Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

34Périmètre et aire

L’année 4 comptait les carreaux du quadrillage (Chapitre 28) ; ce chapitre gagne la première formule d’aire — longueur fois largeur pour le rectangle — et apprend les unités cm $^2$ et m $^2$ . Les formules pour les triangles et d’autres formes mûrissent dans Chapitre 43 et Chapitre 53.

34.1 Deux mesures différentes

Exemple 34.1 (Bord contre surface)

Un jardinier a besoin du périmètre pour acheter la clôture et de l’aire pour acheter le gazon. Les deux ne se suivent pas : étirer un rectangle plus fin et plus long peut garder son aire tandis que son périmètre grandit — comparer un $6 \times 2$ et un $4 \times 3$ (même aire $12$ , périmètres $16$ et $14$ ).

34.2 La formule du rectangle

Proposition 34.2 (Aire d’un rectangle)

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ (dans la même unité) a pour aire

A = L \times \ell ,

en unités d’aire : cm $^2$ (carrés de côté $1$ cm), m $^2$ (carrés de côté $1$ m), …

Pourquoi, par comptage. Recouvrir le rectangle de carreaux unitaires : $\ell$ rangées de $L$ carreaux chacune, donc $L \times \ell$ carreaux en tout — exactement le rectangle de la multiplication de Chapitre 16. ∎

Trois rangées de six centimètres-carrés : la formule L × est le comptage, écrit une fois pour toutes. — Trois rangées de six centimètres-carrés : la formule $L \times \ell$ est le comptage, écrit une fois pour toutes.

Exemple 34.3

Un tapis mesure $2.5$ m sur $2$ m : aire $2.5 \times 2 = 5$ m $^2$ . Un timbre mesure $3$ cm sur $2.4$ cm : aire $3 \times 2.4 = 7.2$ cm $^2$ . Même formule, n’importe quelle unité — tant que les deux côtés utilisent la même.

Exemple 34.4 (Les unités d’aire se convertissent par 100)

$1$ m $= 100$ cm, mais $1$ m $^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ cm $^2$ : un mètre carré est une grille $100$ par $100$ de centimètres carrés. Les unités d’aire sautent par centaines, pas par dizaines.

34.3 Figures composées

Méthode 34.5 (Couper, additionner, soustraire)

Pour une figure faite de rectangles (un L, un T, un cadre) :

la découper en rectangles, ou la compléter en un grand rectangle ;
calculer chaque aire rectangulaire avec la formule ;
additionner les morceaux — ou soustraire le trou du grand rectangle ;
vérifier par un comptage approximatif de carreaux.

Exemple 34.6

Une pièce en L : un rectangle $6$ m $\times$ $4$ m avec un coin $2$ m $\times$ $2$ m manquant.

\text{Aire} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ m}^2 .

Ou découper le L en une bande $6 \times 2$ et une bande $4 \times 2$ : $12 + 8 = 20$ m $^2$ — deux chemins, une réponse.

Exemple 34.7 (La moitié d’un rectangle)

Couper un rectangle le long d’une diagonale donne deux triangles de même aire : chacun est la moitié du rectangle. Un triangle rectangle de côtés de l’angle droit $6$ cm et $4$ cm a donc pour aire $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ — une image à retenir pour Chapitre 43, où elle devient une formule.

La diagonale coupe le rectangle 6 × 4 en deux triangles égaux de 12 carreaux chacun. — La diagonale coupe le rectangle $6 \times 4$ en deux triangles égaux de $12$ carreaux chacun.

34.4 Exercices

Exercice 34.1 ★

Calculer l’aire et le périmètre d’un rectangle $8$ cm $\times$ $5$ cm. Quelle réponse est en cm, laquelle en cm $^2$ ?

Solution

Solution de Exercice 34.1.

Aire : $8 \times 5 = 40$ cm $^2$ . Périmètre : $2 \times (8 + 5) = 26$ cm.

Exercice 34.2 ★

Calculer les aires : un carré de côté $9$ cm ; un rectangle $12$ m $\times$ $7$ m ; un rectangle $4.5$ cm $\times$ $6$ cm.

Solution

Solution de Exercice 34.2.

$9 \times 9 = 81$ cm $^2$ ; $12 \times 7 = 84$ m $^2$ ; $4.5 \times 6 = 27$ cm $^2$ .

Exercice 34.3 ★

Un rectangle a une aire de $63$ cm $^2$ et une longueur de $9$ cm. Trouver sa largeur, puis son périmètre.

Solution

Solution de Exercice 34.3.

Largeur : $63 \div 9 = 7$ cm. Périmètre : $2 \times (9 + 7) = 32$ cm.

Exercice 34.4 ★

Dessiner deux rectangles différents d’aire $24$ carreaux sur papier quadrillé, et calculer les deux périmètres. Même aire — même périmètre ?

Solution

Solution de Exercice 34.4.

Par exemple $6 \times 4$ (périmètre $20$ ) et $8 \times 3$ (périmètre $22$ ) : même aire $24$ , périmètres différents.

Exercice 34.5 ★

Convertir : $3$ m $^2$ en cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2$ en m $^2$ . (Rappeler Exemple 34.4 : par centaines !)

Solution

Solution de Exercice 34.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2 = 5$ m $^2$ .

Exercice 34.6 ★

Une figure en T est faite d’une barre horizontale $8 \times 2$ sur une barre verticale $2 \times 5$ (en cm). Calculer son aire en additionnant deux rectangles.

Solution

Solution de Exercice 34.6.

Barre : $8 \times 2 = 16$ cm $^2$ ; tige : $2 \times 5 = 10$ cm $^2$ ; total $26$ cm $^2$ .

Exercice 34.7 ★

Un cadre photo : un rectangle $30$ cm $\times$ $20$ cm avec une fenêtre rectangulaire $24$ cm $\times$ $14$ cm découpée. Quelle aire de bois le cadre utilise-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 34.7.

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ cm $^2$ de bois.

Exercice 34.8 ★

Calculer l’aire d’un triangle rectangle de côtés de l’angle droit $8$ cm et $6$ cm (moitié d’un rectangle, Exemple 34.7).

Solution

Solution de Exercice 34.8.

Moitié du rectangle $8 \times 6$ : $48 \div 2 = 24$ cm $^2$ .

Exercice 34.9 ★

Un potager rectangulaire mesure $7$ m sur $4$ m. Les graines coûtent $2$ par mètre carré, et la clôture $3$ par mètre. Calculer le coût des graines, puis celui de la clôture.

Solution

Solution de Exercice 34.9.

Graines : aire $7 \times 4 = 28$ m $^2$ , coût $28 \times 2 = 56$ . Clôture : périmètre $2 \times (7 + 4) = 22$ m, coût $22 \times 3 = 66$ .

Exercice 34.10 ★★

Le sol d’un couloir mesure $12$ m de long et $2$ m de large, et doit être recouvert de carreaux carrés de côté $50$ cm. Combien de carreaux faut-il ? (Convertir d’abord, ou compter les carreaux dans chaque direction.)

Solution

Solution de Exercice 34.10.

Deux carreaux de $50$ cm font un mètre : le long des $12$ m, $24$ carreaux ; le long des $2$ m, $4$ carreaux. Total : $24 \times 4 = 96$ carreaux.

Exercice 34.11 ★★

Doubler les côtés d’un rectangle $4$ cm $\times$ $3$ cm. Que devient son périmètre ? Son aire ? (Calculer les deux avant et après — les deux réponses diffèrent !)

Solution

Solution de Exercice 34.11.

Avant : périmètre $2 \times (4 + 3) = 14$ cm, aire $12$ cm $^2$ . Après (côtés $8$ et $6$ ) : périmètre $28$ cm, aire $48$ cm $^2$ . Le périmètre a doublé ; l’aire a été multipliée par quatre ( $2 \times 2$ ) : longueurs et aires ne se mettent pas à l’échelle de la même façon.