Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

23Delen

In jaar 3 deelden we met de tafels en met kleine resten (Hoofdstuk 17); in dit hoofdstuk komt de volledige schriftelijke manier — de staartdeling — die elk getal aankan, cijfergroep na cijfergroep.

23.1 De staartdeling

Methode 23.1 (Staartdeling door een getal van één cijfer)

Om $749$ door $6$ te delen:

neem het meest linkse cijfer, $7$ (honderdtallen): $6$ gaat $1$ keer in $7$ ; schrijf $1$ in het quotiënt, trek $6$ af, rest $1$ ;
haal het volgende cijfer naar beneden, de $4$ : deel nu $14$ (tientallen): $6 \times 2 = 12$ ; schrijf $2$ , rest $2$ ;
haal de $9$ naar beneden: deel $29$ : $6 \times 4 = 24$ ; schrijf $4$ , rest $5$ ;
er is geen cijfer meer over: het quotiënt is $124$ , de rest is $5$ .

Controle: $6 \times 124 + 5 = 744 + 5 = 749$ , en $5 < 6$ .

De staartdeling van 749 door 6, volledig uitgeschreven: elke aftrekking staat erbij, elk cijfer blijft in zijn kolom, en de grijze pijlen laten zien welke cijfers naar beneden worden gehaald. — De staartdeling van $749$ door $6$ , volledig uitgeschreven: elke aftrekking staat erbij, elk cijfer blijft in zijn kolom, en de grijze pijlen laten zien welke cijfers naar beneden worden gehaald.

Voorbeeld 23.2 (Een nul in het quotiënt)

Deel $618$ door $3$ : honderdtallen, $6 \div 3 = 2$ ; tientallen, haal de $1$ naar beneden: $3$ gaat $0$ keer in $1$ — schrijf die $0$ ! — rest $1$ ; eenheden, haal de $8$ naar beneden: $18 \div 3 = 6$ . Quotiënt $206$ , rest $0$ . De nul in het midden vergeten (en dus $26$ schrijven) is de klassieke fout; de controle $3 \times 26 = 78 \neq 618$ ontmaskert hem onmiddellijk.

Voorbeeld 23.3 (De grootte van het quotiënt schatten)

Zet voordat je $749$ door $6$ deelt de uitkomst tussen grenzen: $6 \times 100 = 600$ en $6 \times 200 = 1\,200$ , dus ligt het quotiënt tussen $100$ en $200$ — het heeft drie cijfers. Die schatting van één regel voorkomt bijna alle fouten met verschoven cijfers.

23.2 Kiezen wat de vraag vraagt

Methode 23.4 (Quotiënt, rest, of quotiënt plus één)

Zoals in Methode 17.5 beslist het verhaal:

“hoeveel volle …” of “hoeveel elk”: het quotiënt;
“hoeveel blijft er over”: de rest;
“hoeveel dozen om alles in te doen”: het quotiënt, plus één als de rest niet nul is.

Voorbeeld 23.5

$530$ boeken moeten in dozen van $8$ worden verpakt.

530 = 8 \times 66 + 2 .

Hoeveel volle dozen? $66$ . Hoeveel boeken zitten niet in een volle doos? $2$ . Hoeveel dozen om alle boeken te verpakken? $67$ . Drie vragen, één deling.

Voorbeeld 23.6 (Geld eerlijk verdelen)

Vier vrienden delen de kosten van een cadeau van $92$ gelijk: $92 \div 4 = 23$ precies (rest $0$ ). Ieder betaalt $23$ . Als de rest nul is, “komt de deling precies uit” en is de verdeling volmaakt eerlijk.

23.3 Oefeningen

Oefening 23.1 ★

Zet elk quotiënt tussen grenzen zoals in Voorbeeld 23.3 (tussen welke twee “ronde” getallen?) en maak daarna de staartdeling: $96 \div 4$ ; $87 \div 5$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.1.

$96 \div 4$ : tussen $4 \times 20 = 80$ en $4 \times 30 = 120$ , dus heeft het quotiënt twee cijfers; de staartdeling geeft $24$ , rest $0$ .

$87 \div 5$ : tussen $5 \times 10 = 50$ en $5 \times 20 = 100$ ; quotiënt $17$ , rest $2$ ( $87 = 5 \times 17 + 2$ ).

Oefening 23.2 ★

Maak de staartdelingen en controleer elke uitkomst: $672 \div 4$ ; $925 \div 7$ ; $804 \div 6$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.2.

$672 \div 4 = 168$ , rest $0$ (controle: $4 \times 168 = 672$ ).

$925 \div 7 = 132$ , rest $1$ (controle: $7 \times 132 + 1 = 925$ ).

$804 \div 6 = 134$ , rest $0$ (controle: $6 \times 134 = 804$ ).

Oefening 23.3 ★

Pas op met de nul (zie Voorbeeld 23.2): $816 \div 4$ ; $420 \div 7$ ; $2\,512 \div 5$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.3.

$816 \div 4 = 204$ (bij de tientallen is de stap $1 \div 4$ : nul keer — schrijf de $0$ ).

$420 \div 7 = 60$ .

$2\,512 \div 5 = 502$ , rest $2$ (controle: $5 \times 502 + 2 = 2\,512$ ).

Oefening 23.4 ★

Schrijf de controlegelijkheid ( $a = b \times q + r$ ) op voor: $85 \div 9$ ; $1\,000 \div 3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.4.

$85 = 9 \times 9 + 4$ (quotiënt $9$ , rest $4$ ).

$1\,000 = 3 \times 333 + 1$ .

Oefening 23.5 ★

$156$ eieren worden in dozen van $6$ gedaan. Hoeveel dozen worden er gevuld?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.5.

$156 \div 6 = 26$ : zesentwintig dozen worden gevuld, er blijft niets over.

Oefening 23.6 ★

Een lint van $250$ cm wordt in stukken van $8$ cm geknipt. Hoeveel stukken krijg je, en welke lengte blijft over?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.6.

$250 = 8 \times 31 + 2$ : eenendertig stukken, en $2$ cm lint blijft over.

Oefening 23.7 ★

$375$ leerlingen gaan naar een voorstelling in bussen met $52$ plaatsen. Hoeveel bussen zijn er nodig? (Welk geval van Methode 23.4 is dit? Deel door $52$ met behulp van veelvouden: $52 \times 7 = 364$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.7.

$375 = 52 \times 7 + 11$ : zeven bussen vervoeren $364$ leerlingen, en $11$ blijven over — het geval “plus één”: er zijn $8$ bussen nodig.

Oefening 23.8 ★

Drie vrienden verdelen $234$ knikkers gelijk. Hoeveel knikkers krijgt ieder? Controleer met een vermenigvuldiging.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.8.

$234 \div 3 = 78$ : ieder krijgt $78$ knikkers. Controle: $3 \times 78 = 234$ .

Oefening 23.9 ★

Zoek het deeltal: de deling door $7$ geeft quotiënt $58$ en rest $3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.9.

Deeltal $= 7 \times 58 + 3 = 406 + 3 = 409$ .

Oefening 23.10 ★★

Een bibliothecaris zet $438$ boeken in de kast, $9$ per plank. Planken komen in kasten van $6$ planken. Hoeveel planken zijn er nodig? Hoeveel kasten moeten er gekocht worden? (Twee delingen, beide met een vraag van het type “plus één”.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.10.

Planken: $438 = 9 \times 48 + 6$ : $48$ volle planken en $6$ boeken extra — er zijn $49$ planken nodig. Kasten: $49 = 6 \times 8 + 1$ : acht volle kasten en één plank extra — er moeten $9$ kasten gekocht worden.

Oefening 23.11 ★★

Bij een deling door $8$ is het quotiënt gelijk aan de rest. Welke deeltallen zijn mogelijk? Noem ze allemaal. (De rest moet onder $8$ blijven.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.11.

Quotiënt $=$ rest $= r$ met $r < 8$ , dus is $r$ gelijk aan $0, 1, \dots, 7$ en is het deeltal $8r + r = 9r$ : de mogelijke deeltallen zijn $0$ , $9$ , $18$ , $27$ , $36$ , $45$ , $54$ , $63$ .