Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

61Evenredigheid, snelheid en gemiddelden

Evenredigheid (Hoofdstuk 49) ontmoet nu de fysieke wereld: snelheid, debieten, omzettingen van eenheden — grootheden die quotiënten van twee andere zijn. Het hoofdstuk sluit af met gewogen gemiddelden, waar evenredig denken een klassieke fout voorkomt.

61.1 Gemiddelde snelheid

Definitie 61.1 (Gemiddelde snelheid)

De gemiddelde snelheid van een tocht is het quotiënt

v = \frac{d}{t} \qquad \left(\text{afstand gedeeld door tijdsduur}\right),

in kilometer per uur (km/h), meter per seconde (m/s), … De formule draait om: $d = v \times t$ en $t = \frac{d}{v}$ .

Voorbeeld 61.2

Een trein legt $270$ km af in $1$ h $30$ min. Zet eerst de tijd om: $1$ h $30$ min $= 1.5$ h. Dan is

v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.

Afstand bij $90$ km/h tijdens $2$ h $20$ min $= \frac73$ h: $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Tijd voor $35$ km bij $14$ km/h: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ h $= 2$ h $30$ min.

Opmerking 61.3 (Minuten zijn geen decimalen)

$1$ h $30$ min is $1.5$ h, maar $1$ h $20$ min is niet $1.2$ h: het is $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ h. Zet minuten altijd om in een breuk van een uur ( $60$ min $= 1$ h) vóór je deelt.

Bij constante snelheid is de afstand evenredig met de tijd: een rechte lijn door de oorsprong, waarvan de steilheid de snelheid is.

Methode 61.4 (Snelheden omzetten)

Om km/h in m/s om te zetten: $1$ km $= 1000$ m en $1$ h $= 3600$ s, dus is

v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s} = \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.

Om m/s in km/h om te zetten, vermenigvuldig je met $3.6$ .

Voorbeeld 61.5

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s. Een sprinter die $100$ m in $10$ s loopt, gaat $10$ m/s $= 36$ km/h.

61.2 Grootheden die quotiënten zijn

Voorbeeld 61.6 (Debiet, prijs per kilo, verbruik)

De snelheid heeft veel neefjes, die je alle op dezelfde manier behandelt:

een kraan vult $48$ L in $4$ min: debiet $\frac{48}{4} = 12$ L/min, dus duurt het vullen van een kuip van $150$ L $\frac{150}{12} = 12.5$ min;
$0.6$ kg kaas kost $9$ euro: prijs $\frac{9}{0.6} = 15$ euro per kg;
een auto gebruikt $6.3$ L voor $90$ km: verbruik $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L per $100$ km.

Zoek het quotiënt, en de drieledige formule ( $q = \frac ab$ , $a = qb$ , $b = \frac aq$ ) doet de rest.

61.3 Gewogen gemiddelden

Definitie 61.7 (Gewogen gemiddelde)

Horen bij waarden $v_1, v_2, \dots$ aantallen (of gewichten) $n_1, n_2, \dots$ , dan is hun gewogen gemiddelde

\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :

het totaal van de waarden, gedeeld door het totaal van de gewichten.

Voorbeeld 61.8

Twee groepen maakten een toets: groep 1, $12$ leerlingen, gemiddelde $11$ ; groep 2, $18$ leerlingen, gemiddelde $14$ . Gemiddelde van de hele klas:

\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18} = \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .

Niet $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$ : de grotere groep trekt het gemiddelde naar zich toe — de gewichten doen mee.

Voorbeeld 61.9 (Gemiddelde snelheid over twee stukken)

Een wielrenner rijdt $30$ km bij $30$ km/h, en daarna $30$ km bij $15$ km/h. De gemiddelde snelheid over de hele tocht is niet $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h. Reken met de definitie:

tijden: $\frac{30}{30} = 1$ h, en daarna $\frac{30}{15} = 2$ h; samen $3$ h;
totale afstand $60$ km, dus is $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h.

Het langzame stuk duurt langer, en weegt dus zwaarder — een gemiddelde van snelheden moet gewogen worden met de tijd.

61.4 Oefeningen

Oefening 61.1 ★

Bereken de gemiddelde snelheid: $150$ km in $2$ h; $27$ km in $45$ min; $100$ m in $12.5$ s.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.1.

$\frac{150}{2} = 75$ km/h. $45$ min $= 0.75$ h: $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s.

Oefening 61.2 ★

Bereken de afstand: $2$ h bij $85$ km/h; $40$ min bij $90$ km/h. Bereken de tijd: $315$ km bij $90$ km/h (in h en min).

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.2.

