Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

70Solides et volumes

La géométrie de l’espace commence par une petite famille de solides — prismes, cylindres, pyramides, cônes, sphères — et deux questions : combien contiennent-ils (volume), et que voit-on lorsqu’on les coupe (sections) ? Le chapitre se clôt sur un fait d’une grande importance pratique : homothétier un solide par $k$ multiplie son volume par $k^3$ .

70.1 Les solides classiques et leurs volumes

Théorème 70.1 (Formules de volume)

Noter $B$ l’aire de la base et $h$ la hauteur (la distance entre la base et la face ou le sommet opposé).

solide	volume
prisme, cylindre	$V = B \times h$
[5pt] pyramide, cône	$V = \dfrac13\, B \times h$
[5pt] sphère de rayon $r$	$V = \dfrac43\,\pi r^3$

Pour un cylindre et un cône de rayon $r$ , l’aire de base est $B = \pi r^2$ ; l’aire de surface de la sphère est $4\pi r^2$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Les solides de ce chapitre. Pour chacun, le volume fait intervenir une aire de base et une hauteur — sauf la sphère, qui n’a besoin que de son rayon.

Exemple 70.2

Une boîte de conserve cylindrique a pour rayon $4$ cm et pour hauteur $10$ cm :

V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3 \approx 0.5 \text{ L}.

Un cône de même base et même hauteur contient le tiers de cela : $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm $^3$ . Une sphère de rayon $4$ cm : $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm $^3$ .

Exemple 70.3 (Une pyramide étape par étape)

Une pyramide a une base carrée de côté $6$ m et une hauteur de $5$ m.

Aire de base : $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
Volume : $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Attention aux unités : si le côté était donné en cm et la hauteur en m, il faudrait convertir l’un d’eux d’abord.

70.2 Sections par des plans

Proposition 70.4 (Sections des solides classiques)

Couper un solide par un plan produit une figure plane, sa section :

un prisme ou un cylindre coupé parallèlement à sa base donne une copie de la base, à toute hauteur ;
une pyramide ou un cône coupé parallèlement à sa base donne une réduction de la base : à distance $d$ du sommet, le facteur d’échelle est $k = \frac{d}{h}$ ;
une sphère de rayon $r$ coupée par un plan à distance $d < r$ du centre donne un cercle de rayon $\sqrt{r^2 - d^2}$ (par le théorème de Pythagore).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Gauche : couper un cône parallèlement à sa base à distance d du sommet donne un disque réduit par k = dh. Droite : un plan à distance d du centre d’une sphère la coupe en un cercle de rayon √r2 - d2. — Gauche : couper un cône parallèlement à sa base à distance $d$ du sommet donne un disque réduit par $k = \frac dh$ . Droite : un plan à distance $d$ du centre d’une sphère la coupe en un cercle de rayon $\sqrt{r^2 - d^2}$ .

Exemple 70.5

Un cône a pour rayon de base $6$ et pour hauteur $9$ . La section par un plan parallèle à la base, à distance $3$ du sommet, est un disque réduit par $k = \frac39 = \frac13$ : son rayon est $6 \times \frac13 = 2$ .

Une sphère de rayon $5$ est coupée par un plan à distance $3$ de son centre : la section est un cercle de rayon $\sqrt{25 - 9} = 4$ .

70.3 Homothétie des solides

Théorème 70.6 (Effet d’une homothétie sur longueurs, aires, volumes)

Lorsqu’un solide est agrandi ou réduit par le facteur d’échelle $k > 0$ :

toutes les longueurs sont multipliées par $k$ ;
toutes les aires sont multipliées par $k^2$ ;
tous les volumes sont multipliés par $k^3$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 70.7

Une voiture miniature à l’échelle $\frac{1}{18}$ : les longueurs sont celles de la voiture réelle multipliées par $k = \frac{1}{18}$ , la surface peinte multipliée par $k^2 = \frac{1}{324}$ , et le volume par $k^3 = \frac{1}{5832}$ .

Doubler le rayon d’une sphère ( $k = 2$ ) multiplie son volume par $2^3 = 8$ : vérifier sur la formule, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$ .

Exemple 70.8 (Tronc de cône)

Un cône de hauteur $9$ et de rayon de base $6$ (volume $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$ ) est coupé à distance $3$ du sommet, et le petit cône au-dessus de la coupe est enlevé. Le petit cône est la réduction par $k = \frac13$ , donc son volume est $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$ . Le solide restant (un tronc de cône) a pour volume $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$ .

70.4 Exercices

Exercice 70.1 ★

Calculer les volumes : un pavé (prisme rectangulaire) de dimensions $4 \times 5 \times 12$ ; un cylindre de rayon $3$ et de hauteur $7$ (valeur exacte avec $\pi$ , puis arrondie à l’unité).

Solution

Solution de Exercice 70.1.

Pavé : $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$ .

Cylindre : $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$ .

Exercice 70.2 ★

Calculer le volume d’un cône de rayon $5$ et de hauteur $12$ , et d’une pyramide de base rectangulaire $8 \times 3$ et de hauteur $10$ .

Solution

Solution de Exercice 70.2.

Cône : $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ .

Pyramide : aire de base $B = 8 \times 3 = 24$ , donc $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$ .

Exercice 70.3 ★

Calculer le volume et l’aire de surface d’une sphère de rayon $6$ (valeurs exactes avec $\pi$ ).

Solution

Solution de Exercice 70.3.

Volume : $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$ .

Aire de surface : $4\pi \times 6^2 = 144\pi$ .

Exercice 70.4 ★

Une sphère de rayon $10$ est coupée par un plan à distance $8$ de son centre. Quel est le rayon du cercle de section ?

Solution

Solution de Exercice 70.4.

Rayon de la section : $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ .

Exercice 70.5 ★★

Un cône a pour rayon de base $8$ et pour hauteur $12$ . Un plan parallèle à la base le coupe à distance $9$ du sommet. Calculer le rayon de la section, puis le volume du petit cône au-dessus de la coupe.

Solution

Solution de Exercice 70.5.

Facteur d’échelle du cône entier vers le petit : $k = \frac{9}{12} = \frac34$ . Rayon de section : $8 \times \frac34 = 6$ .

Volume du cône entier : $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$ . Volume du petit cône : $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 = 256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$ .

Exercice 70.6 ★★

Un verre cylindrique de rayon intérieur $3$ cm contient de l’eau jusqu’à une hauteur de $10$ cm. Une bille de rayon $2$ cm y est entièrement immergée. De combien le niveau d’eau monte-t-il ? (Le volume ajouté se répartit sur l’aire de base du verre ; donner la montée exacte, puis arrondir au millimètre.)

Solution

Solution de Exercice 70.6.

Volume de la bille : $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm $^3$ . Ce volume se répartit sur l’aire de base $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm $^2$ , donc le niveau monte de

\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}

(environ $12$ mm).

Exercice 70.7 ★★

Une recette remplit un moule sphérique de rayon $6$ cm. On ne dispose que d’un moule sphérique de rayon $3$ cm. Combien de petits moules peut-on remplir ? (Répondre sans calculer explicitement ni l’un ni l’autre volume.)

Solution

Solution de Exercice 70.7.

Le petit moule est la réduction du grand par $k = \frac36 = \frac12$ , donc son volume est $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ du grand : la recette remplit $8$ petits moules.

Exercice 70.8 ★★

La Grande Pyramide de Gizeh a une base carrée de côté environ $230$ m et une hauteur d’environ $147$ m. Estimer son volume, et l’exprimer en millions de mètres cubes.

Solution

Solution de Exercice 70.8.

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147 = 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m $^3$ — environ $2.6$ millions de mètres cubes.

Exercice 70.9 ★★★

Un entonnoir en forme de cône de rayon $6$ cm et de hauteur $12$ cm, sommet en bas, est rempli d’eau jusqu’à la moitié de sa hauteur (mesurée depuis le sommet).

Quelle fraction du volume de l’entonnoir est remplie ?
Si au contraire on le remplit de la moitié de son volume d’eau, montrer que la hauteur d’eau $d$ satisfait $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ , et donner $d$ au millimètre près ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

Solution

Solution de Exercice 70.9.

1. L’eau forme un cône réduit par $k = \frac12$ (sommet en bas, moitié de la hauteur), donc son volume est $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ de celui de l’entonnoir : un huitième, bien moins que la moitié !

2. L’eau jusqu’à la hauteur $d$ forme un cône réduit par $k = \frac{d}{12}$ , de volume $k^3$ fois celui de l’entonnoir. La moitié du volume signifie $k^3 = \frac12$ , c’est-à-dire $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ . Puis $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ , donc $d \approx 9.5$ cm : la seconde moitié du volume n’occupe que les $2.5$ cm du haut — la partie large du cône contient la plupart de l’eau.

70.5 Problème : la pierre tombale d’Archimède

Problème 70.1

Devoir maison — la sphère vaut les deux tiers de son cylindre (deux fois plutôt qu’une), l’empilement 1:2:3, et la loi du carré-cube qui interdit les géants

Archimède a démontré bien des théorèmes, mais l’un d’eux le rendit si fier qu’il demanda que sa figure fût gravée sur son tombeau : une sphère nichée dans son cylindre le plus juste. Un siècle plus tard, l’écrivain romain Cicéron, fouillant les ronces près de Syracuse, reconnut la tombe « à la sphère et au cylindre ». Ce problème retrouve ce que la gravure encode — un double miracle des deux tiers — puis suit volumes et surfaces (Théorème 70.1, Théorème 70.6) jusqu’à une loi qui gouverne les géants, les fourmis et le refroidissement des planètes.

Partie I — La gravure décodée. Une sphère de rayon $r$ tient exactement dans un cylindre : même rayon, hauteur $2r$ .

Calculer le volume du cylindre en fonction de $r$ .
Calculer le rapport du volume de la sphère à celui du cylindre. Pourquoi Archimède a-t-il pu se réjouir que la réponse ne contienne ni $\pi$ ni $r$ ?
Passons aux surfaces : comparer l’aire de la sphère à l’aire totale du cylindre (partie latérale plus les deux disques). Quel rapport apparaît — encore une fois ?
L’espace vide entre la sphère et le cylindre a pour volume $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Montrer que ce reste vaut exactement le volume de deux cônes de rayon $r$ et de hauteur $r$ .
Un ballon de basket de rayon $12$ cm est vendu dans la boîte cylindrique la plus juste. Calculer les deux volumes (à $100$ cm $^3$ près) et le pourcentage de la boîte qui reste vide.

Partie II — Bols, moules et lunes.

Un bol hémisphérique a un rayon de $10$ cm. Calculer sa contenance, en cm $^3$ puis en litres (au décilitre près).
L’empilement 1:2:3 : un cône, une demi-boule et un cylindre, tous de rayon $10$ cm et de hauteur $10$ cm. Calculer les trois volumes et vérifier la légendaire proportion $1 : 2 : 3$ . (Archimède aurait apprécié celle-ci aussi.)
Une sphère de chocolat de rayon $3$ cm est fondue dans un moule cylindrique de rayon $3$ cm. Quelle hauteur le chocolat atteint-il ? (Fraction exacte, puis au millimètre près.)
Le rayon de la Terre vaut environ $6\,371$ km, celui de la Lune environ $1\,737$ km. Calculer le rapport des rayons, puis — avec Théorème 70.6 — le rapport des volumes : combien de Lunes tiendraient dans une Terre creuse, en volume ?
D’après le même théorème : quel est le rapport Terre–Lune des aires ? Et en général, lorsque le rayon d’un ballon double, qu’arrive-t-il à son volume et à sa surface ? Énoncer la loi du carré-cube : quand une forme grandit, les volumes distancent les surfaces.

Partie III — La loi du carré-cube gouverne le monde.

L’argument de Galilée contre les géants : imaginer un être humain agrandi d’un facteur $10$ , toutes proportions conservées. Par quel facteur son poids est-il multiplié (le poids suit le volume) ? Par quel facteur la section de ses os est-elle multipliée (c’est une aire) ? Par quel facteur, dès lors, la pression sur chaque centimètre carré d’os est-elle multipliée — et qu’advient-il du géant ?
La même loi, à l’envers, explique les exploits des fourmis : la force suit la section des muscles (une aire), le poids suit le volume. Pour un animal $100$ fois plus petit dans toutes les directions, par quels facteurs le poids et la force sont-ils divisés, et par quel facteur le rapport force sur poids s’améliore-t-il ?
La chaleur est produite par le volume du corps et perdue par sa surface. Montrer que, pour une sphère, le rapport surface sur volume vaut $\frac{3}{r}$ , et le calculer pour $r = 1$ puis $r = 2$ . Qui refroidit le plus vite, une souris ou un ours — et pourquoi les bébés ont-ils besoin d’un bonnet en hiver ?
Deux oranges sphériques, de rayons $4$ cm et $5$ cm, sont vendues au même prix. Calculer le rapport de leurs volumes : combien d’orange en plus la grosse donne-t-elle pour le même argent ?
Bouquet final : décrire précisément ce que la figure de la pierre tombale encode — les deux « deux tiers » des questions 2 et 3 — et répondre à Cicéron en une phrase : pourquoi un mathématicien choisirait-il, plutôt que toutes les conquêtes de son génie d’ingénieur, une sphère dans un cylindre ?

Solution

Solution de Problème 70.1.

1. $V_{\text{cyl}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ .

2. $\dfrac{V_{\text{sphère}}}{V_{\text{cyl}}} = \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$ . Le $\pi$ et le $r^3$ se simplifient : la proportion est universelle — vraie pour une bille comme pour une planète. Une relation entre formes, et non entre nombres : exactement le genre de vérité qui mérite d’être gravée dans la pierre.

3. Sphère : $4\pi r^2$ . Cylindre : latérale $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$ , plus les deux disques $2 \times \pi r^2$ : total $6\pi r^2$ . Rapport : $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — les mêmes deux tiers, pour les surfaces. (Et une prime : l’aire de la sphère est exactement égale à l’aire latérale du cylindre.)

4. Reste : $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$ . Deux cônes de rayon $r$ et de hauteur $r$ : $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$ . Égalité.

5. Ballon : $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm $^3$ ; boîte : $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm $^3$ . Vide : le tiers de la boîte, environ $33\,\%$ — garanti par la question 2, quelle que soit la taille du ballon.

6. Une demi-sphère : $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times 1\,000 \approx 2\,094$ cm $^3 \approx 2.1$ L.

7. Cône : $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 = \frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm $^3$ . Demi-boule : $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm $^3$ . Cylindre : $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm $^3$ . Rapports : $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3} = 1 : 2 : 3$ exactement.

8. $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ donne $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm exactement.

9. Rayons : $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$ . Les volumes suivent le cube (Théorème 70.6) : $3.67^3 \approx 49$ . Une cinquantaine de Lunes tiennent dans la Terre.

10. Les surfaces suivent le carré : $3.67^2 \approx 13.5$ . Doubler le rayon d’un ballon multiplie son volume par $2^3 = 8$ mais sa surface par $2^2 = 4$ seulement : à mesure que les choses grandissent, le volume (le poids, le contenu, la chaleur produite) distance la surface (la peau, la matière, la chaleur perdue) — c’est la loi du carré-cube.

11. Poids : $\times 10^3 = 1\,000$ . Section des os : $\times 10^2 = 100$ . Pression — le poids par unité d’aire d’os : $\times \frac{1000}{100} = 10$ . Des os conçus pour une pression humaine en reçoivent dix fois plus : le squelette du géant cède sous son propre poids. Les géants sont géométriquement impossibles ; les grands animaux ont besoin d’os démesurément épais (comparer les pattes d’un éléphant à celles d’une gazelle).

12. Poids : $\div 100^3 = 10^6$ . Force (section musculaire) : $\div 100^2 = 10^4$ . Rapport force sur poids : $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$ . La fourmi qui soulève cinquante fois son poids n’est pas une super-athlète — elle est simplement petite ; un être humain réduit à la taille d’une fourmi en ferait autant.

13. $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3} = \dfrac{3}{r}$ : pour $r = 1$ le rapport vaut $3$ , pour $r = 2$ il vaut $1.5$ — diviser la taille par deux double la surface disponible par unité de volume producteur de chaleur. Les petits corps perdent leur chaleur : la souris doit manger sans cesse, l’ours peut hiberner, et le bébé — petite sphère, grand rapport $\frac Sr$ — a besoin de son bonnet.

14. $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx 1.95$ : la grosse orange contient près de deux fois plus de fruit pour le même prix. Il faut acheter du rayon.

15. La gravure dit ceci : la sphère vaut $\frac23$ du cylindre en volume, et $\frac23$ de sa surface totale — deux proportions exactes et universelles reliant le plus rond des solides au plus simple. La réponse à Cicéron : parce qu’un théorème est le seul monument que ni les armées ni les siècles n’érodent — les machines d’Archimède ont brûlé avec Syracuse, mais les deux tiers valent toujours exactement deux tiers.