Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

45Priorités opératoires

Que vaut $3 + 4 \times 5$ ? En calculant de gauche à droite on obtient $35$ ; en multipliant d’abord on obtient $23$ . Les mathématiques n’admettent qu’une seule réponse, d’où des règles de circulation pour les calculs — les priorités. Ce chapitre les énonce et introduit une première identité algébrique, la distributivité.

45.1 Les règles de priorité

Théorème 45.1 (Règles de priorité)

Dans un calcul sans parenthèses :

les multiplications et divisions s’effectuent avant les additions et soustractions ;
les opérations de même niveau s’effectuent de gauche à droite.

Les parenthèses l’emportent sur tout : ce qui est entre parenthèses se calcule d’abord, en commençant par les plus intérieures.

Exemple 45.2

Une opération par ligne, en soulignant (mentalement) ce que l’on calcule :

\begin{align*} 3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23 &&\text{(multiplication d'abord)}\\ 20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14 &&\text{(même niveau~: gauche à droite)}\\ 18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12 &&\text{(même niveau~: gauche à droite)}\\ (3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35 &&\text{(parenthèses d'abord).} \end{align*}

Attention aux pièges : $20 - 8 + 2$ n’est pas $20 - 10$ , et $18 \div 3 \times 2$ n’est pas $18 \div 6$ .

Exemple 45.3 (Parenthèses imbriquées)

\begin{align*} 50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr) &= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(parenthèse intérieure)}\\ &= 50 - 2 \times 9 && \text{(parenthèse restante)}\\ &= 50 - 18 && \text{(multiplication)}\\ &= 32 . \end{align*}

Remarque 45.4 (Les barres de fraction cachent des parenthèses)

Une barre de fraction regroupe son numérateur et son dénominateur, comme s’il y avait des parenthèses invisibles :

\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5, \qquad\text{et non}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .

Méthode 45.5 (Calculer en sécurité)

Repérer l’opération à faire en premier (parenthèses les plus intérieures, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ ) ;
calculer uniquement celle-là, et réécrire toute l’expression avec le résultat à la place ;
recommencer jusqu’à ce qu’il reste un seul nombre — une opération par ligne, sans raccourci.

45.2 Distributivité

Théorème 45.6 (Distributivité)

Pour tous nombres $k$ , $a$ , $b$ :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b, \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b .

Preuve par une figure. Compter l’aire d’un rectangle de largeur $k$ découpé en deux rectangles plus petits de longueurs $a$ et $b$ : en un seul morceau c’est $k \times (a+b)$ ; en deux parties c’est $k \times a + k \times b$ . Même rectangle, même aire. ∎

Distributivité vue comme aires : le grand rectangle k × (a + b) est la somme des deux plus petits. — Distributivité vue comme aires : le grand rectangle $k \times (a + b)$ est la somme des deux plus petits.

Exemple 45.7 (Les deux sens)

Développer (de gauche à droite) facilite le calcul mental :

7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721, \qquad 6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .

Factoriser (de droite à gauche) regroupe un facteur commun :

23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .

Exemple 45.8 (Traduire des mots en calcul)

« La somme de $8$ et du produit de $5$ par $3$ » s’écrit $8 + 5 \times 3 = 23$ . « Le produit de $5$ par la somme de $8$ et $3$ » s’écrit $5 \times (8 + 3) = 55$ : les mots « le produit de … par la somme de … » placent des parenthèses autour de la somme.

45.3 Exercices

Exercice 45.1 ★

Calculer, une opération par ligne :

5 + 3 \times 6, \qquad (5 + 3) \times 6, \qquad 30 - 12 \div 4, \qquad (30 - 12) \div 4 .

Solution

Solution de Exercice 45.1.

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$ .

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$ .

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$ .

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$ .

Exercice 45.2 ★

Calculer :

24 - 6 + 2, \qquad 24 \div 6 \times 2, \qquad 24 - 6 \times 2, \qquad 24 \div (6 \times 2).

Solution

Solution de Exercice 45.2.

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (gauche à droite).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (gauche à droite).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (multiplication d’abord).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$ .

Exercice 45.3 ★

Calculer étape par étape :

7 + 3 \times (10 - 6), \qquad 40 - (2 + 3) \times 4, \qquad 60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).

Solution

Solution de Exercice 45.3.

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$ .

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$ .

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3) = 60 \div 6 = 10$ .

Exercice 45.4 ★

Calculer les fractions (parenthèses invisibles !) :

\frac{18 + 6}{8}, \qquad \frac{30}{7 - 2}, \qquad \frac{5 \times 8}{4 + 6} .

Solution

Solution de Exercice 45.4.

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$ ; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$ ; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$ .

Exercice 45.5 ★

Utiliser la distributivité pour calculer mentalement :

8 \times 102, \qquad 25 \times 99, \qquad 14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad 37 \times 45 - 37 \times 35 .

Solution

Solution de Exercice 45.5.

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$ .

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$ .

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$ .

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 = 370$ .

Exercice 45.6 ★

Écrire le calcul en une ligne, avec des parenthèses si besoin, puis calculer : « la différence de $50$ et du produit de $6$ par $7$ » ; « le produit de la somme de $4$ et $5$ par la différence de $10$ et $8$ ».

Solution

Solution de Exercice 45.6.

« La différence de $50$ et du produit de $6$ par $7$ » : $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (pas de parenthèses nécessaires, la priorité fait le travail).

« Le produit de la somme de $4$ et $5$ par la différence de $10$ et $8$ » : $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$ .

Exercice 45.7 ★

Amir a acheté $3$ cahiers à $2.50$ chacun et $2$ stylos à $1.20$ chacun. Écrire son total en une seule expression, puis le calculer.

Solution

Solution de Exercice 45.7.

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ euros.

Exercice 45.8 ★★

Placer des parenthèses dans $4 + 2 \times 5 - 1$ pour obtenir : (a) $13$ ; (b) $29$ ; (c) $24$ . (L’un des trois n’a besoin d’aucune parenthèse — lequel ?)

Solution

Solution de Exercice 45.8.

(a) sans parenthèses : $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$ .

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$ .

Exercice 45.9 ★★

Les expressions $12 + 4 \times k$ et $16 \times k$ sont-elles les mêmes pour tout nombre $k$ ? Tester avec $k = 1$ et $k = 2$ , et conclure. Quelle erreur de priorité ferait passer de l’une à l’autre ?

Solution

Solution de Exercice 45.9.

$k = 1$ : $12 + 4 \times 1 = 16$ et $16 \times 1 = 16$ — elles coïncident (c’est pourquoi $k = 1$ est un mauvais test !). $k = 2$ : $12 + 4 \times 2 = 20$ mais $16 \times 2 = 32$ : différentes. Donc les deux expressions ne sont pas égales en général. L’erreur $12 + 4 \times k = 16 \times k$ vient d’additionner $12 + 4$ d’abord, en ignorant la priorité de $\times$ .

Exercice 45.10 ★★

Un billet de cinéma coûte $9$ euros, mais un groupe de $n$ personnes paie un forfait de $12$ euros plus $6$ euros par personne.

Écrire une expression pour le prix du groupe, et la calculer pour $n = 5$ .
À partir de combien de personnes le tarif groupe est-il plus avantageux que $n$ billets individuels ? (Essayer quelques valeurs de $n$ .)

Solution

Solution de Exercice 45.10.

1. Prix du groupe : $12 + 6 \times n$ . Pour $n = 5$ : $12 + 30 = 42$ euros.

2. Prix individuel : $9n$ . Comparer : $n = 3$ : $30$ contre $27$ (individuel moins cher) ; $n = 4$ : $36$ contre $36$ (égalité) ; $n = 5$ : $42$ contre $45$ (groupe moins cher). À partir de $5$ personnes, le tarif groupe l’emporte (chaque personne supplémentaire coûte $6$ au lieu de $9$ , donc l’écart ne fait qu’augmenter).

Exercice 45.11 ★★★

En utilisant chacun des chiffres $1$ , $2$ , $3$ , $4$ exactement une fois, les quatre opérations et des parenthèses à volonté, écrire des expressions égales à $24$ , à $10$ , et à $1$ .

Solution

Solution de Exercice 45.11.

Réponses possibles (il en existe beaucoup) :

24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad 10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad 1 = (4 - 3) \times (2 - 1).

45.4 Problème : multiplier comme un scribe égyptien

Problème 45.1

Devoir maison — des astuces de calcul mental issues de la distributivité, et la multiplication par doublements et moitiés utilisée depuis quatre mille ans

Bien avant les calculatrices — et avant que les tables de multiplication ne s’apprennent à l’école — les scribes égyptiens et les paysans russes multipliaient deux nombres quelconques en ne se servant que de doublements, de moitiés et d’additions. Leur méthode a l’air magique ; c’est en réalité la distributivité (Théorème 45.6) déployée à pleine puissance. Ce problème aiguise d’abord le calcul mental, enseigne ensuite la méthode antique, puis ouvre le capot pour voir exactement pourquoi elle fonctionne.

