Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

63Breuken en machten

Breuken en machten zijn het dagelijkse gereedschap van het rekenen: hoeveelheden verdelen, verhoudingen vergelijken, heel grote of heel kleine getallen opschrijven. Dit hoofdstuk zet de rekenregels ervoor op een rij — met elke tussenstap uitgeschreven — en voert de wetenschappelijke notatie in.

63.1 Rekenen met breuken

Definitie 63.1 (Breuk)

Een breuk $\dfrac ab$ (met $b \neq 0$ ) is het quotiënt van $a$ door $b$ . Twee breuken zijn gelijk wanneer je de ene uit de andere krijgt door teller en noemer met hetzelfde getal, verschillend van nul, te vermenigvuldigen (of erdoor te delen):

\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).

Voorbeeld 63.2

Vereenvoudig $\dfrac{42}{56}$ stap voor stap:

\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .

(In Hoofdstuk 64 doet de grootste gemene deler dit in één stap.)

Methode 63.3 (Breuken optellen en aftrekken)

Zet beide breuken op een gemeenschappelijke noemer (een gemeenschappelijk veelvoud van de twee noemers);
tel de tellers op of trek ze af, en houd de noemer;
vereenvoudig het resultaat als dat kan.

Voorbeeld 63.4

Bereken $\dfrac56 + \dfrac34$ . Een gemeenschappelijke noemer van $6$ en $4$ is $12$ :

\frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}.

Bereken $2 - \dfrac37$ . Schrijf $2$ als een breuk op noemer $7$ :

2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.

Waarom een gemeenschappelijke noemer: door beide gehelen in 12 gelijke vakjes te snijden worden de breuken vergelijkbaar en optelbaar — samen 10 + 9 = 19 twaalfden. — Waarom een gemeenschappelijke noemer: door beide gehelen in $12$ gelijke vakjes te snijden worden de breuken vergelijkbaar en optelbaar — samen $10 + 9 = 19$ twaalfden.

Methode 63.5 (Breuken vermenigvuldigen en delen)

Om te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en de noemers met elkaar: $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (vereenvoudig vóór het vermenigvuldigen wanneer dat kan);
om te delen, vermenigvuldig je met het omgekeerde van de deler: $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

Voorbeeld 63.6

\frac{7}{15} \times \frac{25}{14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7} = \frac{25}{30} = \frac56,

waar we eerst door de gemeenschappelijke factor $7$ en daarna door $5$ hebben vereenvoudigd. En een deling:

\frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac34 \times \frac89 = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac23 .

63.2 Machten

Definitie 63.7 (Macht)

Voor een reëel getal $a$ en een positief geheel getal $n$ is de macht $a^n$ het product van $n$ factoren gelijk aan $a$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ factoren}} .

Per afspraak is $a^0 = 1$ (voor $a \neq 0$ ), en negatieve exponenten staan voor omgekeerden:

a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Voorbeeld 63.8

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ ; $(-3)^2 = 9$ , maar $-3^2 = -(3^2) = -9$ (de exponent bindt sterker dan het minteken); $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$ ; $5^1 = 5$ en $5^0 = 1$ .

Stelling 63.9 (Rekenregels voor exponenten)

Voor alle $a$ , $b$ verschillend van nul en alle gehele getallen $m$ , $n$ :

a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Bewijs. Voor positieve exponenten tel je de factoren. Voor de eerste regel: $a^m \times a^n$ bestaat uit $m$ factoren $a$ gevolgd door $n$ factoren $a$ , samen $m + n$ factoren. Voor de derde: $\left(a^m\right)^n$ herhaalt $n$ keer een blok van $m$ factoren, wat $mn$ factoren geeft. De twee andere regels gaan net zo; de uitbreiding naar nul en naar negatieve exponenten volgt uit $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (en maakt de afspraak $a^0 = 1$ de enige samenhangende keuze, want $a^n \times a^0$ moet $a^{n+0} = a^n$ zijn). ∎

Voorbeeld 63.10

Vereenvoudig stap voor stap:

\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 .

