Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

35Kubussen en balken

We verlaten het vlakke papier: lichamen zijn de vormen van de echte wereld — dobbelstenen, pakken ontbijtgranen, blikjes, ballen. In dit hoofdstuk leer je ze benoemen, hun zijvlakken en ribben tellen, ze tot een uitslag openvouwen, en hun volume meten door kleine kubusjes te tellen. (Volumeformules komen in Hoofdstuk 43.)

35.1 De familie van de lichamen

Definitie 35.1 (Lichamen en hun woorden)

Een lichaam neemt ruimte in. Zijn vlakke kanten zijn zijvlakken; zijvlakken ontmoeten elkaar langs ribben; ribben ontmoeten elkaar in hoekpunten. De familieportretten:

de kubus: $6$ vierkante zijvlakken, $12$ ribben, $8$ hoekpunten;
de balk: $6$ rechthoekige zijvlakken, $12$ ribben, $8$ hoekpunten;
de cilinder: twee ronde zijvlakken en één opgerold vlak (een blikje);
de piramide: een veelhoek als grondvlak, met driehoeken die in een top samenkomen;
de bol: één volmaakt rond oppervlak, geen zijvlak, geen ribbe.

De verzameling lichamen. Stippellijnen tonen de verborgen ribben — de achterkant van het lichaam, dwars erdoorheen gezien.

Voorbeeld 35.2 (Tellen op de kubus)

Controleer het op een dobbelsteen: $6$ zijvlakken (de getallen $1$ tot $6$ ), $8$ hoekpunten (de punten), $12$ ribben (ga er met je vinger langs: $4$ bovenaan, $4$ onderaan, $4$ verticaal). En $6 + 8 = 12 + 2$ — hetzelfde merkwaardige patroon geldt voor de balk en de piramide (Voorbeeld 62.2 komt erop terug).

35.2 Uitslagen

Definitie 35.3 (Uitslag)

Een uitslag van een lichaam is een vlakke tekening van al zijn zijvlakken, aan elkaar vast langs de ribben, die je tot het lichaam kunt opvouwen — het lichaam uitgevouwen, zoals een kartonnen doos die je plat maakt voor het oud papier.

Drie manieren om zes vierkanten neer te leggen. De eerste twee vouwen tot een kubus; de derde niet — bij het vouwen landen twee vierkanten op hetzelfde zijvlak en blijft de kubus open. Knip ze uit en probeer het!

Voorbeeld 35.4 (Een uitslag lezen)

Op een dobbelsteen maken de zijvlakken die tegenover elkaar liggen samen $7$ . Op een uitslag zijn dat de zijvlakken die precies één vierkant van elkaar liggen in een rij (of om een hoek) — niet de buren! De paren op de uitslag markeren voordat je vouwt, is een prachtige oefening in plat naar ruimte kijken.

35.3 Volume: kubusjes tellen

Definitie 35.5 (Volume door te tellen)

Het volume van een lichaam dat uit eenheidskubusjes is opgebouwd, is het aantal kubusjes dat het bevat. De eenheid kan de kubieke centimeter (cm $^3$ ) of de kubieke meter (m $^3$ ) zijn.

Voorbeeld 35.6 (Een balk laag voor laag tellen)

Een balk van $4$ kubusjes lang, $3$ breed en $2$ hoog: de onderste laag bevat $4 \times 3 = 12$ kubusjes, en er zijn $2$ lagen:

12 \times 2 = 24 \text{ kubusjes} .

Per laag tellen werkt altijd — en het bewijst in stilte de formule $V = l \times b \times h$ van Hoofdstuk 43.

Een balk van 4 × 3 × 2 eenheidskubusjes, laag voor laag geteld. — Een balk van $4 \times 3 \times 2$ eenheidskubusjes, laag voor laag geteld.

Voorbeeld 35.7 (Dezelfde kubusjes, andere vormen)

Met acht eenheidskubusjes kun je een kubus van $2 \times 2 \times 2$ bouwen, een staaf van $8 \times 1 \times 1$ of een plaat van $4 \times 2 \times 1$ : drie verschillende lichamen, één volume ( $8$ kubusjes). Het volume telt het materiaal, niet de vorm.

35.4 Oefeningen

Oefening 35.1 ★

Noem een echt voorwerp met de vorm van: een kubus; een balk; een cilinder; een bol; een piramide.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.1.

Bijvoorbeeld: een dobbelsteen (kubus); een pak ontbijtgranen (balk); een blikje (cilinder); een voetbal (bol); bepaalde daken of de monumenten van Egypte (piramide).

Oefening 35.2 ★

Hoeveel zijvlakken, ribben en hoekpunten heeft een balk? Controleer het patroon zijvlakken $+$ hoekpunten $=$ ribben $+ 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.2.

