Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

32Delen en veelvouden

De staartdeling uit Hoofdstuk 23 krijgt twee uitbreidingen: delers van twee cijfers, en quotiënten die voorbij het decimaalteken doorgaan — $3 \div 4$ krijgt eindelijk een antwoord, $0.75$ . Het hoofdstuk eindigt met veelvouden, delers en de eerste deelbaarheidsregels.

32.1 Delen door een getal van twee cijfers

Methode 32.1 (Delers van twee cijfers)

Dezelfde manier als eerder, met één extra vaardigheid: schatten hoeveel keer de deler past. Schrijf eerst een klein tabelletje met veelvouden van de deler. Voor $986 \div 23$ (veelvouden van 23: 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207):

$98$ tientallen: $23 \times 4 = 92$ past, $23 \times 5 = 115$ niet: cijfer $4$ , rest $6$ ;
haal de $6$ naar beneden: $66$ : $23 \times 2 = 46$ past: cijfer $2$ , rest $20$ ;
quotiënt $42$ , rest $20$ . Controle: $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ .

32.2 Decimale quotiënten

Voorbeeld 32.2 (De deling die niet bij de rest wil stoppen)

Verdeel $3$ pizza’s over $4$ kinderen: $3 \div 4$ heeft quotiënt $0$ en rest $3$ — daar heb je niets aan! Ga met de deling verder, voorbij het decimaalteken:

$3$ eenheden $= 30$ tienden; $30 \div 4$ : $7$ tienden, rest $2$ tienden;
$2$ tienden $= 20$ honderdsten; $20 \div 4 = 5$ honderdsten, rest $0$ .

Dus $3 \div 4 = 0.75$ : elk kind krijgt $0.75$ pizza — driekwart, zoals de taal van de breuken al wist (Propositie 31.3).

Methode 32.3 (Een deling voorbij het decimaalteken voortzetten)

Als de eenheden op zijn en er nog een rest is:

zet het decimaalteken in het quotiënt;
zet een nul achter de rest (eenheden worden tienden, tienden worden honderdsten …) en deel verder;
stop als de rest $0$ is — of als de cijfers zich eindeloos gaan herhalen, zoals bij $1 \div 3 = 0.333\dots$ : geef dan een afgeronde waarde.

Voorbeeld 32.4

$27 \div 6$ : quotiënt $4$ , rest $3$ ; decimaalteken; $30$ tienden $\div\ 6 = 5$ : dus $27 \div 6 = 4.5$ . $22 \div 8$ : $2$ , rest $6$ ; dan $60 \div 8 = 7$ rest $4$ ; dan $40 \div 8 = 5$ : dus $22 \div 8 = 2.75$ .

32.3 Veelvouden en delers

Definitie 32.5 (Veelvoud, deler)

De veelvouden van $6$ zijn zijn tafel, eindeloos voortgezet: $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ Als $24$ een veelvoud van $6$ is, zeg je ook dat $6$ een deler van $24$ is, of dat $24$ deelbaar is door $6$ : de deling $24 \div 6$ laat geen rest.

Propositie 32.6 (Deelbaarheidsregels)

Zonder te delen is een getal deelbaar:

door $2$ als zijn laatste cijfer $0$ , $2$ , $4$ , $6$ of $8$ is (de even getallen);
door $5$ als zijn laatste cijfer $0$ of $5$ is;
door $10$ als zijn laatste cijfer $0$ is;
door $3$ als de som van zijn cijfers deelbaar is door $3$ (bijvoorbeeld $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , deelbaar — en inderdaad $741 = 3 \times 247$ ).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

De getallen 1 tot 30: de veelvouden van 2 en van 3 vormen patronen — en de getallen met beide tekens (6, 12, 18, 24, 30) zijn precies de veelvouden van 6. — De getallen $1$ tot $30$ : de veelvouden van $2$ en van $3$ vormen patronen — en de getallen met beide tekens ( $6$ , $12$ , $18$ , $24$ , $30$ ) zijn precies de veelvouden van $6$ .

Voorbeeld 32.7

Is $534$ deelbaar door $2$ ? Het eindigt op $4$ : ja. Door $5$ ? Nee. Door $3$ ? $5 + 3 + 4 = 12$ : ja. Dus is $534$ ook deelbaar door $6$ (door $2$ en door $3$ ) — controle: $534 = 6 \times 89$ .

32.4 Oefeningen

Oefening 32.1 ★

Maak de staartdelingen (eerst een tabelletje met veelvouden): $851 \div 23$ ; $704 \div 32$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.1.

