Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

32Delen en veelvouden

Staartdelen geleerd in Hoofdstuk 23 krijgt twee upgrades: tweecijferige delers, en quotiënten die voorbij de punt doorgaan — $3 \div 4$ krijgt eindelijk een antwoord, $0.75$ . Het hoofdstuk eindigt met veelvouden, delers en de eerste deelbaarheidssnelwegen.

32.1 Delen door een tweecijferig getal

Methode 32.1 (Tweecijferige delers)

Zelfde methode als eerder, met één extra vaardigheid: raden hoe vaak de deler past. Schrijf eerst een kleine tabel van veelvouden van de deler. Voor $986 \div 23$ (veelvouden van 23: 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207):

$98$ tientallen: $23 \times 4 = 92$ past, $23 \times 5 = 115$ niet: cijfer $4$ , rest $6$ ;
haal de $6$ naar beneden: $66$ : $23 \times 2 = 46$ past: cijfer $2$ , rest $20$ ;
quotiënt $42$ , rest $20$ . Controle: $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ .

32.2 Decimale quotiënten

Voorbeeld 32.2 (De deling die weigert te stoppen bij de rest)

Verdeel $3$ pizza’s onder $4$ kinderen: $3 \div 4$ heeft quotiënt $0$ en rest $3$ — nutteloos! Ga door met de deling voorbij de punt:

$3$ eenheden $= 30$ tienden; $30 \div 4$ : $7$ tienden, rest $2$ tienden;
$2$ tienden $= 20$ honderdsten; $20 \div 4 = 5$ honderdsten, rest $0$ .

Dus $3 \div 4 = 0.75$ : elk kind krijgt $0.75$ pizza — drie kwarten, zoals de breukentaal al wist (Propositie 31.3).

Methode 32.3 (Een deling voorbij de punt voortzetten)

Als de eenheden op zijn en er een rest overblijft:

schrijf de decimale punt in het quotiënt;
voeg een nul toe aan de rest (eenheden worden tienden, tienden worden honderdsten …) en blijf delen;
stop als de rest $0$ is — of als de cijfers eeuwig herhalen, zoals $1 \div 3 = 0.333\dots$ : geef dan een afgeronde waarde.

Voorbeeld 32.4

$27 \div 6$ : quotiënt $4$ , rest $3$ ; punt; $30$ tienden $\div\ 6 = 5$ : dus $27 \div 6 = 4.5$ . $22 \div 8$ : $2$ , rest $6$ ; dan $60 \div 8 = 7$ rest $4$ ; dan $40 \div 8 = 5$ : dus $22 \div 8 = 2.75$ .

32.3 Veelvouden en delers

Definitie 32.5 (Veelvoud, deler)

De veelvouden van $6$ zijn zijn tafel voor eeuwig doorgezet: $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ Als $24$ een veelvoud van $6$ is, zegt men ook dat $6$ een deler van $24$ is, of dat $24$ deelbaar is door $6$ : de deling $24 \div 6$ laat geen rest.

Propositie 32.6 (Deelbaarheidssnelwegen)

Zonder te delen is een getal deelbaar:

door $2$ als het laatste cijfer $0$ , $2$ , $4$ , $6$ of $8$ is (de even getallen);
door $5$ als het laatste cijfer $0$ of $5$ is;
door $10$ als het laatste cijfer $0$ is;
door $3$ als de som van zijn cijfers deelbaar is door $3$ (bijv. $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , deelbaar — en inderdaad $741 = 3 \times 247$ ).

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

De getallen 1 tot 30: veelvouden van 2 en van 3 maken patronen — en de getallen met beide merken (6, 12, 18, 24, 30) zijn precies de veelvouden van 6. — De getallen $1$ tot $30$ : veelvouden van $2$ en van $3$ maken patronen — en de getallen met beide merken ( $6$ , $12$ , $18$ , $24$ , $30$ ) zijn precies de veelvouden van $6$ .

Voorbeeld 32.7

Is $534$ deelbaar door $2$ ? Eindigt op $4$ : ja. Door $5$ ? Nee. Door $3$ ? $5 + 3 + 4 = 12$ : ja. Dus $534$ is ook deelbaar door $6$ (door $2$ en door $3$ ) — controle: $534 = 6 \times 89$ .

32.4 Oefeningen

Oefening 32.1 ★

Reken de staartdelingen uit (eerst tabel van veelvouden): $851 \div 23$ ; $704 \div 32$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.1.

$851 \div 23$ : veelvouden van $23$ : $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207$ . Dan $85 \div 23$ : $3$ keer ( $69$ ), rest $16$ ; haal de $1$ naar beneden: $161 \div 23 = 7$ precies. Quotiënt $37$ , rest $0$ ( $23 \times 37 = 851$ ).

$704 \div 32$ : $70 \div 32$ : $2$ keer ( $64$ ), rest $6$ ; haal de $4$ naar beneden: $64 \div 32 = 2$ . Quotiënt $22$ , rest $0$ .

Oefening 32.2 ★

Reken de exacte decimale quotiënten uit: $9 \div 2$ ; $27 \div 4$ ; $33 \div 5$ ; $21 \div 8$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.2.

$9 \div 2 = 4.5$ ; $27 \div 4 = 6.75$ ; $33 \div 5 = 6.6$ ; $21 \div 8 = 2.625$ .

Oefening 32.3 ★

Vier vrienden delen een restaurantrekening van $54$ even. Hoeveel betaalt elk? (Ga door voorbij de punt.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.3.

$54 \div 4 = 13.5$ : elk betaalt $13.50$ .

Oefening 32.4 ★

Reken $10 \div 3$ uit, ga drie cijfers voorbij de punt door. Wat val je op? Geef de waarde afgerond op de honderdste.

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.4.

$10 \div 3 = 3.333\dots$ : het cijfer $3$ herhaalt eeuwig — de deling stopt nooit. Afgerond op de honderdste: $3.33$ .

Oefening 32.5 ★

Noem: de veelvouden van $7$ tot $70$ ; de delers van $18$ ; de delers van $24$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.5.

Veelvouden van $7$ tot $70$ : $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$ . Delers van $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Delers van $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ .

Oefening 32.6 ★

Deelbaar door $2$ ? door $5$ ? door $10$ ? door $3$ ? Test elke snelweg op: $470$ ; $735$ ; $8\,001$ ; $1\,314$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.6.

$470$ : door $2$ (eindigt op $0$ ), door $5$ , door $10$ ; cijfersom $11$ : niet door $3$ .

$735$ : eindigt op $5$ : door $5$ , niet door $2$ noch $10$ ; cijfersom $15$ : door $3$ .

$8\,001$ : oneven; cijfersom $9$ : alleen door $3$ .

$1\,314$ : even; cijfersom $9$ : door $2$ en door $3$ (dus door $6$ ), niet door $5$ .

Oefening 32.7 ★

Zoek alle getallen tussen $60$ en $80$ die deelbaar zijn door $3$ en door $5$ . (Welke enkele deelbaarheid combineert dat?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.7.

Deelbaar door $3$ en $5$ betekent deelbaar door $15$ : tussen $60$ en $80$ , de getallen $60$ , $75$ .

Oefening 32.8 ★

Een lint van $7.2$ m wordt in $6$ gelijke stukken geknipt. Hoe lang is elk stuk? (Deel een decimaal door een heel getal: verdeel de meters, dan de tienden.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.8.

$7.2 \div 6 = 1.2$ : elk stuk meet $1.2$ m (controle: $1.2 \times 6 = 7.2$ ).

Oefening 32.9 ★

$1\,000$ knikkers worden in zakjes van $24$ gepakt. Hoeveel volle zakjes, en hoeveel knikkers blijven over? (Tweecijferige deler.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.9.

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$ : eenenveertig volle zakjes, $16$ knikkers over.

Oefening 32.10 ★★

Kunnen $5$ vrienden $7$ chocoladerepen even delen, zonder iets over? Geef elk aandeel als decimaal. Zelfde vraag voor $7$ vrienden die $5$ repen delen — wat gaat anders?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.10.

$7 \div 5 = 1.4$ : elk van de $5$ vrienden krijgt $1.4$ reep — mogelijk door repen in tienden te snijden. Voor $5 \div 7$ : de deling geeft $0.714285\dots$ , die nooit stopt — er bestaat geen exacte decimale portie; alleen de breuk $\frac57$ noemt hem exact.

Oefening 32.11 ★★

Met de cijfersomsnelweg, vind het kleinste cijfer $d$ dat $52d$ (een driedijferig getal eindigend op $d$ ) deelbaar door $3$ maakt. Zoek dan alle zulke cijfers $d$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.11.

Cijfersom: $5 + 2 + d = 7 + d$ . Deelbaar door $3$ als $7 + d$ $9$ , $12$ of $15$ is: $d = 2$ , $5$ of $8$ . De kleinste is $d = 2$ (geeft $522 = 3 \times 174$ ).