Mathematics · Book 1 · Grades 1–9

Mathématiques du primaire et du collège

Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

31Les fractions comme nombres

Une fraction n’est pas seulement l’image d’une tarte : c’est un vrai nombre, avec une place sur la droite graduée — parfois la même place qu’un nombre décimal. Ce chapitre relie les deux mondes. (Les règles complètes du calcul fractionnaire arrivent dans Chapitre 39 et au-delà.)

31.1 Fractions sur la droite, encore

Exemple 31.1 (Placer et lire)

Sur une droite découpée en cinquièmes, 75\frac{7}{5} est à 77 pas de 00 : après 11 (qui est 55\frac55), à 1+251 + \frac25. Chaque fraction vit quelque part sur la droite ; un numérateur plus grand (même dénominateur) signifie plus à droite.

Proposition 31.2 (Même point, plusieurs noms)

Découper chaque part en deux (ou en trois …) ne déplace pas le point :

12=24=36=510,23=46=2030.\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}, \qquad \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{20}{30}.

Multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur par le même nombre donne un autre nom de la même fraction.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Trois barres, trois noms, une même quantité : 1/2 = 2/4 = 5/10.
Trois barres, trois noms, une même quantité : 12=24=510\frac12 = \frac24 = \frac{5}{10}.

31.2 Fractions et décimaux

Proposition 31.3 (Fractions à nom décimal)

Les fractions de dixièmes, centièmes, millièmes sont des nombres décimaux :

310=0.3,27100=0.27.\frac{3}{10} = 0.3, \qquad \frac{27}{100} = 0.27 .

Certaines autres fractions ont aussi un nom décimal, trouvé en passant aux dixièmes ou aux centièmes :

12=510=0.5,14=25100=0.25,34=0.75,15=210=0.2.\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0.25, \qquad \frac{3}{4} = 0.75, \qquad \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0.2 .

Mais pas toutes : 13=0.333…\frac13 = 0.333\dots ne s’arrête jamais — la fraction est son seul nom exact.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Une droite, deux langages : chaque point peut porter un nom fractionnaire et un nom décimal.
Une droite, deux langages : chaque point peut porter un nom fractionnaire et un nom décimal.

Exemple 31.4 (Choisir le nom le plus commode)

Pour payer les trois quarts de 1212 : le nom fractionnaire est plus commode, 34\frac34 de 1212 est 99. Pour comparer 34\frac34 et 0.80.8 : le nom décimal est plus commode, 0.75<0.80.75 < 0.8. Être bilingue paie.

31.3 Comparer des fractions

Méthode 31.5 (Trois outils de comparaison)

  1. Même dénominateur : plus de parts gagne, 57>37\frac57 > \frac37 ;
  2. même numérateur : les plus grandes parts gagnent, donc le plus petit dénominateur gagne : 35>38\frac35 > \frac38 (les cinquièmes sont plus grands que les huitièmes) ;
  3. repères : comparer chacune à 12\frac12 ou à 11 : 38<12<59\frac38 < \frac12 < \frac59, donc 38<59\frac38 < \frac59.

Exemple 31.6

Qui a mangé plus de pizza : Ali avec 58\frac58 ou Bea avec 54\frac54 ? La fraction de Bea est plus grande que 11 (cinq quarts, c’est plus qu’une pizza entière), celle d’Ali est plus petite que 11 : Bea a mangé plus — plus d’une pizza entière, en fait.

31.4 Exercices

Exercice 31.1 ★

Dessiner une droite graduée découpée en cinquièmes de 00 à 22, et placer : 25\frac25 ; 55\frac55 ; 85\frac85 ; 105\frac{10}{5}.

Solution

Solution de Exercice 31.1.

25\frac25 : deux pas depuis 00 ; 55\frac55 : sur 11 ; 85\frac85 : trois pas après 11 ; 105\frac{10}{5} : sur 22.

Exercice 31.2 ★

Compléter les noms égaux : 12=?8\frac12 = \frac{?}{8} ; 34=?8\frac34 = \frac{?}{8} ; 25=4?\frac{2}{5} = \frac{4}{?} ; 69=2?\frac{6}{9} = \frac{2}{?}.

Solution

Solution de Exercice 31.2.

12=48\frac12 = \frac48 ; 34=68\frac34 = \frac68 ; 25=410\frac25 = \frac{4}{10} ; 69=23\frac69 = \frac23.

Exercice 31.3 ★

Quelles fractions nomment des entiers ? Donner l’entier le cas échéant : 82\frac82 ; 94\frac{9}{4} ; 153\frac{15}{3} ; 205\frac{20}{5}.

Solution

Solution de Exercice 31.3.

82=4\frac82 = 4 ; 94\frac94 n’est pas entier (99 n’est pas un multiple de 44) ; 153=5\frac{15}{3} = 5 ; 205=4\frac{20}{5} = 4.

Exercice 31.4 ★

Écrire en décimaux : 710\frac{7}{10} ; 41100\frac{41}{100} ; 12\frac12 ; 34\frac34 ; 15\frac15.

Solution

Solution de Exercice 31.4.

0.70.7 ; 0.410.41 ; 0.50.5 ; 0.750.75 ; 0.20.2.

Exercice 31.5 ★

Écrire en fractions (dixièmes ou centièmes) : 0.90.9 ; 0.130.13 ; 2.52.5 ; 0.750.75 (puis donner son nom en quarts).

Solution

Solution de Exercice 31.5.

0.9=9100.9 = \frac{9}{10} ; 0.13=131000.13 = \frac{13}{100} ; 2.5=25102.5 = \frac{25}{10} ; 0.75=75100=340.75 = \frac{75}{100} = \frac34.

Exercice 31.6 ★

Comparer, en nommant l’outil utilisé (Méthode 31.5) :

47  ?  67,35  ?  37,25  ?  712,98  ?  1112.\frac47 \;?\; \frac67, \qquad \frac35 \;?\; \frac37, \qquad \frac25 \;?\; \frac{7}{12}, \qquad \frac98 \;?\; \frac{11}{12} .
Solution

Solution de Exercice 31.6.

47<67\frac47 < \frac67 (même dénominateur). 35>37\frac35 > \frac37 (même numérateur : les cinquièmes sont plus grands). 25<12<712\frac25 < \frac12 < \frac{7}{12}, donc 25<712\frac25 < \frac{7}{12} (repère 12\frac12). 98>1>1112\frac98 > 1 > \frac{11}{12} (repère 11).

Exercice 31.7 ★

Ranger avec les noms décimaux : 12\frac12 ; 0.40.4 ; 34\frac34 ; 0.60.6 ; 15\frac15.

Solution

Solution de Exercice 31.7.

Décimaux : 0.50.5 ; 0.40.4 ; 0.750.75 ; 0.60.6 ; 0.20.2. Ordre :

15<0.4<12<0.6<34.\frac15 < 0.4 < \frac12 < 0.6 < \frac34 .

Exercice 31.8 ★

Un quart des élèves d’une classe de 2828 jouent d’un instrument, et la moitié font du sport. Combien d’élèves pour chaque groupe ? Lequel est le plus grand ?

Solution

Solution de Exercice 31.8.

Instrument : 14\frac14 de 28=728 = 7. Sport : 12\frac12 de 28=1428 = 14. Le groupe sport est plus grand.

Exercice 31.9 ★

Associer chaque fraction à une durée : 14\frac14 h, 12\frac12 h, 34\frac34 h, 160\frac{1}{60} h — à 3030 min, 4545 min, 11 min, 1515 min.

Solution

Solution de Exercice 31.9.

14\frac14 h =15= 15 min ; 12\frac12 h =30= 30 min ; 34\frac34 h =45= 45 min ; 160\frac{1}{60} h =1= 1 min.

Exercice 31.10 ★★

Tom a bu 35\frac35 de sa bouteille de 5050 cL ; Ana a bu 12\frac12 de sa bouteille de 6060 cL. Qui a bu le plus ? (Calculer les deux quantités en cL — comparer les fractions nues ne suffit pas ici, et dire pourquoi.)

Solution

Solution de Exercice 31.10.

Tom : 35\frac35 de 50=3050 = 30 cL. Ana : 12\frac12 de 60=3060 = 30 cL. Ils ont bu la même quantité ! Les fractions nues (35>12\frac35 > \frac12) comparent des parts de bouteilles différentes — seules les quantités effectives se comparent.

Exercice 31.11 ★★

Donner une fraction strictement entre 12\frac12 et 11 ; puis une strictement entre 12\frac12 et 34\frac34. (Les noms décimaux peuvent aider.)

Solution

Solution de Exercice 31.11.

Entre 12\frac12 et 11 : par exemple 34\frac34 (c’est-à-dire 0.750.75). Entre 12=0.5\frac12 = 0.5 et 34=0.75\frac34 = 0.75 : par exemple 0.6=350.6 = \frac35.