Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

62Pyramides et cônes

Après les prismes et cylindres du Chapitre 53 — solides à section constante — viennent les solides à pointe : pyramides et cônes. Leur formule de volume porte un célèbre facteur $\frac13$ , que ce chapitre rend plausible et utilise ; l’étude des solides se poursuit avec les sphères et les sections au Chapitre 70.

62.1 Décrire pyramides et cônes

Définition 62.1 (Pyramide, cône)

Une pyramide a un polygone pour base et un point, le sommet, joint à chaque sommet de la base par des faces triangulaires. Sa hauteur est la distance du sommet au plan de la base.
Un cône est la même construction sur un disque : un disque de base, un sommet, et une surface latérale courbe.

Une pyramide est régulière lorsque sa base est un polygone régulier (carré, triangle équilatéral, …) et que son sommet se trouve à la verticale du centre de la base.

Une pyramide à base carrée et un cône : une base polygonale ou circulaire, un sommet, et la hauteur mesurée perpendiculairement à la base.

Exemple 62.2 (Compter faces, arêtes, sommets)

Une pyramide à base carrée a $5$ faces ( $1$ carré $+ 4$ triangles), $8$ arêtes et $5$ sommets. Avec une base à $n$ côtés : $n + 1$ faces, $2n$ arêtes, $n + 1$ sommets. Vérifier le petit motif d’Euler : faces $+$ sommets $=$ arêtes $+ 2$ .

62.2 Volume

Théorème 62.3 (Volume d’une pyramide ou d’un cône)

Pour une pyramide ou un cône d’aire de base $B$ et de hauteur $h$ :

V = \frac{1}{3}\, B \times h

— un tiers du prisme ou du cylindre de même base et même hauteur. Pour un cône de rayon de base $r$ : $V = \frac13 \pi r^2 h$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 62.4 (Pourquoi un tiers ?)

Remplir une pyramide creuse d’eau et la verser dans le prisme de même base et même hauteur : il faut exactement trois remplissages. Mieux encore : un cube peut se découper en trois pyramides identiques, chacune ayant une face du cube pour base et un sommet du cube pour apex (essayer de se le représenter !). Une preuve générale utilise l’intégration, un outil du volume de lycée.

Exemple 62.5

Une pyramide a une base carrée de côté $5$ cm et une hauteur de $9$ cm :

aire de base : $B = 5^2 = 25$ cm $^2$ ;
volume : $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ cm $^3$ .

Un cornet de glace de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm :

V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94 \text{ cm}^3 .

Exemple 62.6 (Attention à la hauteur)

Pour un cône, ne pas confondre la hauteur $h$ (sommet au centre de la base, perpendiculaire) avec la génératrice $s$ (sommet au bord). Elles sont liées par Pythagore (Théorème 58.1) dans le triangle rectangle sommet–centre–bord :

s^2 = h^2 + r^2 .

Un cône avec $r = 3$ et $s = 5$ a donc pour hauteur $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ , et pour volume $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ .

Méthode 62.7 (Problèmes de volume)

Identifier le solide (prisme/cylindre : $V = Bh$ ; pyramide/cône : $V = \frac13 Bh$ ) ;
calculer d’abord l’aire de base $B$ , comme une étape séparée ;
vérifier que la hauteur est perpendiculaire à la base (utiliser Pythagore si la génératrice est donnée) ;
multiplier, garder des unités cohérentes, convertir à la fin si besoin ( $1$ L $= 1000$ cm $^3$ ).

62.3 Patrons

Exemple 62.8 (Patron d’une pyramide)

Déplier une pyramide régulière à base carrée la met à plat en son patron : la base carrée avec quatre triangles isocèles identiques attachés à ses côtés. Les côtés égaux des triangles sont les arêtes latérales de la pyramide — leur longueur n’est ni $h$ ni la hauteur d’une face, donc étiqueter soigneusement avant de découper le carton.

Le patron d’une pyramide à base carrée : replier les quatre triangles jusqu’à ce que leurs sommets se rejoignent.

62.4 Exercices

Exercice 62.1 ★

Combien de faces, d’arêtes et de sommets a une pyramide à base triangulaire (un tétraèdre) ? À base hexagonale ?

Solution

Solution de Exercice 62.1.

Tétraèdre : $4$ faces, $6$ arêtes, $4$ sommets ( $4 + 4 = 6 + 2$ ). Base hexagonale : $7$ faces, $12$ arêtes, $7$ sommets ( $7 + 7 = 12 + 2$ ).

Exercice 62.2 ★

Calculer le volume d’une pyramide d’aire de base $36$ cm $^2$ et de hauteur $10$ cm ; d’une pyramide de base rectangulaire $6 \times 4$ cm et de hauteur $7.5$ cm.

Solution

Solution de Exercice 62.2.

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ cm $^3$ .

Base rectangulaire : $B = 24$ cm $^2$ , donc $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ cm $^3$ .

Exercice 62.3 ★

Calculer le volume d’un cône de rayon $5$ cm et de hauteur $9$ cm (exact avec $\pi$ , puis arrondi au cm $^3$ ).

Solution

Solution de Exercice 62.3.

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ cm $^3$ .

Exercice 62.4 ★

Un cylindre et un cône ont le même rayon $4$ cm et la même hauteur $12$ cm. Calculer les deux volumes. Quel est leur rapport ?

Solution

Solution de Exercice 62.4.

Cylindre : $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ cm $^3$ . Cône : $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ cm $^3$ . Rapport : le cône est le tiers du cylindre.

Exercice 62.5 ★

Une pyramide a pour volume $56$ cm $^3$ et pour hauteur $8$ cm. Quelle est son aire de base ? (Écrire la formule du volume et résoudre.)

Solution

Solution de Exercice 62.5.

$56 = \frac13 \times B \times 8$ , donc $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ cm $^2$ .

Exercice 62.6 ★

Esquisser le patron d’un cône (un disque pour la base, et un secteur d’un disque plus grand pour la surface latérale). Quelle mesure du cône est le rayon de ce secteur : la hauteur $h$ ou la génératrice $s$ ?

Solution

Solution de Exercice 62.6.

La surface latérale se déroule en un secteur de disque dont le rayon est la génératrice $s$ (la distance du sommet au bord — ce segment est sur la surface), et non la hauteur $h$ .

Exercice 62.7 ★★

La pyramide du Louvre a une base carrée de côté environ $35$ m et une hauteur d’environ $22$ m. Estimer son volume, à la centaine de mètres cubes près.

Solution

Solution de Exercice 62.7.

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m $^3$ — environ $9\,000$ mètres cubes.

Exercice 62.8 ★★

Un cône a pour génératrice $13$ cm et pour rayon de base $5$ cm. Calculer sa hauteur, puis son volume (exact avec $\pi$ ).

Solution

Solution de Exercice 62.8.

Hauteur : $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm. Volume : $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm $^3$ .

Exercice 62.9 ★★

Un verre conique de rayon $4$ cm et de hauteur $9$ cm est rempli à ras bord, puis versé dans un verre cylindrique de rayon $4$ cm. Quelle hauteur le liquide atteint-il dans le cylindre ?

Solution

Solution de Exercice 62.9.

Même rayon, donc le volume du cône est le tiers du volume du cylindre pour la même hauteur : le liquide atteint $\frac{9}{3} = 3$ cm dans le cylindre.

Exercice 62.10 ★★

Un sablier est formé de deux cônes identiques (rayon $2$ cm, hauteur $4.5$ cm) joints par leurs sommets. Tout le sable remplit exactement un cône. Calculer le volume de sable (exact, puis en cm $^3$ arrondi au dixième), et la fraction du volume intérieur total du sablier occupée par le sable.

Solution

Solution de Exercice 62.10.

Sable $=$ un cône : $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi \approx 18.8$ cm $^3$ . Le sablier contient deux tels cônes, donc le sable remplit exactement la moitié du volume intérieur total.

Exercice 62.11 ★★★

Une pyramide à base carrée de côté $6$ cm a son sommet à la verticale d’un coin de la base, à la hauteur $8$ cm.

La formule $V = \frac13 Bh$ s’applique-t-elle encore ? (Oui — le sommet n’a pas besoin d’être centré. Calculer $V$ .)
Calculer la longueur de la plus longue arête latérale, du sommet au coin opposé de la base (deux étapes de Pythagore : la diagonale de la base d’abord).

Solution

Solution de Exercice 62.11.

1. Oui : la formule $V = \frac13 Bh$ vaut pour toute position du sommet, tant que $h$ est la distance perpendiculaire au plan de la base. $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ cm $^3$ .

2. Diagonale de la base : $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ cm. La plus longue arête latérale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés de l’angle droit $6\sqrt2$ (dans le plan de la base) et $8$ (vertical) :

\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7 \text{ cm}.