Partie I — L’art de ne pas calculer.

Calculer mentalement, en développant comme dans Exemple 45.7 : $7 \times 102$ et $9 \times 98$ .
Calculer mentalement, en factorisant : $17 \times 13 + 17 \times 7$ et $45 \times 101 - 45$ .
L’astuce du « fois $5$ » : pour multiplier par $5$ , multiplier par $10$ et prendre la moitié. Calculer $5 \times 87$ de cette façon, et expliquer pourquoi l’astuce est légitime.
Deux autres astuces à justifier et à utiliser : multiplier par $25$ en multipliant par $100$ et en divisant par $4$ (calculer $25 \times 32$ ) ; multiplier par $99$ en multipliant par $100$ et en retranchant une fois (calculer $99 \times 47$ ).
Un coup de semonce : la distributivité répartit un facteur sur une somme, jamais sur un produit. Comparer $8 \times (5 + 3)$ avec $8 \times 5 + 8 \times 3$ , puis $8 \times (5 \times 3)$ avec $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : quel couple concorde, quel couple ne concorde pas ?

Partie II — La méthode des doublements et des moitiés. Voici la recette pour $13 \times 24$ . Écrire deux colonnes. Colonne de gauche : partir de $13$ et prendre la moitié, en laissant tomber tout reste, jusqu’à $1$ : $13,\ 6,\ 3,\ 1$ . Colonne de droite : partir de $24$ et doubler autant de fois : $24,\ 48,\ 96,\ 192$ . Barrer toute ligne dont le nombre de gauche est pair, et additionner les nombres de droite survivants.

Appliquer la recette à $13 \times 24$ : quelle ligne est barrée, quelle somme reste-t-il, et vaut-elle bien $13 \times 24$ ?
Multiplier $21 \times 17$ par la méthode (moitiés de $21$ , doublements de $17$ ), et vérifier le résultat par une multiplication ordinaire.
Multiplier $16 \times 25$ par la méthode. Combien de lignes survivent, et qu’a de particulier une colonne de gauche qui démarre à $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ ?
Voyons maintenant pourquoi cela marche, une étape à la fois. Justifier chaque égalité par la distributivité :

$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24 = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$

Morale : prendre la moitié à gauche et doubler à droite conserve le produit — mais lorsque le nombre de gauche est impair, un exemplaire du nombre de droite se détache et doit être mis de côté. Quel nombre la première ligne du tableau met-elle de côté ?
Poursuivre la comptabilité en descendant le tableau : $6 \times 48 = 3 \times 96$ , puis $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , puis $1 \times 192 = 192$ . Rassembler tout ce qui a été mis de côté en chemin, et expliquer pourquoi les nombres mis de côté sont exactement les nombres de droite des lignes dont la gauche est impaire — les lignes que la recette conserve.

Partie III — Sous le capot : des sommes de doublements.

À la question 6, les lignes survivantes valaient $1$ , $4$ et $8$ doublements de $24$ : la méthode a écrit en silence $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . Vérifier que $1 + 4 + 8 = 13$ , et trouver quels doublements ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) la méthode a retenus pour $21$ à la question 7.
Écrire $25$ et $42$ comme sommes de nombres de la liste des doublements $1, 2, 4, 8, 16, 32$ , en utilisant chacun au plus une fois.
Expliquer pourquoi tout nombre entier peut s’écrire ainsi : prendre le plus grand doublement qui tient, soustraire, recommencer — pourquoi cela s’arrête-t-il forcément ? Écrire $100$ sous cette forme.
Les scribes d’Égypte faisaient exactement cela, il y a quatre mille ans : pour multiplier $19 \times 35$ , ils dressaient un tableau de doublements de $35$ ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), choisissaient les lignes dont la somme vaut $19$ , et additionnaient. Mener le calcul à leur manière.
Bouquet final : les ordinateurs modernes, qui comptent avec des $0$ et des $1$ , multiplient essentiellement comme les scribes — par doublements et additions. Quelles trois additions un ordinateur ferait-il pour $13 \times 24$ ? (Pourquoi tout nombre se décompose en doublements, et ce que les $0$ et les $1$ viennent y faire, est le devoir maison du chapitre sur les puissances : Problème 56.1.)

Solution

Solution de Problème 45.1.

1. $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 = 714$ ; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$ .

2. $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) = 17 \times 20 = 340$ ; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101 - 1) = 45 \times 100 = 4\,500$ .

3. $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$ . Légitimité : $5 = 10 \div 2$ , donc multiplier par $5$ revient à multiplier par $10$ puis à diviser par $2$ (l’ordre de $\times$ et de $\div$ , de même priorité, de la gauche vers la droite, fait le reste).

4. $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$ , car $25 = 100 \div 4$ . Et $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$ : distributivité sur la différence (Théorème 45.6).

5. $8 \times (5 + 3) = 64$ et $8 \times 5 + 8 \times 3 = 40 + 24 = 64$ : cela concorde — c’est la distributivité. Mais $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$ , alors que $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$ : aucune concordance. Le facteur se répartit sur les termes d’une somme, pas sur les facteurs d’un produit.

$13$	$24$	conservée ( $13$ impair)
$6$	$48$	barrée ( $6$ pair)
$3$	$96$	conservée
$1$	$192$	conservée

Somme des nombres de droite survivants : $24 + 96 + 192 = 312$ , et l’on a bien $13 \times 24 = 312$ .

7. Moitiés de $21$ : $21, 10, 5, 2, 1$ ; doublements de $17$ : $17, 34, 68, 136, 272$ . Les gauches paires $10$ et $2$ sont barrées ; survivants $17 + 68 + 272 = 357$ . Vérification : $21 \times 17 = 357$ .

8. Moitiés de $16$ : $16, 8, 4, 2, 1$ ; doublements de $25$ : $25, 50, 100, 200, 400$ . Tous les nombres de gauche sauf le dernier $1$ sont pairs : une seule ligne survit, et la réponse est $400$ . Une colonne de gauche formée de doublements purs ne conserve que sa dernière ligne — la méthode se réduit au doublement seul.

9. $13 = 12 + 1$ , donc par distributivité $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$ ; et $12 \times 24 = 6 \times 48$ puisque prendre la moitié d’un facteur en doublant l’autre laisse le produit inchangé ( $12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$ ). Le nombre de gauche impair $13$ a détaché un exemplaire du nombre de droite : la première ligne met $24$ de côté.

10. $6 \times 48 = 3 \times 96$ (moitié–double, rien à mettre de côté : $6$ est pair). $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 = 1 \times 192 + 96$ : le $3$ impair met $96$ de côté. Enfin $1 \times 192 = 192$ : le $1$ impair met $192$ de côté et le tableau s’achève. Total mis de côté : $24 + 96 + 192 = 312$ . Une ligne met son nombre de droite de côté exactement lorsque son nombre de gauche est impair — la recette « garder les lignes de gauche impaire et additionner » est donc précisément la comptabilité de la distributivité.

11. $1 + 4 + 8 = 13$ . Pour $21$ , les lignes survivantes étaient celles de $17$ , de $68 = 4 \times 17$ et de $272 = 16 \times 17$ : les doublements $1 + 4 + 16 = 21$ .

12. $25 = 16 + 8 + 1$ et $42 = 32 + 8 + 2$ .

13. Prendre le plus grand doublement ne dépassant pas l’objectif et le soustraire ; ce qui reste est plus petit, et plus petit que le doublement qui vient d’être utilisé (sinon un plus grand aurait tenu). En recommençant, le reste diminue strictement et doit atteindre $0$ : le procédé s’arrête, et les doublements utilisés sont tous différents. Pour $100$ : $64$ tient (il reste $36$ ), $32$ tient (il reste $4$ ), $4$ tient (il reste $0$ ) : $100 = 64 + 32 + 4$ .

14. Tableau des doublements de $35$ : $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ . Comme $19 = 16 + 2 + 1$ , on retient ces lignes : $560 + 70 + 35 = 665$ . Vérification : $19 \times 35 = 665$ .

15. Les trois mêmes que le scribe et le paysan : $24 + 96 + 192$ — les doublements de $24$ sélectionnés par $13 = 1 + 4 + 8$ . Écrire les nombres comme sommes de doublements, c’est exactement les écrire avec des $0$ et des $1$ ; toute l’histoire est racontée dans Problème 56.1.