Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

17Verdelen en delen

Twintig knikkers eerlijk verdelen onder vier kinderen: hoeveel elk? Delen beantwoordt alle verdeelvragen — en de groepeer-vragen ook — en het is de tweeling van vermenigvuldigen: de ene maakt de andere ongedaan.

17.1 Twee gezichten van delen

Definitie 17.1 (Deling)

De deling $20 \div 4$ beantwoordt twee soorten vragen:

verdelen: $20$ knikkers verdeeld onder $4$ kinderen — hoeveel knikkers elk? ( $5$ elk);
groeperen: $20$ knikkers in zakjes van $4$ — hoeveel zakjes? ( $5$ zakjes).

Beide vragen hebben hetzelfde antwoord, omdat beide dezelfde vermenigvuldiging ongedaan maken: $4 \times 5 = 20$ .

20 verdelen in 4 gelijke groepen. Groeperen per 4 zou 5 groepen geven — dezelfde deling. — $20$ verdelen in $4$ gelijke groepen. Groeperen per $4$ zou $5$ groepen geven — dezelfde deling.

Methode 17.2 (Delen met de tafels)

Om $42 \div 6$ uit te rekenen, vraag: “ $6$ keer wat maakt $42$ ?” De tafel van $6$ antwoordt: $6 \times 7 = 42$ , dus $42 \div 6 = 7$ . Elke deelvraag is een vermenigvuldigingsvraag achterstevoren gelezen.

17.2 Als het niet precies uitkomt

Definitie 17.3 (Rest)

$23$ knikkers verdelen onder $4$ kinderen geeft $5$ knikkers elk — en $3$ knikkers over, te weinig voor nog een ronde. We schrijven

23 = 4 \times 5 + 3 ,

en zeggen: het quotiënt is $5$ , de rest is $3$ . De rest is altijd kleiner dan het aantal kinderen — anders zou nog een ronde verdelen mogelijk zijn.

23 verdelen onder 4: na 5 rondes blijven 3 knikkers over — te weinig voor een 6e ronde. — $23$ verdelen onder $4$ : na $5$ rondes blijven $3$ knikkers over — te weinig voor een $6$ e ronde.

Voorbeeld 17.4

Deel $58$ door $7$ . Scan de tafel van $7$ : $7 \times 8 = 56$ is het grootste product dat onder $58$ past ( $7 \times 9 = 63$ is te veel). Dus

58 = 7 \times 8 + 2 :

quotiënt $8$ , rest $2$ . Controle: $56 + 2 = 58$ , en $2 < 7$ .

Methode 17.5 (De rest interpreteren)

Na het delen, ga terug naar het verhaal:

“hoeveel elk / hoeveel volle groepen?” — het quotiënt;
“hoeveel over?” — de rest;
“hoeveel dozen om alles te houden?” — het quotiënt plus één als de rest niet nul is.

Voorbeeld 17.6

$58$ leerlingen gaan kanoën, $7$ per kano. $58 = 7 \times 8 + 2$ : acht kano’s zijn vol, en $2$ leerlingen blijven over — zij hebben ook een kano nodig. Dus moeten er $9$ kano’s geboekt worden.

17.3 Helften, derden, kwarten

Definitie 17.7 (Helft, derde, kwart)

De helft van een getal is het resultaat van delen door $2$ ; het derde, door $3$ ; het kwart, door $4$ . Bijvoorbeeld is de helft van $18$ gelijk aan $9$ , het derde van $18$ is $6$ , het kwart van $36$ is $9$ .

Voorbeeld 17.8 (Verdubbelen en halveren horen bij elkaar)

De helft van $46$ : omdat $46 = 40 + 6$ , geeft de helft van elk deel $20 + 3 = 23$ . Controleer met de verdubbeling: $23 + 23 = 46$ . Verdubbelingen uit het hoofd ( $25 \to 50$ , $45 \to 90$ , $150 \to 300$ ) maken helften direct.

17.4 Oefeningen

Oefening 17.1 ★

Reken uit met de tafels achterstevoren: $36 \div 4$ ; $63 \div 9$ ; $40 \div 5$ ; $56 \div 8$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.1.