En met twee letters: $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$ .

63.3 Machten van tien en wetenschappelijke notatie

Propositie 63.11 (Machten van tien)

Voor een positief geheel getal $n$ schrijf je $10^n$ als “ $1$ gevolgd door $n$ nullen”, en is $10^{-n} = 0.0\dots01$ met de $1$ op de $n$ -de decimale plaats. Een decimaal getal met $10^n$ (respectievelijk $10^{-n}$ ) vermenigvuldigen verschuift zijn decimaalteken $n$ plaatsen naar rechts (respectievelijk naar links).

Definitie 63.12 (Wetenschappelijke notatie)

De wetenschappelijke notatie van een positief decimaal getal is de enige manier om het te schrijven als

a \times 10^n, \qquad\text{met } 1 \leq a < 10 \text{ en } n \text{ een geheel getal.}

Voorbeeld 63.13

De afstand Aarde–Zon is ongeveer $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times 10^8$ km. De grootte van een watermolecule is ongeveer $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Om met zulke getallen te rekenen, groepeer je de decimale delen en de machten van tien:

(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2}) = (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)} = 7.5 \times 10^{3}.

Methode 63.14 (Een getal in wetenschappelijke notatie zetten)

Zet het decimaalteken juist achter het eerste cijfer dat niet nul is; dat geeft de factor $a$ met $1 \leq a < 10$ ;
tel over hoeveel plaatsen het teken is verschoven: dat aantal is $n$ , positief als het oorspronkelijke getal $\geq 10$ was, negatief als het $< 1$ was;
controleer: $a \times 10^n$ moet het oorspronkelijke getal teruggeven.

63.4 Oefeningen

Oefening 63.1 ★

Bereken en geef het resultaat als een volledig vereenvoudigde breuk:

\frac13 + \frac15, \qquad \frac72 - \frac53, \qquad \frac{5}{12} + \frac38, \qquad 3 - \frac45 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.1.

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$ .

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$ .

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}$ .

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$ .

Oefening 63.2 ★

Bereken en vereenvoudig:

\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad \frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad \frac23 \times \frac34 \times \frac45 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.2.

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35} = \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (vereenvoudigd door $9$ en door $5$ ).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54 = \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$ .

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4} {3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (de $3$ ’s en de $4$ ’s vallen weg).

Oefening 63.3 ★

Bereken:

2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad \left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.3.

$2^5 = 32$ ; $(-2)^4 = 16$ ; $-2^4 = -16$ ; $4^{-2} = \frac{1}{16}$ ; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$ ; $7^0 = 1$ .

Oefening 63.4 ★

Schrijf als één macht:

5^3 \times 5^6, \qquad \frac{7^9}{7^5}, \qquad \left(2^3\right)^4, \qquad \frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad 2^5 \times 4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.4.

$5^3 \times 5^6 = 5^9$ ; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$ ; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$ ; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$ ; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$ .

Oefening 63.5 ★

Schrijf in wetenschappelijke notatie: $45\,000$ ; $0.0072$ ; $302.5$ ; $0.000\,000\,9$ ; twaalf miljoen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.5.

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$ ; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$ ; $302.5 = 3.025 \times 10^2$ ; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$ ; twaalf miljoen $= 1.2 \times 10^7$ .

Oefening 63.6 ★★

Bereken, en geef het resultaat in wetenschappelijke notatie:

(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}), \qquad \frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}, \qquad (5 \times 10^3)^2 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.6.

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$ .

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)} = 3 \times 10^7$ .

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$ .

Oefening 63.7 ★★

Een tank is voor $\frac35$ vol. Na het toevoegen van $30$ liter is hij voor $\frac34$ vol. Wat is de inhoud van de tank? (Druk eerst uit welk deel van de tank erbij is gekomen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.7.

