Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

45Priorités opératoires

Que vaut $3 + 4 \times 5$ ? En calculant de gauche à droite on obtient $35$ ; en multipliant d’abord on obtient $23$ . Les mathématiques n’admettent qu’une seule réponse, d’où des règles de circulation pour les calculs — les priorités. Ce chapitre les énonce et introduit une première identité algébrique, la distributivité.

45.1 Les règles de priorité

Théorème 45.1 (Règles de priorité)

Dans un calcul sans parenthèses :

les multiplications et divisions s’effectuent avant les additions et soustractions ;
les opérations de même niveau s’effectuent de gauche à droite.

Les parenthèses l’emportent sur tout : ce qui est entre parenthèses se calcule d’abord, en commençant par les plus intérieures.

Exemple 45.2

Une opération par ligne, en soulignant (mentalement) ce que l’on calcule :

\begin{align*} 3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23 &&\text{(multiplication d'abord)}\\ 20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14 &&\text{(même niveau~: gauche à droite)}\\ 18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12 &&\text{(même niveau~: gauche à droite)}\\ (3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35 &&\text{(parenthèses d'abord).} \end{align*}

Attention aux pièges : $20 - 8 + 2$ n’est pas $20 - 10$ , et $18 \div 3 \times 2$ n’est pas $18 \div 6$ .

Exemple 45.3 (Parenthèses imbriquées)

\begin{align*} 50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr) &= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(parenthèse intérieure)}\\ &= 50 - 2 \times 9 && \text{(parenthèse restante)}\\ &= 50 - 18 && \text{(multiplication)}\\ &= 32 . \end{align*}

Remarque 45.4 (Les barres de fraction cachent des parenthèses)

Une barre de fraction regroupe son numérateur et son dénominateur, comme s’il y avait des parenthèses invisibles :

\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5, \qquad\text{et non}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .

Méthode 45.5 (Calculer en sécurité)

Repérer l’opération à faire en premier (parenthèses les plus intérieures, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ ) ;
calculer uniquement celle-là, et réécrire toute l’expression avec le résultat à la place ;
recommencer jusqu’à ce qu’il reste un seul nombre — une opération par ligne, sans raccourci.

45.2 Distributivité

Théorème 45.6 (Distributivité)

Pour tous nombres $k$ , $a$ , $b$ :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b, \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b .

Preuve par une figure. Compter l’aire d’un rectangle de largeur $k$ découpé en deux rectangles plus petits de longueurs $a$ et $b$ : en un seul morceau c’est $k \times (a+b)$ ; en deux parties c’est $k \times a + k \times b$ . Même rectangle, même aire. ∎

Distributivité vue comme aires : le grand rectangle k × (a + b) est la somme des deux plus petits. — Distributivité vue comme aires : le grand rectangle $k \times (a + b)$ est la somme des deux plus petits.

Exemple 45.7 (Les deux sens)

Développer (de gauche à droite) facilite le calcul mental :

7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721, \qquad 6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .

Factoriser (de droite à gauche) regroupe un facteur commun :

23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .

Exemple 45.8 (Traduire des mots en calcul)

« La somme de $8$ et du produit de $5$ par $3$ » s’écrit $8 + 5 \times 3 = 23$ . « Le produit de $5$ par la somme de $8$ et $3$ » s’écrit $5 \times (8 + 3) = 55$ : les mots « le produit de … par la somme de … » placent des parenthèses autour de la somme.

45.3 Exercices

Exercice 45.1 ★

Calculer, une opération par ligne :

5 + 3 \times 6, \qquad (5 + 3) \times 6, \qquad 30 - 12 \div 4, \qquad (30 - 12) \div 4 .

Solution

Solution de Exercice 45.1.

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$ .

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$ .

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$ .

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$ .

Exercice 45.2 ★

Calculer :

24 - 6 + 2, \qquad 24 \div 6 \times 2, \qquad 24 - 6 \times 2, \qquad 24 \div (6 \times 2).

Solution

Solution de Exercice 45.2.

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (gauche à droite).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (gauche à droite).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (multiplication d’abord).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$ .

Exercice 45.3 ★

Calculer étape par étape :

7 + 3 \times (10 - 6), \qquad 40 - (2 + 3) \times 4, \qquad 60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).

Solution

Solution de Exercice 45.3.

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$ .

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$ .

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3) = 60 \div 6 = 10$ .

Exercice 45.4 ★

Calculer les fractions (parenthèses invisibles !) :

\frac{18 + 6}{8}, \qquad \frac{30}{7 - 2}, \qquad \frac{5 \times 8}{4 + 6} .

Solution

Solution de Exercice 45.4.

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$ ; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$ ; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$ .

Exercice 45.5 ★

Utiliser la distributivité pour calculer mentalement :

8 \times 102, \qquad 25 \times 99, \qquad 14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad 37 \times 45 - 37 \times 35 .

Solution

Solution de Exercice 45.5.

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$ .

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$ .

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$ .

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 = 370$ .

Exercice 45.6 ★

Écrire le calcul en une ligne, avec des parenthèses si besoin, puis calculer : « la différence de $50$ et du produit de $6$ par $7$ » ; « le produit de la somme de $4$ et $5$ par la différence de $10$ et $8$ ».

Solution

Solution de Exercice 45.6.

« La différence de $50$ et du produit de $6$ par $7$ » : $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (pas de parenthèses nécessaires, la priorité fait le travail).

« Le produit de la somme de $4$ et $5$ par la différence de $10$ et $8$ » : $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$ .

Exercice 45.7 ★

Amir a acheté $3$ cahiers à $2.50$ chacun et $2$ stylos à $1.20$ chacun. Écrire son total en une seule expression, puis le calculer.

Solution

Solution de Exercice 45.7.

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ euros.

Exercice 45.8 ★★

Placer des parenthèses dans $4 + 2 \times 5 - 1$ pour obtenir : (a) $13$ ; (b) $29$ ; (c) $24$ . (L’un des trois n’a besoin d’aucune parenthèse — lequel ?)

Solution

Solution de Exercice 45.8.

(a) sans parenthèses : $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$ .

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$ .

Exercice 45.9 ★★

Les expressions $12 + 4 \times k$ et $16 \times k$ sont-elles les mêmes pour tout nombre $k$ ? Tester avec $k = 1$ et $k = 2$ , et conclure. Quelle erreur de priorité ferait passer de l’une à l’autre ?

Solution

Solution de Exercice 45.9.

$k = 1$ : $12 + 4 \times 1 = 16$ et $16 \times 1 = 16$ — elles coïncident (c’est pourquoi $k = 1$ est un mauvais test !). $k = 2$ : $12 + 4 \times 2 = 20$ mais $16 \times 2 = 32$ : différentes. Donc les deux expressions ne sont pas égales en général. L’erreur $12 + 4 \times k = 16 \times k$ vient d’additionner $12 + 4$ d’abord, en ignorant la priorité de $\times$ .

Exercice 45.10 ★★

Un billet de cinéma coûte $9$ euros, mais un groupe de $n$ personnes paie un forfait de $12$ euros plus $6$ euros par personne.

Écrire une expression pour le prix du groupe, et la calculer pour $n = 5$ .
À partir de combien de personnes le tarif groupe est-il plus avantageux que $n$ billets individuels ? (Essayer quelques valeurs de $n$ .)

Solution

Solution de Exercice 45.10.

1. Prix du groupe : $12 + 6 \times n$ . Pour $n = 5$ : $12 + 30 = 42$ euros.

2. Prix individuel : $9n$ . Comparer : $n = 3$ : $30$ contre $27$ (individuel moins cher) ; $n = 4$ : $36$ contre $36$ (égalité) ; $n = 5$ : $42$ contre $45$ (groupe moins cher). À partir de $5$ personnes, le tarif groupe l’emporte (chaque personne supplémentaire coûte $6$ au lieu de $9$ , donc l’écart ne fait qu’augmenter).

Exercice 45.11 ★★★

En utilisant chacun des chiffres $1$ , $2$ , $3$ , $4$ exactement une fois, les quatre opérations et des parenthèses à volonté, écrire des expressions égales à $24$ , à $10$ , et à $1$ .

Solution

Solution de Exercice 45.11.

Réponses possibles (il en existe beaucoup) :

24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad 10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad 1 = (4 - 3) \times (2 - 1).