Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

70Solides et volumes

La géométrie de l’espace commence par une petite famille de solides — prismes, cylindres, pyramides, cônes, sphères — et deux questions : combien contiennent-ils (volume), et que voit-on lorsqu’on les coupe (sections) ? Le chapitre se clôt sur un fait d’une grande importance pratique : homothétier un solide par $k$ multiplie son volume par $k^3$ .

70.1 Les solides classiques et leurs volumes

Théorème 70.1 (Formules de volume)

Noter $B$ l’aire de la base et $h$ la hauteur (la distance entre la base et la face ou le sommet opposé).

solide	volume
prisme, cylindre	$V = B \times h$
[5pt] pyramide, cône	$V = \dfrac13\, B \times h$
[5pt] sphère de rayon $r$	$V = \dfrac43\,\pi r^3$

Pour un cylindre et un cône de rayon $r$ , l’aire de base est $B = \pi r^2$ ; l’aire de surface de la sphère est $4\pi r^2$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Les solides de ce chapitre. Pour chacun, le volume fait intervenir une aire de base et une hauteur — sauf la sphère, qui n’a besoin que de son rayon.

Exemple 70.2

Une boîte de conserve cylindrique a pour rayon $4$ cm et pour hauteur $10$ cm :

V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3 \approx 0.5 \text{ L}.

Un cône de même base et même hauteur contient le tiers de cela : $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm $^3$ . Une sphère de rayon $4$ cm : $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm $^3$ .

Exemple 70.3 (Une pyramide étape par étape)

Une pyramide a une base carrée de côté $6$ m et une hauteur de $5$ m.

Aire de base : $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
Volume : $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Attention aux unités : si le côté était donné en cm et la hauteur en m, il faudrait convertir l’un d’eux d’abord.

70.2 Sections par des plans

Proposition 70.4 (Sections des solides classiques)

Couper un solide par un plan produit une figure plane, sa section :

un prisme ou un cylindre coupé parallèlement à sa base donne une copie de la base, à toute hauteur ;
une pyramide ou un cône coupé parallèlement à sa base donne une réduction de la base : à distance $d$ du sommet, le facteur d’échelle est $k = \frac{d}{h}$ ;
une sphère de rayon $r$ coupée par un plan à distance $d < r$ du centre donne un cercle de rayon $\sqrt{r^2 - d^2}$ (par le théorème de Pythagore).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Gauche : couper un cône parallèlement à sa base à distance d du sommet donne un disque réduit par k = dh. Droite : un plan à distance d du centre d’une sphère la coupe en un cercle de rayon √r2 - d2. — Gauche : couper un cône parallèlement à sa base à distance $d$ du sommet donne un disque réduit par $k = \frac dh$ . Droite : un plan à distance $d$ du centre d’une sphère la coupe en un cercle de rayon $\sqrt{r^2 - d^2}$ .

Exemple 70.5

Un cône a pour rayon de base $6$ et pour hauteur $9$ . La section par un plan parallèle à la base, à distance $3$ du sommet, est un disque réduit par $k = \frac39 = \frac13$ : son rayon est $6 \times \frac13 = 2$ .

Une sphère de rayon $5$ est coupée par un plan à distance $3$ de son centre : la section est un cercle de rayon $\sqrt{25 - 9} = 4$ .

70.3 Homothétie des solides

Théorème 70.6 (Effet d’une homothétie sur longueurs, aires, volumes)

Lorsqu’un solide est agrandi ou réduit par le facteur d’échelle $k > 0$ :

toutes les longueurs sont multipliées par $k$ ;
toutes les aires sont multipliées par $k^2$ ;
tous les volumes sont multipliés par $k^3$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 70.7

Une voiture miniature à l’échelle $\frac{1}{18}$ : les longueurs sont celles de la voiture réelle multipliées par $k = \frac{1}{18}$ , la surface peinte multipliée par $k^2 = \frac{1}{324}$ , et le volume par $k^3 = \frac{1}{5832}$ .

Doubler le rayon d’une sphère ( $k = 2$ ) multiplie son volume par $2^3 = 8$ : vérifier sur la formule, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$ .

Exemple 70.8 (Tronc de cône)

Un cône de hauteur $9$ et de rayon de base $6$ (volume $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$ ) est coupé à distance $3$ du sommet, et le petit cône au-dessus de la coupe est enlevé. Le petit cône est la réduction par $k = \frac13$ , donc son volume est $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$ . Le solide restant (un tronc de cône) a pour volume $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$ .

70.4 Exercices

Exercice 70.1 ★

Calculer les volumes : un pavé (prisme rectangulaire) de dimensions $4 \times 5 \times 12$ ; un cylindre de rayon $3$ et de hauteur $7$ (valeur exacte avec $\pi$ , puis arrondie à l’unité).

Solution

Solution de Exercice 70.1.

Pavé : $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$ .

Cylindre : $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$ .

Exercice 70.2 ★

Calculer le volume d’un cône de rayon $5$ et de hauteur $12$ , et d’une pyramide de base rectangulaire $8 \times 3$ et de hauteur $10$ .

Solution

Solution de Exercice 70.2.

Cône : $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ .

Pyramide : aire de base $B = 8 \times 3 = 24$ , donc $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$ .

Exercice 70.3 ★

Calculer le volume et l’aire de surface d’une sphère de rayon $6$ (valeurs exactes avec $\pi$ ).

Solution

Solution de Exercice 70.3.

Volume : $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$ .

Aire de surface : $4\pi \times 6^2 = 144\pi$ .

Exercice 70.4 ★

Une sphère de rayon $10$ est coupée par un plan à distance $8$ de son centre. Quel est le rayon du cercle de section ?

Solution

Solution de Exercice 70.4.

Rayon de la section : $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ .

Exercice 70.5 ★★

Un cône a pour rayon de base $8$ et pour hauteur $12$ . Un plan parallèle à la base le coupe à distance $9$ du sommet. Calculer le rayon de la section, puis le volume du petit cône au-dessus de la coupe.

Solution

Solution de Exercice 70.5.

Facteur d’échelle du cône entier vers le petit : $k = \frac{9}{12} = \frac34$ . Rayon de section : $8 \times \frac34 = 6$ .

Volume du cône entier : $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$ . Volume du petit cône : $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 = 256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$ .

Exercice 70.6 ★★

Un verre cylindrique de rayon intérieur $3$ cm contient de l’eau jusqu’à une hauteur de $10$ cm. Une bille de rayon $2$ cm y est entièrement immergée. De combien le niveau d’eau monte-t-il ? (Le volume ajouté se répartit sur l’aire de base du verre ; donner la montée exacte, puis arrondir au millimètre.)

Solution

Solution de Exercice 70.6.

Volume de la bille : $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm $^3$ . Ce volume se répartit sur l’aire de base $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm $^2$ , donc le niveau monte de

\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}

(environ $12$ mm).

Exercice 70.7 ★★

Une recette remplit un moule sphérique de rayon $6$ cm. On ne dispose que d’un moule sphérique de rayon $3$ cm. Combien de petits moules peut-on remplir ? (Répondre sans calculer explicitement ni l’un ni l’autre volume.)

Solution

Solution de Exercice 70.7.

Le petit moule est la réduction du grand par $k = \frac36 = \frac12$ , donc son volume est $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ du grand : la recette remplit $8$ petits moules.

Exercice 70.8 ★★

La Grande Pyramide de Gizeh a une base carrée de côté environ $230$ m et une hauteur d’environ $147$ m. Estimer son volume, et l’exprimer en millions de mètres cubes.

Solution

Solution de Exercice 70.8.

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147 = 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m $^3$ — environ $2.6$ millions de mètres cubes.

Exercice 70.9 ★★★

Un entonnoir en forme de cône de rayon $6$ cm et de hauteur $12$ cm, sommet en bas, est rempli d’eau jusqu’à la moitié de sa hauteur (mesurée depuis le sommet).

Quelle fraction du volume de l’entonnoir est remplie ?
Si au contraire on le remplit de la moitié de son volume d’eau, montrer que la hauteur d’eau $d$ satisfait $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ , et donner $d$ au millimètre près ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

Solution

Solution de Exercice 70.9.

1. L’eau forme un cône réduit par $k = \frac12$ (sommet en bas, moitié de la hauteur), donc son volume est $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ de celui de l’entonnoir : un huitième, bien moins que la moitié !

2. L’eau jusqu’à la hauteur $d$ forme un cône réduit par $k = \frac{d}{12}$ , de volume $k^3$ fois celui de l’entonnoir. La moitié du volume signifie $k^3 = \frac12$ , c’est-à-dire $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ . Puis $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ , donc $d \approx 9.5$ cm : la seconde moitié du volume n’occupe que les $2.5$ cm du haut — la partie large du cône contient la plupart de l’eau.