Het toegevoegde water is $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ van de tank. Dus is $\frac{3}{20}$ van de inhoud $30$ liter: $\frac{1}{20}$ is $10$ liter, en de inhoud is $200$ liter.

Oefening 63.8 ★★

Alice eet $\frac14$ van een cake op, daarna eet Ben $\frac13$ van wat overblijft, en daarna eet Carla $\frac12$ van wat er dan nog over is. Welk deel van de cake blijft er aan het einde over? (Bereken na elke stap de rest.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.8.

Na Alice blijft $1 - \frac14 = \frac34$ van de cake over. Ben eet $\frac13 \times \frac34 = \frac14$ op, waardoor $\frac34 - \frac14 = \frac12$ overblijft. Carla eet daarvan de helft op, $\frac14$ , waardoor $\frac14$ van de cake overblijft.

Oefening 63.9 ★★

Licht legt $3 \times 10^8$ meter per seconde af. De Zon staat ongeveer $1.5 \times 10^{11}$ m ver. Hoe lang doet zonlicht erover om ons te bereiken? Geef het antwoord in seconden (wetenschappelijke notatie is niet nodig), en daarna in minuten en seconden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.9.

Tijd $= \dfrac{\text{afstand}}{\text{snelheid}} = \dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ seconden, dat wil zeggen $8$ minuten en $20$ seconden.

Oefening 63.10 ★★★

Wat is groter, $2^{30}$ of $3^{20}$ ? (Tip: schrijf beide als machten met exponent $10$ met behulp van $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ , en vergelijk $2^3$ met $3^2$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.10.

Schrijf beide getallen als machten met exponent $10$ :

2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.

Omdat $8 < 9$ , geldt na het vermenigvuldigen van tien exemplaren van elk: $8^{10} < 9^{10}$ , dus $2^{30} < 3^{20}$ .

63.5 Opgave: de geheime code van de repeterende decimalen

Probleem 63.1

Weekendopgave — elke breuk heeft een decimale schrijfwijze die stopt of repeteert, elke repeterende decimale schrijfwijze is een breuk, en $0.999\ldots$ is precies $1$

Deel $3$ door $11$ en de cijfers vallen in een dreun: $0.272727\ldots$ , eindeloos. Deel $1$ door $4$ en de cijfers stoppen abrupt: $0.25$ . Deze opgave bewijst dat dit de enige twee mogelijke gedragingen van een breuk zijn — en zet daarna de machine in omgekeerde richting: gegeven een repeterende decimale schrijfwijze, bouwt ze de breuk terug die erachter schuilt. Onderweg beslecht ze, eens en voor altijd, de meest bediscussieerde gelijkheid van de schoolwiskunde.

Deel I — Van breuk naar decimale schrijfwijze.

Bereken met een staartdeling de decimale schrijfwijzen van $\frac14$ , $\frac13$ , $\frac56$ en $\frac{3}{11}$ . Welke stoppen, welke repeteren, en met welk repeterend blok?
Leg uit waarom de decimale schrijfwijze van elke breuk $\frac ab$ ofwel moet stoppen, ofwel vanaf een zeker punt moet repeteren. (Welke waarden kunnen de opeenvolgende resten in de staartdeling door $b$ aannemen? Wat gebeurt er op het ogenblik dat een rest voor de tweede keer opduikt?)
Zet de deling van $1$ door $7$ ver genoeg voort om het repeterende blok te vinden. Hoe lang is het, en hoe verhoudt die lengte zich tot de grens die vraag 2 belooft?
Sommige breuken stoppen doordat hun noemer tot een macht van tien kan worden opgeblazen: $\frac14 = \frac{25}{100}$ , $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$ . Leg het criterium uit, en ook waarom geen enkele vermenigvuldiger die een heel getal is, $3$ , $6$ of $11$ ooit in $10$ , $100$ , $1000, \dots$ kan omzetten (op welk cijfer zou het product eindigen?).
Verdeel zonder te delen $\frac{9}{40}$ , $\frac{5}{12}$ en $\frac{33}{50}$ over “stopt” en “repeteert”, en geef daarna de decimale schrijfwijze van de twee die stoppen.

Deel II — Van repeterende decimale schrijfwijze terug naar de breuk.

De verschuiftruc. Zij $x = 0.7777\ldots$ Bereken $10x$ , daarna $10x - x$ , en leid $x$ als breuk af. Ga het na door te delen.
Zij $x = 0.727272\ldots$ Welke macht van tien verschuift $x$ over precies één repeterend blok? Schrijf $x$ ermee als een breuk in eenvoudigste vorm.
Een gemengd geval: $x = 0.58333\ldots$ (alleen de $3$ repeteert). Bereken $1000x - 100x$ en leid $x$ als breuk in eenvoudigste vorm af.
De beroemde: pas de verschuiftruc toe op $x = 0.9999\ldots$ Welke breuk — welk getal — vind je? Verzoen het resultaat met je aanvoelen, en denk daarbij aan de spookbuur van Probleem 38.1 en de krimpende rest van Probleem 39.1: ligt $0.999\ldots$ “net onder” $1$ , of is het een andere naam voor $1$ ?
Zet $2.454545\ldots$ en $0.123123123\ldots$ om in breuken in eenvoudigste vorm.

Deel III — Het woordenboek afgemaakt.

Vragen 6–10 suggereren een woordenboek: een blok van $k$ cijfers dat vanaf het decimaalteken repeteert, is dat blok gedeeld door $k$ negens ( $0.727272\ldots = \frac{72}{99}$ ). Voorspel met het woordenboek $0.037037\ldots$ als breuk, vereenvoudig — en verwonder je: welke verrassend eenvoudige breuk dreunt “ $037$ ”? Ga het na door te delen.
Combineer het woordenboek met een verschuiving: schrijf $0.0272727\ldots$ als een breuk in eenvoudigste vorm.
Het getal $0.101001000100001\ldots$ (een $1$ , dan één $0$ , dan een $1$ , dan twee nullen, dan een $1$ , dan drie nullen, en zo verder) stopt nooit. Is het een repeterende decimale schrijfwijze? Wat zegt deel I er dan over — kan het een breuk zijn? (Je hebt net je eerste bewijsbaar irrationale getal ontmoet; het beroemdste wordt in Hoofdstuk 65 gevangen.)
Hoeveel cijfers heeft $2^{30}$ ongeveer? Gebruik $2^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3$ en de rekenregels voor exponenten (Stelling 63.9) om $2^{30}$ in (benaderde) wetenschappelijke notatie te schrijven, en besluit. (Vergelijk Oefening 63.10.)
Slot: schrijf $0.20262026\ldots$ als een breuk, en formuleer de les in twee richtingen van de hele opgave: welke decimale schrijfwijzen zijn breuken, en welke breuken hebben welke decimale schrijfwijze?

Oplossing

Oplossing van Probleem 63.1.

1. $\frac14 = 0.25$ (stopt); $\frac13 = 0.333\ldots$ (blok $3$ ); $\frac56 = 0.8333\ldots$ (blok $3$ na de $8$ ); $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (blok $27$ ).

2. Bij elke stap van de deling door $b$ is de rest een van de $b$ waarden $0, 1, \dots, b - 1$ (Stelling 37.7). Duikt er een rest $0$ op, dan stopt de deling. Zo niet, dan moet na ten hoogste $b$ stappen een rest voor de tweede keer opduiken — er zijn meer stappen dan mogelijke resten — en vanaf dat ogenblik herhaalt de deling precies de rij cijfers die ze na de eerste keer voortbracht: de decimale schrijfwijze draait eeuwig rond. Stoppen of repeteren: een derde gedrag bestaat niet.

3. $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$ : het blok $142857$ heeft lengte $6$ . Vraag 2 beloofde een herhaling binnen ten hoogste $7$ stappen — hier duiken de resten $1, 3, 2, 6, 4, 5$ alle op vóór de $1$ terugkeert: de langst mogelijke dreun voor een deling door $7$ .

