Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

63Breuken en machten

Breuken en machten zijn de dagelijkse gereedschappen van het rekenen: hoeveelheden delen, verhoudingen vergelijken, zeer grote of zeer kleine getallen schrijven. Dit hoofdstuk consolideert de regels om ermee te rekenen — met elke tussentijdse stap uitgeschreven — en introduceert wetenschappelijke notatie.

63.1 Rekenen met breuken

Definitie 63.1 (Breuk)

Een breuk $\dfrac ab$ (met $b \neq 0$ ) is het quotiënt van $a$ door $b$ . Twee breuken zijn gelijk wanneer de ene uit de andere ontstaat door teller en noemer met hetzelfde getal ongelijk aan nul te vermenigvuldigen (of te delen):

\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).

Voorbeeld 63.2

Vereenvoudig $\dfrac{42}{56}$ stap voor stap:

\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .

(In Hoofdstuk 64 doet de grootste gemene deler dit in één stap.)

Methode 63.3 (Breuken optellen en aftrekken)

Zet beide breuken op een gemeenschappelijke noemer (een gemeenschappelijk veelvoud van de twee noemers);
tel of trek de tellers op/af, met behoud van de noemer;
vereenvoudig het resultaat indien mogelijk.

Voorbeeld 63.4

Bereken $\dfrac56 + \dfrac34$ . Een gemeenschappelijke noemer van $6$ en $4$ is $12$ :

\frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}.

Bereken $2 - \dfrac37$ . Schrijf $2$ als breuk over $7$ :

2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.

Waarom een gemeenschappelijke noemer: beide helen in 12 gelijke hokjes snijden maakt de breuken vergelijkbaar en optelbaar — samen 10 + 9 = 19 twaalfden. — Waarom een gemeenschappelijke noemer: beide helen in $12$ gelijke hokjes snijden maakt de breuken vergelijkbaar en optelbaar — samen $10 + 9 = 19$ twaalfden.

Methode 63.5 (Breuken vermenigvuldigen en delen)

Om te vermenigvuldigen, vermenigvuldig tellers onderling en noemers onderling: $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (vereenvoudig vóór het vermenigvuldigen wanneer mogelijk);
om te delen, vermenigvuldig met het omgekeerde van de deler: $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

Voorbeeld 63.6

\frac{7}{15} \times \frac{25}{14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7} = \frac{25}{30} = \frac56,

waarbij we met de gemeenschappelijke factor $7$ vereenvoudigden, daarna met $5$ . En een deling:

\frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac34 \times \frac89 = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac23 .

63.2 Machten

Definitie 63.7 (Macht)

Voor een reëel getal $a$ en een positief geheel getal $n$ is de macht $a^n$ het product van $n$ factoren gelijk aan $a$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ factoren}} .

Per conventie $a^0 = 1$ (voor $a \neq 0$ ), en negatieve exponenten noteren omgekeerden:

a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Voorbeeld 63.8

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ ; $(-3)^2 = 9$ maar $-3^2 = -(3^2) = -9$ (de exponent bindt vóór het minteken); $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$ ; $5^1 = 5$ en $5^0 = 1$ .

Stelling 63.9 (Regels voor exponenten)

Voor alle $a$ , $b$ ongelijk aan nul en alle gehele $m$ , $n$ :

a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Bewijs. Voor positieve exponenten, tel de factoren. Voor de eerste regel: $a^m \times a^n$ is $m$ factoren $a$ gevolgd door $n$ factoren $a$ , in totaal $m + n$ factoren. Voor de derde: $\left(a^m\right)^n$ herhaalt $n$ keer een blok van $m$ factoren, wat $mn$ factoren geeft. De andere twee regels zijn gelijkaardig; de uitbreiding tot nul en negatieve exponenten wordt gecontroleerd vanuit $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (en maakt de conventie $a^0 = 1$ de enige consistente keuze, want $a^n \times a^0$ moet $a^{n+0} = a^n$ zijn). ∎

Voorbeeld 63.10

Vereenvoudig stap voor stap:

\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 .

En met twee letters: $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$ .

63.3 Machten van tien en wetenschappelijke notatie

Propositie 63.11 (Machten van tien)

Voor een positief geheel getal $n$ : $10^n$ wordt geschreven als “ $1$ gevolgd door $n$ nullen”, en $10^{-n} = 0.0\dots01$ met de $1$ op de $n$ -de decimale plaats. Een decimaal getal vermenigvuldigen met $10^n$ (resp. $10^{-n}$ ) verschuift de decimale punt $n$ plaatsen naar rechts (resp. links).

Definitie 63.12 (Wetenschappelijke notatie)

De wetenschappelijke notatie van een positief decimaal getal is de unieke manier om het te schrijven als

a \times 10^n, \qquad\text{met } 1 \leq a < 10 \text{ en } n \text{ een geheel getal.}

Voorbeeld 63.13

De Aarde–Zon-afstand is ongeveer $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times 10^8$ km. De grootte van een watermolecule is ongeveer $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Om met zulke getallen te rekenen, groepeer de decimale delen en de machten van tien:

(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2}) = (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)} = 7.5 \times 10^{3}.

Methode 63.14 (Een getal in wetenschappelijke notatie zetten)

Verplaats de decimale punt net na het eerste van-nul-verschillende cijfer; dit geeft de factor $a$ met $1 \leq a < 10$ ;
tel het aantal plaatsen dat de punt verplaatste: die telling is $n$ , positief als het originele getal $\geq 10$ was, negatief als het $< 1$ was;
controleer: $a \times 10^n$ moet het originele getal reproduceren.

63.4 Oefeningen

Oefening 63.1 ★

Bereken en geef het resultaat als volledig vereenvoudigde breuk:

\frac13 + \frac15, \qquad \frac72 - \frac53, \qquad \frac{5}{12} + \frac38, \qquad 3 - \frac45 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.1.

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$ .

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$ .

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}$ .

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$ .

Oefening 63.2 ★

Bereken en vereenvoudig:

\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad \frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad \frac23 \times \frac34 \times \frac45 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.2.

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35} = \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (vereenvoudig met $9$ en met $5$ ).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54 = \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$ .

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4} {3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (de $3$ -en en $4$ -en vallen weg).

Oefening 63.3 ★

Bereken:

2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad \left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.3.

$2^5 = 32$ ; $(-2)^4 = 16$ ; $-2^4 = -16$ ; $4^{-2} = \frac{1}{16}$ ; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$ ; $7^0 = 1$ .

Oefening 63.4 ★

Schrijf als één macht:

5^3 \times 5^6, \qquad \frac{7^9}{7^5}, \qquad \left(2^3\right)^4, \qquad \frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad 2^5 \times 4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.4.

$5^3 \times 5^6 = 5^9$ ; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$ ; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$ ; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$ ; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$ .

Oefening 63.5 ★

Schrijf in wetenschappelijke notatie: $45\,000$ ; $0.0072$ ; $302.5$ ; $0.000\,000\,9$ ; twaalf miljoen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.5.

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$ ; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$ ; $302.5 = 3.025 \times 10^2$ ; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$ ; twaalf miljoen $= 1.2 \times 10^7$ .

Oefening 63.6 ★★

Bereken, en geef het resultaat in wetenschappelijke notatie:

(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}), \qquad \frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}, \qquad (5 \times 10^3)^2 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.6.

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$ .

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)} = 3 \times 10^7$ .

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$ .

Oefening 63.7 ★★

Een tank is $\frac35$ vol. Na toevoegen van $30$ liter is hij $\frac34$ vol. Wat is de capaciteit van de tank? (Druk eerst de toegevoegde breuk van de tank uit.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.7.

Het toegevoegde water stelt $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ van de tank voor. Dus is $\frac{3}{20}$ van de capaciteit $30$ liter: $\frac{1}{20}$ is $10$ liter, en de capaciteit is $200$ liter.

Oefening 63.8 ★★

Alice eet $\frac14$ van een taart, daarna eet Ben $\frac13$ van wat overblijft, daarna eet Carla $\frac12$ van wat nog overblijft. Welk deel van de taart blijft er aan het eind over? (Bereken de rest na elke stap.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.8.

Na Alice: $1 - \frac14 = \frac34$ van de taart blijft over. Ben eet $\frac13 \times \frac34 = \frac14$ , wat overlaat $\frac34 - \frac14 = \frac12$ . Carla eet de helft daarvan, $\frac14$ , wat $\frac14$ van de taart overlaat.

Oefening 63.9 ★★

Licht reist $3 \times 10^8$ meters per seconde. De Zon is ongeveer $1.5 \times 10^{11}$ m ver. Hoe lang doet zonlicht erover om ons te bereiken? Geef het antwoord in seconden (wetenschappelijke notatie niet nodig), daarna in minuten en seconden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.9.

Tijd $= \dfrac{\text{afstand}}{\text{snelheid}} = \dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ seconden, d.w.z. $8$ minuten en $20$ seconden.

Oefening 63.10 ★★★

Welke is groter, $2^{30}$ of $3^{20}$ ? (Hint: schrijf beide als machten met exponent $10$ met $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ , en vergelijk $2^3$ met $3^2$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.10.

Schrijf beide getallen als machten met exponent $10$ :

2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.

Omdat $8 < 9$ , vermenigvuldigt tien kopieën van elk: $8^{10} < 9^{10}$ , dus $2^{30} < 3^{20}$ .