Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

58Le théorème de Pythagore

Le théorème le plus célèbre de toutes les mathématiques relie les trois côtés d’un triangle rectangle. Avec lui, des longueurs deviennent calculables qu’aucune règle ne mesurerait directement : diagonales, distances, hauteurs. C’est aussi notre première grande rencontre avec la différence entre un théorème et sa réciproque.

58.1 Le théorème

Théorème 58.1 (Pythagore)

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors

BC^2 = AB^2 + AC^2 :

le carré de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) égale la somme des carrés des deux autres côtés.

Idée de preuve. Quatre copies du triangle, disposées à l’intérieur d’un grand carré de côté $AB + AC$ , laissent découvert un carré incliné construit sur l’hypoténuse : comparer les aires donne l’égalité. Le calcul détaillé est proposé en Exercice 58.11 ; le théorème découle aussi du produit scalaire, étudié dans un volume ultérieur. ∎

Le théorème comme énoncé d’aires : le carré construit sur l’hypoténuse (25) a exactement la même aire que les deux autres carrés réunis (16 + 9). Ici les côtés mesurent 3, 4, 5. — Le théorème comme énoncé d’aires : le carré construit sur l’hypoténuse ( $25$ ) a exactement la même aire que les deux autres carrés réunis ( $16 + 9$ ). Ici les côtés mesurent $3$ , $4$ , $5$ .

Méthode 58.2 (Calculer une longueur)

Dans un triangle rectangle où deux côtés sont connus :

nommer l’hypoténuse (opposée à l’angle droit — toujours le plus long côté) ;
écrire l’égalité de Théorème 58.1 avec les valeurs connues ;
résoudre pour le carré manquant : additionner les carrés si l’hypoténuse est inconnue, soustraire si un côté de l’angle droit est inconnu ;
prendre la racine carrée, exacte ou à la calculatrice, et vérifier que l’hypoténuse est bien sortie la plus longue.

Exemple 58.3 (Trouver l’hypoténuse)

Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit $6$ et $8$ . Hypoténuse $c$ :

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \qquad c = \sqrt{100} = 10 .

(Le nombre $\sqrt{100}$ , la racine carrée de $100$ , est le nombre positif dont le carré est $100$ ; les racines carrées ont un chapitre entier au Chapitre 65.)

Exemple 58.4 (Trouver un côté de l’angle droit)

Une échelle de $5$ m s’appuie contre un mur, son pied à $1.4$ m du mur. Hauteur atteinte $h$ : l’échelle est l’hypoténuse, donc

h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04, \qquad h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.

Soustraire, ne pas additionner : l’inconnue ici est un côté de l’angle droit.

58.2 La réciproque

Théorème 58.5 (Réciproque de Pythagore)

Si, dans un triangle $ABC$ , les côtés satisfont $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors le triangle est rectangle en $A$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Méthode 58.6 (Tester un angle droit)

Étant donné les trois côtés d’un triangle :

calculer séparément le carré du plus long côté, et la somme des carrés des deux autres ;
si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle (réciproque), au sommet opposé au plus long côté ;
s’ils diffèrent, il n’est pas rectangle — car le théorème de Pythagore forcerait l’égalité.

Exemple 58.7

Côtés $5$ , $12$ , $13$ : carré du plus long côté, $13^2 = 169$ ; somme des autres carrés, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ . Égaux : rectangle (opposé au côté $13$ ).

Côtés $6$ , $7$ , $9$ : $9^2 = 81$ mais $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$ : pas un triangle rectangle (il l’est « presque » — les nombres décident, pas l’œil).

Remarque 58.8 (Théorème contre réciproque)

Le théorème et sa réciproque disent des choses différentes : le théorème utilise un angle droit pour calculer des longueurs ; la réciproque utilise des longueurs pour prouver un angle droit. Les bâtisseurs ont utilisé la réciproque depuis des millénaires : une corde nouée à $3$ , $4$ , $5$ unités, tendue, donne un angle droit parfait.

Exemple 58.9 (Diagonale d’un carré)

La diagonale d’un carré de côté $1$ est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés de l’angle droit $1$ et $1$ :

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,

donc $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — un nombre qui n’est pas une fraction, comme le prouvera le volume suivant. Pour un carré de côté $c$ , la diagonale est $c\sqrt2$ .

58.3 Exercices

Exercice 58.1 ★

Dans chaque triangle rectangle, calculer l’hypoténuse : côtés de l’angle droit $9$ et $12$ ; $5$ et $12$ ; $8$ et $15$ .

Solution

Solution de Exercice 58.1.

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .

Exercice 58.2 ★

Un triangle rectangle a pour hypoténuse $25$ et un côté de l’angle droit $7$ . Calculer l’autre côté de l’angle droit.

Solution

Solution de Exercice 58.2.

Côté $^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ , donc le côté mesure $\sqrt{576} = 24$ .

Exercice 58.3 ★

Calculer la diagonale d’un rectangle de côtés $12$ cm et $9$ cm ; la diagonale d’un carré de côté $5$ cm (valeur exacte avec une racine carrée, puis arrondie au mm).

Solution

Solution de Exercice 58.3.

Rectangle : $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Carré : $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm (Exemple 58.9).

Exercice 58.4 ★

Quels triangles sont rectangles ? Justifier avec Méthode 58.6 :

(20,\ 21,\ 29); \qquad (7,\ 8,\ 11); \qquad (1.5,\ 2,\ 2.5).

Solution

Solution de Exercice 58.4.

$(20, 21, 29)$ : $29^2 = 841$ et $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ : rectangle.

$(7, 8, 11)$ : $121 \neq 49 + 64 = 113$ : non rectangle.

$(1.5, 2, 2.5)$ : $6.25 = 2.25 + 4$ : rectangle (c’est $(3,4,5)$ réduit de moitié).

Exercice 58.5 ★

Un portail est contreventé par une planche diagonale. Le portail mesure $3$ m de large et $1.6$ m de haut : quelle longueur a la planche ?

Solution

Solution de Exercice 58.5.

Planche $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

Exercice 58.6 ★

Un triangle isocèle a deux côtés de $10$ cm et une base de $12$ cm. Sa hauteur le partage en deux triangles rectangles : calculer cette hauteur, puis l’aire du triangle.

Solution

Solution de Exercice 58.6.

La hauteur tombe au milieu de la base (triangle isocèle), donc chaque demi-triangle a pour hypoténuse $10$ et un côté de l’angle droit $6$ : $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. Aire : $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm $^2$ .

Exercice 58.7 ★★

Un écran de télévision est un rectangle $16{:}9$ mesurant $88.5$ cm sur $49.8$ cm. Les écrans se vendent par la diagonale, en pouces ( $1$ pouce $= 2.54$ cm). Calculer la diagonale en cm, puis en pouces (arrondir au pouce le plus proche).

Solution

Solution de Exercice 58.7.

Diagonale : $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04} = \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. En pouces : $101.5 \div 2.54 \approx 40$ pouces.

Exercice 58.8 ★★

Un bateau navigue $24$ km vers l’est, puis $10$ km vers le nord. À quelle distance est-il de son point de départ (à vol d’oiseau) ? Dessiner d’abord la situation.

Solution

Solution de Exercice 58.8.

Les deux côtés de l’angle droit mesurent $24$ km et $10$ km : $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

Exercice 58.9 ★★

Une échelle de $2.5$ m doit atteindre un rebord de fenêtre à $2.4$ m du sol. À quelle distance du mur faut-il placer son pied ? La réponse est-elle compatible avec les conseils de sécurité (pied à environ un quart de la longueur de l’échelle du mur) ?

Solution

Solution de Exercice 58.9.

Distance du pied : $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7$ m. Un quart de l’échelle vaut $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m : les $0.7$ m trouvés sont proches du placement conseillé — acceptable.

Exercice 58.10 ★★

Sur un quadrillage, placer $A(1, 2)$ et $B(5, 5)$ , et tracer le triangle rectangle de côtés de l’angle droit parallèles aux axes dont l’hypoténuse est $[AB]$ . Calculer $AB$ . (Cette construction, pour deux points quelconques, devient la formule de distance de la géométrie analytique, vue dans un volume ultérieur.)

Solution

Solution de Exercice 58.10.

Les côtés de l’angle droit mesurent $5 - 1 = 4$ (horizontal) et $5 - 2 = 3$ (vertical), donc

AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .

Exercice 58.11 ★★★

Quatre copies d’un triangle rectangle de côtés de l’angle droit $a$ , $b$ et d’hypoténuse $c$ sont placées aux coins d’un carré de côté $a + b$ , laissant un carré incliné de côté $c$ découvert au milieu.

