Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

41Triangles et quadrilatères

Les triangles et les quadrilatères sont les formes de base de la géométrie. Le but de ce chapitre est de connaître leurs familles spéciales — isocèles, équilatéraux, rectangles ; rectangles, losanges, carrés — par leurs propriétés définissantes, et de les construire précisément à la règle et au compas.

41.1 Triangles

Définition 41.1 (Triangles spéciaux)

Un triangle $ABC$ a trois sommets et trois côtés. Il est :

isocèle en $A$ lorsque $AB = AC$ (deux côtés égaux) ;
équilatéral lorsque $AB = BC = CA$ (trois côtés égaux) ;
rectangle en $A$ lorsque l’angle $\widehat{BAC}$ est un angle droit. Le côté $[BC]$ opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.

Les trois triangles spéciaux. Les petites marques indiquent les côtés égaux ; le carré marque l’angle droit.

Méthode 41.2 (Construire un triangle à partir de ses trois côtés)

Pour construire $ABC$ avec $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 3$ cm :

tracer le segment $[AB]$ de $5$ cm à la règle ;
tracer un arc du cercle de centre $A$ et de rayon $4$ cm (tous les points à $4$ cm de $A$ ) ;
tracer un arc du cercle de centre $B$ et de rayon $3$ cm ;
le point $C$ est où les deux arcs se croisent ; le joindre à $A$ et $B$ .

Construire un triangle au compas : le sommet C est le point de croisement de deux arcs. (Dans , on verra quand une telle construction est possible.) — Construire un triangle au compas : le sommet $C$ est le point de croisement de deux arcs. (Dans Chapitre 51, on verra quand une telle construction est possible.)

41.2 Quadrilatères

Définition 41.3 (Quadrilatères spéciaux)

Un quadrilatère a quatre sommets et quatre côtés. C’est un :

rectangle lorsque ses quatre angles sont des angles droits ;
losange lorsque ses quatre côtés ont la même longueur ;
carré lorsqu’il est les deux : quatre angles droits et quatre côtés égaux.

Proposition 41.4 (Propriétés des diagonales)

Dans ces quadrilatères, les deux diagonales se coupent en leur milieu commun, et de plus :

dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur ;
dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires ;
dans un carré, les deux à la fois.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Les trois quadrilatères spéciaux avec leurs diagonales (en rouge). Le carré hérite des propriétés du rectangle et du losange.

Remarque 41.5

Un carré est automatiquement un rectangle (il a quatre angles droits) et automatiquement un losange (quatre côtés égaux). Donc « rectangle » ne signifie pas « pas un carré » ! En mathématiques, la forme plus spéciale appartient à la famille plus générale.

Exemple 41.6 (Reconnaître une forme d’après ses propriétés)

Un quadrilatère a quatre côtés de longueur $4$ cm et un angle droit. Qu’est-ce ? Quatre côtés égaux en font un losange. Dans un losange, les angles opposés sont égaux et les quatre angles additionnent $360^\circ$ ; un angle droit force alors les quatre à être droits (ce sera prouvé avec les parallélogrammes dans Chapitre 52). Donc la forme est un carré.

Méthode 41.7 (Programmes de construction)

Un programme de construction est une liste d’instructions que n’importe qui peut suivre pour reproduire une figure exactement. Écrire une instruction par ligne, nommer chaque point quand il est créé, et n’utiliser que : « tracer le segment / la droite / le cercle … », « placer le point où … se croisent ». Tester son programme en le suivant littéralement, mot pour mot.

Exemple 41.8

Programme pour un carré $ABCD$ de côté $4$ cm :

Tracer un segment $[AB]$ avec $AB = 4$ cm.
Tracer la perpendiculaire à $(AB)$ en $A$ ; dessus, placer $D$ à $4$ cm de $A$ (choisir un côté de la droite et s’y tenir).
Tracer la perpendiculaire à $(AB)$ en $B$ ; dessus, placer $C$ à $4$ cm de $B$ , du même côté que $D$ .
Joindre $C$ et $D$ .

Vérifier à la règle : $DC$ doit aussi mesurer $4$ cm.

41.3 Exercices

Exercice 41.1 ★

Construire un triangle $ABC$ avec $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm et $BC = 4$ cm, en suivant Méthode 41.2.

Solution

Solution de Exercice 41.1.

Suivre la méthode : segment $[AB]$ de $6$ cm, arc de rayon $5$ cm centré en $A$ , arc de rayon $4$ cm centré en $B$ ; le point de croisement est $C$ .

Exercice 41.2 ★

Construire un triangle isocèle $DEF$ avec $DE = DF = 5$ cm et $EF = 3$ cm. Quels deux angles de ce triangle semblent égaux ? Les mesurer pour vérifier.

Solution

Solution de Exercice 41.2.

Base $[EF]$ de $3$ cm, puis deux arcs de rayon $5$ cm centrés en $E$ et $F$ ; leur croisement est $D$ . Les deux angles à la base $\widehat{DEF}$ et $\widehat{DFE}$ sont égaux (environ $72.5^\circ$ chacun) — symétrie du triangle isocèle (Exemple 42.8).

Exercice 41.3 ★

Construire un triangle équilatéral de côté $4$ cm en n’utilisant que la règle et le compas. Mesurer un de ses angles.

Solution

Solution de Exercice 41.3.

Segment de $4$ cm, puis deux arcs de rayon $4$ cm centrés en ses extrémités. Chaque angle mesure $60^\circ$ .

Exercice 41.4 ★

Classer chaque triangle d’après ses données (isocèle, équilatéral, rectangle — plusieurs réponses peuvent s’appliquer) : (a) côtés $7$ , $7$ , $7$ ; (b) côtés $5$ , $5$ , $8$ ; (c) angles $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ; (d) angles $60^\circ$ , $60^\circ$ , $60^\circ$ .

Solution

Solution de Exercice 41.4.

(a) équilatéral (donc aussi isocèle). (b) isocèle ( $5 = 5$ ). (c) rectangle et isocèle (deux angles égaux de $45^\circ$ font face à deux côtés égaux). (d) équilatéral (trois angles égaux).

Exercice 41.5 ★

Dans un triangle rectangle, quel côté est l’hypoténuse ? Dessiner un triangle $MNP$ rectangle en $N$ , et nommer son hypoténuse. Quel sommet l’hypoténuse ne touche-t-elle jamais ?

Solution

Solution de Exercice 41.5.

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, toujours le plus long côté. Dans $MNP$ rectangle en $N$ , l’hypoténuse est $[MP]$ : elle ne touche jamais le sommet de l’angle droit, $N$ .

Exercice 41.6 ★

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse en une phrase.

Tout carré est un rectangle.
Tout rectangle est un carré.
Tout carré est un losange.
Un losange avec un angle droit est un carré.

Solution

Solution de Exercice 41.6.

1. Vrai : un carré a quatre angles droits, ce qui est la définition d’un rectangle.

2. Faux : un rectangle $5 \times 3$ a des côtés inégaux.

3. Vrai : un carré a quatre côtés égaux, définition d’un losange.

4. Vrai : voir Exemple 41.6.

Exercice 41.7 ★

Construire un rectangle $ABCD$ avec $AB = 5$ cm et $BC = 3$ cm. Mesurer ses deux diagonales : que remarque-t-on ?

Solution

Solution de Exercice 41.7.

Construction avec des perpendiculaires, comme dans Exemple 41.8. Les deux diagonales mesurent environ $5.8$ cm : les diagonales d’un rectangle ont la même longueur (Proposition 41.4).

Exercice 41.8 ★

Construire un losange de diagonales $6$ cm et $4$ cm. (Utiliser Proposition 41.4 : tracer d’abord les deux diagonales — perpendiculaires, se croisant en leurs milieux — puis joindre les quatre extrémités.)

Solution

Solution de Exercice 41.8.

Tracer un segment de $6$ cm ; son milieu $O$ ; la perpendiculaire en $O$ ; dessus, deux points à $2$ cm de $O$ de chaque côté. Joindre les quatre extrémités donne le losange (les quatre sommets sont aux distances $3$ cm et $2$ cm de $O$ le long de droites perpendiculaires, donc les quatre côtés sont égaux par symétrie).

Exercice 41.9 ★★

Écrire un programme de construction pour un triangle isocèle de base $4$ cm et de côtés égaux $6$ cm, dans le style de Exemple 41.8. Échanger avec un camarade : peut-il le suivre sans voir la figure ?

Solution

Solution de Exercice 41.9.

Un programme correct : 1. tracer un segment $[BC]$ avec $BC = 4$ cm ; 2. tracer l’arc de centre $B$ et de rayon $6$ cm au-dessus de $[BC]$ ; 3. tracer l’arc de centre $C$ et de rayon $6$ cm au-dessus de $[BC]$ ; 4. nommer $A$ le point de croisement des deux arcs ; 5. tracer les segments $[AB]$ et $[AC]$ .

Exercice 41.10 ★★

Tracer un cercle de centre $O$ et un de ses diamètres $[AB]$ . Placer un point $M$ quelconque sur le cercle et tracer le triangle $AMB$ . Mesurer l’angle $\widehat{AMB}$ . Déplacer $M$ et mesurer encore. Que conjecture-t-on ? (Ce fait surprenant est prouvé dans Chapitre 60.)

Solution

Solution de Exercice 41.10.

Quelle que soit la position de $M$ sur le cercle, l’angle $\widehat{AMB}$ mesure $90^\circ$ : le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ dès que $[AB]$ est un diamètre. La démonstration attend Chapitre 60.

Exercice 41.11 ★★

Un quadrilatère a des diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu commun. Déterminer quelle forme ce doit être, en utilisant Proposition 41.4 : rectangle, losange ou carré ? (Attention : une seule propriété est donnée.)

Solution

Solution de Exercice 41.11.

Des diagonales qui se coupent en leur milieu et ont des longueurs égales : c’est la liste des propriétés du rectangle (Proposition 41.4). Rien n’oblige les diagonales à être perpendiculaires, donc ce n’est pas forcément un losange ou un carré — un rectangle est la bonne réponse (un carré la satisferait aussi, mais n’est pas forcé).

Exercice 41.12 ★★★

Sur un quadrillage pointé $4 \times 4$ , combien de carrés différents peut-on dessiner dont les coins sont des points du quadrillage — en comptant aussi les carrés « penchés » ? Dessiner au moins un carré penché et expliquer pourquoi ses côtés sont égaux.

Solution

Solution de Exercice 41.12.

Avec $4 \times 4$ points, il y a $3 \times 3$ cellules de quadrillage. Carrés alignés : côtés $1$ , $2$ ou $3$ donnent $9 + 4 + 1 = 14$ carrés. Des carrés penchés existent aussi : les petits dont les côtés sont des diagonales de cellules $1 \times 1$ (comme $(1,0)$ , $(2,1)$ , $(1,2)$ , $(0,1)$ ) — quatre d’entre eux ; et les plus grands dont les côtés sont des diagonales de rectangles $2 \times 1$ , comme $(1,0)$ , $(3,1)$ , $(2,3)$ , $(0,2)$ — deux d’entre eux. Les quatre côtés d’un tel carré sont égaux parce qu’ils sont des diagonales de rectangles identiques. Total : $14 + 4 + 2 = 20$ carrés. (Tout compte avec un exemple penché correct et les $14$ alignés est une réussite à ce niveau.)