenredig, dus geldt volgens de kruisregel (Stelling 49.3), met de kolom van de stok $(1,\ 0.4)$ en die van de boom $(h,\ 3.2)$ : $0.4 \times h = 1 \times 3.2$ , dus $h = \frac{3.2}{0.4} = 8$ m.

2. Toren: $\frac{26}{0.4} = 65$ m. Schaduw van het kind: $1.5 \times 0.4 = 0.6$ m (schaduw $=$ hoogte $\times$ de constante $0.4$ van dat moment).

3. Terwijl de zon langs de hemel trekt, verandert de constante die hoogtes met schaduwen verbindt; alleen metingen op hetzelfde moment delen dezelfde constante.

4. Op dat moment is de constante $1$ : elke hoogte is gelijk aan haar schaduw. De top van de piramide is dus $147$ m hoog — de hoogte van de Grote Piramide (de punt van haar schaduw, gemeten vanaf het punt onder de top, is alles wat je nodig hebt).

5. Het kolomquotiënt $\frac{\text{schaduw}}{\text{hoogte}}$ — de evenredigheidsconstante van dat moment — is voor elk verticaal voorwerp gelijk: en dat is precies wat de tabel van hoogtes en schaduwen een evenredigheidstabel maakt (Definitie 49.1).

6. Zonnestralen komen parallel aan. Op een platte aarde zouden twee parallelle stralen twee verticale stokken onder dezelfde hoek raken: beide zouden evenredige schaduwen werpen — of beide geen schaduw, of beide wel. Eén stok zonder schaduw (Syene) en één met schaduw (Alexandrië), op hetzelfde ogenblik, is op een platte aarde onmogelijk: de twee verticalen moeten in verschillende richtingen wijzen — het oppervlak kromt.

7. Op de tekening wijst de verticaal van Syene recht naar de zon; die van Alexandrië staat schuin, over de hoek tussen de richtingen van de twee steden gezien vanuit het middelpunt. Omdat de stralen parallel zijn, is die scheefstand precies de $7.2^\circ$ die in Alexandrië tussen straal en stok gemeten is.

8. $\frac{7.2}{360} = \frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$ : een vijftigste van een volle draai.

9. Booglengtes zijn evenredig met hoeken: hoort $7.2^\circ$ — een vijftigste van de draai — bij $800$ km, dan hoort de hele draai bij

50 \times 800 = 40\,000 \text{ km}.

10. Diameter $= \frac{\text{omtrek}}{\pi} \approx \frac{40\,000}{3.14} \approx 12\,700$ km — tegen de moderne $12\,742$ km: ruim binnen één procent juist, met een stok.

11. $40\,000$ km $= 4\,000\,000\,000$ cm, en $4\,000\,000\,000 \div 40\,000\,000 = 100$ cm $= 1$ m omtrek. Diameter: $100 \div 3.14 \approx 32$ cm — een mooie bureauglobe.

12. $4.8$ km $= 480\,000$ cm, en $480\,000 \div 40\,000\,000 = 0.012$ cm $= 0.12$ mm. De hoogste berg van de Alpen is een tiende millimeter op een globe met een omtrek van een meter: een stofje. Op deze schaal is de aarde gladder dan de meeste gepolijste ballen.

13. $40\,000 \div 40 = 1\,000$ dagen, en $1\,000 \div 365 \approx 2.7$ : bijna drie jaar lopen.

14. $\frac{10}{6\,370} \approx 0.0016$ , dus ongeveer $0.2\,\%$ (preciezer $0.16\,\%$ ): de atmosfeer is een velletje, dun als een zucht, om de planeet.

15. Fout: $42\,000 - 40\,000 = 2\,000$ km, en $\frac{2\,000}{40\,000} = \frac{5}{100} = 5\,\%$ . In één zin: met een stok, een put, een opgemeten weg en één evenredigheid mat Eratosthenes een planeet op een paar procent nauwkeurig — wiskunde komt heel ver met heel weinig.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst