Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

20Résoudre des problèmes

Connaître les quatre opérations est une chose ; savoir laquelle une histoire demande en est une autre. Ce chapitre donne une méthode pour les problèmes énoncés — les mêmes quatre étapes à chaque fois — et apprend à lire des informations dans des tableaux et des pictogrammes.

20.1 Les quatre étapes

Méthode 20.1 (Résoudre un problème énoncé)

Lire le problème deux fois ; dire avec ses propres mots ce qui est demandé, et ce qui est connu.
Choisir l’opération : dessiner un croquis rapide ou une image en barres si le choix n’est pas évident.
Calculer, en colonnes ou de tête, avec une estimation comme filet de sécurité.
Répondre par une phrase complète, avec l’unité — et vérifier que la réponse a du sens (un enfant ne pèse pas $300$ kg).

Exemple 20.2 (Quelle opération ?)

Les mots donnent un indice sur l’opération, le croquis décide :

mettre ensemble / en tout : addition ;
enlever / combien de plus / ce qui manque : soustraction ;
autant de groupes de tant / tant de fois : multiplication ;
partager équitablement / combien de groupes : division.

Les images en barres rendent l’opération visible : des parties côte à côte appellent une addition ; deux barres comparées appellent une soustraction.

Exemple 20.3 (Un problème en deux étapes)

« Maya achète $3$ paquets de $6$ bouteilles et en boit $2$ . Combien de bouteilles restent-elles ? »

Ce qui est demandé : le nombre de bouteilles restantes. Connu : $3$ paquets de $6$ ; $2$ bues.
Croquis : $3$ groupes de $6$ , puis enlever $2$ . Deux opérations !
Calcul : $3 \times 6 = 18$ , puis $18 - 2 = 16$ .
Phrase : il reste $16$ bouteilles.

Ne jamais s’arrêter après la première opération : relire la question pour voir si l’histoire est finie.

Exemple 20.4 (Un nombre inutile)

« Un boulanger, âgé de $52$ ans, cuit $120$ petits pains et en vend $85$ . Combien de petits pains restent-ils ? » L’âge est là pour distraire : la réponse n’a besoin que de $120 - 85 = 35$ petits pains. Avant de calculer, toujours trier les nombres : lesquels la question utilise-t-elle vraiment ?

20.2 Lire des tableaux et des pictogrammes

Exemple 20.5 (Un tableau)

Livres empruntés à la bibliothèque :

	bandes dessinées	romans	sciences	total
semaine 1	$14$	$9$	$6$	$29$
semaine 2	$11$	$12$	$8$	$31$

Lecture : semaine 2, romans : $12$ . Calcul à partir du tableau : sur les deux semaines ensemble, $14 + 11 = 25$ bandes dessinées ont été empruntées ; la semaine la plus chargée était la semaine 2 ( $31 > 29$ ).

Exemple 20.6 (Un pictogramme)

Dans un pictogramme, un symbole représente une quantité fixe — lire d’abord la légende !

Un pictogramme : le lundi montre 3 points, donc 3 × 4 = 12 gâteaux ; le mardi 5 points, 20 gâteaux ; le mercredi 3 points, 12 gâteaux. — Un pictogramme : le lundi montre $3$ points, donc $3 \times 4 = 12$ gâteaux ; le mardi $5$ points, $20$ gâteaux ; le mercredi $3$ points, $12$ gâteaux.

20.3 Exercices

Exercice 20.1 ★

Pour chaque histoire, se contenter de nommer l’opération (sans calculer) : un troupeau de $48$ moutons rejoint un troupeau de $37$ ; $56$ cerises partagées entre $7$ enfants ; $9$ boîtes de $8$ crayons ; Ali avait $71$ cartes et en a donné $18$ .

Solution

Solution de Exercice 20.1.

Troupeaux qui se rejoignent : addition. Partage de cerises : division. Boîtes de crayons : multiplication. Cartes données : soustraction.