$36 \div 4 = 9$ (want $4 \times 9 = 36$ ); $63 \div 9 = 7$ ; $40 \div 5 = 8$ ; $56 \div 8 = 7$ .

Oefening 17.2 ★

Schrijf voor elke deling de gelijkheid $a = b \times q + r$ en geef het quotiënt en de rest: $17 \div 5$ ; $30 \div 4$ ; $50 \div 6$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.2.

$17 = 5 \times 3 + 2$ : quotiënt $3$ , rest $2$ .

$30 = 4 \times 7 + 2$ : quotiënt $7$ , rest $2$ .

$50 = 6 \times 8 + 2$ : quotiënt $8$ , rest $2$ .

Oefening 17.3 ★

$28$ knikkers worden verdeeld onder $6$ kinderen. Hoeveel knikkers elk, en hoeveel over? Teken het verdelen als dat helpt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.3.

$28 = 6 \times 4 + 4$ : elk kind krijgt $4$ knikkers, en $4$ knikkers blijven over.

Oefening 17.4 ★

Reken uit: de helft van $68$ ; het derde van $27$ ; het kwart van $48$ ; de helft van $150$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.4.

Helft van $68$ : $34$ . Derde van $27$ : $9$ . Kwart van $48$ : $12$ . Helft van $150$ : $75$ .

Oefening 17.5 ★

Waar of niet waar? Controleer met een vermenigvuldiging. “ $45 \div 5 = 9$ ”; “ $52 \div 6 = 8$ rest $4$ ”; “ $70 \div 8 = 9$ rest $2$ ”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.5.

“ $45 \div 5 = 9$ ”: waar, $5 \times 9 = 45$ .

“ $52 \div 6 = 8$ rest $4$ ”: waar, $6 \times 8 + 4 = 52$ en $4 < 6$ .

“ $70 \div 8 = 9$ rest $2$ ”: niet waar — $8 \times 9 + 2 = 74$ , niet $70$ . Juist: $70 = 8 \times 8 + 6$ .

Oefening 17.6 ★

$32$ foto’s worden in een album geplakt, $4$ per blad. Hoeveel bladen worden gebruikt? Welk gezicht van delen is dit (verdelen of groeperen)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.6.

$32 \div 4 = 8$ bladen. Dit is groeperen: de foto’s worden in groepen van $4$ gezet, en we tellen de groepen.

Oefening 17.7 ★

Een touw van $75$ cm wordt in stukken van $9$ cm geknipt. Hoeveel volle stukken, en hoe lang is het reststuk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.7.

$75 = 9 \times 8 + 3$ : acht volle stukken, en een reststuk van $3$ cm.

Oefening 17.8 ★

$50$ kinderen gaan op reis in auto’s van $4$ zitplaatsen. Hoeveel auto’s zijn nodig? (Let op: iedereen moet meerijden!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.8.

$50 = 4 \times 12 + 2$ : twaalf auto’s vervoeren $48$ kinderen, en $2$ kinderen hebben nog een rit nodig. Er zijn $13$ auto’s nodig.

Oefening 17.9 ★

Vind de ontbrekende getallen: $? \div 7 = 6$ ; $54 \div ? = 6$ ; de helft van $?$ is $35$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.9.

$? = 7 \times 6 = 42$ . $54 \div 9 = 6$ , dus de ontbrekende deler is $9$ . Het getal waarvan de helft $35$ is, is $70$ .

Oefening 17.10 ★★

Amina verdeelt haar $47$ stickers onder haar $5$ vrienden, zo eerlijk mogelijk, en houdt de rest zelf. Hoeveel stickers krijgt elke vriend, en hoeveel houdt Amina?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.10.

$47 = 5 \times 9 + 2$ : elke vriend krijgt $9$ stickers, en Amina houdt de rest, $2$ stickers.

Oefening 17.11 ★★

Als een getal door $6$ wordt gedeeld, wat zijn alle mogelijke resten? Wat is het grootste getal waarvan de deling door $6$ quotiënt $7$ heeft?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.11.

Bij delen door $6$ is de rest altijd kleiner dan $6$ : die kan $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ of $5$ zijn. Het grootste getal met quotiënt $7$ gebruikt de grootste rest: $6 \times 7 + 5 = 47$ .