Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

41Triangles et quadrilatères

Les triangles et les quadrilatères sont les formes de base de la géométrie. Le but de ce chapitre est de connaître leurs familles spéciales — isocèles, équilatéraux, rectangles ; rectangles, losanges, carrés — par leurs propriétés définissantes, et de les construire précisément à la règle et au compas.

41.1 Triangles

Définition 41.1 (Triangles spéciaux)

Un triangle $ABC$ a trois sommets et trois côtés. Il est :

isocèle en $A$ lorsque $AB = AC$ (deux côtés égaux) ;
équilatéral lorsque $AB = BC = CA$ (trois côtés égaux) ;
rectangle en $A$ lorsque l’angle $\widehat{BAC}$ est un angle droit. Le côté $[BC]$ opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.

Les trois triangles spéciaux. Les petites marques indiquent les côtés égaux ; le carré marque l’angle droit.

Méthode 41.2 (Construire un triangle à partir de ses trois côtés)

Pour construire $ABC$ avec $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 3$ cm :

tracer le segment $[AB]$ de $5$ cm à la règle ;
tracer un arc du cercle de centre $A$ et de rayon $4$ cm (tous les points à $4$ cm de $A$ ) ;
tracer un arc du cercle de centre $B$ et de rayon $3$ cm ;
le point $C$ est où les deux arcs se croisent ; le joindre à $A$ et $B$ .

Construire un triangle au compas : le sommet C est le point de croisement de deux arcs. (Dans , on verra quand une telle construction est possible.) — Construire un triangle au compas : le sommet $C$ est le point de croisement de deux arcs. (Dans Chapitre 51, on verra quand une telle construction est possible.)

41.2 Quadrilatères

Définition 41.3 (Quadrilatères spéciaux)

Un quadrilatère a quatre sommets et quatre côtés. C’est un :

rectangle lorsque ses quatre angles sont des angles droits ;
losange lorsque ses quatre côtés ont la même longueur ;
carré lorsqu’il est les deux : quatre angles droits et quatre côtés égaux.

Proposition 41.4 (Propriétés des diagonales)

Dans ces quadrilatères, les deux diagonales se coupent en leur milieu commun, et de plus :

dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur ;
dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires ;
dans un carré, les deux à la fois.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Les trois quadrilatères spéciaux avec leurs diagonales (en rouge). Le carré hérite des propriétés du rectangle et du losange.

Remarque 41.5

Un carré est automatiquement un rectangle (il a quatre angles droits) et automatiquement un losange (quatre côtés égaux). Donc « rectangle » ne signifie pas « pas un carré » ! En mathématiques, la forme plus spéciale appartient à la famille plus générale.

Exemple 41.6 (Reconnaître une forme d’après ses propriétés)

Un quadrilatère a quatre côtés de longueur $4$ cm et un angle droit. Qu’est-ce ? Quatre côtés égaux en font un losange. Dans un losange, les angles opposés sont égaux et les quatre angles additionnent $360^\circ$ ; un angle droit force alors les quatre à être droits (ce sera prouvé avec les parallélogrammes dans Chapitre 52). Donc la forme est un carré.

Méthode 41.7 (Programmes de construction)

Un programme de construction est une liste d’instructions que n’importe qui peut suivre pour reproduire une figure exactement. Écrire une instruction par ligne, nommer chaque point quand il est créé, et n’utiliser que : « tracer le segment / la droite / le cercle … », « placer le point où … se croisent ». Tester son programme en le suivant littéralement, mot pour mot.

Exemple 41.8

Programme pour un carré $ABCD$ de côté $4$ cm :

Tracer un segment $[AB]$ avec $AB = 4$ cm.
Tracer la perpendiculaire à $(AB)$ en $A$ ; dessus, placer $D$ à $4$ cm de $A$ (choisir un côté de la droite et s’y tenir).
Tracer la perpendiculaire à $(AB)$ en $B$ ; dessus, placer $C$ à $4$ cm de $B$ , du même côté que $D$ .
Joindre $C$ et $D$ .

Vérifier à la règle : $DC$ doit aussi mesurer $4$ cm.

41.3 Exercices

Exercice 41.1 ★

Construire un triangle $ABC$ avec $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm et $BC = 4$ cm, en suivant Méthode 41.2.

Solution

Solution de Exercice 41.1.

Suivre la méthode : segment $[AB]$ de $6$ cm, arc de rayon $5$ cm centré en $A$ , arc de rayon $4$ cm centré en $B$ ; le point de croisement est $C$ .

Exercice 41.2 ★

Construire un triangle isocèle $DEF$ avec $DE = DF = 5$ cm et $EF = 3$ cm. Quels deux angles de ce triangle semblent égaux ? Les mesurer pour vérifier.

Solution

Solution de Exercice 41.2.

Base $[EF]$ de $3$ cm, puis deux arcs de rayon $5$ cm centrés en $E$ et $F$ ; leur croisement est $D$ . Les deux angles à la base $\widehat{DEF}$ et $\widehat{DFE}$ sont égaux (environ $72.5^\circ$ chacun) — symétrie du triangle isocèle (Exemple 42.8).

Exercice 41.3 ★

Construire un triangle équilatéral de côté $4$ cm en n’utilisant que la règle et le compas. Mesurer un de ses angles.

Solution

Solution de Exercice 41.3.

Segment de $4$ cm, puis deux arcs de rayon $4$ cm centrés en ses extrémités. Chaque angle mesure $60^\circ$ .

Exercice 41.4 ★

Classer chaque triangle d’après ses données (isocèle, équilatéral, rectangle — plusieurs réponses peuvent s’appliquer) : (a) côtés $7$ , $7$ , $7$ ; (b) côtés $5$ , $5$ , $8$ ; (c) angles $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ; (d) angles $60^\circ$ , $60^\circ$ , $60^\circ$ .

Solution

Solution de Exercice 41.4.

(a) équilatéral (donc aussi isocèle). (b) isocèle ( $5 = 5$ ). (c) rectangle et isocèle (deux angles égaux de $45^\circ$ font face à deux côtés égaux). (d) équilatéral (trois angles égaux).

Exercice 41.5 ★

Dans un triangle rectangle, quel côté est l’hypoténuse ? Dessiner un triangle $MNP$ rectangle en $N$ , et nommer son hypoténuse. Quel sommet l’hypoténuse ne touche-t-elle jamais ?

Solution

Solution de Exercice 41.5.

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, toujours le plus long côté. Dans $MNP$ rectangle en $N$ , l’hypoténuse est $[MP]$ : elle ne touche jamais le sommet de l’angle droit, $N$ .

Exercice 41.6 ★

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse en une phrase.

Tout carré est un rectangle.
Tout rectangle est un carré.
Tout carré est un losange.
Un losange avec un angle droit est un carré.

Solution

Solution de Exercice 41.6.

1. Vrai : un carré a quatre angles droits, ce qui est la définition d’un rectangle.

2. Faux : un rectangle $5 \times 3$ a des côtés inégaux.

3. Vrai : un carré a quatre côtés égaux, définition d’un losange.

4. Vrai : voir Exemple 41.6.

Exercice 41.7 ★

Construire un rectangle $ABCD$ avec $AB = 5$ cm et $BC = 3$ cm. Mesurer ses deux diagonales : que remarque-t-on ?

Solution

Solution de Exercice 41.7.

Construction avec des perpendiculaires, comme dans Exemple 41.8. Les deux diagonales mesurent environ $5.8$ cm : les diagonales d’un rectangle ont la même longueur (Proposition 41.4).

Exercice 41.8 ★

Construire un losange de diagonales $6$ cm et $4$ cm. (Utiliser Proposition 41.4 : tracer d’abord les deux diagonales — perpendiculaires, se croisant en leurs milieux — puis joindre les quatre extrémités.)

Solution

Solution de Exercice 41.8.

Tracer un segment de $6$ cm ; son milieu $O$ ; la perpendiculaire en $O$ ; dessus, deux points à $2$ cm de $O$ de chaque côté. Joindre les quatre extrémités donne le losange (les quatre sommets sont aux distances $3$ cm et $2$ cm de $O$ le long de droites perpendiculaires, donc les quatre côtés sont égaux par symétrie).

Exercice 41.9 ★★

Écrire un programme de construction pour un triangle isocèle de base $4$ cm et de côtés égaux $6$ cm, dans le style de Exemple 41.8. Échanger avec un camarade : peut-il le suivre sans voir la figure ?

Solution

Solution de Exercice 41.9.

Un programme correct : 1. tracer un segment $[BC]$ avec $BC = 4$ cm ; 2. tracer l’arc de centre $B$ et de rayon $6$ cm au-dessus de $[BC]$ ; 3. tracer l’arc de centre $C$ et de rayon $6$ cm au-dessus de $[BC]$ ; 4. nommer $A$ le point de croisement des deux arcs ; 5. tracer les segments $[AB]$ et $[AC]$ .

Exercice 41.10 ★★

Tracer un cercle de centre $O$ et un de ses diamètres $[AB]$ . Placer un point $M$ quelconque sur le cercle et tracer le triangle $AMB$ . Mesurer l’angle $\widehat{AMB}$ . Déplacer $M$ et mesurer encore. Que conjecture-t-on ? (Ce fait surprenant est prouvé dans Chapitre 60.)

Solution

Solution de Exercice 41.10.

Quelle que soit la position de $M$ sur le cercle, l’angle $\widehat{AMB}$ mesure $90^\circ$ : le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ dès que $[AB]$ est un diamètre. La démonstration attend Chapitre 60.

Exercice 41.11 ★★

Un quadrilatère a des diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu commun. Déterminer quelle forme ce doit être, en utilisant Proposition 41.4 : rectangle, losange ou carré ? (Attention : une seule propriété est donnée.)

Solution

Solution de Exercice 41.11.

Des diagonales qui se coupent en leur milieu et ont des longueurs égales : c’est la liste des propriétés du rectangle (Proposition 41.4). Rien n’oblige les diagonales à être perpendiculaires, donc ce n’est pas forcément un losange ou un carré — un rectangle est la bonne réponse (un carré la satisferait aussi, mais n’est pas forcé).

Exercice 41.12 ★★★

Sur un quadrillage pointé $4 \times 4$ , combien de carrés différents peut-on dessiner dont les coins sont des points du quadrillage — en comptant aussi les carrés « penchés » ? Dessiner au moins un carré penché et expliquer pourquoi ses côtés sont égaux.

Solution

Solution de Exercice 41.12.

Avec $4 \times 4$ points, il y a $3 \times 3$ cellules de quadrillage. Carrés alignés : côtés $1$ , $2$ ou $3$ donnent $9 + 4 + 1 = 14$ carrés. Des carrés penchés existent aussi : les petits dont les côtés sont des diagonales de cellules $1 \times 1$ (comme $(1,0)$ , $(2,1)$ , $(1,2)$ , $(0,1)$ ) — quatre d’entre eux ; et les plus grands dont les côtés sont des diagonales de rectangles $2 \times 1$ , comme $(1,0)$ , $(3,1)$ , $(2,3)$ , $(0,2)$ — deux d’entre eux. Les quatre côtés d’un tel carré sont égaux parce qu’ils sont des diagonales de rectangles identiques. Total : $14 + 4 + 2 = 20$ carrés. (Tout compte avec un exemple penché correct et les $14$ alignés est une réussite à ce niveau.)

41.4 Problème : ce que savent les diagonales

Problème 41.1

Devoir maison — reconstruire chaque quadrilatère particulier à partir de ses seules diagonales, et compter les diagonales d’un polygone quelconque

Proposition 41.4 lit une figure et renseigne sur ses diagonales. Ce problème joue le jeu à l’envers : à partir de deux segments sécants seulement — les futures diagonales — quelle figure apparaît lorsqu’on joint leurs quatre extrémités ? On y construira un « dictionnaire des diagonales » complet, on comprendra pourquoi la construction du losange de l’Exercice 41.8 fonctionne, on rencontrera une figure encore sans nom, et on terminera en comptant les diagonales de polygones à bien plus de quatre côtés.

Partie I — Le dictionnaire des diagonales. Pour chaque question, tracer les deux segments décrits, joindre leurs quatre extrémités dans l’ordre, et reconnaître le quadrilatère obtenu.

Deux segments de $6$ cm chacun, perpendiculaires, se coupant en leur milieu commun. Mesurer les quatre côtés et les quatre angles de la figure obtenue : qu’est-ce que c’est ?
Deux segments de $8$ cm et $5$ cm, perpendiculaires, se coupant en leur milieu commun. Quelle figure apparaît (Exercice 41.8) ?
Deux segments de $7$ cm chacun — égaux mais non perpendiculaires — se coupant en leur milieu commun. Mesurer les côtés et les angles : quelle figure conjecture-t-on ?
Deux segments de $8$ cm et $5$ cm, non perpendiculaires, se coupant en leur milieu commun. La figure obtenue n’est aucune des trois de la Définition 41.3 — décrire ce que l’on voit (quels côtés semblent égaux ? parallèles ?). Ce quadrilatère reçoit son nom au Chapitre 52.
Résumer les questions 1 à 4 dans un dictionnaire à quatre entrées : diagonales égales / perpendiculaires / les deux / ni l’un ni l’autre (se coupant toujours en leur milieu) $\rightarrow$ nom (ou description) de la figure.

Partie II — Pourquoi les constructions fonctionnent.

À la question 2, les deux diagonales découpent la figure en quatre triangles rectangles autour du point d’intersection. Quelles sont les longueurs des deux côtés de l’angle droit de chacun de ces triangles ? Expliquer pourquoi les quatre triangles sont des copies exactes les uns des autres, et en déduire pourquoi les quatre côtés de la figure sont égaux — le secret de l’Exercice 41.8.
En déduire un test au compas seul : après avoir construit une figure à partir de ses diagonales, comment vérifier au compas seul (sans mesure à la règle) que les quatre côtés sont égaux ?
Rédiger un programme de construction (Méthode 41.7) pour un carré dont les diagonales mesurent $6$ cm — et non les côtés.
Dans le carré de la question 8, le côté est-il plus long ou plus court que $3$ cm — la moitié de la diagonale ? Mesurer pour le savoir. La moitié de la réponse peut déjà se démontrer : aller d’un sommet au suivant en passant par le centre est un détour de $3 + 3$ cm, et un chemin droit est toujours plus court qu’un détour — le côté mesure donc moins de $6$ cm. (Prouver qu’il dépasse aussi $3$ cm, et le calculer exactement, sera l’affaire du Chapitre 58.)
Une nouvelle entrée pour le dictionnaire : tracer un segment $[AC]$ de $8$ cm ; y marquer le point $H$ à $3$ cm de $A$ ; tracer par $H$ le segment perpendiculaire $[BD]$ de $5$ cm dont $H$ est le milieu. Joindre $ABCD$ . Cette figure est un cerf-volant (une diagonale coupe l’autre en son milieu, à angle droit). En utilisant les triangles des coins comme à la question 6, déterminer quels côtés d’un cerf-volant sont égaux entre eux.

Partie III — Compter les diagonales. Une diagonale d’un polygone joint deux sommets qui ne sont pas voisins.

Tracer un quadrilatère, un pentagone (cinq sommets) et un hexagone (six sommets), et tracer toutes leurs diagonales. Les compter : combien y en a-t-il dans chaque cas ?
Compter sans dessiner, pour l’hexagone : d’un sommet, combien de diagonales partent-elles ? (À combien des six sommets ce sommet ne peut-il pas être joint par une diagonale ?) En multipliant par les six sommets, on compte chaque diagonale exactement deux fois — pourquoi ? Retrouver le compte de la question 11. (Le même double comptage est apparu avec les poignées de main du Problème 37.1.)
Utiliser la méthode de la question 12 pour compter les diagonales d’un polygone à $10$ sommets, puis à $20$ sommets.
Un polygone a exactement $44$ diagonales. Combien a-t-il de sommets ? (Essayer la méthode de la question 13 sur quelques candidats.)
Vérifier la méthode sur le plus petit polygone de tous : combien de diagonales a un triangle, et que répond la méthode de comptage de la question 12 ? Conclure par une phrase sur ce que les poignées de main et les diagonales ont en commun.

Solution

Solution de Problème 41.1.

1. Les quatre côtés mesurent tous la même chose (environ $4.2$ cm) et les quatre angles sont droits : la figure est un carré. (Des diagonales égales donnent les angles droits, comme dans le rectangle ; perpendiculaires, elles donnent les côtés égaux, comme dans le losange ; les deux à la fois donnent le carré — c’est Proposition 41.4 lue à l’envers.)

2. Un losange : quatre côtés égaux (environ $4.7$ cm), mais aucun angle droit — exactement la construction de l’Exercice 41.8.

3. Les quatre angles sont droits, mais les côtés viennent en deux longueurs différentes : un rectangle — c’est la situation de l’Exercice 41.11.

