Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

68Le théorème de Thalès

Comment mesurer la hauteur d’une pyramide sans y grimper ? Thalès de Milet a comparé son ombre avec l’ombre d’un bâton. Son théorème — des droites parallèles découpent des segments en parts proportionnelles — est le cœur mathématique des maquettes, des cartes et des agrandissements, et l’un des plus anciens théorèmes portant un nom.

68.1 Le théorème

Théorème 68.1 (Thalès)

Soient deux droites se rencontrant en un point $A$ . Prendre $M$ sur la première droite et $N$ sur la seconde, avec $B$ plus loin sur la première et $C$ plus loin sur la seconde. Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les triangles $AMN$ et $ABC$ ont des côtés proportionnels :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Les deux configurations de Thalès : triangles emboîtés (gauche) et le « papillon », où M et N sont de l’autre côté de A (droite). Dans les deux, (MN) (BC) et les trois rapports sont égaux. — Les deux configurations de Thalès : triangles emboîtés (gauche) et le « papillon », où $M$ et $N$ sont de l’autre côté de $A$ (droite). Dans les deux, $(MN) \parallel (BC)$ et les trois rapports sont égaux.

Méthode 68.2 (Calculer une longueur avec Thalès)

Identifier le point $A$ où les deux droites se croisent et les deux droites parallèles ; nommer les deux triangles ;
écrire les trois rapports égaux, toujours « petit triangle sur grand triangle » ;
garder l’égalité des deux rapports impliquant les trois longueurs connues et l’inconnue ;
résoudre la proportion résultante par produits en croix.

Exemple 68.3

Dans la configuration de gauche ci-dessus, supposons $AM = 3$ , $AB = 5$ , $AN = 2.4$ et $MN = 3.3$ , et calculons $AC$ et $BC$ . Thalès donne

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.

De $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$ , en croisant les produits : $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$ , donc $AC = 4$ . De $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$ : $3 \times BC = 16.5$ , donc $BC = 5.5$ .

Exemple 68.4 (Thalès dans la vie réelle)

Un bâton vertical de hauteur $1$ m projette une ombre de $1.5$ m, tandis qu’un arbre projette une ombre de $12$ m au même moment. Les rayons du Soleil sont parallèles, donc les triangles bâton-ombre et arbre-ombre sont en configuration de Thalès :

\frac{\text{hauteur de l'arbre}}{1} = \frac{12}{1.5}, \qquad\text{donc l'arbre mesure } 8 \text{ m de haut.}

68.2 La réciproque

Théorème 68.5 (Réciproque de Thalès)

Avec les points placés comme en Théorème 68.1 ( $M$ sur $(AB)$ , $N$ sur $(AC)$ , dans le même ordre sur les deux droites) : si

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},

alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Méthode 68.6 (Prouver ou infirmer le parallélisme)

Calculer séparément les deux rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ (en fractions, pas en arrondis) ;
s’ils sont égaux et que les points sont dans le même ordre sur les deux droites, les droites sont parallèles (réciproque de Thalès) ;
s’ils diffèrent, les droites ne sont pas parallèles — car si elles l’étaient, le théorème de Thalès forcerait les rapports à être égaux.

Exemple 68.7

Sur la droite 1, $AM = 4$ et $AB = 10$ ; sur la droite 2, $AN = 6$ et $AC = 15$ . Alors

\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25, \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :

rapports égaux, même ordre : $(MN) \parallel (BC)$ .

Avec $AC = 14$ à la place : $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$ , donc les droites ne sont pas parallèles.

68.3 Agrandissement et réduction

Définition 68.8 (Homothétie d’une figure)

Agrandir ou réduire une figure par le facteur d’échelle $k > 0$ signifie multiplier toutes ses longueurs par $k$ : un agrandissement lorsque $k > 1$ , une réduction lorsque $k < 1$ . Dans la configuration de Thalès, le triangle $AMN$ est la réduction de $ABC$ par le facteur $k = \frac{AM}{AB}$ .

Proposition 68.9 (Effet sur les angles et les aires)

L’homothétie de facteur $k$ conserve les angles et la forme des figures, multiplie chaque longueur par $k$ , et multiplie chaque aire par $k^2$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Doubler les longueurs (k = 2) multiplie l’aire par k2 = 4 : quatre copies du petit rectangle pavent le grand. — Doubler les longueurs ( $k = 2$ ) multiplie l’aire par $k^2 = 4$ : quatre copies du petit rectangle pavent le grand.

Exemple 68.10

Une photo de $10 \times 15$ cm est agrandie avec le facteur d’échelle $k = 3$ : le tirage mesure $30 \times 45$ cm. Son aire passe de $150$ cm $^2$ à $150 \times 9 = 1350$ cm $^2$ — $9$ fois plus grande, pas $3$ .

68.4 Exercices

Exercice 68.1 ★

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, avec $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ ; $AM = 2$ , $AB = 6$ , $AN = 3$ , $BC = 9$ . Calculer $AC$ et $MN$ .

Solution

Solution de Exercice 68.1.

Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , c’est-à-dire $\dfrac26 = \dfrac13$ . Donc $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ donne $AC = 9$ , et $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ donne $MN = 3$ .

Exercice 68.2 ★

Même configuration : $AM = 5$ , $MB = 3$ (attention : $MB$ , pas $AB$ !), $AN = 4$ . Calculer $AC$ .

Solution

Solution de Exercice 68.2.

D’abord trouver $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$ . Puis $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ donne $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$ , donc $5 \times AC = 32$ et $AC = 6.4$ .

Exercice 68.3 ★

En configuration papillon, $A$ est entre $M$ et $B$ et entre $N$ et $C$ , avec $(MN) \parallel (BC)$ ; $AM = 3$ , $AB = 7.5$ , $AN = 2$ , $MN = 2.6$ . Calculer $AC$ et $BC$ .

Solution

Solution de Exercice 68.3.

Le papillon fonctionne exactement comme la configuration emboîtée : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , c’est-à-dire $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$ . Donc $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ donne $AC = 5$ , et $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ donne $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$ .

Exercice 68.4 ★

$M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 6$ , $AB = 8$ ; $N$ est sur $[AC]$ avec $AN = 9$ , $AC = 12$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

Solution

Solution de Exercice 68.4.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$ : rapports égaux, points dans le même ordre, donc $(MN) \parallel (BC)$ par la réciproque de Thalès.

Exercice 68.5 ★★

Comme ci-dessus avec $AM = 4$ , $AB = 6$ , $AN = 5$ , $AC = 8$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifier soigneusement.

Solution

Solution de Exercice 68.5.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$ . Contrôle croisé : $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ et $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$ : les rapports diffèrent. Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès les forcerait à être égaux — donc $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Exercice 68.6 ★★

Une personne de $1.8$ m de haut se tient à $2$ m de la base d’un lampadaire ; son ombre mesure $3$ m. Dessiner la configuration de Thalès formée par le lampadaire, la personne et le bout de l’ombre, et calculer la hauteur du lampadaire.

Solution

Solution de Exercice 68.6.

Soit $S$ le bout de l’ombre, $P$ le sommet de la tête de la personne, $L$ le sommet du lampadaire. La personne ( $1.8$ m à distance $3$ m de $S$ ) et le lampadaire (hauteur $h$ à distance $3 + 2 = 5$ m de $S$ ) sont deux segments verticaux parallèles coupés par le rayon lumineux $(SL)$ : Thalès depuis le point $S$ donne

\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5}, \qquad\text{donc}\quad h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m}.

Exercice 68.7 ★★

Une carte est à l’échelle $1 : 25\,000$ (les longueurs sur la carte sont les longueurs réelles multipliées par $k = \frac{1}{25000}$ ).

Deux villages sont distants de $6.8$ cm sur la carte. Quelle est la distance réelle, en km ?
Une forêt a une aire de $8$ cm $^2$ sur la carte. Quelle est son aire réelle, en km $^2$ ?

Solution

Solution de Exercice 68.7.

1. Distance réelle : $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $= 1.7$ km.

2. Les aires s’échelonnent par $k^2$ : aire réelle $= 8 \times 25\,000^2$ cm $^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm $^2$ $= 5 \times 10^9$ cm $^2$ . Puisque $1$ km $^2 = 10^{10}$ cm $^2$ , cela fait $0.5$ km $^2$ .

Exercice 68.8 ★★

Le triangle $ABC$ a $AB = 12$ , $AC = 15$ , $BC = 18$ . Le point $M$ sur $[AB]$ satisfait $AM = 8$ , et la droite passant par $M$ parallèle à $(BC)$ coupe $[AC]$ en $N$ .

Calculer $AN$ et $MN$ .
Quel est le facteur d’échelle de $ABC$ vers $AMN$ ? Comparer les périmètres des deux triangles.

Solution

Solution de Exercice 68.8.

1. Le rapport est $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ . Thalès : $AN = \frac23 \times 15 = 10$ et $MN = \frac23 \times 18 = 12$ .

2. Le facteur d’échelle est $k = \frac23$ . Périmètres : $ABC$ a $12 + 15 + 18 = 45$ , et $AMN$ a $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times 45$ : le périmètre s’échelonne aussi par $k$ , comme toute longueur.

Exercice 68.9 ★★★

Soit $ABCD$ un trapèze avec $(AB) \parallel (CD)$ , $AB = 4$ et $CD = 6$ , dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se rencontrent en $O$ . En utilisant Thalès dans la configuration papillon autour de $O$ , calculer le rapport $\dfrac{OA}{OC}$ , et montrer que $O$ coupe les deux diagonales dans le même rapport.

Solution

Solution de Exercice 68.9.

Autour de $O$ , les droites $(AC)$ et $(BD)$ se croisent, et $(AB) \parallel (CD)$ : configuration papillon avec les triangles $OAB$ et $OCD$ . Thalès donne

\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .

Donc $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$ , et l’égalité $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ dit précisément que $O$ coupe les deux diagonales dans le même rapport.