38Les nombres décimaux

Solution de Problème 38.1.

1. $3$ est le plus grand : en complétant, $3.000 > 2.999$. La différence vaut $3.000 - 2.999 = 0.001$, un millième.

2. Strictement entre $7.4 = 7.40$ et $7.5 = 7.50$ se trouvent

neuf nombres, un par nouvelle graduation.

3. La même image, dix fois plus petite : entre $7.440$ et $7.450$ se trouvent $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — neuf nombres à nouveau.

4. Entre $7.400$ et $7.500$, les nombres à trois chiffres après la virgule sont $7.401, 7.402, \dots, 7.499$ : tous les millièmes de $401$ à $499$, soit $99$ nombres.

5. La recette du zoom : écrire les deux nombres avec le même nombre de décimales, puis ajouter une décimale de plus — le plus petit des deux suivi d’un chiffre de $1$ à $9$ tombe strictement entre les deux. En effet $5.67 = 5.670$ et $5.68 = 5.680$, et

de même $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. Entre deux graduations voisines, il y a toujours tout un nouvel étage de neuf graduations plus fines.

6. $3 < 3.05 < 3.1$ ; puis $3 < 3.005 < 3.01$ ; puis $3 < 3.0005 < 3.001$. Chaque candidat est battu par un zoom de plus.

7. Quel que soit le nombre proposé par Tom — son candidat, strictement plus grand que $3$ — la question 5 fabrique un nombre strictement compris entre $3$ et ce candidat. Le candidat n’était donc pas le nombre le plus proche de $3$ : il en existe un encore plus proche. Comme cela arrive à tous les candidats sans exception, aucun nombre ne peut être « le nombre juste après $3$ » : il n’existe tout simplement pas.

8. $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$. Et $3 - 2.999 = 0.001$. Avec vingt neufs, la différence est une virgule suivie de dix-neuf zéros et d’un $1$ — une unité de la vingtième décimale : minuscule, mais pas nulle. Quel que soit le nombre de neufs que Tom écrit, il n’atteint jamais $3$.

9. Les nombres entiers montent par pas de $1$ : être plus grand que $7$ et plus petit que $8$ demanderait un nombre entier d’unités strictement compris entre $7$ et $8$ unités, et il n’y en a pas. Le zoom n’y échappe qu’en écrivant des chiffres après la virgule — précisément ce que les nombres entiers n’ont pas.

10. La plus petite longueur qui s’arrondit en $3.7$ est $3.65$ cm : son chiffre suivant est $5$, donc on arrondit vers le haut (Définition 38.9). Et $3.75$ s’arrondit en $3.8$ pour la même raison. Ainsi « $3.7$ cm au dixième près » signifie : au moins $3.65$ cm, et strictement moins que $3.75$ cm — tout un segment de longueurs possibles se cache derrière une seule valeur arrondie.

11. $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. En une phrase : en comparant chiffre par chiffre depuis la gauche, $0.0999$ a $0$ dixième alors que $0.6$ en a $6$, et la comparaison est réglée dès là — le nombre de chiffres écrits ne dit rien de la taille (Méthode 38.3).

12. Non : en centimes, $4.99$ euros font $499$ centimes et $5$ euros font $500$ centimes — deux nombres entiers consécutifs, sans rien entre eux. Les prix, qui ont exactement deux décimales, sont en réalité des nombres entiers de centimes déguisés : comme les nombres entiers de la question 9, ils ont bel et bien des voisins de palier. Le zoom sans fin exige le droit d’écrire toujours plus de décimales.

13. Les candidats proches de $6$ sont $5.82$ et $8.25$ (un nombre commençant par $2$, ou par $58$, $25$, $82$, $85$, est loin de $6$). Distances : $6 - 5.82 = 0.18$ et $8.25 - 6 = 2.25$. Le plus proche est $5.82$.

14. Par exemple $3.1415$, puisque $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$ ; puis $3.14159$, puisque $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (Ce sont deux étapes réelles de la chasse à $\pi = 3.14159\dots$)

15. Supposons que quelqu’un nomme un nombre, aussi grand qu’il le veut. Un zoom transforme chaque couple de graduations voisines entre $0$ et $1$ en neuf nouveaux nombres, et le zoom peut se répéter indéfiniment — les questions 2, 3 et 4 n’étaient que les deux premiers étages. En le répétant assez de fois, on produit plus de nombres décimaux entre $0$ et $1$ que le nombre annoncé. Aucun nombre n’est donc assez grand pour les compter : il y en a une infinité.