Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

61Evenredigheid, snelheid en gemiddelden

Evenredigheid (Hoofdstuk 49) ontmoet nu de fysieke wereld: snelheid, debieten, eenheidsomzettingen — grootheden die quotiënten van twee andere zijn. Het hoofdstuk sluit af met gewogen gemiddelden, waar evenredig denken een klassieke fout voorkomt.

61.1 Gemiddelde snelheid

Definitie 61.1 (Gemiddelde snelheid)

De gemiddelde snelheid van een reis is het quotiënt

v = \frac{d}{t} \qquad \left(\text{afstand gedeeld door duur}\right),

in kilometers per uur (km/h), meters per seconde (m/s), … De formule keert om: $d = v \times t$ en $t = \frac{d}{v}$ .

Voorbeeld 61.2

Een trein legt $270$ km af in $1$ u $30$ min. Zet eerst de tijd om: $1$ u $30$ min $= 1.5$ u. Dan

v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.

Afstand bij $90$ km/h gedurende $2$ u $20$ min $= \frac73$ u: $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Tijd voor $35$ km bij $14$ km/h: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ u $= 2$ u $30$ min.

Opmerking 61.3 (Minuten zijn geen decimalen)

$1$ u $30$ min is $1.5$ u, maar $1$ u $20$ min is niet $1.2$ u: het is $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ u. Zet altijd minuten om naar een breuk van een uur ( $60$ min $= 1$ u) vóór je deelt.

Bij constante snelheid is afstand evenredig met tijd: een rechte lijn door de oorsprong, waarvan de steilheid de snelheid is.

Methode 61.4 (Snelheden omrekenen)

Om km/h naar m/s om te rekenen: $1$ km $= 1000$ m en $1$ u $= 3600$ s, dus

v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s} = \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.

Om m/s naar km/h om te rekenen, vermenigvuldig met $3.6$ .

Voorbeeld 61.5

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s. Een sprinter die $100$ m in $10$ s loopt beweegt met $10$ m/s $= 36$ km/h.

61.2 Quotiëntgrootheden

Voorbeeld 61.6 (Debiet, dichtheid, prijs per kilo)

Snelheid heeft veel neven, die allemaal op dezelfde manier behandeld worden:

een kraan vult $48$ L in $4$ min: debiet $\frac{48}{4} = 12$ L/min, dus een bad van $150$ L vullen duurt $\frac{150}{12} = 12.5$ min;
$0.6$ kg kaas kost $9$ euro: prijs $\frac{9}{0.6} = 15$ euro per kg;
een auto verbruikt $6.3$ L voor $90$ km: verbruik $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L per $100$ km.

Identificeer het quotiënt, en de drie-weg-formule ( $q = \frac ab$ , $a = qb$ , $b = \frac aq$ ) doet de rest.

61.3 Gewogen gemiddelden

Definitie 61.7 (Gewogen gemiddelde)

Wanneer waarden $v_1, v_2, \dots$ met tellingen (of gewichten) $n_1, n_2, \dots$ komen, is hun gewogen gemiddelde

\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :

totaal van de waarden, gedeeld door totaal van de gewichten.

Voorbeeld 61.8

Een toets werd afgelegd door twee groepen: groep 1, $12$ leerlingen, gemiddelde $11$ ; groep 2, $18$ leerlingen, gemiddelde $14$ . Gemiddelde van de hele klas:

\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18} = \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .

Niet $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$ : de grotere groep trekt het gemiddelde naar zich toe — de gewichten tellen.

Voorbeeld 61.9 (Gemiddelde snelheid over twee etappes)

Een fietser rijdt $30$ km bij $30$ km/h, daarna $30$ km bij $15$ km/h. De gemiddelde snelheid over de hele rit is niet $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h. Bereken met de definitie:

tijden: $\frac{30}{30} = 1$ u, daarna $\frac{30}{15} = 2$ u; totaal $3$ u;
totale afstand $60$ km, dus $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h.

De trage etappe duurt langer, dus weegt ze zwaarder — een gemiddelde van snelheden moet gewogen worden met tijd.

61.4 Oefeningen

Oefening 61.1 ★

Bereken de gemiddelde snelheid: $150$ km in $2$ u; $27$ km in $45$ min; $100$ m in $12.5$ s.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.1.

$\frac{150}{2} = 75$ km/h. $45$ min $= 0.75$ u: $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s.

Oefening 61.2 ★

Bereken de afstand: $2$ u bij $85$ km/h; $40$ min bij $90$ km/h. Bereken de tijd: $315$ km bij $90$ km/h (in u en min).

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.2.

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ min $= \frac23$ u: $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ u $= 3$ u $30$ min.

Oefening 61.3 ★

Reken om: $72$ km/h naar m/s; $5$ m/s naar km/h; $108$ km/h naar m/s.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.3.

$72 \div 3.6 = 20$ m/s. $5 \times 3.6 = 18$ km/h. $108 \div 3.6 = 30$ m/s.

Oefening 61.4 ★

Een kraan levert $15$ L/min. Hoe lang om een tank van $600$ L te vullen? Hoeveel liters in $2$ u $30$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.4.

$600 \div 15 = 40$ min. $2$ u $30 = 150$ min: $15 \times 150 = 2250$ L.

Oefening 61.5 ★

Welke is de betere koop: $1.2$ kg appels voor $3.30$ euro, of $0.8$ kg voor $2.16$ euro? Vergelijk prijzen per kilogram.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.5.

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euro/kg tegen $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euro/kg: het tweede aanbod is (iets) de betere koop.

Oefening 61.6 ★

Een klas van $25$ leerlingen heeft gemiddelde $12.4$ op een toets; een andere klas van $35$ leerlingen heeft gemiddelde $10$ . Bereken het gemiddelde van de twee klassen samen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.6.

\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60} = \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .

Oefening 61.7 ★

Geluid reist met ongeveer $340$ m/s. Je ziet een bliksemflits en hoort de donder $6$ seconden later. Hoe ver vandaan sloeg de bliksem in (op de dichtstbijzijnde $100$ m)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.7.

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

Oefening 61.8 ★★

Een wandelaar loopt $2$ u bij $5$ km/h, rust $30$ min, en loopt daarna $1$ u $30$ bij $4$ km/h. Bereken de totale afstand en de gemiddelde snelheid inclusief de rust (totale afstand over totale verstreken tijd).

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.8.

Afstanden: $2 \times 5 = 10$ km, daarna $1.5 \times 4 = 6$ km: totaal $16$ km. Verstreken tijd: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ u. Gemiddelde snelheid: $\frac{16}{4} = 4$ km/h.

Oefening 61.9 ★★

Cijfers met coëfficiënten: een leerling haalde $15$ (coëfficiënt $3$ ), $9$ (coëfficiënt $2$ ) en $12$ (coëfficiënt $1$ ). Bereken het gewogen gemiddelde. Welk gewoon (ongewogen) gemiddelde zou ze hebben, en waarom verschillen ze?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.9.

Gewogen: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1} = \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$ . Ongewogen: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$ . Ze verschillen omdat de coëfficiënten het cijfer $15$ driemaal het gewicht van het cijfer $12$ geven.

Oefening 61.10 ★★

Een auto rijdt $120$ km bij $80$ km/h en daarna $120$ km bij $120$ km/h.

Bereken de duur van elke etappe, daarna de gemiddelde snelheid over de hele rit.
Leg uit waarom het antwoord minder is dan $100$ km/h, het midden van de twee snelheden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.10.

1. Tijden: $\frac{120}{80} = 1.5$ u en $\frac{120}{120} = 1$ u. Gemiddelde snelheid: $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h.

2. De auto spendeert meer tijd bij $80$ km/h ( $1.5$ u) dan bij $120$ km/h ( $1$ u): de trage snelheid weegt zwaarder in het tijdgewogen gemiddelde, en trekt het onder het midden $100$ .

Oefening 61.11 ★★★

Twee dorpen liggen $18$ km uit elkaar. Anna vertrekt om $10{:}00$ vanuit het eerste en loopt met $5$ km/h naar het tweede; Boris vertrekt tegelijk vanuit het tweede met $4$ km/h naar het eerste. Op welk tijdstip ontmoeten ze elkaar, en op welke afstand van Anna’s dorp? (Samen dichten ze de kloof met $5 + 4$ km/h.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.11.

De kloof van $18$ km sluit met $5 + 4 = 9$ km/h: ze ontmoeten elkaar na $\frac{18}{9} = 2$ u, om $12{:}00$ . Anna heeft dan $2 \times 5 = 10$ km gelopen: ze ontmoeten elkaar $10$ km van Anna’s dorp (en $8$ km van Boris’ dorp — controle: $10 + 8 = 18$ ).