Een balk heeft $6$ zijvlakken, $12$ ribben en $8$ hoekpunten — en $6 + 8 = 12 + 2$ . ✓

Oefening 35.3 ★

Welke zijvlakken van een balk zijn identiek? (Zet de zes zijvlakken in paren.) Wat is er bijzonder aan de zijvlakken van de kubus?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.3.

De zes zijvlakken vormen drie paren van identieke zijvlakken die tegenover elkaar liggen (boven–onder, voor–achter, links–rechts). Bij een kubus zijn alle zes de zijvlakken identieke vierkanten.

Oefening 35.4 ★

Teken een uitslag van een kubus met zijde $2$ cm (gebruik het kruismodel uit dit hoofdstuk), knip hem uit en vouw hem op.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.4.

Kruisvormige uitslag: vier vierkanten van $2$ cm op een rij, met één vierkant boven en één onder het tweede. Als je de ring van vier omvouwt, krijg je de zijkanten; de twee extra vierkanten sluiten boven- en onderkant.

Oefening 35.5 ★

Zet op de kruisvormige uitslag van een dobbelsteen de getallen $1$ tot $6$ zo neer dat zijvlakken die tegenover elkaar liggen samen $7$ maken. (Zoek met Voorbeeld 35.4 eerst de paren.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.5.

Op de kruisuitslag (vier vierkanten op een rij, één boven en één onder het tweede) liggen tegenover elkaar: het $1$ ste en het $3$ de vierkant van de rij; het $2$ de en het $4$ de vierkant van de rij; en het bovenste met het onderste vierkant. Eén goede belettering: de rij $= 1, 2, 6, 5$ ; boven $= 3$ ; onder $= 4$ — dan maken $1{+}6$ , $2{+}5$ en $3{+}4$ allemaal $7$ .

Oefening 35.6 ★

Tel de eenheidskubusjes: een balk van $5$ lang, $2$ breed en $3$ hoog; een kubus met zijde $3$ ; een L-vormige stapel van een plaat $3 \times 2 \times 1$ met daarop een plaat $1 \times 2 \times 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.6.

Balk: $5 \times 2 = 10$ per laag, $3$ lagen: $30$ kubusjes. Kubus: $3 \times 3 \times 3 = 27$ . L-stapel: $3 \times 2 \times 1 = 6$ plus $1 \times 2 \times 1 = 2$ : $8$ kubusjes.

Oefening 35.7 ★

In één laag van een balk passen precies $12$ eenheidskubusjes. Geef twee mogelijke vormen voor die laag ( $l \times b$ ), en bij elk het volume van de balk als hij $3$ zulke lagen heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.7.

Lagen van $12$ : bijvoorbeeld $4 \times 3$ of $6 \times 2$ (of $12 \times 1$ ). Met $3$ lagen is het volume in elk geval $12 \times 3 = 36$ kubusjes.

Oefening 35.8 ★

Welke kubus kun je met $27$ eenheidskubusjes bouwen? En met $64$ ? (Denk aan het tellen per laag, achterstevoren.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.8.

$27 = 3 \times 3 \times 3$ : een kubus met zijde $3$ . $64 = 4 \times 4 \times 4$ : een kubus met zijde $4$ .

Oefening 35.9 ★★

Suikerklontjes met zijde $1$ cm zitten in een doos van $10$ cm lang, $5$ cm breed en $4$ cm hoog (binnenmaten). Hoeveel klontjes passen erin? Als een gezin er $6$ per dag gebruikt, hoeveel dagen doet één doos dan (rond zinnig af)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.9.

In de doos passen $10 \times 5 \times 4 = 200$ suikerklontjes. Bij $6$ per dag: $200 = 6 \times 33 + 2$ , dus doet de doos $33$ volle dagen (en blijven er $2$ klontjes over voor de ochtend van dag $34$ ).

Oefening 35.10 ★★

Een kubus van $3 \times 3 \times 3$ wordt aan de buitenkant rood geverfd en daarna in $27$ eenheidskubusjes gezaagd. Hoeveel kleine kubusjes hebben verf op precies $3$ zijvlakken? Op $2$ ? Op $1$ ? Op geen enkel? (Controle: de vier aantallen moeten samen $27$ zijn.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.10.

Verf op $3$ zijvlakken: de $8$ hoekkubusjes. Op $2$ zijvlakken: de middens van de $12$ ribben, dus $12$ kubusjes. Op $1$ zijvlak: de middens van de $6$ zijvlakken, dus $6$ kubusjes. Op geen enkel: het ene verborgen kubusje in het midden, dus $1$ . Controle: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ . ✓

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst