Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

15Addition et soustraction

Ajouter, c’est mettre ensemble ; soustraire, c’est enlever, ou trouver ce qui manque. Ce chapitre entraîne les deux techniques en colonnes — avec leurs célèbres retenues et emprunts — et les astuces mentales qui rendent souvent les colonnes inutiles.

15.1 Addition en colonnes

Méthode 15.1 (Additionner en colonnes)

Écrire les nombres l’un sous l’autre, unités sous unités, dizaines sous dizaines (aligner à droite) ;
additionner les unités ; si la somme dépasse $9$ , écrire son chiffre des unités et retenir la dizaine pour la colonne suivante (un petit $1$ ) ;
continuer avec les dizaines, les centaines, …, en ajoutant la retenue à chaque fois.

Exemple 15.2

Calculer $457 + 368$ :

\begin{array}{r} {\scriptstyle 1}\ \ {\scriptstyle 1}\ \ \phantom{0} \\[-3pt] 4\,5\,7 \\ +\ 3\,6\,8 \\ \hline 8\,2\,5 \end{array}

Unités : $7 + 8 = 15$ : écrire $5$ , retenir $1$ . Dizaines : $5 + 6 + 1 = 12$ : écrire $2$ , retenir $1$ . Centaines : $4 + 3 + 1 = 8$ . Résultat : $825$ .

Exemple 15.3 (Addition mentale)

Chercher des nombres amis avant de se jeter sur les colonnes :

faire une dizaine : $47 + 8 = 47 + 3 + 5 = 50 + 5 = 55$ ;
sauter par parties : $256 + 130 = 256 + 100 + 30 = 386$ ;
réordonner : $17 + 59 + 3 = (17 + 3) + 59 = 79$ .

L’addition mentale comme sauts sur la droite numérique : 256 + 130 en deux bonds, d’abord les centaines, puis les dizaines. — L’addition mentale comme sauts sur la droite numérique : $256 + 130$ en deux bonds, d’abord les centaines, puis les dizaines.

15.2 Soustraction en colonnes

Méthode 15.4 (Soustraire en colonnes)

Écrire le plus grand nombre en haut, aligné à droite ;
soustraire colonne par colonne, en partant des unités ;
si le chiffre du haut est trop petit, emprunter : prendre un à la place suivante sur la ligne du haut (il vaut dix dans la colonne en cours) ;
vérifier : le résultat plus le nombre soustrait doit redonner le nombre du haut.

Exemple 15.5

Calculer $603 - 147$ :

\begin{array}{r} 6\,0\,3 \\ -\ 1\,4\,7 \\ \hline 4\,5\,6 \end{array}

Unités : $3 - 7$ impossible ; emprunter à travers : $603$ devient $5$ centaines, $9$ dizaines, $13$ unités. Puis $13 - 7 = 6$ ; dizaines $9 - 4 = 5$ ; centaines $5 - 1 = 4$ . Résultat : $456$ . Vérification : $456 + 147 = 603$ .

L’emprunt de 603 - 147 en images : une centaine est déliée en dix dizaines, et une de ces dizaines en dix unités. Même quantité, nouveaux habits — 6\, \,0\, \,3 devient 5\, \,9\, \,13, et chaque colonne peut maintenant soustraire. — L’emprunt de $603 - 147$ en images : une centaine est déliée en dix dizaines, et une de ces dizaines en dix unités. Même quantité, nouveaux habits — $6\,\vert\,0\,\vert\,3$ devient $5\,\vert\,9\,\vert\,13$ , et chaque colonne peut maintenant soustraire.

Exemple 15.6 (La soustraction comme partie manquante)

« Lila a $35$ billes, Tom en a $52$ : combien de plus a Tom ? » est la soustraction $52 - 35$ . De tête, compter en montant à partir de $35$ : $35 \to 40$ c’est $5$ , puis $40 \to 52$ c’est $12$ ; en tout $5 + 12 = 17$ . Compter en montant est souvent plus facile qu’emprunter.

Calculer 52 - 35 en comptant en montant : d’abord jusqu’au 40 ami, puis jusqu’à 52. La réponse est le total des sauts : 5 + 12 = 17. — Calculer $52 - 35$ en comptant en montant : d’abord jusqu’au $40$ ami, puis jusqu’à $52$ . La réponse est le total des sauts : $5 + 12 = 17$ .

15.3 Ordres de grandeur

Méthode 15.7 (Estimer avant de calculer)

Avant tout calcul en colonnes, arrondir les nombres à des valeurs amicales et calculer une estimation. Après le calcul, comparer : un résultat loin de l’estimation signale une erreur.

Exemple 15.8

Pour $487 + 312$ : l’estimation est $500 + 300 = 800$ . Le résultat en colonnes, $799$ , est proche : plausible. Si l’on avait trouvé $1\,099$ (un alignement raté), l’estimation aurait avertie.

15.4 Exercices

Exercice 15.1 ★

Calcule en colonnes : $346 + 253$ ; $478 + 265$ ; $1\,536 + 2\,876$ .

Solution

Solution de Exercice 15.1.

$346 + 253 = 599$ ; $478 + 265 = 743$ ; $1\,536 + 2\,876 = 4\,412$ .

Exercice 15.2 ★

Calcule en colonnes, puis vérifie par une addition : $587 - 234$ ; $805 - 348$ ; $1\,000 - 463$ .

Solution

Solution de Exercice 15.2.

$587 - 234 = 353$ (vérification : $353 + 234 = 587$ ).

$805 - 348 = 457$ (vérification : $457 + 348 = 805$ ).

$1\,000 - 463 = 537$ (vérification : $537 + 463 = 1\,000$ ).

Exercice 15.3 ★

Calcule de tête en faisant des dizaines : $38 + 7$ ; $56 + 9$ ; $45 + 28$ (ajoute $30$ , enlève $2$ ).

Solution

Solution de Exercice 15.3.

$38 + 7 = 38 + 2 + 5 = 45$ ; $56 + 9 = 56 + 4 + 5 = 65$ ; $45 + 28 = 45 + 30 - 2 = 73$ .

Exercice 15.4 ★

Calcule de tête par sauts : $340 + 220$ ; $675 + 210$ ; $512 - 300$ ; $840 - 220$ .

Solution

Solution de Exercice 15.4.

$340 + 220 = 560$ ; $675 + 210 = 885$ ; $512 - 300 = 212$ ; $840 - 220 = 620$ .

Exercice 15.5 ★

Calcule $63 - 47$ en comptant en montant (comme dans Exemple 15.6), puis vérifie en colonnes.

Solution

Solution de Exercice 15.5.

De $47$ à $50$ : $3$ ; de $50$ à $63$ : $13$ ; total $3 + 13 = 16$ . Les colonnes confirment : $63 - 47 = 16$ .

Exercice 15.6 ★

Estime d’abord (arrondis aux centaines), puis calcule exactement : $492 + 218$ ; $913 - 388$ .

Solution

Solution de Exercice 15.6.

$492 + 218$ : estimation $500 + 200 = 700$ ; exactement $710$ .

$913 - 388$ : estimation $900 - 400 = 500$ ; exactement $525$ .

Exercice 15.7 ★

Une école a $348$ filles et $296$ garçons. Combien d’élèves en tout ? Écris l’opération, calcule, et réponds par une phrase.

Solution

Solution de Exercice 15.7.

$348 + 296 = 644$ . L’école a $644$ élèves.

Exercice 15.8 ★

Un livre a $224$ pages ; Nora en a lu $178$ . Combien de pages restent à lire ?

Solution

Solution de Exercice 15.8.

$224 - 178 = 46$ . Nora a encore $46$ pages à lire.

Exercice 15.9 ★

Complète les trous (travaille colonne par colonne) :

\begin{array}{r} 3\,?\,7 \\ +\ ?\,2\,? \\ \hline 8\,6\,2 \end{array}

Y a-t-il une seule façon de remplir les trois trous ? Explique.

Solution

Solution de Exercice 15.9.

Unités : $7 + \text{?} = 2$ est impossible, donc $7 + 5 = 12$ : le trou des unités est $5$ , retenue $1$ . Dizaines : $\text{?} + 2 + 1 = 6$ : le trou des dizaines est $3$ (pas de retenue). Centaines : $3 + \text{?} = 8$ : le trou des centaines est $5$ . Donc $337 + 525 = 862$ , et chaque trou n’avait qu’un seul chiffre possible — il n’y a qu’une seule façon.

Exercice 15.10 ★★

Une boulangerie a vendu $145$ croissants le matin et $89$ l’après-midi ; $17$ croissants restaient invendus à la fermeture. Combien de croissants ont été cuits ce jour-là ? (Deux étapes.)

Solution

Solution de Exercice 15.10.

Vendus : $145 + 89 = 234$ croissants. Cuits : vendus plus invendus, $234 + 17 = 251$ croissants.

Exercice 15.11 ★★

Théo dit : « pour calculer $500 - 199$ , je calcule $500 - 200$ puis j’ajoute $1$ . » A-t-il raison ? Calcule des deux façons, et explique son astuce.

Solution

Solution de Exercice 15.11.

Il a raison : $500 - 200 = 300$ , plus $1$ donne $301$ ; en colonnes, $500 - 199 = 301$ aussi. Enlever $200$ enlève un de trop, donc il faut en rendre un — soustraire un voisin ami et corriger est souvent plus rapide qu’emprunter.