4. Aucune égalité de longueur ne résiste à la mesure et aucun angle droit n’apparaît ; en revanche les côtés opposés sont égaux deux à deux et semblent parallèles. C’est le « rectangle penché » général, dont les diagonales se coupent simplement en leur milieu — le parallélogramme, nommé et étudié au Chapitre 52.

5. Diagonales se coupant en leur milieu commun :

diagonales…	figure
égales et perpendiculaires	carré
perpendiculaires seulement	losange
égales seulement	rectangle
ni l’un ni l’autre	la figure sans nom (voir Chapitre 52)

6. Chaque triangle de coin a un côté de l’angle droit sur chaque diagonale : la moitié de $8$ cm et la moitié de $5$ cm, soit des côtés de $4$ cm et $2.5$ cm, avec un angle droit entre eux — les mêmes données pour les quatre. Des triangles construits sur les deux mêmes côtés et l’angle droit qu’ils forment sont des copies exactes les uns des autres (les construire : les écartements de compas sont identiques). Leurs quatre hypoténuses — les côtés de la figure — sont donc égales : la figure est un losange.

7. Ouvrir le compas à la longueur d’un côté, puis le promener autour de la figure : si la pointe et la mine tombent exactement sur chaque paire de sommets voisins, les quatre côtés valent cet écartement. Aucune règle n’est nécessaire.

8. Programme :

Tracer un segment $[AC]$ avec $AC = 6$ cm et placer son milieu $O$ (mesurer $3$ cm depuis $A$ ).
Tracer la perpendiculaire à $(AC)$ passant par $O$ .
Y placer $B$ et $D$ à $3$ cm de $O$ , un de chaque côté.
Joindre $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Diagonales égales ( $6$ cm), perpendiculaires, se coupant en leur milieu : d’après le dictionnaire, $ABCD$ est un carré.

9. La mesure donne environ $4.2$ cm : plus que $3$ cm — l’intuition courante « la moitié de la diagonale » est fausse. La moitié démontrable : pour aller du sommet $A$ au sommet voisin $B$ , on peut suivre le côté $[AB]$ en ligne droite, ou faire le détour $A \to O \to B$ par le centre, qui coûte $3 + 3 = 6$ cm ; le côté droit est plus court, donc il mesure moins de $6$ cm. Qu’il dépasse aussi $3$ cm, c’est ce que montre la règle ; le Chapitre 58 le prouvera et en donnera la valeur exacte ( $3$ cm multipliés par la racine carrée de $2$ , soit environ $4.24$ cm).

10. Les quatre triangles de coin en $H$ vont maintenant par deux paires : deux de côtés $3$ cm et $2.5$ cm (hypoténuses $[AB]$ et $[AD]$ ), deux de côtés $5$ cm et $2.5$ cm (hypoténuses $[CB]$ et $[CD]$ ). Donc $AB = AD$ et $CB = CD$ : un cerf-volant a deux paires de côtés voisins égaux (le losange est le cerf-volant particulier où les quatre coïncident).

11. Quadrilatère : $2$ diagonales. Pentagone : $5$ . Hexagone : $9$ .

12. D’un sommet de l’hexagone, les diagonales vont vers tous les sommets sauf lui-même et ses deux voisins : $6 - 3 = 3$ diagonales. Les six sommets lancent $6 \times 3 = 18$ extrémités de diagonales — mais chaque diagonale a été comptée à ses deux extrémités, une fois depuis chaque bout, exactement comme une poignée de main comptée par les deux personnes (Problème 37.1). Compte véritable : $18 \div 2 = 9$ . Cela correspond au dessin.

13. Dix sommets : $10 - 3 = 7$ depuis chacun, donc $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonales. Vingt sommets : $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonales.

14. Essayons des candidats : $10$ sommets donnent $35$ (question 13) ; $11$ sommets donnent $11 \times 8 \div 2 = 44$ . Trouvé : le polygone a $11$ sommets.

15. Un triangle n’a aucune diagonale : les « non-voisins » de chaque sommet sont … personne, puisque les deux autres sommets sont tous deux ses voisins. La méthode est d’accord : $3 - 3 = 0$ depuis chaque sommet, total $0$ . Poignées de main et diagonales sont le même comptage sous des habits différents : des paires choisies dans un groupe, chaque paire comptée une fois — les mathématiques recyclent leurs bonnes idées.

Termes définis dans ce chapitre

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