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ min $= \frac23$ h: $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ h $= 3$ h $30$ min.

Oefening 61.3 ★

Zet om: $72$ km/h in m/s; $5$ m/s in km/h; $108$ km/h in m/s.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.3.

$72 \div 3.6 = 20$ m/s. $5 \times 3.6 = 18$ km/h. $108 \div 3.6 = 30$ m/s.

Oefening 61.4 ★

Een kraan levert $15$ L/min. Hoe lang duurt het vullen van een tank van $600$ L? Hoeveel liter in $2$ h $30$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.4.

$600 \div 15 = 40$ min. $2$ h $30 = 150$ min: $15 \times 150 = 2250$ L.

Oefening 61.5 ★

Wat is de betere koop: $1.2$ kg appels voor $3.30$ euro, of $0.8$ kg voor $2.16$ euro? Vergelijk de prijzen per kilogram.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.5.

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euro/kg tegenover $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euro/kg: het tweede aanbod is (net) de betere koop.

Oefening 61.6 ★

Een klas van $25$ leerlingen heeft een gemiddelde van $12.4$ op een toets; een andere klas van $35$ leerlingen heeft een gemiddelde van $10$ . Bereken het gemiddelde van de twee klassen samen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.6.

\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60} = \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .

Oefening 61.7 ★

Geluid gaat ongeveer $340$ m/s. Je ziet een bliksemflits en hoort $6$ seconden later de donder. Hoe ver sloeg de bliksem in (op $100$ m nauwkeurig)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.7.

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

Oefening 61.8 ★★

Een wandelaar loopt $2$ h bij $5$ km/h, rust $30$ min, en loopt daarna $1$ h $30$ bij $4$ km/h. Bereken de totale afstand en de gemiddelde snelheid met de rust erbij (totale afstand gedeeld door de totaal verstreken tijd).

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.8.

Afstanden: $2 \times 5 = 10$ km, en daarna $1.5 \times 4 = 6$ km: samen $16$ km. Verstreken tijd: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ h. Gemiddelde snelheid: $\frac{16}{4} = 4$ km/h.

Oefening 61.9 ★★

Cijfers met wegingsfactoren: een leerling haalde $15$ (wegingsfactor $3$ ), $9$ (wegingsfactor $2$ ) en $12$ (wegingsfactor $1$ ). Bereken het gewogen gemiddelde. Welk gewoon (ongewogen) gemiddelde zou ze hebben, en waarom verschillen de twee?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.9.

Gewogen: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1} = \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$ . Ongewogen: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$ . Ze verschillen doordat de wegingsfactoren het cijfer $15$ drie keer zo zwaar laten wegen als het cijfer $12$ .

Oefening 61.10 ★★

Een auto rijdt $120$ km bij $80$ km/h en daarna $120$ km bij $120$ km/h.

Bereken de duur van elk stuk, en daarna de gemiddelde snelheid over de hele rit.
Leg uit waarom de uitkomst kleiner is dan $100$ km/h, het midden van de twee snelheden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.10.

1. Tijden: $\frac{120}{80} = 1.5$ h en $\frac{120}{120} = 1$ h. Gemiddelde snelheid: $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h.

2. De auto brengt meer tijd door bij $80$ km/h ( $1.5$ h) dan bij $120$ km/h ( $1$ h): de langzame snelheid weegt zwaarder in het met tijd gewogen gemiddelde, en trekt het onder het midden $100$ .

Oefening 61.11 ★★★

Twee dorpen liggen $18$ km van elkaar. Anna vertrekt om $10{:}00$ uit het eerste en wandelt met $5$ km/h naar het tweede; Boris vertrekt op hetzelfde ogenblik uit het tweede en wandelt met $4$ km/h naar het eerste. Hoe laat ontmoeten ze elkaar, en op welke afstand van het dorp van Anna? (Samen dichten ze de kloof met $5 + 4$ km/h.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.11.

De kloof van $18$ km sluit met $5 + 4 = 9$ km/h: ze ontmoeten elkaar na $\frac{18}{9} = 2$ h, om $12{:}00$ . Anna heeft dan $2 \times 5 = 10$ km gelopen: ze ontmoeten elkaar $10$ km van het dorp van Anna (en $8$ km van dat van Boris — controle: $10 + 8 = 18$ ).

61.5 Opgave: het harmonisch gemiddelde, of waarom de terugrit het gemiddelde verpest

Probleem 61.1

Weekendopgave — de gemiddelde snelheid over gelijke afstanden is $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ , en ze haalt het midden van de snelheden nooit

Voorbeeld 61.9 en Oefening 61.10 eindigden beide met dezelfde verrassing: heen met de ene snelheid, terug met de andere, en de gemiddelde snelheid landt onder het midden van de twee. Deze opgave vindt de precieze formule achter die verrassing — een nieuw soort gemiddelde, het harmonisch gemiddelde — bewijst dat de verrassing een stelling is, en drijft ze op tot haar logische uiterste: een inhaalmanoeuvre die geen enkele snelheid ter wereld voor elkaar krijgt.

Deel I — De formule voor een heen-en-terugrit. Een tocht legt een afstand $d$ af met snelheid $v_1$ , en daarna diezelfde afstand $d$ nog eens met snelheid $v_2$ (allemaal positieve getallen).

Druk de twee tijdsduren uit, en daarna de totale duur, als breuken waarin $d$ , $v_1$ en $v_2$ voorkomen.
De gemiddelde snelheid van de hele tocht is $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — een dubbeldekker (Voorbeeld 55.8). Vereenvoudig die en bewijs:

$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$
Ga de formule na aan beide hierboven aangehaalde berekeningen: $v_1 = 30$ , $v_2 = 15$ km/h (Voorbeeld 61.9), en $v_1 = 80$ , $v_2 = 120$ km/h (Oefening 61.10).
De afstand $d$ is uit de formule verdwenen. Wat betekent dat concreet voor de wielrenner?
Stel nu dat de tocht in de plaats daarvan met elke snelheid dezelfde tijd $T$ doorbrengt. Toon aan dat de gemiddelde snelheid dan $\frac{v_1 + v_2}{2}$ is, het gewone midden. In de taal van Definitie 61.7: met welke grootheid moet een gemiddelde van snelheden altijd gewogen worden, en wat verandert er tussen de twee scenario’s?

Deel II — Harmonisch tegenover rekenkundig. Stel voor twee positieve getallen $v_1$ en $v_2$

H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \quad\text{(hun \emph{harmonisch gemiddelde}),} \qquad A = \frac{v_1 + v_2}{2} \quad\text{(hun \emph{rekenkundig gemiddelde}).}

Bereken $H$ en $A$ voor de paren $(30, 15)$ en $(80, 120)$ . Welk van de twee gemiddelden wint elke keer?
Zet $A - H$ op de gemeenschappelijke noemer $2(v_1 + v_2)$ , werk de teller uit met de merkwaardige producten (Probleem 57.1), en bewijs:

$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$
Leid de stelling af die achter alle verrassingen zit: voor positieve snelheden is altijd $H \leq A$ , met gelijkheid precies als $v_1 = v_2$ . Waarom beslecht een kwadraat in de teller de zaak?
Bewijs de elegante gelijkheid $H \times A = v_1 \times v_2$ : de twee gemiddelden vermenigvuldigen terug naar het oorspronkelijke product.
Een auto legt $60$ km af bij $40$ km/h en $60$ km bij $60$ km/h. Voorspel de gemiddelde snelheid met de formule, en bevestig ze daarna langs de lange weg, met tijden en totale afstand.

Deel III — De onmogelijke inhaalmanoeuvre.

Een wielrenster start in een wedstrijd van $30$ km met de hoop gemiddeld $30$ km/h te halen. Hoeveel tijd mag de wedstrijd haar ten hoogste kosten? Ze rijdt de eerste $15$ km bij $15$ km/h: hoeveel van dat tijdbudget blijft er over?
Toon aan dat het gehoopte gemiddelde letterlijk onmogelijk is geworden: bereken haar gemiddelde snelheid als ze de tweede helft bij $90$ km/h rijdt, en leg uit waarom zelfs een willekeurig enorme snelheid haar onder de $30$ km/h laat.
Ze verlaagt haar doel tot $20$ km/h. Welke snelheid op de tweede $15$ km haalt dat? Ga je antwoord na met de formule van het harmonisch gemiddelde.
Een koudwaterkraan vult een kuip alleen in $20$ min; een warmwaterkraan alleen in $30$ min. Welk deel van de kuip vullen de twee kranen samen per minuut, en hoe lang doen ze erover? Vergelijk je antwoord met $H(20, 30)$ — wat valt je op?
Een vliegtuig vliegt dezelfde route heen en terug: $900$ km/h met de wind mee, $700$ km/h tegen de wind in. Bereken de gemiddelde snelheid van de heen-en-terugvlucht, en leg in één zin uit waarom wind, hoe hij ook waait, een heen-en-terugvlucht altijd langer maakt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 61.1.

1. Volgens Definitie 61.1 is $t_1 = \frac{d}{v_1}$ en $t_2 = \frac{d}{v_2}$ ; de hele tocht duurt $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ voor een afstand van $2d$ .

