Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

34Omtrek en oppervlakte

In jaar 4 telden we rastervakjes (Hoofdstuk 28); in dit hoofdstuk verdienen we de eerste formule voor de oppervlakte — lengte keer breedte voor de rechthoek — en leren we de eenheden cm $^2$ en m $^2$ . De formules voor driehoeken en andere figuren rijpen in Hoofdstuk 43 en Hoofdstuk 53.

34.1 Twee verschillende maten

Voorbeeld 34.1 (Rand tegenover oppervlak)

Een tuinier heeft de omtrek nodig om hek te kopen en de oppervlakte om graszaad te kopen. De twee volgen elkaar niet: een rechthoek dunner en langer maken kan zijn oppervlakte gelijk houden terwijl de omtrek groeit — vergelijk een rechthoek van $6 \times 2$ met een van $4 \times 3$ (dezelfde oppervlakte $12$ , omtrekken $16$ en $14$ ).

34.2 De formule voor de rechthoek

Propositie 34.2 (Oppervlakte van een rechthoek)

Een rechthoek met lengte $l$ en breedte $b$ (in dezelfde eenheid) heeft oppervlakte

A = l \times b ,

in vierkante eenheden: cm $^2$ (vierkantjes met zijde $1$ cm), m $^2$ (vierkanten met zijde $1$ m), …

Waarom, door te tellen. Bedek de rechthoek met eenheidsvierkantjes: $b$ rijen van $l$ vierkantjes, dus $l \times b$ vierkantjes in totaal — precies de vermenigvuldigrechthoek van Hoofdstuk 16. ∎

Drie rijen van zes centimetervierkantjes: de formule l × b is dat tellen, eens en voor altijd opgeschreven. — Drie rijen van zes centimetervierkantjes: de formule $l \times b$ is dat tellen, eens en voor altijd opgeschreven.

Voorbeeld 34.3

Een vloerkleed meet $2.5$ m bij $2$ m: oppervlakte $2.5 \times 2 = 5$ m $^2$ . Een postzegel meet $3$ cm bij $2.4$ cm: oppervlakte $3 \times 2.4 = 7.2$ cm $^2$ . Dezelfde formule, elke eenheid — zolang beide zijden dezelfde eenheid gebruiken.

Voorbeeld 34.4 (Vierkante eenheden gaan per 100)

$1$ m $= 100$ cm, maar $1$ m $^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ cm $^2$ : een vierkante meter is een raster van $100$ bij $100$ vierkante centimeters. Oppervlakte-eenheden springen per honderd, niet per tien.

34.3 Samengestelde figuren

Methode 34.5 (Knippen, optellen, aftrekken)

Voor een figuur die uit rechthoeken bestaat (een L, een T, een lijst):

knip haar in rechthoeken, of vul haar aan tot één grote rechthoek;
reken elke rechthoekige oppervlakte met de formule uit;
tel de stukken op — of trek het gat van de grote rechthoek af;
controleer met een ruwe telling van rastervakjes.

Voorbeeld 34.6

Een L-vormige kamer: een rechthoek van $6$ m $\times$ $4$ m met een hoek van $2$ m $\times$ $2$ m eruit.

\text{Oppervlakte} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ m}^2 .

Of knip de L in een strook $6 \times 2$ en een strook $4 \times 2$ : $12 + 8 = 20$ m $^2$ — twee wegen, één antwoord.

Voorbeeld 34.7 (De helft van een rechthoek)

Een rechthoek langs een diagonaal knippen geeft twee driehoeken met dezelfde oppervlakte: elk is de helft van de rechthoek. Een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $6$ cm en $4$ cm heeft dus oppervlakte $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ — een plaatje dat het waard is om te onthouden voor Hoofdstuk 43, waar het een formule wordt.

De diagonaal knipt de rechthoek van 6 × 4 in twee gelijke driehoeken van 12 vakjes elk. — De diagonaal knipt de rechthoek van $6 \times 4$ in twee gelijke driehoeken van $12$ vakjes elk.

34.4 Oefeningen

Oefening 34.1 ★

Reken de oppervlakte en de omtrek uit van een rechthoek van $8$ cm $\times$ $5$ cm. Welk antwoord is in cm en welk in cm $^2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.1.

Oppervlakte: $8 \times 5 = 40$ cm $^2$ . Omtrek: $2 \times (8 + 5) = 26$ cm.

Oefening 34.2 ★

Reken de oppervlaktes uit: een vierkant met zijde $9$ cm; een rechthoek van $12$ m $\times$ $7$ m; een rechthoek van $4.5$ cm $\times$ $6$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.2.

$9 \times 9 = 81$ cm $^2$ ; $12 \times 7 = 84$ m $^2$ ; $4.5 \times 6 = 27$ cm $^2$ .

Oefening 34.3 ★

Een rechthoek heeft oppervlakte $63$ cm $^2$ en lengte $9$ cm. Zoek zijn breedte, en daarna zijn omtrek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.3.

Breedte: $63 \div 9 = 7$ cm. Omtrek: $2 \times (9 + 7) = 32$ cm.

Oefening 34.4 ★

Teken op ruitjespapier twee verschillende rechthoeken met een oppervlakte van $24$ vakjes, en reken beide omtrekken uit. Dezelfde oppervlakte — dezelfde omtrek?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.4.

Bijvoorbeeld $6 \times 4$ (omtrek $20$ ) en $8 \times 3$ (omtrek $22$ ): dezelfde oppervlakte $24$ , verschillende omtrekken.

Oefening 34.5 ★

Zet om: $3$ m $^2$ in cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2$ in m $^2$ . (Denk aan Voorbeeld 34.4: per honderd!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2 = 5$ m $^2$ .

Oefening 34.6 ★

Een T-vormige figuur bestaat uit een horizontale balk van $8 \times 2$ boven een verticale balk van $2 \times 5$ (in cm). Reken haar oppervlakte uit door twee rechthoeken op te tellen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.6.

Balk: $8 \times 2 = 16$ cm $^2$ ; poot: $2 \times 5 = 10$ cm $^2$ ; samen $26$ cm $^2$ .

Oefening 34.7 ★

Een fotolijst: een rechthoek van $30$ cm $\times$ $20$ cm met een rechthoekige opening van $24$ cm $\times$ $14$ cm eruit. Welke oppervlakte aan hout gebruikt de lijst?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.7.

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ cm $^2$ hout.

Oefening 34.8 ★

Reken de oppervlakte uit van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $8$ cm en $6$ cm (de helft van een rechthoek, Voorbeeld 34.7).

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.8.

De helft van de rechthoek $8 \times 6$ : $48 \div 2 = 24$ cm $^2$ .

Oefening 34.9 ★

Een rechthoekig tuinbed meet $7$ m bij $4$ m. Zaad kost $2$ per vierkante meter en hek $3$ per meter. Reken de kosten van het zaad uit, en daarna die van het hek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.9.

Zaad: oppervlakte $7 \times 4 = 28$ m $^2$ , kosten $28 \times 2 = 56$ . Hek: omtrek $2 \times (7 + 4) = 22$ m, kosten $22 \times 3 = 66$ .

Oefening 34.10 ★★

De vloer van een gang is $12$ m lang en $2$ m breed en moet met vierkante tegels met zijde $50$ cm bedekt worden. Hoeveel tegels zijn er nodig? (Zet eerst om, of tel de tegels in elke richting.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.10.

Twee tegels van $50$ cm maken een meter: over de lengte van $12$ m passen $24$ tegels, over de breedte van $2$ m $4$ tegels. In totaal: $24 \times 4 = 96$ tegels.

Oefening 34.11 ★★

Verdubbel de zijden van een rechthoek van $4$ cm $\times$ $3$ cm. Wat gebeurt er met zijn omtrek? En met zijn oppervlakte? (Reken beide voor en na uit — de twee antwoorden verschillen!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.11.

Voor: omtrek $2 \times (4 + 3) = 14$ cm, oppervlakte $12$ cm $^2$ . Na (zijden $8$ en $6$ ): omtrek $28$ cm, oppervlakte $48$ cm $^2$ . De omtrek is verdubbeld; de oppervlakte is met vier vermenigvuldigd ( $2 \times 2$ ): lengtes en oppervlaktes schalen niet op dezelfde manier.