Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

38Les nombres décimaux

Entre $2$ et $3$ , il y a plein de nombres : $2.5$ , $2.71$ , $2.999$ … Les nombres décimaux étendent le système de numération à droite des unités, et ils suivent les mêmes règles que les entiers — avec quelques pièges que ce chapitre apprend à éviter.

38.1 Écriture décimale

Définition 38.1 (Positions décimales)

Un nombre décimal a une partie entière et une partie décimale, séparées par la virgule. Chaque place à droite de la virgule vaut dix fois moins que la précédente : dixièmes, centièmes, millièmes. Par exemple

13.407 = 13 + \frac{4}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000} = 1 \times 10 + 3 + 4 \times \frac{1}{10} + 7 \times \frac{1}{1000}.

Le tableau de numération de 13.407 : la virgule se place entre les unités et les dixièmes. — Le tableau de numération de $13.407$ : la virgule se place entre les unités et les dixièmes.

Remarque 38.2 (Zéros qui comptent, zéros qui ne comptent pas)

Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change rien : $2.5 = 2.50 = 2.500$ . Mais les zéros entre les chiffres sont essentiels : $13.407 \neq 13.47$ . Et $0.5$ est très différent de $0.05$ !

Méthode 38.3 (Comparer des nombres décimaux)

Comparer d’abord les parties entières : $7.2 > 5.99$ car $7 > 5$ .
Si les parties entières sont égales, comparer les parties décimales chiffre par chiffre depuis la gauche — compléter avec des zéros finaux aide : pour comparer $3.4$ et $3.15$ , écrire $3.40$ et $3.15$ ; comme $40 > 15$ centièmes, $3.4 > 3.15$ .

Attention : plus long ne veut pas dire plus grand. $3.15$ a plus de chiffres que $3.4$ mais est plus petit.

Zoom sur la droite graduée entre 3 et 4 : chaque graduation est un dixième. Le point 3.15 se situe à mi-chemin entre 3.1 et 3.2. — Zoom sur la droite graduée entre $3$ et $4$ : chaque graduation est un dixième. Le point $3.15$ se situe à mi-chemin entre $3.1$ et $3.2$ .

38.2 Additionner, soustraire, multiplier

Méthode 38.4 (Calculs en colonnes avec des décimaux)

Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, aligner les virgules (ainsi les unités sont sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes), en complétant avec des zéros finaux si besoin ; puis calculer comme avec les entiers, et placer la virgule du résultat sous les autres.

Exemple 38.5

Calculer $13.7 + 2.85$ , en alignant les virgules ( $13.7 = 13.70$ ) :

\begin{array}{r} 1\,3.7\,0 \\ +\ \ \,2.8\,5 \\ \hline 1\,6.5\,5 \end{array}

Calculer $6 - 2.35$ (écrire $6 = 6.00$ ) : $6.00 - 2.35 = 3.65$ . Vérif. : $3.65 + 2.35 = 6$ .

Exemple 38.6 (Multiplier des décimaux)

Pour calculer $2.3 \times 1.4$ : multiplier comme des entiers, $23 \times 14 = 322$ ; puis compter les chiffres décimaux des facteurs ( $1 + 1 = 2$ ), et placer la virgule pour que le résultat en ait autant : $2.3 \times 1.4 = 3.22$ . Vérification d’ordre de grandeur : $2.3 \times 1.4$ doit être un peu plus que $2.3 \times 1 = 2.3$ — et $3.22$ l’est.

38.3 Multiplier et diviser par 10, 100, 1000

Proposition 38.7 (Décaler la virgule)

Multiplier un nombre décimal par $10$ , $100$ , $1000$ déplace sa virgule de $1$ , $2$ , $3$ places vers la droite ; diviser la déplace vers la gauche (en complétant avec des zéros au besoin) :

3.75 \times 100 = 375, \qquad 42.1 \div 1000 = 0.0421 .

Démonstration. Multiplier par $10$ fait valoir chaque chiffre dix fois plus : les dixièmes deviennent des unités, les unités des dizaines, et ainsi de suite — chaque chiffre se déplace d’une colonne à gauche dans le tableau de numération, ce qui revient à déplacer la virgule d’une place à droite. Diviser inverse ce mouvement. ∎

Exemple 38.8 (Unités de mesure)

Convertir des unités, c’est exactement ce jeu : comme $1$ m $= 100$ cm,

3.75 \text{ m} = 3.75 \times 100 \text{ cm} = 375 \text{ cm}, \qquad 42 \text{ mm} = 42 \div 10 \text{ cm} = 4.2 \text{ cm}.

38.4 Arrondi

Définition 38.9 (Arrondi)

L’arrondi d’un nombre à l’unité (ou au dixième, au centième, …) est le nombre le plus proche avec cette précision. On regarde le chiffre suivant : s’il vaut $0,1,2,3,4$ , on arrondit vers le bas (on garde) ; s’il vaut $5,6,7,8,9$ , on arrondit vers le haut.

Exemple 38.10

$7.38$ arrondi à l’unité est $7$ (chiffre suivant $3$ : on garde) ; arrondi au dixième, c’est $7.4$ (chiffre suivant $8$ : on arrondit vers le haut). Le prix $4.996$ arrondi au centième est $5.00$ — l’arrondi peut changer tous les chiffres !

38.5 Exercices

Exercice 38.1 ★

Écrire comme un nombre décimal : $5 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{100}$ ; $\dfrac{9}{10}$ ; $12 + \dfrac{4}{1000}$ ; « huit unités et cinq centièmes ».

Solution

Solution de Exercice 38.1.

$5.37$ ; $0.9$ ; $12.004$ ; $8.05$ .

Exercice 38.2 ★

Dans $86.354$ : quel est le chiffre des dixièmes ? Des centièmes ? Que compte le chiffre $8$ ? Écrire ce nombre comme dans Définition 38.1.

Solution

Solution de Exercice 38.2.

Chiffre des dixièmes : $3$ ; chiffre des centièmes : $5$ ; le $8$ compte les dizaines.

86.354 = 8 \times 10 + 6 + 3 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{100} + 4 \times \frac{1}{1000}.

Exercice 38.3 ★

Recopier et compléter avec $<$ , $>$ ou $=$ :

5.3 \;?\; 5.29, \qquad 0.7 \;?\; 0.70, \qquad 2.09 \;?\; 2.9, \qquad 14.5 \;?\; 14.49 .

Solution

Solution de Exercice 38.3.

$5.3 > 5.29$ (comparer $5.30$ avec $5.29$ ) ; $0.7 = 0.70$ (les zéros finaux ne changent rien) ; $2.09 < 2.9$ (dixièmes : $0 < 9$ ) ; $14.5 > 14.49$ .

Exercice 38.4 ★

Ranger du plus petit au plus grand : $4.2$ ; $4.05$ ; $4.51$ ; $4.15$ ; $4.5$ .

Solution

Solution de Exercice 38.4.

Compléter à deux décimales : $4.20$ ; $4.05$ ; $4.51$ ; $4.15$ ; $4.50$ . Ordre :

4.05 < 4.15 < 4.2 < 4.5 < 4.51 .

Exercice 38.5 ★

Quels nombres décimaux correspondent aux points $A$ , $B$ , $C$ sur une droite graduée en dixièmes, si $A$ est $3$ graduations après $6$ , $B$ est $7$ graduations après $6$ , et $C$ est $2$ graduations après $7$ ?

Solution

Solution de Exercice 38.5.

Chaque graduation est un dixième. $A$ : $6.3$ ; $B$ : $6.7$ ; $C$ : $7.2$ .

Exercice 38.6 ★

Calculer en colonnes : $45.8 + 7.65$ ; $23.4 - 8.72$ ; $5.6 \times 2.4$ (compter les chiffres décimaux !).

Solution

Solution de Exercice 38.6.

$45.80 + 7.65 = 53.45$ .

$23.40 - 8.72 = 14.68$ (vérif. : $14.68 + 8.72 = 23.4$ ).

$56 \times 24 = 1344$ , et deux chiffres décimaux dans les facteurs : $5.6 \times 2.4 = 13.44$ .

Exercice 38.7 ★

Calculer sans aucun calcul écrit :

6.42 \times 10, \qquad 0.35 \times 1000, \qquad 78.1 \div 100, \qquad 5 \div 1000 .

Solution

Solution de Exercice 38.7.

$6.42 \times 10 = 64.2$ ; $0.35 \times 1000 = 350$ ; $78.1 \div 100 = 0.781$ ; $5 \div 1000 = 0.005$ .

Exercice 38.8 ★

Convertir : $2.4$ m en cm ; $370$ g en kg ; $0.85$ km en m ; $56$ mm en m.

Solution

Solution de Exercice 38.8.

$2.4$ m $= 240$ cm ; $370$ g $= 0.37$ kg (diviser par $1000$ ) ; $0.85$ km $= 850$ m ; $56$ mm $= 0.056$ m.

Exercice 38.9 ★

Arrondir $23.867$ : à l’unité ; au dixième ; au centième. Arrondir $9.97$ au dixième.

Solution

Solution de Exercice 38.9.

À l’unité : $24$ (chiffre suivant $8$ : arrondir vers le haut). Au dixième : $23.9$ . Au centième : $23.87$ . Et $9.97$ au dixième : le chiffre suivant est $7$ , donc on arrondit vers le haut les $9$ dixièmes — $10.0$ .

Exercice 38.10 ★★

Une baguette coûte $1.15$ . Léna en achète trois et paie avec un billet de $5$ . Écrire les deux calculs nécessaires, et donner sa monnaie.

Solution

Solution de Exercice 38.10.

Prix des baguettes : $3 \times 1.15 = 3.45$ . Monnaie : $5 - 3.45 = 1.55$ .

Exercice 38.11 ★★

Trouver un nombre décimal strictement entre $7.4$ et $7.5$ ; puis entre $3.99$ et $4$ . Combien de tels nombres y a-t-il dans chaque cas ?

Solution

Solution de Exercice 38.11.

Entre $7.4$ et $7.5$ : par exemple $7.45$ (ou $7.41$ , $7.499$ , …). Entre $3.99$ et $4$ : par exemple $3.995$ . Dans les deux cas il y a infiniment de tels nombres : on peut toujours ajouter des décimales.

Exercice 38.12 ★★★

En utilisant chacun des chiffres $2$ , $5$ , $8$ exactement une fois et une virgule, écrire le plus grand nombre possible, puis le plus petit. (Les nombres comme $.58$ ne sont pas autorisés : la partie entière doit contenir au moins un chiffre.)

Solution

Solution de Exercice 38.12.

Le plus grand : mettre les plus grands chiffres en premier et la virgule le plus tard possible : $85.2$ . Le plus petit : les plus petits chiffres en premier et la virgule le plus tôt possible : $2.58$ .