2. Breng $d$ in de noemer buiten haakjes en streep het weg:

\bar v = \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)} = \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .

Binnenin op gemeenschappelijke noemer: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$ , en delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde (Stelling 55.6):

\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .

3. $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15} = \dfrac{900}{45} = 20$ km/h, zoals in Voorbeeld 61.9; en $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200} = 96$ km/h, zoals gevonden in Oefening 61.10.

4. Het gemiddelde hangt alleen van de twee snelheden af, niet van $d$ : een heen-en-terugrit van $1$ km en een van $100$ km met dezelfde twee snelheden hebben precies dezelfde gemiddelde snelheid. (Daarom kon de formule op tochten van verschillende lengte nagegaan worden.)

5. Bij een tijd $T$ met elke snelheid zijn de afstanden $v_1 T$ en $v_2 T$ , dus is

\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T} = \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T} = \frac{v_1 + v_2}{2} .

Een gemiddelde van snelheden wordt altijd gewogen met de tijd (Definitie 61.7). Bij gelijke tijden dragen de twee snelheden gelijke gewichten: het gewone midden. Bij gelijke afstanden neemt de langzamere snelheid meer tijd in, en dus meer gewicht — en schuift het gemiddelde naar haar toe.

6. Voor $(30, 15)$ : $H = 20$ en $A = 22.5$ . Voor $(80, 120)$ : $H = 96$ en $A = 100$ . Het rekenkundig gemiddelde wint beide keren.

7. Op de gemeenschappelijke noemer $2(v_1 + v_2)$ :

A - H = \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,

en de teller werk je uit met de merkwaardige producten van Probleem 57.1:

(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2 = (v_1 - v_2)^2 .

8. Een kwadraat is nooit negatief, en $2(v_1 + v_2)$ is positief: dus is $A - H \geq 0$ , dat wil zeggen $H \leq A$ , voor elk paar positieve snelheden. Gelijkheid vraagt $(v_1 - v_2)^2 = 0$ , dat wil zeggen $v_1 = v_2$ : zodra de twee snelheden verschillen, zakt het gemiddelde van de heen-en-terugrit strikt onder het midden — de verrassing is een stelling.

9. Vermenigvuldigen:

H \times A = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2} = v_1 v_2 ,

na het wegstrepen van de factor $2$ en de factor $v_1 + v_2$ .

10. Met de formule: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/h. Langs de lange weg: $\frac{60}{40} = 1.5$ h en $\frac{60}{60} = 1$ h, dus $120$ km in $2.5$ h: $\frac{120}{2.5} = 48$ km/h. Ze stemmen overeen.

11. Gemiddeld $30$ km/h over $30$ km betekent een totale tijd van ten hoogste $\frac{30}{30} = 1$ h. De eerste $15$ km bij $15$ km/h kosten al $\frac{15}{15} = 1$ h: het hele tijdbudget is op, met nog de helft van het parcours te gaan.

12. Bij $90$ km/h kost de tweede helft $\frac{15}{90} = \frac16$ h, dus duurt de wedstrijd $\frac76$ h en is

\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7 \text{ km/h} < 30 .

Wat de snelheid op de tweede helft ook is, haar duur is een positief getal, dus komt de totale tijd boven $1$ h en blijft het gemiddelde strikt onder $30$ km/h. (Met de formule: $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ zou $30 v_2 = 450 + 30 v_2$ opleggen, dat wil zeggen $0 = 450$ — geen enkele snelheid $v_2$ werkt.)

13. Een gemiddelde van $20$ km/h laat $\frac{30}{20} = 1.5$ h toe; na het eerste uur blijven er $15$ km over voor $0.5$ h: ze heeft $\frac{15}{0.5} = 30$ km/h nodig. Controle: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45} = 20$ km/h.

14. Per minuut vullen de kranen $\frac{1}{20}$ en $\frac{1}{30}$ van de kuip; samen

\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}

van de kuip per minuut: de kuip is in $12$ min vol. En $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$ : de twee kranen samen doen er precies de helft van het harmonisch gemiddelde van hun soloduren over — debieten tellen op, dus zit je weer op het terrein van het harmonisch gemiddelde.

15. Dezelfde afstand in beide richtingen, dus is

\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700} = \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/h},

onder de $800$ km/h van windstil weer. In één zin: het vliegtuig vliegt langer tegen de wind in dan met de wind mee, dus krijgt het langzame stuk het grotere gewicht in het met tijd gewogen gemiddelde — wind kan een heen-en-terugvlucht alleen maar verlengen.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst