Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

49Proportionnalité

L’année 6 a rencontré les tableaux de proportionnalité (Chapitre 44) ; ce chapitre en fait un outil à part entière : la règle de trois pour trouver une quatrième valeur, les pourcentages, et les échelles de cartes et de maquettes. La vitesse, la plus célèbre de toutes les proportionnalités, est étudiée au Chapitre 61.

49.1 Reconnaître et compléter des tableaux

Définition 49.1 (Tableau de proportionnalité)

Un tableau à deux lignes est un tableau de proportionnalité lorsque les nombres de la seconde ligne sont ceux de la première multipliés par un nombre fixe, le coefficient. De façon équivalente : tous les quotients de colonne $\frac{\text{bas}}{\text{haut}}$ sont égaux.

Exemple 49.2

haut	$4$	$10$	$14$
bas	$6$	$15$	$21$

Quotients : $\frac64 = 1.5$ , $\frac{15}{10} = 1.5$ , $\frac{21}{14} = 1.5$ : proportionnel, coefficient $1.5$ .

Théorème 49.3 (Règle de trois)

Dans un tableau de proportionnalité de colonnes $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ , les produits en croix sont égaux :

a \times d = b \times c .

Par conséquent la quatrième valeur se calcule à partir des trois autres : $d = \dfrac{b \times c}{a}$ .

Démonstration. Soit $k$ le coefficient : $b = ka$ et $d = kc$ . Alors

a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac :

les deux produits en croix valent $k \times ac$ . Diviser $ad = bc$ par $a$ donne la formule pour $d$ . ∎

Exemple 49.4 (Quatrième proportionnelle)

Si $7$ livres identiques pèsent $2.8$ kg, combien pèsent $12$ tels livres ? Tableau et règle de trois :

livres	$7$	$12$
kg	$2.8$	$m$

7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ kg}.

Vérification par l’unité : un livre pèse $0.4$ kg, douze pèsent $4.8$ kg.

49.2 Pourcentages

Méthode 49.5 (Appliquer et trouver des pourcentages)

Appliquer $t\,\%$ : multiplier par $\frac{t}{100}$ ( $12\,\%$ de $350$ valent $0.12 \times 350 = 42$ ) ;
trouver le pourcentage qu’une partie représente : calculer $\frac{\text{partie}}{\text{tout}}$ et réécrire sur $100$ ( $21$ sur $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ ) ;
toujours se demander : un pourcentage de quoi ? Le tout de référence compte.

Exemple 49.6

Dans un collège, $180$ des $400$ élèves sont des filles. Pourcentage :

\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% .

Dans l’autre sens : combien sont les $55\,\%$ de garçons ? $0.55 \times 400 = 220$ . Vérification : $180 + 220 = 400$ .

49.3 Échelles

Définition 49.7 (Échelle)

Sur une carte ou une maquette à échelle $\frac{1}{n}$ (écrite $1 : n$ ), les distances sur la carte sont proportionnelles aux distances réelles, avec le coefficient $\frac1n$ :

\text{distance carte} = \frac{1}{n} \times \text{distance réelle},

toutes deux mesurées dans la même unité.

Exemple 49.8

Sur une carte au $1 : 50\,000$ , deux villes sont distantes de $7$ cm. Distance réelle :

7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm} = 3\,500 \text{ m} = 3.5 \text{ km}.

Inversement, un sentier de $12$ km mesure sur la carte $12$ km $= 1\,200\,000$ cm, donc $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm.

Une échelle est une proportionnalité : distances carte contre distances réelles s’alignent sur une droite passant par l’origine (ici 1 cm 4 km ; les tirets lisent 7 cm 28 km). — Une échelle est une proportionnalité : distances carte contre distances réelles s’alignent sur une droite passant par l’origine (ici $1$ cm $\leftrightarrow$ $4$ km ; les tirets lisent $7$ cm $\leftrightarrow$ $28$ km).

Remarque 49.9

Les graphiques sont le test le plus rapide de proportionnalité (Chapitre 44) : des points sur une droite passant par l’origine signifient des quantités proportionnelles ; une droite manquant l’origine (comme le prix d’un taxi avec prise en charge) signifie non proportionnel, même si c’est une droite. Les fonctions affines, au Chapitre 67, rendront cela précis.

49.4 Exercices

Exercice 49.1 ★

Quels tableaux sont des tableaux de proportionnalité ? Donner le coefficient lorsqu’il existe.

	$3$	$7$	$11$
	$7.5$	$17.5$	$27.5$

	$2$	$5$	$9$
	$6$	$15$	$28$

Solution

Solution de Exercice 49.1.

Premier tableau : quotients $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{17.5}{7} = 2.5$ , $\frac{27.5}{11} = 2.5$ : proportionnel, coefficient $2.5$ .

Second tableau : $\frac62 = 3$ et $\frac{15}{5} = 3$ , mais $\frac{28}{9} \approx 3.1$ : non proportionnel.

Exercice 49.2 ★

Compléter par la règle de trois, en écrivant le calcul : $5$ kg de pommes de terre coûtent $6$ euros ; combien coûtent $8$ kg ?

Solution

Solution de Exercice 49.2.

Par la règle de trois : $5 \times p = 6 \times 8$ , donc $p = \frac{48}{5} = 9.60$ euros.

Exercice 49.3 ★

Une imprimante imprime $36$ pages en $3$ minutes. Au même rythme, combien de pages en $5$ minutes ? Combien de temps pour $96$ pages ?

Solution

Solution de Exercice 49.3.

Rythme : $36 \div 3 = 12$ pages par minute. En $5$ minutes : $60$ pages. Pour $96$ pages : $96 \div 12 = 8$ minutes.

Exercice 49.4 ★

Calculer : $30\,\%$ de $250$ ; $15\,\%$ de $60$ ; $t\,\%$ tel que $t\,\%$ de $80$ vaut $20$ .

Solution

Solution de Exercice 49.4.

$30\,\%$ de $250$ : $0.3 \times 250 = 75$ . $15\,\%$ de $60$ : $0.15 \times 60 = 9$ . $t\,\%$ de $80$ vaut $20$ : $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$ , donc $t = 25$ .

Exercice 49.5 ★

Sur $25$ tirs, une basketteuse a marqué $18$ . Quel est son pourcentage de réussite ? (Réécrire la fraction sur $100$ .)

Solution

Solution de Exercice 49.5.

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$ .

Exercice 49.6 ★

Sur une carte au $1 : 25\,000$ , un chemin mesure $9$ cm. Quelle est sa longueur réelle en km ? Un lac mesure $2$ km de long : quelle longueur sur la carte ?

Solution

Solution de Exercice 49.6.

Chemin : $9 \times 25\,000 = 225\,000$ cm $= 2.25$ km. Lac : $2$ km $= 200\,000$ cm au sol, donc $200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm sur la carte.

Exercice 49.7 ★

Une voiture miniature est construite à l’échelle $1 : 43$ . La voiture réelle mesure $4.3$ m de long. Quelle longueur a la miniature, en cm ?

Solution

Solution de Exercice 49.7.

$4.3$ m $= 430$ cm, et $430 \div 43 = 10$ cm.

Exercice 49.8 ★★

Une recette utilise $240$ g de chocolat pour $8$ parts. Aline dispose de $300$ g de chocolat. Pour combien de parts cela suffit-il (nombre entier de parts) ?

Solution

Solution de Exercice 49.8.

Chocolat par part : $240 \div 8 = 30$ g. Avec $300$ g : $300 \div 30 = 10$ parts exactement.

Exercice 49.9 ★★

Le prix d’une veste passe de $80$ à $60$ euros.

Quelle est la réduction en euros ? En pour cent du prix initial ?
Plus tard le prix remonte de $60$ à $80$ euros. Expliquer pourquoi cette hausse n’est pas de $25\,\%$ — calculer le pourcentage d’augmentation correct.

Solution

Solution de Exercice 49.9.

1. Réduction : $20$ euros, soit $\frac{20}{80} = 25\,\%$ du prix initial.

2. La hausse de $20$ euros se compare maintenant à la nouvelle référence $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Un pourcentage se rapporte toujours à un tout ; le tout a changé, donc le pourcentage aussi.

Exercice 49.10 ★★

Deux lignes d’un tableau sont proportionnelles :

	$4$	$x$	$10$
	$y$	$10.5$	$17.5$

Trouver le coefficient, puis $x$ et $y$ .

Solution

Solution de Exercice 49.10.

Coefficient d’après la colonne complète : $\frac{17.5}{10} = 1.75$ . Puis $y = 4 \times 1.75 = 7$ et $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$ .

Exercice 49.11 ★★★

Un photocopieur réduit les documents à $80\,\%$ de leur taille. Un segment de $10$ cm est copié, puis la copie est copiée à nouveau avec le même réglage.

Quelle longueur a le segment après une copie ? Après deux ?
Pourquoi la réponse après deux copies n’est-elle pas $60\,\%$ de l’original ? Quel pourcentage unique correspond à deux copies ?

Solution

Solution de Exercice 49.11.

1. Après une copie : $10 \times 0.8 = 8$ cm. Après deux : $8 \times 0.8 = 6.4$ cm.

2. La seconde réduction s’applique à la copie déjà réduite, et non à l’original : les facteurs se multiplient, $0.8 \times 0.8 = 0.64$ , donc deux copies réduisent à $64\,\%$ de l’original — pas $60\,\%$ .