Exprimer l’aire du grand carré de deux façons : directement, et comme (quatre triangles) $+$ (carré incliné).
Développer $(a + b)^2$ (voir Théorème 57.1) et en déduire $c^2 = a^2 + b^2$ : vous avez prouvé le théorème de Pythagore.

Solution

Solution de Exercice 58.11.

1. Directement : $(a + b)^2$ . En morceaux : quatre triangles d’aire $\frac{ab}{2}$ chacun, plus le carré incliné $c^2$ :

(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .

2. En développant le membre de gauche : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Donc

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 = c^2 . \qed

58.4 Problème : les triplets pythagoriciens

Problème 58.1

Devoir maison — les triangles rectangles à côtés entiers, et l’identité $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ qui les engendre tous

Un triplet pythagoricien est un triplet d’entiers $(a, b, c)$ vérifiant

a^2 + b^2 = c^2 ,

comme le $(3, 4, 5)$ des bâtisseurs. Une tablette d’argile babylonienne en cataloguait d’énormes — dont $(4601,\ 4800,\ 6649)$ — plus de mille ans avant Pythagore. Ce problème part à la chasse aux triplets, puis construit la machine qui les produit : une identité algébrique tout droit venue du Chapitre 57, mise au service de la géométrie.

Partie I — La chasse aux triplets.

Vérifier que $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ et $(20, 21, 29)$ sont des triplets pythagoriciens. Que dit Théorème 58.5 des triangles ayant ces longueurs de côtés ?
Expliquer pourquoi une corde tendue à douze segments égaux, disposée en triangle de côtés $3$ , $4$ et $5$ segments, donne aux bâtisseurs un angle droit parfait.
Montrer que si $(a, b, c)$ est un triplet pythagoricien, alors $(ka, kb, kc)$ en est un aussi, pour tout entier $k \geq 1$ . En déduire trois nouveaux triplets à partir de $(3, 4, 5)$ .
Les multiples de $(3, 4, 5)$ sont les triplets $(3k, 4k, 5k)$ . Montrer que $(5, 12, 13)$ n’en est pas un.
Expliquer pourquoi les questions 3 et 4 réunies démontrent qu’agrandir $(3, 4, 5)$ ne pourra jamais produire tous les triplets pythagoriciens : il faut une autre machine.

Partie II — La machine. Prendre deux entiers $m > n \geq 1$ et former les trois nombres

a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2 .

À l’aide des identités remarquables du Problème 57.1 (poser $A = m^2$ et $B = n^2$ ), développer $a^2$ et $b^2$ , et démontrer que

$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$

la machine produit toujours un triplet pythagoricien.
Faire tourner la machine sur $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ et $(4, 3)$ , et présenter les cinq triplets dans un tableau.
L’un des triplets du tableau est l’agrandissement d’un triplet plus petit. Lequel, et de lequel ?
Trouver $(m, n)$ pour lequel la machine produit le triplet $(20, 21, 29)$ de la question 1 (les côtés de l’angle droit dans un ordre ou dans l’autre).
Trouver $m$ et $n$ tels que $m^2 + n^2 = 100$ , et en déduire un triplet pythagoricien dont l’hypoténuse vaut $100$ .

Partie III — Des familles, et un final de parité.

Faire tourner la machine avec $m = n + 1$ . Montrer que le côté impair vaut $2n + 1$ , le côté pair $2n^2 + 2n$ , et l’hypoténuse $2n^2 + 2n + 1$ — l’hypoténuse et le côté pair diffèrent donc exactement de $1$ . Écrire les triplets pour $n = 1, 2, 3, 4$ .
En déduire que tout nombre impair $3, 5, 7, 9, \dots$ est le côté d’un triangle rectangle à côtés entiers, et donner un triplet contenant $11$ .
Les nombres pairs marchent aussi : faire tourner la machine avec $n = 1$ , et produire un triplet contenant $14$ . Obtenir ensuite le même triplet une seconde fois, en agrandissant l’un de ceux du tableau de la question 7.
Montrer que le carré d’un nombre pair est pair et que le carré d’un nombre impair est impair. (Écrire le nombre sous la forme $2k$ ou $2k + 1$ et utiliser une identité.)
Conclure le final de parité : il n’existe aucun triplet pythagoricien dont les trois nombres soient impairs — dans tout triangle rectangle à côtés entiers, au moins un côté est pair.

Solution

Solution de Problème 58.1.

1. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ . Les trois sont des triplets, et d’après Théorème 58.5 un triangle ayant ces longueurs de côtés est rectangle, l’angle droit faisant face au côté le plus long.

2. La corde forme un triangle de côtés $3$ , $4$ , $5$ (en segments), et $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ : par la réciproque (Théorème 58.5), l’angle entre les côtés de $3$ et $4$ segments est exactement droit — aucun rapporteur n’est nécessaire, seulement des nœuds.

3. Si $a^2 + b^2 = c^2$ , alors

(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2 = k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .

À partir de $(3, 4, 5)$ : par exemple $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ et $(30, 40, 50)$ .

4. Un multiple $(3k, 4k, 5k)$ dont le plus petit nombre serait $5$ exigerait $3k = 5$ , et aucun entier $k$ ne le vérifie ( $k = 1$ donne $3$ , $k = 2$ donne $6$ ). Donc $(5, 12, 13)$ n’est pas un multiple de $(3, 4, 5)$ .

5. La question 3 montre que l’agrandissement ne produit que les triplets $(3k, 4k, 5k)$ ; la question 4 exhibe un véritable triplet qui n’est pas de cette forme. La famille de tous les triplets pythagoriciens est donc strictement plus vaste que les multiples de $(3, 4, 5)$ : pour les produire, il faut du nouveau.

6. Posons $A = m^2$ et $B = n^2$ . Par les identités remarquables (Problème 57.1) :

a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2, \qquad b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .

En additionnant :

a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB = A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .

$(m, n)$	$m^2 - n^2$	$2mn$	$m^2 + n^2$
$(2, 1)$	$3$	$4$	$5$
$(3, 1)$	$8$	$6$	$10$
$(3, 2)$	$5$	$12$	$13$
$(4, 1)$	$15$	$8$	$17$
$(4, 3)$	$7$	$24$	$25$

8. $(8, 6, 10)$ est le double de $(4, 3, 5)$ — autrement dit du $(3, 4, 5)$ des bâtisseurs. La machine redécouvre parfois un vieux triplet déguisé.

9. Il faut $m^2 - n^2 = 21$ et $2mn = 20$ , donc $mn = 10$ : en essayant $m = 5$ , $n = 2$ , on obtient $25 - 4 = 21$ et $2 \times 10 = 20$ , avec l’hypoténuse $25 + 4 = 29$ . La machine produit $(21, 20, 29)$ pour $(m, n) = (5, 2)$ .

10. $m = 8$ , $n = 6$ donnent $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$ . Le triplet est

\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),

et l’on a bien $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$ .

11. Avec $m = n + 1$ :

m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1

(différence de carrés consécutifs, Problème 57.1) ; $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ ; et $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$ . L’hypoténuse dépasse le côté pair d’exactement $1$ . Pour $n = 1, 2, 3, 4$ :

(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad (9, 40, 41) .

12. Tout nombre impair au moins égal à $3$ s’écrit $2n + 1$ pour un certain $n \geq 1$ , et la question 11 fournit un triplet dont le côté impair vaut exactement $2n + 1$ . Pour $11 = 2 \times 5 + 1$ , prendre $n = 5$ :

(11,\ 60,\ 61), \qquad 11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .

13. Avec $n = 1$ , la machine donne $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$ , dont le côté pair $2m$ peut être n’importe quel nombre pair à partir de $4$ . Pour $14 = 2 \times 7$ , prendre $m = 7$ : le triplet $(48, 14, 50)$ . Le même triplet apparaît en doublant $(7, 24, 25)$ du tableau de la question 7 : $(14, 48, 50)$ — les trois mêmes nombres.

14. Un nombre pair s’écrit $2k$ , et $(2k)^2 = 4k^2$ est pair (c’est un multiple de $4$ , donc pair). Un nombre impair s’écrit $2k + 1$ , et la première identité remarquable donne

(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,

un nombre pair augmenté de $1$ : c’est impair.

15. Supposons $a$ , $b$ , $c$ tous impairs. D’après la question 14, $a^2$ et $b^2$ sont impairs, donc $a^2 + b^2$ est une somme de deux nombres impairs : elle est paire. Or $c^2$ serait impair. L’égalité $a^2 + b^2 = c^2$ est alors impossible. Dans tout triplet pythagoricien, au moins l’un des trois nombres est donc pair — comme le confirme chaque ligne du tableau de la question 7.