Exercice 20.2 ★

Résous avec les quatre étapes : « Un parking a $246$ voitures le matin ; $158$ de plus arrivent à midi. Combien de voitures y a-t-il maintenant ? »

Solution

Solution de Exercice 20.2.

Demandé : le nombre de voitures maintenant. Connu : $246$ , puis $158$ de plus. Opération : addition. Calcul : $246 + 158 = 404$ . Phrase : il y a maintenant $404$ voitures dans le parking.

Exercice 20.3 ★

Résous : « Une corde de $90$ m est coupée en morceaux de $9$ m. Combien de morceaux ? »

Solution

Solution de Exercice 20.3.

Division de groupement : $90 \div 9 = 10$ . La corde donne $10$ morceaux.

Exercice 20.4 ★

Résous : « Les billets coûtent $8$ chacun. Combien coûtent $26$ billets ? »

Solution

Solution de Exercice 20.4.

Multiplication : $26 \times 8 = 208$ . Les billets coûtent $208$ .

Exercice 20.5 ★

Dessine une image en barres, puis résous : « Emma a $64$ autocollants, Hugo en a $29$ de moins. Combien en a Hugo ? »

Solution

Solution de Exercice 20.5.

Barre de comparaison : barre d’Emma $64$ , barre d’Hugo plus courte de $29$ . Soustraction : $64 - 29 = 35$ . Hugo a $35$ autocollants.

Exercice 20.6 ★

Deux étapes : « Une caisse contient $45$ pommes. Un épicer reçoit $6$ caisses et en vend $178$ . Combien de pommes restent-elles ? »

Solution

Solution de Exercice 20.6.

Reçus : $6 \times 45 = 270$ pommes. Restantes : $270 - 178 = 92$ pommes.

Exercice 20.7 ★

Avec le tableau de Exemple 20.5 : combien de livres de sciences ont été empruntés sur les deux semaines ensemble ? Combien de romans de plus en semaine 2 qu’en semaine 1 ?

Solution

Solution de Exercice 20.7.

Livres de sciences : $6 + 8 = 14$ . Romans : $12 - 9 = 3$ de plus en semaine 2.

Exercice 20.8 ★

Avec le pictogramme de Exemple 20.6 : combien de gâteaux ont été vendus sur les trois jours ensemble ? Quel jour en a-t-on vendu le plus ?

Solution

Solution de Exercice 20.8.

Lundi $12$ , mardi $20$ , mercredi $12$ : total $12 + 20 + 12 = 44$ gâteaux. Le meilleur jour était mardi.

Exercice 20.9 ★

Ce problème a un nombre inutile — trouve-le, puis résous : « Un livre de $210$ pages coûte $12$ . Léo lit $35$ pages par jour. Combien de jours lui faut-il pour finir le livre ? »

Solution

Solution de Exercice 20.9.

Le nombre inutile est le prix ( $12$ ). Division : $210 \div 35 = 6$ (car $35 \times 6 = 210$ ). Léo a besoin de $6$ jours.

Exercice 20.10 ★★

« Une famille de $2$ adultes et $3$ enfants visite le musée. Les billets adultes coûtent $9$ , les billets enfants $4$ . Ils paient avec un billet de $50$ . Combien de monnaie reçoivent-ils ? » (Trois étapes : adultes, enfants, puis la monnaie.)

Solution

Solution de Exercice 20.10.

Adultes : $2 \times 9 = 18$ . Enfants : $3 \times 4 = 12$ . Prix total : $18 + 12 = 30$ . Monnaie : $50 - 30 = 20$ . Ils reçoivent $20$ .

Exercice 20.11 ★★

Invente ton propre problème en deux étapes dont la réponse est $100$ , écris sa solution avec les quatre étapes, et teste-le sur un camarade.

Solution

Solution de Exercice 20.11.

Beaucoup de réponses correctes — par exemple : « Un fleuriste fait $8$ bouquets de $15$ fleurs, puis retire $20$ fleurs fanées. Combien de fleurs restent-elles ? » Solution : $8 \times 15 = 120$ , puis $120 - 20 = 100$ .