Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

34Omtrek en oppervlakte

In jaar 4 telden we rastervierkantjes (Hoofdstuk 28); dit hoofdstuk verdient de eerste oppervlakteformule — lengte keer breedte voor de rechthoek — en leert de eenheden cm $^2$ en m $^2$ . De formules voor driehoeken en andere vormen rijpen in Hoofdstuk 43 en Hoofdstuk 53.

34.1 Twee verschillende maten

Voorbeeld 34.1 (Rand vs vlak)

Een tuinman heeft omtrek nodig om het hek te kopen en oppervlakte om het graszaad te kopen. De twee volgen elkaar niet: een rechthoek dunner en langer trekken kan de oppervlakte houden terwijl de omtrek groeit — vergelijk een $6 \times 2$ en een $4 \times 3$ rechthoek (zelfde oppervlakte $12$ , omtrekken $16$ en $14$ ).

34.2 De rechthoekformule

Propositie 34.2 (Oppervlakte van een rechthoek)

Een rechthoek van lengte $L$ en breedte $b$ (in dezelfde eenheid) heeft oppervlakte

A = L \times b ,

in vierkante eenheden: cm $^2$ (vierkantjes van zijde $1$ cm), m $^2$ (vierkantjes van zijde $1$ m), …

Waarom, door te tellen. Bedek de rechthoek met eenheidsvierkantjes: $b$ rijen van $L$ vierkantjes elk, dus $L \times b$ vierkantjes in totaal — precies de vermenigvuldigingsrechthoek van Hoofdstuk 16. ∎

Drie rijen van zes centimeter-vierkantjes: de formule L × b is het tellen, eenmaal en voor altijd geschreven. — Drie rijen van zes centimeter-vierkantjes: de formule $L \times b$ is het tellen, eenmaal en voor altijd geschreven.

Voorbeeld 34.3

Een kleed meet $2.5$ m bij $2$ m: oppervlakte $2.5 \times 2 = 5$ m $^2$ . Een postzegel meet $3$ cm bij $2.4$ cm: oppervlakte $3 \times 2.4 = 7.2$ cm $^2$ . Zelfde formule, elke eenheid — zolang beide zijden dezelfde gebruiken.

Voorbeeld 34.4 (Vierkante eenheden zetten om met 100)

$1$ m $= 100$ cm, maar $1$ m $^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ cm $^2$ : een vierkante meter is een $100$ -bij- $100$ -raster van centimetervierkantjes. Oppervlakte-eenheden springen met honderden, niet tientallen.

34.3 Samengestelde figuren

Methode 34.5 (Snijden, optellen, aftrekken)

Voor een figuur van rechthoeken (een L, een T, een kader):

snijd hem in rechthoeken, of maak hem compleet tot een grote rechthoek;
bereken elke rechthoekoppervlakte met de formule;
tel de stukken op — of trek het gat af van de grote rechthoek;
controleer met een ruwe telling van rastervierkantjes.

Voorbeeld 34.6

Een L-vormige kamer: een rechthoek $6$ m $\times$ $4$ m met een hoek $2$ m $\times$ $2$ m ontbrekend.

\text{Oppervlakte} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ m}^2 .

Of snijd de L in een strook $6 \times 2$ en een strook $4 \times 2$ : $12 + 8 = 20$ m $^2$ — twee wegen, één antwoord.

Voorbeeld 34.7 (Helft van een rechthoek)

Een rechthoek langs een diagonaal snijden geeft twee driehoeken van dezelfde oppervlakte: elk is de helft van de rechthoek. Een rechthoekige driehoek met benen $6$ cm en $4$ cm heeft dus oppervlakte $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ — een plaatje om te onthouden voor Hoofdstuk 43, waar het een formule wordt.

De diagonaal snijdt de 6 × 4-rechthoek in twee gelijke driehoeken van 12 vierkantjes elk. — De diagonaal snijdt de $6 \times 4$ -rechthoek in twee gelijke driehoeken van $12$ vierkantjes elk.

34.4 Oefeningen

Oefening 34.1 ★

Bereken de oppervlakte en de omtrek van een rechthoek $8$ cm $\times$ $5$ cm. Welk antwoord is in cm, welk in cm $^2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.1.

Oppervlakte: $8 \times 5 = 40$ cm $^2$ . Omtrek: $2 \times (8 + 5) = 26$ cm.

Oefening 34.2 ★

Bereken de oppervlaktes: een vierkant van zijde $9$ cm; een rechthoek $12$ m $\times$ $7$ m; een rechthoek $4.5$ cm $\times$ $6$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.2.

$9 \times 9 = 81$ cm $^2$ ; $12 \times 7 = 84$ m $^2$ ; $4.5 \times 6 = 27$ cm $^2$ .

Oefening 34.3 ★

Een rechthoek heeft oppervlakte $63$ cm $^2$ en lengte $9$ cm. Vind de breedte, dan de omtrek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.3.

Breedte: $63 \div 9 = 7$ cm. Omtrek: $2 \times (9 + 7) = 32$ cm.

Oefening 34.4 ★

Teken twee verschillende rechthoeken met oppervlakte $24$ vierkantjes op ruitjespapier, en bereken beide omtrekken. Zelfde oppervlakte — zelfde omtrek?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.4.

Bijvoorbeeld $6 \times 4$ (omtrek $20$ ) en $8 \times 3$ (omtrek $22$ ): zelfde oppervlakte $24$ , verschillende omtrekken.

Oefening 34.5 ★

Zet om: $3$ m $^2$ in cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2$ in m $^2$ . (Onthou Voorbeeld 34.4: met honderden!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2 = 5$ m $^2$ .

Oefening 34.6 ★

Een T-vormige figuur is gemaakt van een horizontale balk $8 \times 2$ bovenop een verticale balk $2 \times 5$ (in cm). Bereken de oppervlakte door twee rechthoeken op te tellen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.6.

Balk: $8 \times 2 = 16$ cm $^2$ ; steel: $2 \times 5 = 10$ cm $^2$ ; totaal $26$ cm $^2$ .

Oefening 34.7 ★

Een fotolijst: een rechthoek $30$ cm $\times$ $20$ cm met een rechthoekig venster $24$ cm $\times$ $14$ cm uitgesneden. Welke oppervlakte hout gebruikt de lijst?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.7.

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ cm $^2$ hout.

Oefening 34.8 ★

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met benen $8$ cm en $6$ cm (helft van een rechthoek, Voorbeeld 34.7).

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.8.

Helft van de $8 \times 6$ -rechthoek: $48 \div 2 = 24$ cm $^2$ .

Oefening 34.9 ★

Een rechthoekig groentebed meet $7$ m bij $4$ m. Zaad kost $2$ per vierkante meter, en hek $3$ per meter. Bereken de kosten van het zaad, dan de kosten van het hek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.9.

Zaad: oppervlakte $7 \times 4 = 28$ m $^2$ , kost $28 \times 2 = 56$ . Hek: omtrek $2 \times (7 + 4) = 22$ m, kost $22 \times 3 = 66$ .

Oefening 34.10 ★★

Een gangvloer is $12$ m lang en $2$ m breed, en moet bedekt worden met vierkante tegels van zijde $50$ cm. Hoeveel tegels zijn nodig? (Zet eerst om, of tel tegels in elke richting.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.10.

Twee tegels van $50$ cm maken een meter: langs de lengte van $12$ m, $24$ tegels; langs de breedte van $2$ m, $4$ tegels. Totaal: $24 \times 4 = 96$ tegels.

Oefening 34.11 ★★

Verdubbel de zijden van een rechthoek $4$ cm $\times$ $3$ cm. Wat gebeurt er met de omtrek? Met de oppervlakte? (Bereken beide vóór en na — de twee antwoorden verschillen!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.11.

Vóór: omtrek $2 \times (4 + 3) = 14$ cm, oppervlakte $12$ cm $^2$ . Na (zijden $8$ en $6$ ): omtrek $28$ cm, oppervlakte $48$ cm $^2$ . De omtrek is verdubbeld; de oppervlakte is vermenigvuldigd met vier ( $2 \times 2$ ): lengtes en oppervlaktes schalen niet op dezelfde manier.