4. $\frac ab$ stopt precies wanneer een zekere $\frac{a \times k}{b \times k}$ als noemer $10$ , $100$ , $1000, \dots$ heeft — dat wil zeggen wanneer de noemer tot een macht van tien kan worden vermenigvuldigd, zoals $4 \times 25 = 100$ of $8 \times 125 = 1\,000$ . Voor $3$ en $6$ is dat hopeloos: een macht van tien heeft cijfersom $1$ , en elk veelvoud van $3$ heeft een cijfersom die een veelvoud van $3$ is — dus is geen enkel veelvoud van $3$ (en dus ook niet van $6$ ) ooit $10$ , $100$ , $1\,000, \dots$ Voor $11$ : $10$ , $100$ , $1\,000$ en $10\,000$ door $11$ delen laat altijd een rest ( $10$ , $1$ , $10$ , $1, \dots$ ), nooit $0$ . Noemers die een macht van tien bereiken, stoppen; alle andere repeteren.

5. $\frac{9}{40}$ : $40 \times 25 = 1\,000$ , stopt: $\frac{225}{1000} = 0.225$ . $\frac{33}{50}$ : $50 \times 2 = 100$ , stopt: $\frac{66}{100} = 0.66$ . $\frac{5}{12}$ : $12$ is een veelvoud van $3$ , repeteert ( $0.41666\ldots$ ).

6. $10x = 7.777\ldots$ , dus is $10x - x = 7$ (de staarten vallen precies tegen elkaar weg), $9x = 7$ en $x = \frac79$ . Controle door te delen: $7 \div 9 = 0.777\ldots$

7. Het blok heeft twee cijfers, dus verschuif je met $100$ : $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$ , en dus is $99x = 72$ en $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$ .

8. $1000x = 583.333\ldots$ en $100x = 58.333\ldots$ ; aftrekken geeft $900x = 525$ , dus $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ (deel door $75$ ). En inderdaad is $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

9. $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$ , dus is $9x = 9$ en $x = 1$ . Niet “net onder” $1$ : $0.999\ldots$ is het getal $1$ , in een tweede kostuum geschreven. Elk getal strikt onder $1$ laat een gaatje open, en Probleem 38.1 liet zien dat in een gaatje altijd nog getallen zitten — terwijl er tussen $0.999\ldots$ en $1$ niets past. De eindeloze negens zijn de chocoladerest van Probleem 39.1, gekrompen onder elke positieve hoeveelheid: er blijft niets over.

10. $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} = \frac{27}{11}$ . En $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ (deel door $3$ ).

11. Volgens het woordenboek: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$ . Omdat $999 = 27 \times 37$ , vereenvoudigt dat tot $\frac{1}{27}$ : de breuk $\frac{1}{27}$ dreunt “ $037$ ”. Controle door te delen: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

12. $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ (deel door $9$ ).

13. De blokken nullen groeien eindeloos, dus kan geen vast blok eeuwig repeteren: het is geen repeterende decimale schrijfwijze (en ze stopt ook nooit). Volgens deel I stopt of repeteert elke breuk — dus is dit getal helemaal geen breuk: het is irrationaal, op maat gemaakt. De superstar van de irrationaliteit, $\sqrt2$ , wordt in Hoofdstuk 65 ontmaskerd.

14. $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9$ : een getal net boven $10^9$ , en dus met $10$ cijfers. (Precies: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$ .)

15. $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$ , al in eenvoudigste vorm ( $9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ heeft geen factor gemeen met $2026 = 2 \times 1013$ ). Het afgemaakte woordenboek: de breuken zijn precies de decimale schrijfwijzen die stoppen of repeteren — noemers die vriendjes van tien zijn stoppen, alle andere dreunen een blok; en omgekeerd is elke dreun, zelfs je afstudeerjaar, een vermomde breuk.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst