Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

49Proportionnalité

L’année 6 a rencontré les tableaux de proportionnalité (Chapitre 44) ; ce chapitre en fait un outil à part entière : la règle de trois pour trouver une quatrième valeur, les pourcentages, et les échelles de cartes et de maquettes. La vitesse, la plus célèbre de toutes les proportionnalités, est étudiée au Chapitre 61.

49.1 Reconnaître et compléter des tableaux

Définition 49.1 (Tableau de proportionnalité)

Un tableau à deux lignes est un tableau de proportionnalité lorsque les nombres de la seconde ligne sont ceux de la première multipliés par un nombre fixe, le coefficient. De façon équivalente : tous les quotients de colonne $\frac{\text{bas}}{\text{haut}}$ sont égaux.

Exemple 49.2

haut	$4$	$10$	$14$
bas	$6$	$15$	$21$

Quotients : $\frac64 = 1.5$ , $\frac{15}{10} = 1.5$ , $\frac{21}{14} = 1.5$ : proportionnel, coefficient $1.5$ .

Théorème 49.3 (Règle de trois)

Dans un tableau de proportionnalité de colonnes $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ , les produits en croix sont égaux :

a \times d = b \times c .

Par conséquent la quatrième valeur se calcule à partir des trois autres : $d = \dfrac{b \times c}{a}$ .

Démonstration. Soit $k$ le coefficient : $b = ka$ et $d = kc$ . Alors

a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac :

les deux produits en croix valent $k \times ac$ . Diviser $ad = bc$ par $a$ donne la formule pour $d$ . ∎

Exemple 49.4 (Quatrième proportionnelle)

Si $7$ livres identiques pèsent $2.8$ kg, combien pèsent $12$ tels livres ? Tableau et règle de trois :

livres	$7$	$12$
kg	$2.8$	$m$

7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ kg}.

Vérification par l’unité : un livre pèse $0.4$ kg, douze pèsent $4.8$ kg.

49.2 Pourcentages

Méthode 49.5 (Appliquer et trouver des pourcentages)

Appliquer $t\,\%$ : multiplier par $\frac{t}{100}$ ( $12\,\%$ de $350$ valent $0.12 \times 350 = 42$ ) ;
trouver le pourcentage qu’une partie représente : calculer $\frac{\text{partie}}{\text{tout}}$ et réécrire sur $100$ ( $21$ sur $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ ) ;
toujours se demander : un pourcentage de quoi ? Le tout de référence compte.

Exemple 49.6

Dans une école, $180$ des $400$ élèves sont des filles. Pourcentage :

\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% .

Dans l’autre sens : combien sont les $55\,\%$ de garçons ? $0.55 \times 400 = 220$ . Vérification : $180 + 220 = 400$ .

49.3 Échelles

Définition 49.7 (Échelle)

Sur une carte ou une maquette à échelle $\frac{1}{n}$ (écrite $1 : n$ ), les distances sur la carte sont proportionnelles aux distances réelles, avec le coefficient $\frac1n$ :

\text{distance carte} = \frac{1}{n} \times \text{distance réelle},

toutes deux mesurées dans la même unité.

Exemple 49.8

Sur une carte au $1 : 50\,000$ , deux villes sont distantes de $7$ cm. Distance réelle :

7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm} = 3\,500 \text{ m} = 3.5 \text{ km}.

Inversement, un sentier de $12$ km mesure sur la carte $12$ km $= 1\,200\,000$ cm, donc $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm.

Une échelle est une proportionnalité : distances carte contre distances réelles s’alignent sur une droite passant par l’origine (ici 1 cm 4 km ; les tirets lisent 7 cm 28 km). — Une échelle est une proportionnalité : distances carte contre distances réelles s’alignent sur une droite passant par l’origine (ici $1$ cm $\leftrightarrow$ $4$ km ; les tirets lisent $7$ cm $\leftrightarrow$ $28$ km).

Remarque 49.9

Les graphiques sont le test le plus rapide de proportionnalité (Chapitre 44) : des points sur une droite passant par l’origine signifient des quantités proportionnelles ; une droite manquant l’origine (comme le prix d’un taxi avec prise en charge) signifie non proportionnel, même si c’est une droite. Les fonctions affines, au Chapitre 67, rendront cela précis.

49.4 Exercices

Exercice 49.1 ★

Quels tableaux sont des tableaux de proportionnalité ? Donner le coefficient lorsqu’il existe.

	$3$	$7$	$11$
	$7.5$	$17.5$	$27.5$

	$2$	$5$	$9$
	$6$	$15$	$28$

Solution

Solution de Exercice 49.1.

Premier tableau : quotients $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{17.5}{7} = 2.5$ , $\frac{27.5}{11} = 2.5$ : proportionnel, coefficient $2.5$ .

Second tableau : $\frac62 = 3$ et $\frac{15}{5} = 3$ , mais $\frac{28}{9} \approx 3.1$ : non proportionnel.

Exercice 49.2 ★

Compléter par la règle de trois, en écrivant le calcul : $5$ kg de pommes de terre coûtent $6$ euros ; combien coûtent $8$ kg ?

Solution

Solution de Exercice 49.2.

Par la règle de trois : $5 \times p = 6 \times 8$ , donc $p = \frac{48}{5} = 9.60$ euros.

Exercice 49.3 ★

Une imprimante imprime $36$ pages en $3$ minutes. Au même rythme, combien de pages en $5$ minutes ? Combien de temps pour $96$ pages ?

Solution

Solution de Exercice 49.3.

Rythme : $36 \div 3 = 12$ pages par minute. En $5$ minutes : $60$ pages. Pour $96$ pages : $96 \div 12 = 8$ minutes.

Exercice 49.4 ★

Calculer : $30\,\%$ de $250$ ; $15\,\%$ de $60$ ; $t\,\%$ tel que $t\,\%$ de $80$ vaut $20$ .

Solution

Solution de Exercice 49.4.

$30\,\%$ de $250$ : $0.3 \times 250 = 75$ . $15\,\%$ de $60$ : $0.15 \times 60 = 9$ . $t\,\%$ de $80$ vaut $20$ : $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$ , donc $t = 25$ .

Exercice 49.5 ★

Sur $25$ tirs, une basketteuse a marqué $18$ . Quel est son pourcentage de réussite ? (Réécrire la fraction sur $100$ .)

Solution

Solution de Exercice 49.5.

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$ .

Exercice 49.6 ★

Sur une carte au $1 : 25\,000$ , un chemin mesure $9$ cm. Quelle est sa longueur réelle en km ? Un lac mesure $2$ km de long : quelle longueur sur la carte ?

Solution

Solution de Exercice 49.6.

Chemin : $9 \times 25\,000 = 225\,000$ cm $= 2.25$ km. Lac : $2$ km $= 200\,000$ cm au sol, donc $200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm sur la carte.

Exercice 49.7 ★

Une voiture miniature est construite à l’échelle $1 : 43$ . La voiture réelle mesure $4.3$ m de long. Quelle longueur a la miniature, en cm ?

Solution

Solution de Exercice 49.7.

$4.3$ m $= 430$ cm, et $430 \div 43 = 10$ cm.

Exercice 49.8 ★★

Une recette utilise $240$ g de chocolat pour $8$ parts. Aline dispose de $300$ g de chocolat. Pour combien de parts cela suffit-il (nombre entier de parts) ?

Solution

Solution de Exercice 49.8.

Chocolat par part : $240 \div 8 = 30$ g. Avec $300$ g : $300 \div 30 = 10$ parts exactement.

Exercice 49.9 ★★

Le prix d’une veste passe de $80$ à $60$ euros.

Quelle est la réduction en euros ? En pour cent du prix initial ?
Plus tard le prix remonte de $60$ à $80$ euros. Expliquer pourquoi cette hausse n’est pas de $25\,\%$ — calculer le pourcentage d’augmentation correct.

Solution

Solution de Exercice 49.9.

1. Réduction : $20$ euros, soit $\frac{20}{80} = 25\,\%$ du prix initial.

2. La hausse de $20$ euros se compare maintenant à la nouvelle référence $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Un pourcentage se rapporte toujours à un tout ; le tout a changé, donc le pourcentage aussi.

Exercice 49.10 ★★

Deux lignes d’un tableau sont proportionnelles :

	$4$	$x$	$10$
	$y$	$10.5$	$17.5$

Trouver le coefficient, puis $x$ et $y$ .

Solution

Solution de Exercice 49.10.

Coefficient d’après la colonne complète : $\frac{17.5}{10} = 1.75$ . Puis $y = 4 \times 1.75 = 7$ et $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$ .

Exercice 49.11 ★★★

Un photocopieur réduit les documents à $80\,\%$ de leur taille. Un segment de $10$ cm est copié, puis la copie est copiée à nouveau avec le même réglage.

Quelle longueur a le segment après une copie ? Après deux ?
Pourquoi la réponse après deux copies n’est-elle pas $60\,\%$ de l’original ? Quel pourcentage unique correspond à deux copies ?

Solution

Solution de Exercice 49.11.

1. Après une copie : $10 \times 0.8 = 8$ cm. Après deux : $8 \times 0.8 = 6.4$ cm.

2. La seconde réduction s’applique à la copie déjà réduite, et non à l’original : les facteurs se multiplient, $0.8 \times 0.8 = 0.64$ , donc deux copies réduisent à $64\,\%$ de l’original — pas $60\,\%$ .

49.5 Problème : mesurer la Terre avec un bâton

Problème 49.1

Devoir maison — les ombres forment une proportionnalité, et comment Ératosthène a calculé la circonférence de la Terre en 240 av. J.-C.

Il y a vingt-deux siècles, sans télescope, sans satellite et sans calculatrice, le bibliothécaire d’Alexandrie a mesuré la Terre — avec un bâton, un puits, une caravane de chameaux et les mathématiques de ce chapitre. Ce problème refait son chemin : la proportionnalité des ombres d’abord, puis le calcul célèbre lui-même, et enfin ce que devient sa réponse à l’échelle humaine.

Partie I — L’ombre d’un bâton. Le Soleil est si loin que ses rayons nous parviennent parallèles entre eux. À un instant donné, tous les objets verticaux et leurs ombres sont donc proportionnels.

À midi, un bâton vertical de $1$ m projette une ombre de $0.4$ m, et l’ombre d’un arbre mesure $3.2$ m. Quelle est la hauteur de l’arbre (Théorème 49.3) ?
Au même instant, une tour projette une ombre de $26$ m : quelle est sa hauteur ? Et quelle est la longueur de l’ombre d’un enfant mesurant $1.5$ m ?
Expliquer en une phrase pourquoi tous ces calculs ne valent qu’au même instant de la journée.
La légende raconte que Thalès a mesuré la grande pyramide en attendant l’instant où sa propre ombre avait exactement la longueur de sa taille. Que vaut le coefficient de proportionnalité à cet instant, et quelle est la hauteur de la pyramide si l’extrémité de son ombre se trouve à $147$ m du point du sol situé à la verticale de son sommet ?
Résumer la partie I : à un instant donné, quelle grandeur est la même pour le bâton, l’arbre, la tour et la pyramide (Définition 49.1) ?

Partie II — Le calcul d’Ératosthène. Ératosthène connaissait deux faits. Dans la ville de Syène, à midi, le jour du solstice d’été, le Soleil se tenait exactement à la verticale : la lumière atteignait le fond des puits les plus profonds, et les bâtons verticaux ne projetaient aucune ombre. À Alexandrie, $800$ km plein nord, au même instant, un bâton vertical projetait bel et bien une ombre, et les rayons du Soleil faisaient un angle de $7.2^\circ$ avec la verticale.

Expliquer pourquoi ces deux observations réunies prouvent que le sol de Syène et le sol d’Alexandrie ne sont pas parallèles — autrement dit, que la surface de la Terre est courbe. (Que feraient des rayons parallèles à deux bâtons sur une Terre plate ?)
Sur un dessin de la Terre ronde éclairée par des rayons parallèles, les $7.2^\circ$ d’Alexandrie réapparaissent au centre de la Terre, comme angle entre les directions des deux villes. Faire le dessin et s’en convaincre (la justification propre utilise les couples d’angles égaux du Chapitre 51).
Quelle fraction d’un tour complet représentent $7.2^\circ$ ?
L’arc de Syène à Alexandrie ( $800$ km) correspond à $7.2^\circ$ ; la circonférence entière correspond à $360^\circ$ . Poser la proportionnalité et calculer la circonférence de la Terre.
En déduire le diamètre de la Terre, avec $\pi \approx 3.14$ (Proposition 43.3) et en arrondissant à la centaine de kilomètres. (La valeur moderne est $12\,742$ km — de combien s’en approchait un homme muni d’un bâton en 240 av. J.-C. ?)

Partie III — La Terre à l’échelle humaine.

Un globe est construit à l’échelle $1 : 40\,000\,000$ . À l’aide de la circonférence trouvée à la question 9, montrer que la circonférence du globe vaut exactement $1$ m. Quel est son diamètre, au centimètre près ?
Le mont Blanc s’élève à environ $4.8$ km. Convertir $4.8$ km en centimètres, diviser par $40\,000\,000$ , et exprimer la hauteur de la montagne sur le globe en millimètres. Que dit cette réponse sur la véritable « rugosité » de la Terre ?
Un marcheur parcourt $40$ km par jour. À ce rythme, combien de jours pour la circonférence entière d’Ératosthène — et cela fait à peu près combien d’années ?
L’atmosphère respirable est concentrée dans les $10$ premiers kilomètres au-dessus du sol, en gros. Quel pourcentage du rayon terrestre (environ $6\,370$ km) cela représente-t-il (Méthode 49.5) ? Arrondir au dixième de pour cent.
Les historiens estiment que la valeur annoncée par Ératosthène, convertie en unités modernes, valait peut-être environ $42\,000$ km. En prenant $40\,000$ km pour valeur exacte, calculer son pourcentage d’erreur. Conclure en une phrase sur les bâtons, les puits et la proportionnalité.

Solution

Solution de Problème 49.1.

1. Hauteurs et ombres sont proportionnelles, donc par le produit en croix (Théorème 49.3), avec la colonne du bâton $(1,\ 0.4)$ et celle de l’arbre $(h,\ 3.2)$ : $0.4 \times h = 1 \times 3.2$ , d’où $h = \frac{3.2}{0.4} = 8$ m.

2. Tour : $\frac{26}{0.4} = 65$ m. Ombre de l’enfant : $1.5 \times 0.4 = 0.6$ m (ombre $=$ hauteur $\times$ le coefficient $0.4$ de l’instant).

3. À mesure que le Soleil traverse le ciel, le coefficient qui relie les hauteurs aux ombres change ; seules des mesures prises au même instant partagent le même coefficient.

4. À cet instant, le coefficient vaut $1$ : toute hauteur est égale à son ombre. Le sommet de la pyramide culmine donc à $147$ m — la hauteur de la grande pyramide (l’extrémité de son ombre, mesurée depuis le point situé sous le sommet, est tout ce dont on a besoin).

5. Le quotient d’une colonne $\frac{\text{ombre}}{\text{hauteur}}$ — le coefficient de proportionnalité de l’instant — est commun à tous les objets verticaux : c’est exactement ce qui fait du tableau des hauteurs et des ombres un tableau de proportionnalité (Définition 49.1).

6. Les rayons du Soleil arrivent parallèles. Sur une Terre plate, deux rayons parallèles frapperaient deux bâtons verticaux sous le même angle : tous deux projetteraient des ombres proportionnelles — soit aucune ombre pour les deux, soit une ombre pour les deux. Un bâton sans ombre (Syène) et un bâton avec ombre (Alexandrie) au même instant sont donc impossibles sur une Terre plate : les deux verticales pointent forcément dans des directions différentes — la surface est courbe.

7. Sur le dessin, la verticale de Syène pointe droit vers le Soleil ; celle d’Alexandrie est inclinée de l’angle entre les directions des deux villes, vues depuis le centre. Comme les rayons sont parallèles, cette inclinaison est exactement les $7.2^\circ$ mesurés entre le rayon et le bâton à Alexandrie.

8. $\frac{7.2}{360} = \frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$ : un cinquantième de tour complet.

9. Les longueurs d’arc sont proportionnelles aux angles : si $7.2^\circ$ — un cinquantième du tour — correspondent à $800$ km, le tour complet correspond à

50 \times 800 = 40\,000 \text{ km}.

10. Diamètre $= \frac{\text{circonférence}}{\pi} \approx \frac{40\,000}{3.14} \approx 12\,700$ km — contre $12\,742$ km aujourd’hui : juste à bien moins d’un pour cent près, avec un bâton.

11. $40\,000$ km $= 4\,000\,000\,000$ cm, et $4\,000\,000\,000 \div 40\,000\,000 = 100$ cm $= 1$ m de circonférence. Diamètre : $100 \div 3.14 \approx 32$ cm — un beau globe de bureau.

12. $4.8$ km $= 480\,000$ cm, et $480\,000 \div 40\,000\,000 = 0.012$ cm $= 0.12$ mm. Le plus haut sommet des Alpes fait un dixième de millimètre sur un globe d’un mètre de tour : un grain de poussière. À cette échelle, la Terre est plus lisse que la plupart des billes polies.

13. $40\,000 \div 40 = 1\,000$ jours, et $1\,000 \div 365 \approx 2.7$ : presque trois ans de marche.

14. $\frac{10}{6\,370} \approx 0.0016$ , soit environ $0.2\,\%$ (plus précisément $0.16\,\%$ ) : l’atmosphère est une peau d’une finesse de souffle sur la planète.

15. Erreur : $42\,000 - 40\,000 = 2\,000$ km, et $\frac{2\,000}{40\,000} = \frac{5}{100} = 5\,\%$ . En une phrase : avec un bâton, un puits, une route mesurée et une seule proportionnalité, Ératosthène a mesuré une planète à quelques pour cent près — les mathématiques voyagent loin avec très peu.

Termes définis dans ce chapitre

Voir les 395 termes du glossaire