$851 \div 23$ : veelvouden van $23$ : $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207$ . Dan $85 \div 23$ : $3$ keer ( $69$ ), rest $16$ ; haal de $1$ naar beneden: $161 \div 23 = 7$ precies. Quotiënt $37$ , rest $0$ ( $23 \times 37 = 851$ ).

$704 \div 32$ : $70 \div 32$ : $2$ keer ( $64$ ), rest $6$ ; haal de $4$ naar beneden: $64 \div 32 = 2$ . Quotiënt $22$ , rest $0$ .

Oefening 32.2 ★

Reken de precieze decimale quotiënten uit: $9 \div 2$ ; $27 \div 4$ ; $33 \div 5$ ; $21 \div 8$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.2.

$9 \div 2 = 4.5$ ; $27 \div 4 = 6.75$ ; $33 \div 5 = 6.6$ ; $21 \div 8 = 2.625$ .

Oefening 32.3 ★

Vier vrienden verdelen een restaurantrekening van $54$ gelijk. Hoeveel betaalt ieder? (Ga voorbij het decimaalteken verder.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.3.

$54 \div 4 = 13.5$ : ieder betaalt $13.50$ .

Oefening 32.4 ★

Reken $10 \div 3$ uit, en ga drie cijfers voorbij het decimaalteken door. Wat valt je op? Geef de waarde afgerond op het honderdste.

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.4.

$10 \div 3 = 3.333\dots$ : het cijfer $3$ herhaalt zich eindeloos — de deling stopt nooit. Afgerond op het honderdste: $3.33$ .

Oefening 32.5 ★

Noem: de veelvouden van $7$ tot $70$ ; de delers van $18$ ; de delers van $24$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.5.

Veelvouden van $7$ tot $70$ : $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$ . Delers van $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Delers van $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ .

Oefening 32.6 ★

Deelbaar door $2$ ? Door $5$ ? Door $10$ ? Door $3$ ? Test elke regel op: $470$ ; $735$ ; $8\,001$ ; $1\,314$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.6.

$470$ : door $2$ (eindigt op $0$ ), door $5$ , door $10$ ; cijfersom $11$ : niet door $3$ .

$735$ : eindigt op $5$ : door $5$ , niet door $2$ en niet door $10$ ; cijfersom $15$ : door $3$ .

$8\,001$ : oneven; cijfersom $9$ : alleen door $3$ .

$1\,314$ : even; cijfersom $9$ : door $2$ en door $3$ (dus ook door $6$ ), niet door $5$ .

Oefening 32.7 ★

Zoek alle getallen tussen $60$ en $80$ die deelbaar zijn door $3$ en door $5$ . (Welke enkele deelbaarheid combineert dat?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.7.

Deelbaar door $3$ en door $5$ betekent deelbaar door $15$ : tussen $60$ en $80$ zijn dat $60$ en $75$ .

Oefening 32.8 ★

Een lint van $7.2$ m wordt in $6$ gelijke stukken geknipt. Hoe lang is elk stuk? (Deel een decimaal getal door een heel getal: verdeel eerst de meters, dan de tienden.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.8.

$7.2 \div 6 = 1.2$ : elk stuk is $1.2$ m lang (controle: $1.2 \times 6 = 7.2$ ).

Oefening 32.9 ★

$1\,000$ knikkers worden in zakjes van $24$ verpakt. Hoeveel volle zakjes krijg je, en hoeveel knikkers blijven over? (Een deler van twee cijfers.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.9.

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$ : eenenveertig volle zakjes, en $16$ knikkers blijven over.

Oefening 32.10 ★★

Kunnen $5$ vrienden $7$ chocoladereepjes gelijk verdelen, zonder rest? Geef elk deel als decimaal getal. Dezelfde vraag voor $7$ vrienden en $5$ reepjes — wat gaat daar anders?

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.10.

$7 \div 5 = 1.4$ : elk van de $5$ vrienden krijgt $1.4$ reepje — mogelijk door reepjes in tienden te breken. Bij $5 \div 7$ geeft de deling $0.714285\dots$ , en dat stopt nooit — een precies decimaal deel bestaat niet; alleen de breuk $\frac57$ noemt het exact.

Oefening 32.11 ★★

Zoek met de cijfersomregel het kleinste cijfer $d$ waarvoor $52d$ (een getal van drie cijfers dat op $d$ eindigt) deelbaar is door $3$ . Zoek daarna alle cijfers $d$ die werken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 32.11.

Cijfersom: $5 + 2 + d = 7 + d$ . Deelbaar door $3$ als $7 + d$ gelijk is aan $9$ , $12$ of $15$ : $d = 2$ , $5$ of $8$ . Het kleinste is $d = 2$ (en dan is $522 = 3 \times 174$ ).

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Veelvoud, deler

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst