Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

68Le théorème de Thalès

Comment mesurer la hauteur d’une pyramide sans y grimper ? Thalès de Milet a comparé son ombre avec l’ombre d’un bâton. Son théorème — des droites parallèles découpent des segments en parts proportionnelles — est le cœur mathématique des maquettes, des cartes et des agrandissements, et l’un des plus anciens théorèmes portant un nom.

68.1 Le théorème

Théorème 68.1 (Thalès)

Soient deux droites se rencontrant en un point $A$ . Prendre $M$ sur la première droite et $N$ sur la seconde, avec $B$ plus loin sur la première et $C$ plus loin sur la seconde. Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les triangles $AMN$ et $ABC$ ont des côtés proportionnels :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Les deux configurations de Thalès : triangles emboîtés (gauche) et le « papillon », où M et N sont de l’autre côté de A (droite). Dans les deux, (MN) (BC) et les trois rapports sont égaux. — Les deux configurations de Thalès : triangles emboîtés (gauche) et le « papillon », où $M$ et $N$ sont de l’autre côté de $A$ (droite). Dans les deux, $(MN) \parallel (BC)$ et les trois rapports sont égaux.

Méthode 68.2 (Calculer une longueur avec Thalès)

Identifier le point $A$ où les deux droites se croisent et les deux droites parallèles ; nommer les deux triangles ;
écrire les trois rapports égaux, toujours « petit triangle sur grand triangle » ;
garder l’égalité des deux rapports impliquant les trois longueurs connues et l’inconnue ;
résoudre la proportion résultante par produits en croix.

Exemple 68.3

Dans la configuration de gauche ci-dessus, supposons $AM = 3$ , $AB = 5$ , $AN = 2.4$ et $MN = 3.3$ , et calculons $AC$ et $BC$ . Thalès donne

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.

De $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$ , en croisant les produits : $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$ , donc $AC = 4$ . De $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$ : $3 \times BC = 16.5$ , donc $BC = 5.5$ .

Exemple 68.4 (Thalès dans la vie réelle)

Un bâton vertical de hauteur $1$ m projette une ombre de $1.5$ m, tandis qu’un arbre projette une ombre de $12$ m au même moment. Les rayons du Soleil sont parallèles, donc les triangles bâton-ombre et arbre-ombre sont en configuration de Thalès :

\frac{\text{hauteur de l'arbre}}{1} = \frac{12}{1.5}, \qquad\text{donc l'arbre mesure } 8 \text{ m de haut.}

68.2 La réciproque

Théorème 68.5 (Réciproque de Thalès)

Avec les points placés comme en Théorème 68.1 ( $M$ sur $(AB)$ , $N$ sur $(AC)$ , dans le même ordre sur les deux droites) : si

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},

alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Méthode 68.6 (Prouver ou infirmer le parallélisme)

Calculer séparément les deux rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ (en fractions, pas en arrondis) ;
s’ils sont égaux et que les points sont dans le même ordre sur les deux droites, les droites sont parallèles (réciproque de Thalès) ;
s’ils diffèrent, les droites ne sont pas parallèles — car si elles l’étaient, le théorème de Thalès forcerait les rapports à être égaux.

Exemple 68.7

Sur la droite 1, $AM = 4$ et $AB = 10$ ; sur la droite 2, $AN = 6$ et $AC = 15$ . Alors

\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25, \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :

rapports égaux, même ordre : $(MN) \parallel (BC)$ .

Avec $AC = 14$ à la place : $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$ , donc les droites ne sont pas parallèles.

68.3 Agrandissement et réduction

Définition 68.8 (Homothétie d’une figure)

Agrandir ou réduire une figure par le facteur d’échelle $k > 0$ signifie multiplier toutes ses longueurs par $k$ : un agrandissement lorsque $k > 1$ , une réduction lorsque $k < 1$ . Dans la configuration de Thalès, le triangle $AMN$ est la réduction de $ABC$ par le facteur $k = \frac{AM}{AB}$ .

Proposition 68.9 (Effet sur les angles et les aires)

L’homothétie de facteur $k$ conserve les angles et la forme des figures, multiplie chaque longueur par $k$ , et multiplie chaque aire par $k^2$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Doubler les longueurs (k = 2) multiplie l’aire par k2 = 4 : quatre copies du petit rectangle pavent le grand. — Doubler les longueurs ( $k = 2$ ) multiplie l’aire par $k^2 = 4$ : quatre copies du petit rectangle pavent le grand.

Exemple 68.10

Une photo de $10 \times 15$ cm est agrandie avec le facteur d’échelle $k = 3$ : le tirage mesure $30 \times 45$ cm. Son aire passe de $150$ cm $^2$ à $150 \times 9 = 1350$ cm $^2$ — $9$ fois plus grande, pas $3$ .

68.4 Exercices

Exercice 68.1 ★

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, avec $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ ; $AM = 2$ , $AB = 6$ , $AN = 3$ , $BC = 9$ . Calculer $AC$ et $MN$ .

Solution

Solution de Exercice 68.1.

Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , c’est-à-dire $\dfrac26 = \dfrac13$ . Donc $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ donne $AC = 9$ , et $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ donne $MN = 3$ .

Exercice 68.2 ★

Même configuration : $AM = 5$ , $MB = 3$ (attention : $MB$ , pas $AB$ !), $AN = 4$ . Calculer $AC$ .

Solution

Solution de Exercice 68.2.

D’abord trouver $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$ . Puis $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ donne $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$ , donc $5 \times AC = 32$ et $AC = 6.4$ .

Exercice 68.3 ★

En configuration papillon, $A$ est entre $M$ et $B$ et entre $N$ et $C$ , avec $(MN) \parallel (BC)$ ; $AM = 3$ , $AB = 7.5$ , $AN = 2$ , $MN = 2.6$ . Calculer $AC$ et $BC$ .

Solution

Solution de Exercice 68.3.

Le papillon fonctionne exactement comme la configuration emboîtée : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , c’est-à-dire $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$ . Donc $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ donne $AC = 5$ , et $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ donne $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$ .

Exercice 68.4 ★

$M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 6$ , $AB = 8$ ; $N$ est sur $[AC]$ avec $AN = 9$ , $AC = 12$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

Solution

Solution de Exercice 68.4.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$ : rapports égaux, points dans le même ordre, donc $(MN) \parallel (BC)$ par la réciproque de Thalès.

Exercice 68.5 ★★

Comme ci-dessus avec $AM = 4$ , $AB = 6$ , $AN = 5$ , $AC = 8$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifier soigneusement.

Solution

Solution de Exercice 68.5.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$ . Contrôle croisé : $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ et $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$ : les rapports diffèrent. Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès les forcerait à être égaux — donc $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Exercice 68.6 ★★

Une personne de $1.8$ m de haut se tient à $2$ m de la base d’un lampadaire ; son ombre mesure $3$ m. Dessiner la configuration de Thalès formée par le lampadaire, la personne et le bout de l’ombre, et calculer la hauteur du lampadaire.

Solution

Solution de Exercice 68.6.

Soit $S$ le bout de l’ombre, $P$ le sommet de la tête de la personne, $L$ le sommet du lampadaire. La personne ( $1.8$ m à distance $3$ m de $S$ ) et le lampadaire (hauteur $h$ à distance $3 + 2 = 5$ m de $S$ ) sont deux segments verticaux parallèles coupés par le rayon lumineux $(SL)$ : Thalès depuis le point $S$ donne

\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5}, \qquad\text{donc}\quad h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m}.

Exercice 68.7 ★★

Une carte est à l’échelle $1 : 25\,000$ (les longueurs sur la carte sont les longueurs réelles multipliées par $k = \frac{1}{25000}$ ).

Deux villages sont distants de $6.8$ cm sur la carte. Quelle est la distance réelle, en km ?
Une forêt a une aire de $8$ cm $^2$ sur la carte. Quelle est son aire réelle, en km $^2$ ?

Solution

Solution de Exercice 68.7.

1. Distance réelle : $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $= 1.7$ km.

2. Les aires s’échelonnent par $k^2$ : aire réelle $= 8 \times 25\,000^2$ cm $^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm $^2$ $= 5 \times 10^9$ cm $^2$ . Puisque $1$ km $^2 = 10^{10}$ cm $^2$ , cela fait $0.5$ km $^2$ .

Exercice 68.8 ★★

Le triangle $ABC$ a $AB = 12$ , $AC = 15$ , $BC = 18$ . Le point $M$ sur $[AB]$ satisfait $AM = 8$ , et la droite passant par $M$ parallèle à $(BC)$ coupe $[AC]$ en $N$ .

Calculer $AN$ et $MN$ .
Quel est le facteur d’échelle de $ABC$ vers $AMN$ ? Comparer les périmètres des deux triangles.

Solution

Solution de Exercice 68.8.

1. Le rapport est $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ . Thalès : $AN = \frac23 \times 15 = 10$ et $MN = \frac23 \times 18 = 12$ .

2. Le facteur d’échelle est $k = \frac23$ . Périmètres : $ABC$ a $12 + 15 + 18 = 45$ , et $AMN$ a $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times 45$ : le périmètre s’échelonne aussi par $k$ , comme toute longueur.

Exercice 68.9 ★★★

Soit $ABCD$ un trapèze avec $(AB) \parallel (CD)$ , $AB = 4$ et $CD = 6$ , dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se rencontrent en $O$ . En utilisant Thalès dans la configuration papillon autour de $O$ , calculer le rapport $\dfrac{OA}{OC}$ , et montrer que $O$ coupe les deux diagonales dans le même rapport.

Solution

Solution de Exercice 68.9.

Autour de $O$ , les droites $(AC)$ et $(BD)$ se croisent, et $(AB) \parallel (CD)$ : configuration papillon avec les triangles $OAB$ et $OCD$ . Thalès donne

\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .

Donc $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$ , et l’égalité $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ dit précisément que $O$ coupe les deux diagonales dans le même rapport.

68.5 Problème : la règle non graduée, le sténopé et les trois moyennes d’un trapèze

Problème 68.1

Devoir maison — Thalès à l’œuvre : partager un segment quelconque en parts égales, mesurer le Soleil avec une boîte à chaussures, et un trapèze où les trois moyennes célèbres se rencontrent

Le théorème de Thalès est la mathématique des rayons : rayons du Soleil, rayons lumineux traversant un trou d’épingle, rayons de crayon issus d’un sommet. Ce problème l’utilise de trois façons — comme outil de construction (partager un segment de longueur quelconque, même $\sqrt2$ , en parts parfaitement égales), comme instrument de mesure (le diamètre du Soleil, avec une boîte à chaussures et une pièce de monnaie), et comme loupe braquée sur le trapèze de l’Exercice 68.9, où les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de cette série se retrouvent toutes dans une même figure.

Partie I — Partager à la règle non graduée.

Tracer un segment $[AB]$ de $7$ cm. Pour le partager en trois parts égales au compas et à la règle non graduée : tracer une demi-droite quelconque issue de $A$ (ne passant pas par $B$ ) ; y reporter au compas trois longueurs égales, ce qui donne les points $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ ; joindre $P_3$ à $B$ ; tracer les parallèles à $(P_3 B)$ passant par $P_1$ et $P_2$ . Effectuer la construction et marquer les points où les parallèles coupent $[AB]$ .
Justifier par Théorème 68.1 que les deux points marqués partagent $[AB]$ exactement en ses tiers.
Adapter la méthode pour partager un segment en $5$ parts égales, puis pour construire les $\frac35$ d’un segment donné.
Construire le point $M$ de $[AB]$ tel que $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (c’est-à-dire $M$ aux $\frac25$ du trajet depuis $A$ ). Combien de reports égaux sur la demi-droite, et quel point faut-il joindre à $B$ ?
Pourquoi cette construction vaut-elle mieux qu’une mesure à la règle graduée ? Considérer un segment de longueur $\sqrt2$ (la diagonale d’un carré unité, irrationnelle d’après Problème 65.1) : que donnerait la mesure, et que donne Thalès ?

Partie II — Le sténopé. Percer une face d’une boîte fermée avec une épingle : sur la face opposée apparaît une image du monde, à l’envers. Un point de l’objet, le trou et le point image sont alignés — la lumière va en ligne droite — de sorte que l’objet (de hauteur $H$ , à la distance $D$ devant le trou) et son image (de hauteur $h$ , sur la paroi du fond, à la profondeur $d$ derrière le trou) forment la configuration papillon de Thalès.

Établir la formule du sténopé $h = H \times \frac dD$ à partir de Thalès dans le papillon autour du trou.
Un arbre de $12$ m se dresse à $30$ m d’une boîte à chaussures de $20$ cm de profondeur. Quelle est la hauteur de son image, et dans quel sens ?
Pointons la boîte vers le Soleil : à $d = 1$ m derrière le trou, l’image du Soleil est un disque d’environ $9$ mm de diamètre. Sachant que la distance du Soleil vaut $D = 1.5 \times 10^{11}$ m, calculer son diamètre en notation scientifique (la notation du Problème 63.1 à l’œuvre). Comparer avec la valeur réelle, $1.39 \times 10^9$ m.
La Lune : diamètre $3.5 \times 10^6$ m, distance $3.8 \times 10^8$ m. Calculer le rapport $\frac{\text{diamètre}}{\text{distance}}$ pour la Lune puis pour le Soleil. Quelle heureuse coïncidence les deux nombres révèlent-ils — et quel spectacle rendent-ils possible ?
En une ou deux phrases : pourquoi l’image du sténopé est-elle à l’envers, et pourquoi agrandir le trou rend-il l’image plus lumineuse mais plus floue ?

Partie III — Le trapèze des trois moyennes. $ABCD$ est le trapèze de l’Exercice 68.9 : $(AB) \parallel (CD)$ , $AB = 4$ , $CD = 6$ , les diagonales se coupant en $O$ avec $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} = \frac23$ .

Entraînement au papillon : deux droites se coupent en $O$ avec $(MN) \parallel (PQ)$ en position papillon ; $OM = 3$ , $OP = 7.5$ , $MN = 4$ et $OQ = 6$ . Calculer $PQ$ et $ON$ .
Expliquer comment Thalès, appliqué avec le rapport $\frac12$ , contient le théorème des milieux du Théorème 59.1 comme cas particulier.
Tracer la parallèle aux bases passant par $O$ ; elle coupe $[AD]$ en $E$ . En travaillant dans le triangle $ACD$ (remarquer que $\frac{AO}{AC} = \frac25$ ), calculer $EO$ .
Par le calcul symétrique dans le triangle $BDC$ , le morceau $OF$ (avec $F$ sur $[BC]$ ) a la même longueur. En conclure que

$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$

la parallèle passant par le point de croisement des diagonales mesure la moyenne harmonique des bases — la moyenne des aller-retours du Problème 61.1, qui réapparaît en géométrie pure.
Le grand final : calculer les trois moyennes classiques des bases $4$ et $6$ — arithmétique $\frac{4+6}{2}$ , géométrique $\sqrt{4 \times 6}$ , harmonique $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — et les ranger. Chacune habite le trapèze : la moyenne arithmétique est la ligne des milieux joignant les milieux des côtés obliques (Problème 53.1), la moyenne harmonique est notre segment $EF$ , et la moyenne géométrique est la parallèle qui découpe le trapèze en deux trapèzes semblables (vérifier sa valeur à la calculatrice ; la démonstration est un joli défi supplémentaire). Où l’inégalité entre les trois a-t-elle été démontrée dans ce livre (Problème 60.1, Problème 61.1) ?

Solution

Solution de Problème 68.1.

1. La construction produit deux points sur $[AB]$ ; appelons-les $M_1$ (venant de $P_1$ ) et $M_2$ (venant de $P_2$ ).

2. Dans le triangle $A P_3 B$ , les parallèles à $(P_3 B)$ passant par $P_1$ et $P_2$ coupent les côtés proportionnellement (Théorème 68.1) :

\frac{A M_1}{AB} = \frac{A P_1}{A P_3} = \frac13, \qquad \frac{A M_2}{AB} = \frac{A P_2}{A P_3} = \frac23 .

Le compas a rendu $A P_1$ , $P_1 P_2$ , $P_2 P_3$ égaux : les rapports sont donc exactement des tiers — quels que soient l’inclinaison de la demi-droite et l’écartement de compas choisis.

3. Pour des cinquièmes : reporter cinq longueurs égales, joindre le cinquième point à $B$ , et tracer quatre parallèles. Pour les $\frac35$ d’un segment : même figure, et prendre le point découpé par la parallèle issue de $P_3$ : il se trouve aux $\frac{3}{5}$ de $[AB]$ depuis $A$ .

4. $\frac{AM}{MB} = \frac23$ signifie $AM = \frac25 AB$ : cinq reports égaux sur la demi-droite, joindre $P_5$ à $B$ , et la parallèle issue de $P_2$ marque $M$ .

5. Mesurer $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ cm ne mobilise jamais qu’un nombre fini de décimales : tout « tiers » mesuré n’est qu’une approximation. La construction de Thalès, elle, ne lit aucun nombre : elle livre le point exact situé à $\frac{\sqrt2}{3}$ — des parts égales d’un segment qu’aucune règle ne sait même exprimer (Problème 65.1).

6. Le sommet de l’objet, le trou et le bas de l’image sont alignés, et de même pour le bas de l’objet et le sommet de l’image : deux droites se coupant au trou, avec l’objet et la paroi de l’image parallèles. Thalès dans le papillon :

\frac{h}{H} = \frac{d}{D}, \qquad\text{donc}\qquad h = H \times \frac dD .

7. $h = 12 \times \frac{0.20}{30} = 0.08$ m $= 8$ cm — à l’envers (les rayons se croisent au trou).

8. $H = h \times \frac Dd = 9 \times 10^{-3} \times \frac{1.5 \times 10^{11}}{1} = 1.35 \times 10^{9}$ m. Valeur réelle : $1.39 \times 10^9$ m : une boîte à chaussures mesure le Soleil à quelques pour cent près.

9. Lune : $\frac{3.5 \times 10^6}{3.8 \times 10^8} \approx 0.0092$ . Soleil : $\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}} \approx 0.0093$ . Les deux rapports — les tailles apparentes dans le ciel — sont presque identiques : la Lune peut recouvrir le Soleil exactement, bord à bord. Ce hasard cosmique, c’est l’éclipse totale de Soleil.

10. Tout rayon doit passer par l’unique trou : les rayons venant du haut de l’objet poursuivent donc vers le bas et ceux venant du bas poursuivent vers le haut : l’image est renversée. Agrandir le trou laisse passer tout un faisceau de copies légèrement décalées de l’image, qui se superposent : plus lumineuse, mais brouillée.

11. $\frac{PQ}{MN} = \frac{OP}{OM} = \frac{7.5}{3} = 2.5$ , donc $PQ = 10$ ; et $\frac{ON}{OQ} = \frac{OM}{OP} = \frac{1}{2.5}$ , donc $ON = \frac{6}{2.5} = 2.4$ .

12. Si la parallèle passe par le milieu d’un côté, le rapport de Thalès vaut $\frac12$ : elle coupe donc le second côté en son milieu, et le segment parallèle mesure la moitié de la base — c’est précisément Théorème 59.1. Thalès est le théorème des milieux affranchi du rapport $\frac12$ .

13. Dans le triangle $ACD$ , la droite $(EO)$ est parallèle à la base $(CD)$ , avec $\frac{AO}{AC} = \frac{OA}{OA + OC} = \frac{4}{4 + 6} = \frac25$ . Thalès : $\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC} = \frac25$ , donc $EO = \frac25 \times 6 = 2.4$ .

14. Dans le triangle $BDC$ , de même, $\frac{BO}{BD} = \frac25$ et $OF = \frac25 \times 6 = 2.4$ . D’où

EF = EO + OF = 4.8 = \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} :

la moyenne harmonique des bases — la moyenne des aller-retours (Problème 61.1), dessinée dans un trapèze.

15. Arithmétique : $5$ ; géométrique : $\sqrt{24} \approx 4.90$ ; harmonique : $4.8$ . Rangement : $4.8 < 4.90\ldots < 5$ , c’est-à-dire harmonique $<$ géométrique $<$ arithmétique — avec égalité seulement pour des bases égales. Dans la figure : la ligne des milieux mesure $5$ , la parallèle passant par le croisement des diagonales $4.8$ , et la coupe de similitude $\sqrt{24}$ , toutes empilées entre les bases dans cet ordre. Les inégalités ont été démontrées dans Problème 60.1 (géométrique $\leq$ arithmétique, par le cercle et par une identité) et dans Problème 61.1 (harmonique $\leq$ arithmétique) ; harmonique $\leq$ géométrique s’en déduit en les combinant ( $H \times A = G^2$ , démontré là aussi).

Termes définis dans ce chapitre

Homothétie d’une figure

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