62Pyramides et cônes

Solution de Problème 62.1.

1. $G$ appartient à la face supérieure $EFGH$ et aux deux faces latérales $BCGF$ et $DCGH$. Les trois faces qui ne contiennent pas $G$ sont la base $ABCD$, la face avant $ABFE$ et la face gauche $ADHE$ (elles ont toutes le sommet $A$ en commun, le coin opposé à $G$). Les trois pyramides sont $ABCDG$, $ABFEG$ et $ADHEG$ : chacune a pour base une face carrée du cube et pour sommet le lointain $G$. Chacune est une pyramide à base carrée : $5$ faces, $8$ arêtes, $5$ sommets (Exemple 62.2).

2. La grande diagonale $[AG]$ joint les deux seuls sommets n’appartenant à aucune des trois bases. Une rotation d’un tiers de tour autour de la droite $(AG)$ envoie le cube sur lui-même (les trois arêtes issues de $A$ — vers $B$, $D$, $E$ — sont permutées circulairement, de même que les trois arêtes aboutissant à $G$). Elle transporte la base $ABCD$ sur $ADHE$, puis $ADHE$ sur $ABFE$, et ainsi de suite : les sommets restent en $G$, les bases tournent. Chaque pyramide est ainsi transportée sur la suivante : les trois sont des copies identiques.

3. Trois morceaux identiques remplissant le cube s’en partagent le volume à parts égales :

4. La pyramide $ABCDG$ a pour base $ABCD$, d’aire $a^2$, et son sommet $G$ se trouve à la verticale du coin $C$, à la hauteur $CG = a$ (une arête verticale du cube). Comme dans Exercice 62.11, la formule s’applique avec la hauteur perpendiculaire $h = a$ :

en parfait accord avec la question 3 — la décomposition et la formule se confirment l’une l’autre.

5. Pour $a = 6$ : $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$ chacune. L’expérience du transvasement est cette décomposition rendue liquide : le prisme de base $ABCD$ et de hauteur $a$ est le cube lui-même, et il contient exactement trois remplissages de la pyramide — ici, les trois remplissages s’assemblent même géométriquement en le cube.

6. Joindre le centre $O$ aux quatre coins de chaque face produit six pyramides, une par face : base carrée, sommet $O$. Le centre est également placé par rapport aux six faces (toute rotation ou symétrie du cube fixe $O$ et permute les faces) : les six pyramides sont donc identiques. La hauteur de chacune est la distance de $O$ à une face : la moitié de l’arête, $\frac{a}{2}$.

7. Six morceaux identiques se partagent le cube : $V = \frac{a^3}{6}$ chacun.

8. Par la formule : aire de base $a^2$, hauteur $\frac a2$ :

Les deux réponses concordent.

9. Les deux décompositions ne concernent que des pyramides aux proportions très particulières, taillées dans un cube ; une pyramide élancée, une pyramide de guingois ou un cône ne s’assemblent pas ainsi (trois cônes ne remplissent pas un cylindre). C’est pourquoi Théorème 62.3 est admis à ce niveau : les décompositions et l’expérience du transvasement rendent le $\frac13$ tout à fait crédible, et la démonstration générale honnête — l’intégration — est donnée dans le volume suivant.

10. $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$ ; et par la formule, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$. Les deux concordent.

11. Dans le triangle $SAB$, les milieux des côtés $[SA]$ et $[SB]$ sont joints par un segment parallèle à $(AB)$ et de longueur $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ (Théorème 59.1). Il en va de même sur chaque face latérale : les quatre milieux forment donc un carré de côté $\frac c2$, aux côtés parallèles à ceux de la base. Sur la verticale issue du sommet, la coupe passe au milieu de la hauteur (à nouveau le théorème des milieux, dans un triangle passant par $S$, le centre de la base et un sommet de la base) : le plan de coupe se situe à la hauteur $\frac h2$.

12. Le morceau supérieur est une pyramide régulière à base carrée, de côté de base $\frac c2$ et de hauteur $\frac h2$ (sa base est la section, son sommet est $S$). Son volume vaut

le huitième du volume initial — et non la moitié.

13. Le tronc de pyramide garde le reste : $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. La coupe à mi-hauteur partage donc le volume dans le rapport $1 : 7$ — la dalle du bas, d’apparence modeste, contient sept fois le volume de la pointe.

14. Sous la mi-hauteur se trouvent les $\frac78$ du volume. Avec $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ (Exercice 62.7) :

à la centaine près — la campagne de la « moitié inférieure » nettoie près de huit fois le volume de verre de la campagne supérieure.

15. Doubler toutes les dimensions multiplie l’aire de base par $2^2 = 4$ et la hauteur par $2$, donc le volume par $4 \times 2 = 8 = 2^3$. Un agrandissement de rapport $k$ multiplie les aires par $k^2$ et une longueur de plus par $k$ : les volumes sont donc multipliés par $k^3$. Le morceau supérieur de la question 12 est une réduction de la pyramide entière de rapport $k = \frac12$ : son volume vaut donc $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ du tout — voilà l’explication en une ligne.