Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

35Kubussen en balken

Het platte blad verlaten: lichamen zijn de vormen van de echte wereld — dobbelstenen, pakken ontbijtgranen, blikjes, ballen. Dit hoofdstuk leert ze te noemen, hun vlakken en randen te tellen, ze uit te vouwen tot netten, en hun volume te meten door kleine kubusjes te tellen. (Volumeformules komen in Hoofdstuk 43.)

35.1 De lichamenfamilie

Definitie 35.1 (Lichamen en hun woordenschat)

Een lichaam neemt ruimte in. Platte kanten zijn vlakken; vlakken ontmoeten elkaar langs ribben; ribben ontmoeten elkaar in hoekpunten. De familieportretten:

de kubus: $6$ vierkante vlakken, $12$ ribben, $8$ hoekpunten;
de balk (rechthoekig prisma): $6$ rechthoekige vlakken, $12$ ribben, $8$ hoekpunten;
de cilinder: twee schijfvormige vlakken en één opgerold vlak (een blikje);
de piramide: een veelhoekige basis en driehoeken die in een top samenkomen;
de bol: één perfect ronde oppervlakte, geen vlak, geen ribbe.

De lichamengalerij. Stippellijnen tonen verborgen ribben — de achterkant van het lichaam, erdoorheen gezien.

Voorbeeld 35.2 (Tellen op de kubus)

Controleer op een dobbelsteen: $6$ vlakken (de getallen $1$ tot $6$ ), $8$ hoekpunten (de hoeken), $12$ ribben (strijk er met een vinger langs: $4$ boven, $4$ onder, $4$ verticaal). En $6 + 8 = 12 + 2$ — hetzelfde curieuze patroon geldt voor de balk en de piramide (Voorbeeld 62.2 keert ernaar terug).

35.2 Netten

Definitie 35.3 (Net)

Een net van een lichaam is een platte tekening van al zijn vlakken, verbonden langs ribben, die opvouwt tot het lichaam — het lichaam uitgepakt als een kartonnen doos platgelegd voor recycling.

Drie schikkingen van zes vierkantjes. De eerste twee vouwen tot een kubus; de derde niet — bij het vouwen landen twee vierkantjes op hetzelfde vlak en blijft de kubus open. Knip ze uit en probeer!

Voorbeeld 35.4 (Een net lezen)

Op een dobbelsteen tellen overstaande vlakken op tot $7$ . Op een net zijn overstaande vlakken die gescheiden door precies één vierkantje in een rij (of om een hoek) — niet de buren! De paren op het net markeren vóór het vouwen is een geweldige oefening in ruimte plat zien.

35.3 Volume: kubusjes tellen

Definitie 35.5 (Volume door te tellen)

Het volume van een lichaam gebouwd uit eenheidskubusjes is het aantal kubusjes dat het bevat. De eenheid kan de centimeterkubus (cm $^3$ ) of de meterkubus (m $^3$ ) zijn.

Voorbeeld 35.6 (Een balk laag voor laag tellen)

Een balk $4$ kubusjes lang, $3$ breed, $2$ hoog: de onderste laag houdt $4 \times 3 = 12$ kubusjes, en er zijn $2$ lagen:

12 \times 2 = 24 \text{ kubusjes} .

Tellen per laag werkt altijd — en bewijst stilletjes de formule $V = L \times b \times h$ van Hoofdstuk 43.

Een 4 × 3 × 2-balk van eenheidskubusjes, geteld laag voor laag. — Een $4 \times 3 \times 2$ -balk van eenheidskubusjes, geteld laag voor laag.

Voorbeeld 35.7 (Zelfde kubusjes, andere vormen)

Acht eenheidskubusjes kunnen een $2 \times 2 \times 2$ -kubus bouwen, een $8 \times 1 \times 1$ -stok, of een $4 \times 2 \times 1$ -plaat: drie verschillende lichamen, één volume ( $8$ kubusjes). Volume telt het materiaal, niet de vorm.

35.4 Oefeningen

Oefening 35.1 ★

Noem een echt voorwerp in de vorm van: een kubus; een balk; een cilinder; een bol; een piramide.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.1.

Bijvoorbeeld: een dobbelsteen (kubus); een pak ontbijtgranen (balk); een blikje (cilinder); een voetbal (bol); bepaalde daken of de monumenten van Egypte (piramide).

Oefening 35.2 ★

Hoeveel vlakken, ribben en hoekpunten heeft een balk? Controleer het patroon vlakken $+$ hoekpunten $=$ ribben $+ 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.2.

Een balk heeft $6$ vlakken, $12$ ribben, $8$ hoekpunten — en $6 + 8 = 12 + 2$ . ✓

Oefening 35.3 ★

Welke vlakken van een balk zijn identiek? (Groepeer de zes vlakken in paren.) Wat is speciaal aan de vlakken van de kubus?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.3.

De zes vlakken komen in drie paren van identieke overstaande vlakken (boven–onder, voor–achter, links–rechts). Op een kubus zijn alle zes vlakken identieke vierkanten.

Oefening 35.4 ★

Teken een net van een kubus van zijde $2$ cm (gebruik het kruisvormige model van dit hoofdstuk), knip het uit en vouw het.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.4.

Kruisvormig net: vier vierkantjes van $2$ cm op een rij, één erboven en één eronder bij het tweede vierkantje. De ring van vier vouwen maakt de zijkanten; de twee extra vierkantjes sluiten boven- en onderkant.

Oefening 35.5 ★

Op het kruisvormige net van een dobbelsteen, plaats de getallen $1$ tot $6$ zodat overstaande vlakken optellen tot $7$ . (Gebruik Voorbeeld 35.4 om eerst de overstaande paren te vinden.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.5.

Op het kruisnet (vier vierkantjes op een rij, één erboven, één eronder bij het tweede) zijn de overstaande paren: vierkantjes $1$ en $3$ van de rij; vierkantjes $2$ en $4$ van de rij; de boven- en onder-vierkantjes. Een correcte labeling: rij $= 1, 2, 6, 5$ ; boven $= 3$ ; onder $= 4$ — dan maken $1{+}6$ , $2{+}5$ , $3{+}4$ allemaal $7$ .

Oefening 35.6 ★

Tel de eenheidskubusjes: een balk $5$ lang, $2$ breed, $3$ hoog; een kubus van zijde $3$ ; een L-vormige stapel van een plaat $3 \times 2 \times 1$ met een plaat $1 \times 2 \times 1$ erbovenop.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.6.

Balk: $5 \times 2 = 10$ per laag, $3$ lagen: $30$ kubusjes. Kubus: $3 \times 3 \times 3 = 27$ . L-stapel: $3 \times 2 \times 1 = 6$ plus $1 \times 2 \times 1 = 2$ : $8$ kubusjes.

Oefening 35.7 ★

Een balk houdt precies $12$ eenheidskubusjes in één laag. Geef twee mogelijke laagvormen ( $L \times b$ ), en voor elk het volume van de balk als hij $3$ zulke lagen heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.7.

Lagen van $12$ : bijvoorbeeld $4 \times 3$ of $6 \times 2$ (of $12 \times 1$ ). Met $3$ lagen is het volume $12 \times 3 = 36$ kubusjes in elk geval.

Oefening 35.8 ★

Met $27$ eenheidskubusjes, welke kubus kun je bouwen? Met $64$ ? (Denk aan het tellen per laag achterstevoren.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.8.

$27 = 3 \times 3 \times 3$ : een kubus van zijde $3$ . $64 = 4 \times 4 \times 4$ : een kubus van zijde $4$ .

Oefening 35.9 ★★

Suikerklontjes van zijde $1$ cm komen in een doos $10$ cm lang, $5$ cm breed, $4$ cm hoog (binnenmaten). Hoeveel suikerklontjes passen erin? Als een gezin $6$ klontjes per dag gebruikt, voor hoeveel dagen houdt één doos (rond zinvol af)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.9.

De doos houdt $10 \times 5 \times 4 = 200$ suikerklontjes. Bij $6$ per dag: $200 = 6 \times 33 + 2$ , dus de doos houdt $33$ volle dagen (en $2$ klontjes blijven over voor de ochtend van dag $34$ ).

Oefening 35.10 ★★

Een $3 \times 3 \times 3$ -kubus wordt aan de buitenkant rood geschilderd, dan in $27$ eenheidskubusjes gesneden. Hoeveel kleine kubusjes hebben verf op precies $3$ vlakken? Op $2$ ? Op $1$ ? Op geen? (Controle: de vier tellingen moeten optellen tot $27$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.10.

Verf op $3$ vlakken: de $8$ hoekkubusjes. Op $2$ vlakken: de middens van de $12$ ribben: $12$ kubusjes. Op $1$ vlak: de centra van de $6$ vlakken: $6$ kubusjes. Op geen: de enkele verborgen middelste kubus: $1$ . Controle: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ . ✓